[ édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1

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1 [ édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1 Idéaux Exercice 1 [ ] [correction] Quels sont les idéaux d un corps K? Exercice 2 [ ] [correction] Un idéal d un anneau (A, +, ) est dit principal lorsqu il est de la forme xa pour un certain x A. Montrer que les idéaux d un sous-anneau de (Q, +, ) sont principaux. Exercice 3 [ ] [correction] On note { p } D = 10 n /p Z, n N l ensemble des nombres décimaux. a) Montrer que D est un sous-anneau de (Q, +, ). b) Montrer que les idéaux de D sont principaux (c est-à-dire de la forme ad avec a D). Exercice 4 [ ] [correction] Soit I un idéal de l anneau produit (Z 2, +, ). a) On pose I 1 = {x Z/(x, 0) I} et I 2 = {y Z/(0, y) I}. Montrer que I 1 et I 2 sont des idéaux de (Z, +, ). b) Etablir I = I 1 I 2. c) Conclure que les idéaux de l anneau (Z 2, +, ) sont de la forme xz 2 avec x Z 2. Exercice 5 [ ] [correction] [Nilradical d un anneau] On appelle nilradical d un anneau commutatif (A, +, ) l ensemble N formé des éléments nilpotents de A i.e. des x A tels qu il existe n N vérifiant x n = 0 A. Montrer que N est un idéal de A. Exercice 6 [ ] [correction] [Radical d un idéal] Soit I un idéal d un anneau commutatif A. On note R(I) l ensemble des éléments x de A pour lesquels il existe un entier n non nul tel que x n I. a) Montrer que R(I) est un idéal de A contenant I. b) Montrer que si I et J sont deux idéaux alors R(I J) = R(I) R(J) et R(I + J) R(I) + R(J) c) On suppose que A = Z. Montrer que l ensemble des entiers n non nuls tels que R(nZ) = nz est exactement l ensemble des entiers sans facteurs carrés. Exercice 7 [ ] [correction] Soient A un anneau commutatif et e un élément idempotent de A (i.e. e 2 = e). a) Montrer que J = {x A/xe = 0} est un idéal de A. b) On note I = Ae l idéal principal engendré par e. Déterminer I + J et I J. c) Etablir que pour tout idéal K de A : (K I) + (K J) = K Exercice 8 [ ] [correction] [Idéaux premiers] Un idéal I d un anneau commutatif (A, +, ) est dit premier si, et seulement si, x, y A, xy I x I ou y I a) Donner un exemple d idéal premier dans Z. b) Soit P K [X] un polynôme irréductible. Montrer que P.K [X] est premier. c) Soient J et K deux idéaux de A. Montrer J K = I (J = I ou K = I) d) Soit (A, +, ) un anneau commutatif dont tout idéal est premier. Etablir que A est intègre puis que A est un corps. Exercice 9 [ ] [correction] [Z est noethérien] Montrer que tout suite croissante (pour l inclusion) d idéaux de Z est stationnaire. Ce résultat se généralise-t-il aux idéaux de K [X]?. Exercice 10 [ ] [correction] Soit A un sous-anneau de Q.

2 [ édité le 10 juillet 2014 Enoncés 2 a) Soit p un entier et q un entier strictement positif premier avec p. Montrer que si p/q A alors 1/q A. b) Soit I un idéal de A autre que {0}. Montrer qu il existe n N tel que I Z = nz et qu alors I = na. c) Soit p un nombre premier. On pose Z p = {a/b; a Z, b N, p b = 1} Montrer que si x Q alors x ou 1/x appartient à Z p. d) On suppose ici que x ou 1/x appartient à A pour tout x Q. On note I l ensemble des éléments non inversibles de A. Montrer que I inclut tous les idéaux stricts de A. En déduire que A = Q ou A = Z p pour un certain nombre premier p. Exercice 11 [ ] [correction] Soit p un nombre premier. On note Z p l ensemble des a/b où (a, b) Z N et p ne divise pas b. On note J p l ensemble des a/b où (a, b) Z N, p divise a et p ne divise pas b. a) Montrer que Z p est un sous-anneau de Q. b) Montrer que J p est un idéal de Z p et que tout idéal de Z p autre que Z p est inclus dans J p. c) Déterminer les idéaux de Z p. Exercice 12 [ ] [correction] Soit A un sous-anneau d un corps K. On suppose : x K\ {0}, x A ou x 1 A et on forme I l ensemble des éléments de l anneau A non inversibles. a) Montrer que I est un idéal de A. b) Montrer que tout idéal de A autre que A est inclus dans I. Exercice 13 [ ] [correction] Soit A un anneau intègre. On suppose que l anneau A ne possède qu un nombre fini d idéaux. Montrer que A est un corps.

