Chapitre 6 Tests statistiques paramétriques usuels

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1 . Itroductio Chaitre 6 Tests statistiques aramétriques usuels Cha 6.. Itroductio. Tests aramétriques usuels à artir d u échatillo 3. Notio de uissace de test 4. Tests de comaraiso O est souvet ameés à redre des décisios sur la base d u esemble d observatios. O fera u choix etre deux roositios cotradictoires les hyothèses et (ulle et alterative resectivemet), qui déedet des aramètres théorique de la oulatio. our tracher, ous devos ous baser sur les obs. disoibles, i.e. les échatillos, avec tyes d erreurs ossibles Risque de ere esèce ( rejetée/ vraie) Fixé à ue faible valeur (5% ou % gééralemet) Risque de e esèce β( o rejetée/ vraie) -β uissace du test ( accetée/ vraie) i rejetée, o dit que le test est sigificatif, le risque de cette décisio,, état cou. Risque β souvet icou o e eut alors as dire qu o accete (test o sigificatif). Vérité Décisio rise - β -β Variable de décisio variable aléatoire dot o coait la loi de robabilité; au mois si est vraie. Régio critique esemble des valeurs de la variable aléatoire de décisio qui ermettet d écarter au rofit de.

2 Déroulemet d u test. Choix de et. Choix de la variable de décisio (statistique du test) (choisie de faço à aorter le max d ifo sur le b osé et sa loi de robabilité sera différete selo que l hyothèse ulle ou alterative est vraie.) 3. Choix de etit (tyiquemet % ou 5%) 4. Calcul de la régio critique e foctio de et de la statistique du test 5. Calcul de la valeur observée de la variable de décisio 6. Comaraiso et coclusio Rejet de l hyothèse si valeur calculée régio critique Test aramétrique so objet est de tester ue hyothèse relative à u ou lusieurs aramètres d ue variable aléatoire (e.g. moyee, variace) suivat ue loi sécifiée ou as. Test simle θ θ, où θ est ue valeur isolée de θ. Test comosite θ θ, θ > θ ou θ < θ Test bilatérale régio critique est séarée e régios distictes (o e se soucie as du sige); Test uilatéral régio critique e corresod qu à ue seule régio coexe de l esace des valeurs de la variable (o se soucie du sige).

3 . Tests aramétriques usuels à artir d u échatillo Cha 6.. Itroductio. Tests aramétriques usuels à artir d u échatillo 3. Notio de uissace de test 4. Tests de comaraiso.) Comaraiso d ue moyee à ue moyee théorique doée O cosidère ue variable aléatoire ~ N(,) avec icoue. Note si est as Gaussiee mais que l échatillo est suff. grad (> 3); N(,) le théorème cetral limite (TCL) s alique / > méthodes idiquées our ue variable Gaussiee sot alicables. ( ) ou N(, ) Test uilatéral > ~ N(, ) ~ N(,) / cou, estimé ar la moyee emirique et La statistique du test est doc et si vraie (cad si ). Régio critique ( x / vraie) ( x / ) lim xlim / O eut ici utiliser la table de la loi ormale N(,) Et est rejetée si lim Quatile e - t.q. x lim / / / (> lim ) ( rejetée) (<e - )- ( o rejetée) xlim soit + e

4 Test uilatéral > icou, estimé ar la moyee emirique et La statistique du test est alors avec (démo cf cha. 4) / T ( i ) i vraie, variable T suit ue loi de tudet à - degrés de liberté. O suit le même raisoemet que récédemmet et est rejetée si xlim soit + t, Remarque même raisoemet our tester le test uilatéral est rejetée si < xlim soit e Das le cas d ue variace coue xlim soit t, Das le cas d ue variace icoue Note si >3, grad échatillo > variable de décisio avec (estimatio)

5 Test bilatéral cou, estimé ar la moyee emirique et La statistique du test est doc et si vraie. ), ( ~ N / ) ~ N(, Régio critique ( ) ( ) x ou x x ou x vraie x ou x / / / / if su if su if su ou x / lim Quatile e -/ t.q. ( <e -/ )- i o coait, est doc rejetée si e ou si + e ou e ) ( )) ( ( ) ( ) ( u u u u u

6 Test bilatéral icou, estimé ar la moyee emirique et La statistique du test est doc T / avec ( ) i i T suit ue loi de tudet à - degrés de liberté. Régio critique t, x lim ± t, i o e coait as, est doc rejetée avec u risque si t ; ou si + t ou t ; ;

7 .) Comaraiso d ue roortio observée à ue roortio théorique doée Nous cosidéros ici ue variable aléatoire reat des valeurs biaires ( ou ar exemle) et suit ue loi de Berouilli de aramètre π (fréquece emirique). O observe u échatillo de variables aléatoires idéedates. i π > 5, alors ~ N(π, π(- π )). Test bilatéral π π π π π π ( π) La statistique du test est alors avec fréquece observée vraie si suit ue loi ormale N(,) et o rejette si e Test uilatéral π π π > π (res. π<π ) O rejette si e ( res. e )

8 .3) Comaraiso d ue variace à ue variace théorique Nous cosidéros ici des variables aléatoires suivat ue loi ormale N(, ). Moyee coue (eu fréquet) > La statistique du test est alors vraie si χ ( ) i i i i i i ( ) ( ) Note i i χ Note / et o /(-) car o veut tester si otre valeur obs est égale à la variace théorique. Risque de ere esèce régio critique ( ) klim / χ, O rejette si χ,

9 Moyee icoue (lus fréquet) > La statistique du test est alors ( ) i i ( ) vraie si χ Note d de liberté e mois car o utilise les obs our calculer. ( Risque de ere esèce ) ( ) k régio critique lim / χ, O rejette si χ, Cas bilatéral Même méthode mais o cosidère la régio critique sur les bords de la courbe de Chi. χ et χ,,

