6- Tests statistiques - 1. Chapitre 6 : Tests d hypothèses

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1 6- Tests statstques - Chaptre 6 : Tests d hypothèses 6. Costructo d u test et règle de décso ussace d u test Quelques tests d hypothèses Test sur la moyee d ue dstrbuto ormale de varace coue Test sur la moyee d ue dstrbuto ormale de varace coue Test sur la varace d ue dstrbuto ormale de moyee coue Test sur la varace d ue dstrbuto ormale de moyee coue Test d égalté de moyees de deu populatos ormales de varaces coues Test d égalté de moyees de deu populatos ormales de varaces coues Les varaces sot supposées égales Les varaces sot égales Test d égalté de varaces de deu populatos ormales de moyees coues Test d égalté de varaces de deu populatos ormales de moyees coues Test sur des doées par pares (apparées) Eemple de pussace d u test... Les tests d hypothèses servet à détermer s ue sére d observatos (format l échatllo) permettet d valder ou o ue hypothèse que l o formule sur la populato. Eemple : U cmet est fabrqué pour préseter ue résstace de 3 Ma (valeur de desg). U échatllo de 5 éprouvettes a four les valeurs suvates : 3., 9.5, 9.6, 8.4, 8.9. euto rejeter l hypothèse que le cmet das so esemble a ue résstace de 3 Ma sur la seule fo de ces 5 échatllos? Eemple : O stalle u feu de crculato à ue tersecto jugée dagereuse. Les tros mos précédat l stallato du feu, 4 accdets majeurs avaet été eregstrés. Les tros mos suvats, seulemet accdets majeurs sot surveus. eut-o affrmer que le feu de crculato a perms ue réducto sgfcatve de la moyee du ombre d accdets? Les tests d hypothèses peuvet porter sur dvers aspects. Les plus fréquemmet utlsés sot : o la moyee d ue populato est-elle dfférete d ue moyee coue? o deu populatos ot-elles même moyee? o deu varables sot-elles dépedates? o la corrélato etre deu varables est-elle sgfcatve? o la varace d ue populato est-elle dfférete d ue varace coue? o deu populatos ot-elles même varace? o ue lo de dstrbuto doée s applque-t-elle à ue populato doée? o deu populatos ot-elles même dstrbuto? Remarque commet les éocés précédets portet tous sur la populato. Toutefos, c est l échatllo, sesé représeter la populato, qu permettra de répodre à ces questos. U test compare la valeur d ue statstque calculée sur u échatllo à la valeur théorque découlat de la dstrbuto de cette statstque obteue lorsqu o cosdère l hypothèse

2 6- Tests statstques - formulée vrae. la valeur de la statstque e présete re de partculer par rapport à la dstrbuto théorque, o accepte l hypothèse. Lorsque la valeur de la statstque apparaît claremet atypque, o se dot de rejeter l hypothèse formulée. Cepedat cette valeur atypque possède ue certae probablté d être observée même lorsque l hypothèse est vrae. Doc u test statstque e permet jamas d être certa qu ue hypothèse est vrae ou fausse. Tout au plus s agt-l d ue règle opératoelle permettat de documeter statstquemet les décsos prses. 6. Costructo d u test et règle de décso Repreos l eemple du cmet et des cq éprouvettes évoqué précédemmet. upposos de plus que l o sat que la dstrbuto de la résstace des éprouvettes est N(3,) pour u cmet coçu pour préseter ue résstace de 3 Ma. O veut vérfer s la moyee observée das l échatllo (5*( )9.3) permet d affrmer que la valeur de cocepto (3 Ma) est pas respectée. O formule l hypothèse : H 3 vs H 3. Le test est dt ulatéral c car o e s téresse qu au cas où la moyee e recotre pas la valeur de cocepto (le cas 3 costtue e fat u «bous» dot l y a pas leu de s quéter). Lorsque l hypothèse alteratve est de la forme 3 o dt alors que le test est blatéral). eule la dstrbuto sous H c est etèremet spécfée (o parle alors d hypothèse smple). L hypothèse alteratve H est dte hypothèse composée car elle e spécfe pas ue dstrbuto uque lorsque H vrae. C est le cas le plus fréquemmet recotré e pratque be que parfos o pusse auss avor ue alteratve smple. O sat que la moyee d u échatllo dot les observatos sot dépedates et ssues d ue dstrbuto ormale est ue v.a. et : ~ N,. O va calculer ( 9.3). cette probablté est féreure à u seul rasoable que l o s est fé (souvet.5) alors o rejettera l hypothèse H car la valeur 9. 3 apparaîtra comme atypque pour la dstrbuto de. O calcule : (.3) ( ) N 5 5 ( (,).). 34 Comme.34.5, o e peut rejeter H,.e. o a pas d évdeces suffsates pour affrmer que la valeur de cocepto est pas respectée. Le ombre d observatos joue u rôle clé das cette décso. l échatllo avat par eemple coteu observatos au leu de 5, toujours présetat la même moyee, o aurat calculé.36 et o serat arrvé à la décso cotrare. U test statstque cosste doc e :