3 [ édité le 10 juillet 2014 Corrections 3 Corrections Exercice 1 : [énoncé] Soit I un idéal d un corps K. Si I {0} alors I contient un élément x non nul. Puisque x I et x 1 K on a 1 = xx 1 I puis pour tout y K, y = 1 y I et finalement I = K. Les idéaux de K sont donc {0} et K. Exercice 2 : [énoncé] Soit I un idéal d un sous-anneau A de (Q, +, ). I Z est un sous-groupe de (Z, +) donc de la forme dz pour un certain d N. Vérifions qu alors I est l idéal engendré par d. Puisque d I, on a déjà par absorption (d) = da I. Inversement, soit x I. On peut écrire x = p/q avec p Z et q N premiers entre eux. On a alors qx = p Z et, par addition, qx = x + + x I. Ainsi qx I Z = dz ce qui permet d écrire x = dk/q. Il reste à montrer que k/q est élément du sous-anneau A pour pouvoir conclure x (d) = da. Puisque A est un sous-anneau de (Q, +, ), c est un sous-groupe additif ce qui entraîne a A, k Z, k.a A Sachant les entiers p et q premiers entre eux, on peut écrire et alors pu + qv = 1 avec u, v Z 1 q = p u + v = u.x + v.1 q Sachant que 1 et x sont éléments de A, 1/q l est aussi et enfin k/q = k.(1/q) A. Exercice 3 : [énoncé] a) Il suffit de vérifier les axiomes définissant un sous-anneau... b) Soit I un idéal de D. L intersection I Z est un sous-groupe de (Z, +) donc il existe a Z vérifiant I Z = az Puisque a I, on a ad I. Inversement, soit x I. On peut écrire x = p avec p Z et n N 10n On a alors 10 n x I par absorption donc p I Z. On en déduit a p puis x ad. Finalement I = ad Exercice 4 : [énoncé] a) I 1 Z et 0 I 1 car (0, 0) = 0 Z 2 I. Soient x, x I 1. On a (x + x, 0) = (x, 0) + (x, 0) I donc x + x I 1. Soit de plus a Z. On a (ax, 0) = (a, 1234) (x, 0) I donc ax I 1. Ainsi I 1 est un idéal de (Z, +, ) et de façon analogue I 2 aussi. b) Soit (x, y) I 1 I 2. On a (x, 0) I et (0, y) I donc (x, y) = (x, 0) + (0, y) I. Ainsi I 1 I 2 I. Inversement soit (x, y) I. On a (x, 0) = (x, y) (1, 0) I donc x I 1. De même y I 2 et donc (x, y) I 1 I 2. Finalement I I 1 I 2 puis I = I 1 I 2. c) Les idéaux de (Z, +, ) sont de la forme nz donc il existe a, b Z tels que I 1 = az et I 2 = bz. L idéal I apparaît alors comme étant celui engendré par x = (a, b) I = xz 2 = {(ak, bl)/k, l Z} Exercice 5 : [énoncé] N A, 0 A N donc N. Pour x, y N, il existe n, m N tel que x n = y m = 0 A. Par la formule du binôme, (x + y) n+m 1 = n+m 1 k=0 ( ) n + m 1 x k y n+m 1 k k Pour k n, x k = 0 A et pour k n 1, y n+m 1 k = 0 A. Dans les deux cas x k y n+m 1 k = 0 A et donc (x + y) n+m 1 = 0 A. Par suite x + y N. Enfin pour a A et x N, ax N car (ax) n = a n x n. Exercice 6 : [énoncé] a) Par définition R(I) A 0 1 = 0 I donc 0 R(I). Soient x, y R(I), il existe n, m N tels que x n, y m I. On a alors ( ) ( ) n 1 n + m 1 n+m 1 n + m 1 (x+y) n+m 1 = x k y n+m 1 k + x k y n+m 1 k I k k k=0 k=n