10 3. Notio de uissace de test Cha 6.. Itroductio. Tests aramétriques usuels à artir d u échatillo 3. Notio de uissace de test 4. Tests de comaraiso uissace du test ( accetée/ vraie) -β i ous rocédos à u test du tye et >, c est-à-dire avec comosite, le risque β e ourra as être calculé exlicitemet et doc o e ourra as calculer la uissace du test. eul cas our lequel ous ouvos calculer β et doc la uissace de test cas où est fixé. O testera ar exemle la moyee d ue variable Gaussiee avec et. x refusée / vraie x / T' lim β lim ( ) ( ) / β Loi de tudet à - d de liberté

11 différece etre les moyees de test et, même risque β risque β (-) de risque de se tromer e e rejetat as. uissace du test risque de se tromer e rejetat our la même différece etre les moyees de test risque β (-) de risque de se tromer e e rejetat as. uissace du test Uiquemet si taille de l échatillo roriété utile our détermier la taille miimale d u échatillo our détecter des différeces etre des moyees théoriques avec u faible risque d erreur.

12 4. Tests de comaraiso d échatillos Cha 6.. Itroductio. Tests aramétriques usuels à artir d u échatillo 3. Notio de uissace de test 4. Tests de comaraiso Jusqu à réset, ous avos cosidéré la différece etre les roriétés d u échatillo our décider de la validité d hyothèses ortat sur des aramètres théoriques. Les tests statistiques ermettet aussi de réodre à des questios cocerat les différeces et similitudes etre différets échatillos. lus articulièremet, o cherchera ici à réodre à la questio suivate si ous cosidéros deux échatillos différets de taille resectivemet et, rélevés idéedammet l u de l autre, eut-o affirmer qu ils sot issus de la même oulatio (hyothèse ulle) ou qu ils rovieet chacu de deux oulatios distictes?

13 4.) Comaraiso de moyees observées our des grads échatillos Cosidéros variables aléatoires et suivat des lois qcq, avec E(), var() et E() et var() er échatillo observatios de, avec >3. e échatillo observatios de, avec >3. Variable de décisio D yothèses ou La statistique du test est doc + ) ~ N(, et si est vrai alors Le risque de ere esèce état fixé (5% ou %), o eut déduire la régio critique e Note c est u test bilatéral si o e s itéresse as au ses de la différece etre les moyees. O rejette si e ou e + Remarque si o veut tester O rejette si ; > e / / +

14 4.) Comaraiso de moyees observées our des échatillos Gaussies de taille qcq et de même variace Cosidéros variables aléatoires et suivat des lois qcq, avec E(), var() et E() et var() er échatillo observatios de, avec qcq. e échatillo observatios de, avec qcq. Variable de décisio D yothèses ou La statistique du test est doc T + avec ( ) + + ( ) et si est vrai alors T suit ue loi de tudet à x+y- d de liberté. Le risque de ere esèce état fixé (5% ou %), o eut déduire la régio critique O rejette si T t x+ y; ou T t x t + y; x+ y; Note c est u test bilatéral si o e s itéresse as au ses de la différece etre les moyees. Remarque ce test est valable que si les variaces théoriques sot égales, il est doc écessaire de tester e er lieu cette hyothèse! +

15 4.3) Comaraiso de roortios observées Cosidéros variables aléatoires et suivat des lois de Berouilli de aramètres théoriques π et π. er échatillo observatios de, avec ue ro. obs. ; e échatillo observatios de, avec ue ro. obs.. Berouilli E() π ; var() π (- π ), même chose our. Variable de décisio D yothèses ou π π π π π π π π La statistique du test est doc où ) ( et si est vrai alors suit ue loi ormale N(,). Le risque de ere esèce état fixé (5% ou %), o eut déduire la régio critique e Note c est u test bilatéral si o e s itéresse as au ses de la différece etre les moyees. O rejette si ( ) + e Remarque ce test est valable que si les roortios observées vérifiet 5 ) ( ; 5 ) ( ; 5 ; 5

16 4.4) Comaraiso de moyees observées our deux échatillos aariés. O cosidère alors les mêmes idividus das deux exérieces différetes. e.g. test médicamets sur les mêmes atiets. yothèses ou Variable de décisio les observatios sot faites sur les mêmes idividus et e sot doc as idéedates. Das ce cas o cosidère des aires d observatios et leur différece La statistique du test est alors d i, i, i T d d / où d ( x,i x,i ) et d i i ( d i d ) et si est vrai alors T suit ue loi de tudet à - d de liberté. Le risque de ere esèce état fixé (5% ou %), o eut déduire la régio critique T t ; Note c est u test bilatéral si o e s itéresse as au ses de la différece etre les moyees. O rejette si T t ;

17 4.5) Comaraiso des variaces de deux échatillos Cosidéros variables aléatoires et Gaussiees er échatillo observatios de ~ N(, ) e échatillo observatios de ~ N(, ). yothèses Variable de décisio raort des deux variaces ( ) ~ χ Or et K ( ) ~ χ La statistique du test est doc ue loi de Fisher-edecor. i est vrai alors K suit ue loi de Fisher-edecor à x- et y- d liberté. O rejette si F, ; ou F, ; test bilatéral Remarque Ue méthode arochée utilisée arfois our éviter de faire u test bilatéral est d imoser que le umérateur de la statistique soit la variace umériquemet la lus grade, le test eut se réduire alors à u test uilatéral. Il faut alors faire attetio à choisir la loi de Fisher corresodate, c est à dire que le er degré de liberté sera celui du umérateur ( variace emirique la lus forte) et le ème celui du déomiateur.

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