BREVET BLANC DE MATHÉMATIQUES

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1 BREVET BLANC DE MATHÉMATIQUES L orthographe, le soin, la qualité, la clarté et la précision des raisonnements seront pris en compte à hauteur de 4 points sur 40 dans l appréciation de la copie. L usage de la calculatrice est autorisé conformément au règlement en vigueur pour le Brevet National des Collèges. Cependant, on veillera à détailler les calculs et à justifier les réponses données ; si les détails sont jugés insuffisants, la réponse ne sera pas validée. Activités numériques (12 points) Exercice I 1. Calculer A = : 15 2 On donnera le résultat sous la forme d une fraction irréductible. Toutes les étapes du calcul seront détaillées sur la copie. 2. On considère B = a) Calculer B ( le résultat sera donné en écriture décimale). b) Écrire B en écriture scientifique. (0,5 point) Exercice II A= B= Écrire A sous la forme a 3 où a est un nombre entier. 2. Écrire B sous la forme c d 5 où c et d sont des nombres entiers. Exercice III 1. a) Calculer le PGCD de et de 1989 par la méthode de votre choix. 2. Un professeur du Lycée Français de Murcie veut partager avec ses élèves bonbons rouges et bonbons bleus qu'il a reçu avec Papa Noël. Il veut faire des petits paquets de bonbons tous identiques (c'est-à-dire avec le même nombre de bonbons rouges et le même nombre de bonbons bleus dans chaque paquet). De plus, il veut utiliser tous les bonbons. Combien de paquets ce professeur pourra faire au maximum? Justifier la réponse. Combien de bonbons rouges et de bonbons bleus y aura-t-il dans chaque paquet? (1,5 points) Page 1 sur 5

2 Exercice IV Soit D x x x 2 = (2 + 3) + (2 + 3)(7 2). 1. Développer et réduire D. (1,5 points) 2. Factoriser D. 3. Calculer D pour x = - 4. (0,5 point) 4. Résoudre l équation (2x + 3)(9x + 1) = 0. Exercice V 3 Résoudre l inéquation 4 x x 1 et représenter l'ensemble des solutions sur une 2 droite graduée. (hachurer la partie qui ne convient pas). Activités géométriques (12 points) Exercice I On considère le repère orthonormé (O, I, J) de l'annexe (à compléter directement). L'unité choisie est le centimètre. 1. Placer les points A ( 2 ; 2 ), B ( - 7 ; 3 ) et C ( - 3 ; - 2 ). (0,75 point) 2. a) Montrer que la longueur AC est égale à 41 cm. (0,5 point) b) Calculer BC. (0,5 point) c) Le triangle ABC est-il isocèle en C? Justifier. (0,5 point) 3. a) Calculer les coordonnées du point K, milieu du segment [AB]. Placer le point K sur le repère (1,25 point) b) Que représente la droite (CK) pour le triangle ABC? Justifier. (0,75 point) Page 2 sur 5

3 Exercice II ABC est un triangle tel que AB = 12 cm, AC = 5 cm et BC = 13 cm. 1. Construire la figure en vraie grandeur. (0,75 point) 2. Démontrer que le triangle ABC est rectangle en A. (1,5 point) 3. Calculer la tangente de l'angle ACB et déterminer la valeur de cet angle au dixième de degré près. (1,5 point) Exercice III 1. a) Tracer un segment [EF] de 10 cm de longueur. Puis, tracer un demi-cercle de diamètre [EF]. (0,5 point) b) Placer le point G sur ce demi-cercle tel que EG = 9 cm. Démontrer que le triangle EFG est rectangle. c) Calculer la longueur GF arrondie au mm. (1,25 points) 2. a) Placer le point M sur le segment [EG] tel que EM = 5,4 cm et le point P sur le segment [EF] tel que EP = 6,5 cm. (0,25 point) b) Les droites (FG) et (MP) sont-elles parallèles? Justifier. Page 3 sur 5

4 Problème (12 points) Première partie : B 12 cm C Un terrain rectangulaire est représenté par un rectangle ABCD de largeur AB = 9 cm et de longueur BC = 12 cm. 1. Déterminer l aire du triangle ACD. (0,5 point) 2. Calculer AC. (1,25 points) 9 cm F 3. Calculer la mesure de l angle BCA arrondie au dixième de degré près. (1,5 points) A E 8 cm D Deuxième partie : Les distances sont exprimées en cm et les aires en cm². E est le point du segment [AD] tel que DE = 8 et F est un point de [CD]. 1. On suppose que CF = 3 ; les droites (EF) et (AC) sont-elles parallèles? Justifier la réponse. (2,25 points) Pour la suite du problème, on pose CF = x. 2. Montrer que l aire du triangle EFD est 36 4x. 3. Pour quelle valeur de x l aire du triangle EFD est-elle égale à 24 cm²? (1,25 points) 4. A l aide des calculs d aires précédents, en déduire l aire du quadrilatère ACFE en fonction de x. 5. Résoudre l inéquation x 38. Représenter l ensemble des solutions sur une droite graduée (attention, x varie entre 0 et 9). (surligner en rouge l'ensemble des solutions) (1,75 point) Interpréter géométriquement le résultat. Troisième partie : Sachant que la largeur réelle du terrain est 27 m : 1. Déterminer l échelle du plan. (0,5 point) 2. Calculer l aire du terrain (en m²). Page 4 sur 5

5 NOM:...PRENOM:...CLASSE:... ANNEXE A RENDRE AVEC LA COPIE Activités géométriques Exercice I Page 5 sur 5