4 [ édité le 10 juillet 2014 Corrections 4 car les premiers termes de la somme sont dans I puisque y n+m 1 k I et les suivants le sont aussi car x k I donc x + y R(I). Soit de plus a A. On a (ax) n = a n x n I donc ax R(I). Ainsi R(I) est un idéal de A. Soit x I, on a x 1 I donc x R(I). b) Si x R(I J) alors il existe n N tel que x n I J. On a alors x n I donc x R(I) et de même x R(J). Ainsi R(I J) R(I) R(J) Soit x R(I) R(J). Il existe n, m N tel que x n I et x m J. Pour N = max(m, n), on a par absorption x N I et x N J donc x N I J. Ainsi x R(I J) et on peut affirmer R(I J) R(I) R(J) puis l égalité. Puisque I I + J, on a clairement R(I) R(I + J). De même R(J) R(I + J). Enfin R(I + J) étant stable par somme R(I) + R(J) R(I + J). c) Si n a un facteur carré d 2 avec d 2. Posons k Z tel que n = d 2 k. On a dk / nz et (dk) 2 = nk nz donc dk R(nZ). Ainsi R(nZ) nz. Si n n a pas de facteurs carrés alors n s écrit n = p 1 p 2... p m avec p 1,..., p m nombres premiers deux à deux distincts. Pour tout x R(nZ), il existe k N tel que x k nz. Tous les p 1,..., p m sont alors facteurs premiers de x k donc de x et par conséquent n divise x. Finalement R(nZ) nz puis R(nZ) = nz car l autre inclusion est toujours vraie. Exercice 7 : [énoncé] a) sans difficultés. b) Pour tout x A, x = xe + x(1 e) avec xe I et x xe J. Par suite I + J = A. Si xe J alors xe = xe 2 = 0 donc I J = {0}. c) L inclusion (K I) + (K J) K est immédiate. L inclusion réciproque provient de l écriture x = xe + x(1 e). Exercice 8 : [énoncé] a) Pour p P, pz est un idéal premier. En effet on sait que pz est un idéal et en vertu du lemme d Euclide : xy pz x pz ou y pz. b) Même principe c) Supposons J K = I. Si J = I ok. Sinon il existe a J tel que a / I. Pour tout b K, ab J K d où ab I puis b I car a / I. Ainsi K I. D autre part I = J K K donc I = K. d) I = {0} est un idéal premier donc xy = 0 x = 0 ou y = 0. Soit x A tel que x 0. x 2 A est premier et x 2 x 2 A donc x x 2 A. Ainsi il existe y A tel que x = x 2 y et puisque x 0, xy = 1. Ainsi A est un corps. Exercice 9 : [énoncé] Une suite croissante (I n ) d idéaux de Z se détermine par une suite d entiers naturels (a n ) vérifiant I n = a n Z et a n+1 a n. Si pour tout n N, I n = {0} alors la suite (I n ) est stationnaire. Sinon à partir d un certain rang I n {0} et la relation a n+1 a n entraîne a n+1 a n. La suite d entiers naturels (a n ) est décroissante et donc stationnaire. Il en est de même pour (I n ). Ce résultat se généralise à K [X] en travaillant avec une suite de polynômes unitaires (P n ) vérifiant P n+1 P n ce qui permet d affirmer en cas de non nullité deg P n+1 deg P n puis (deg P n ) stationnaire, puis encore (P n ) stationnaire et enfin (I n ) stationnaire. Exercice 10 : [énoncé] Notons qu un sous-anneau de Q possédant 1 contient nécessairement Z. a) Par égalité de Bézout, on peut écrire pu + qv = 1 avec u, v Z. Si p q A alors 1 q = up q + v.1 A b) I Z est un sous-groupe de (Z, +) donc il est de la forme nz avec n N. Puisque I {0}, il existe p/q I non nul et par absorption, p = q.p/q I Z avec p 0. Par suite I Z {0} et donc n N. Puisque n I, on peut affirmer par absorption que na I. Inversement, pour p/q I avec p q = 1 on a 1/q A et p nz donc p/q na. Ainsi I = na. c) On peut vérifier que Z p est un sous-anneau de Q. Pour x = a/b Q avec a b = 1. Si p b alors p b = 1 et x Z p. Sinon p b et donc p a d où l on tire 1/x Z p. d) Soit J un idéal strict de A. J ne contient pas d éléments inversibles de A car sinon il devrait contenir 1 et donc être égal à A.