3 6- Tests statstques - 3 o Idetfer l hypothèse smple H et l hypothèse alteratve H ; o trouver ue statstque lée à H dot o coaît la lo de dstrbuto; o detfer le veau de sgfcato du test, ; habtuellemet, est chos égal à.,.5 ou. mas cec peut varer selo l applcato; o évaluer la valeur de la statstque sur l échatllo; o calculer la probablté que l o observe ue valeur auss ou plus atypque que la valeur obteue sur l échatllo; o rejeter l hypothèse H s la probablté obteue est féreure à. 6. ussace d u test upposos que l alteratve H sot auss ue hypothèse smple. O peut alors évaluer (Accepter H H est vrae). Cette probablté est appelée l erreur de secode espèce ( β ; état l erreur de premère espèce). La probablté complémetare (Rejeter H H est vrae)- β est appelée la pussace du test. O cherche ormalemet à avor u test le plus pussat possble car cec assure que l o pourra évetuellemet détecter de subtles varatos de moyee, de varace, etc. La pussace d u test doé déped de deu facteurs : le ombre d observatos et l écart etre les deu hypothèses smples H et H. lus o a d observatos, pour u même écart, plus le test est pussat. lus l écart est grad etre H et H, pour u même ombre d observatos, plus l est facle de détecter cette dfférece et doc plus le test est pussat. Cas de H hypothèse composée : Das ce cas, o cosdère pluseurs valeurs possbles de l alteratve et pour chacue o calcule la pussace correspodate. O trace esute la courbe de pussace du test e focto de la valeur sous l alteratve. Lorsque la valeur cosdérée sous H ted vers celle sous H, alors la pussace du test ted vers le veau du test (.e. le test est très peu pussat). Courbe caractérstque : La courbe caractérstque est la courbe β ( H) alors que la courbe de pussace est la courbe complémetare, - β H ). ( Eemple : La fgure suvate motre la pussace du test ulatéral sur la moyee (avec varace coue) au veau 5%, H vs H e focto de l écart ormalsé etre les moyees sous H et H pour dfféretes valeurs de. As, observatos permettet de détecter u écart ormalsé de.3 evro avec ue pussace de 8% alors que 5 observatos écesstet u écart de. à cette même pussace. our u même écart ormalsé de.3, la pussace du test est que de 7% evro avec 5 observatos, 5% avec 3 observatos et presque % avec observatos. Remarque comme la pussace augmete rapdemet au fables pus plus letemet. Remarque égalemet comme la pussace est fable pour les petts écarts ormalsés. Même avec observatos, la pussace est que de 4% pour détecter u écart de.. Alteratvemet, o peut auss calculer la valeur crtque das la dstrbuto de la statstque correspodat au veau désré et o rejette H s la valeur de la statstque ecède ce seul.

4 6- Tests statstques - 4 Corbe de pussace, test moyee, ulatéral 5% ussace (-β) Écart ormalsé ( - ) Note mportate : Il este u le très étrot etre u test d hypothèse smple sur la valeur d u paramètre et l estmato par tervalle de coface de ce même paramètre. la valeur du paramètre testée sous H est cluse das l tervalle de coface costrut autour de l estmateur alors o e peut rejeter H pour u test de veau de coface correspodat à u tervalle de veau -. De même, s la valeur sous H se trouve à l etéreur de l tervalle de coface, alors o rejette H. 6.3 Quelques tests d hypothèses 6.3. Test sur la moyee d ue dstrbuto ormale de varace coue Test : H : vs H :, ou H :, ou H : ( ) tatstque : ~ N (,) Règle de décso : H :, H : ( ), rejeter H.

5 6- Tests statstques - 5 ( ), rejeter H. H : ( ), ou ( ), rejeter H. E raso du théorème cetral lmte, lorsque est suffsammet grad, le test demeure appromatvemet valde même s la populato est pas ormale au départ. ussace du test : (Rejeter H H vrae) ot ~ N(,) et tel que ( ) et tel que ( ) H : ( ) ( ) H : ( ) ( ) ar la symétre de la lo ormale, les deu derers résultats peuvet s écrre comme : ) ( β H : ) ( β 6.3. Test sur la moyee d ue dstrbuto ormale de varace coue Test : H : vs H :, ou H : :, ou H : tatstque : ( ) ~ t s t Règle de décso : H :

6 6- Tests statstques - 6 t ( ) s, ou t ( ) s, rejeter H. Les cas ulatérau s obteet de faço smlare. Lorsque est suffsammet grad, t N(,), de plus, e raso du théorème cetral lmte, le test demeure appromatvemet valde même s la populato est pas ormale au départ Test sur la varace d ue dstrbuto ormale de moyee coue la moyee est coue, o estme la varace par : ˆ ( ) Claremet, s ( ) ~ N(, ) ~ N(,) ~ χ ~ χ Or ˆ Test : H : vs H :, ou H :, ou H tatstque : ˆ ~ χ Règle de décso : H : ˆ χ, ou ˆ χ, rejeter H. Les cas ulatérau s obteet de faço smlare. Lorsque est grad, le test demeure appromatvemet valde même s la dstrbuto de est pas ormale.

7 6- Tests statstques Test sur la varace d ue dstrbuto ormale de moyee coue Das ce cas, o estme la varace par : ( ) O a : ( ) ~ χ Le test découle drectemet (vor secto précédete) Test d égalté de moyees de deu populatos ormales de varaces coues ot ~ N(, ) et ~ N(, ). ot et le ombre d observatos das chaque populato. Cosdéros la dstrbuto de la dfférece des moyees des échatllos. O a : ous H ( ) ( ) ~ N, ( ) ~ N(,) ~ N(,) Le test découle drectemet Test d égalté de moyees de deu populatos ormales de varaces coues Les varaces sot supposées égales ot ~ N(, ) et ~ N(, ). ot et populato. le ombre d observatos das chaque Comme la varace commue est coue, o va l estmer e utlsat l esemble des observatos par : ( ) ( ) p O peut motrer que cet estmateur est sas bas pour ous H et χ p ~

8 6- Tests statstques - 8 ( ) p ~ t Le test découle drectemet Les varaces sot égales Das ce cas, l y a pas de test eact. Il y a u test appromatf toutefos. ous H Le test découle drectemet. ( ) avec v ( ) ( ) t v Eemple : Lafarge produt du cmet à t-costat à l ade de deu crcuts dépedats. Les teeurs moyees et les varaces e C 3 des deu crcuts sot mesurées sur deu échatllos : s Crcut 3 3 Crcut 5 Les deu crcuts présetet-ls ue moyee sgfcatvemet dfférete? ous H : vs H : ( 5) O calcule la statstque t :. 8.5 (3 3 ) (3 3 ) Les degrés de lberté sot : v (3 3) 3 ( ) O lt t. 3 48;.5 Comme.8-.3, o e peut rejeter H.

9 6- Tests statstques Test d égalté de varaces de deu populatos ormales de moyees coues O estme chaque varace par : ˆ ( ) ˆ O a : ~ χ ous H :, o a, utlsat la défto de la lo F : Le test découle drectemet. ˆ ˆ ~ F, Test d égalté de varaces de deu populatos ormales de moyees coues ( ) O estme chaque varace par : ( ) ( ) O a : ~ χ ous H :, o a, utlsat la défto de la lo F : Le test découle drectemet. ~ F, Test sur des doées par pares (apparées) Imagos doées proveat par pares. Ce pourrat être par eemple bétos dfférets pour lesquels o prépare deu éprouvettes chacu et o fat subr à chacue des deu éprouvettes u test de résstace dfféret. O voudrat tester s les deu tests de résstace doet les mêmes valeurs moyees. Ce pourrat auss être échatllos de sols auquels o fat subr u certa tratemet. O calcule la moyee avat et après tratemet. La questo se pose alors : le tratemet a-t-l eu u effet sgfcatf,.e. les moyees sot-elles sgfcatvemet dfféretes? O pourrat peser utlser le test d égalté des moyees pour deu populatos. Toutefos ce serat ue erreur car l s agt des mêmes doées. O e peut sûremet pas les cosdérer comme dépedates, ce qu est ue codto essetelle pour pouvor applquer le test d égalté des moyees vu précédemmet. O va plutôt cosdérer la v.a où les dces et dstguet les doées de chaque pare, (e. avat et après tratemet). ous hypothèse que est ormale, o posera

10 6- Tests statstques - H : H : La statstque t ~ t. Le test découle drectemet. 6.4 Eemple de pussace d u test Cosdéros le test sur la moyee d ue populato ormale lorsque la varace est coue. as perte de gééralté, o pose. La fgure suvate motre la pussace du test H : vs H : pour dfféretes valeurs de l alteratve et e focto du ombre d observatos das l échatllo. ussace d'u test.9.8 ussace Lorsque l écart etre les hypothèses s approche de, la pussace du test s approche du veau du test (c,5). Le graphe précédet permet de détermer le ombre d observatos requs pour avor ue pussace suffsate e focto de l écart atcpé par rapport à pour l alteratve. As, s l o vse ue pussace de,8 u échatllo de talle 5 e permet de détecter qu u écart de, alors qu u échatllo de 5 permet de détecter u écart auss fable que,35 appromatvemet. l o coaît la probablté à pror que se réalse l hypothèse H (dsos p ) et l alteratve smple H (dsos p ), alors o peut calculer la probablté de predre la boe décso avec le test : p (- )p (- β ). lus est grad, plus β est pett (et plus la pussace du test est grade).

11 6- Tests statstques - ussace d'u test ussace ussace du test ulatéral sur la moyee () e focto de.