5 [ édité le 10 juillet 2014 Corrections 5 Ainsi J est inclus dans I. De plus, on peut montrer que I est un idéal de A. En effet I A et 0 I. Soient a A et x I. Cas a = 0 : ax = 0 I. Cas a 0 : Supposons (ax) 1 A alors a 1 x 1 A et donc x 1 = a(a 1 x 1 ) A ce qui est exclu. Ainsi, (ax) 1 / A et donc ax I. Soient x, y I. Montrons que x + y I. Cas x = 0, y = 0 ou x + y = 0 : c est immédiat. Cas x 0, y 0 et x + y 0 : On a (x + y) 1 (x + y) = 1 donc (x + y) 1 (1 + x 1 y) = x 1 et (x + y) 1 (1 + xy 1 ) = y 1 (*) Par l hypothèse de départ, l un au moins des deux éléments x 1 y ou xy 1 = (x 1 y) 1 appartient à A. Par opérations dans A à l aide des relations (*), si (x + y) 1 A alors x 1 ou y 1 appartient à A ce qui est exclu. Ainsi (x + y) 1 / A et donc x + y I. Finalement I est un idéal de A. Par suite, il existe n N, vérifiant I = na. Si n = 0 alors I = {0} et alors A = Q car pour tout x Q, x ou 1/x A et dans les deux cas x A car I = {0}. Si n = 1 alors I = A ce qui est absurde car 1 A est inversible. Nécessairement n 2. Si n = qr avec 2 q, r n 1 alors puisque 1/n / A, au moins l un des éléments 1/q et 1/r / A. Quitte à échanger, on peut supposer 1/q / A. qa est alors un idéal strict de A donc qa I. Inversement I qa puisque n est multiple de q. Ainsi, si n n est pas premier alors il existe un facteur non trivial q de n tel que I = na = qa. Quitte à recommencer, on peut se ramener à un nombre premier p. Finalement, il existe un nombre premier p vérifiant I = pa. Montrons qu alors A = Z p. Soit x A. On peut écrire x = a/b avec a b = 1. On sait qu alors 1/b A donc si p b alors 1/p A ce qui est absurde car p I. Ainsi p b et puisque p est premier, p b = 1. Ainsi A Z p. Soit x Z p, x = a/b avec b p = 1. Si x / A alors x 0 et 1/x = b/a A puis b/a I pa ce qui entraîne, après étude arithmétique, p b et est absurde. Ainsi Z p A puis finalement Z p = A. Exercice 11 : [énoncé] a) Facile. b) J p idéal de Z p : facile. Soit I un idéal de Z p. On suppose I J p, il existe donc un élément a/b I vérifiant a/b / J p. Par suite p ne divise ni a, ni b et donc et b/a Z p de sorte que a/b est inversible dans Z p. Ainsi l idéal contient un élément inversible, donc par absorption il possède 1 et enfin il est égal à Z p. c) Pour k N, posons J p k l ensemble des a/b où (a, b) Z N, p k a et p ne divise pas b. On vérifie aisément que J p k est un idéal de Z p. Soit I un idéal de Z p. Posons k = max { l/ x I, (a, b) Z N, x = a/b, p l a, p ne divise pas b }. On a évidemment I J p k. Inversement, il existe x = a/b I avec p k a, p k+1 ne divise pas a et p ne divise pas b. On peut écrire a = p k a avec p qui ne divise pas a, et donc on peut écrire x = p k x avec x = a /b inversible dans Z p. Par suite tout élément de J p k peut s écrire xy avec y Z p et donc appartient à I. Ainsi J p k I puis =. Finalement les idéaux de Z p sont les J p k avec k N. Exercice 12 : [énoncé] a) I A et 0 I. Soient a A et x I Si a = 0 alors ax = 0 I. Pour a 0, supposons (ax) 1 A. On a alors a 1 x 1 A et donc x 1 = a(a 1 x 1 ) A ce qui est exclu. Nécessairement (ax) 1 / A et donc ax I. Soient x, y I. Montrons que x + y I. Si x = 0, y = 0 ou x + y = 0, c est immédiat. Sinon : On a (x + y) 1 (x + y) = 1 donc (x + y) 1 (1 + x 1 y) = x 1 et (x + y) 1 (1 + xy 1 ) = y 1 (*) Par l hypothèse de départ, l un au moins des deux éléments x 1 y ou xy 1 = (x 1 y) 1 appartient à A. Par opérations dans A à l aide des relations (*), si (x + y) 1 A alors x 1 ou y 1 appartient à A ce qui est exclu. Ainsi (x + y) 1 / A et donc x + y I. Finalement I est un idéal de A. b) Soit J un idéal de A distinct de A. Pour tout x J, si x 1 A alors par absorption 1 = xx 1 J et donc J = I ce qui est exclu. On en déduit que x 1 / A et donc x I. Ainsi J I. Exercice 13 : [énoncé] Soit x A avec x 0 A. Il suffit d établir que x est inversible pour conclure.

6 [ édité le 10 juillet 2014 Corrections 6 Pour chaque n N, x n A est un idéal. Puisque l anneau A ne possède qu un nombre fini d idéaux, il existe p < q N tels que x p A = x q A. En particulier, puisque x p x p A, il existe a A tel que On a alors x p = x q a x p (1 A x q p a) = 0 A L anneau A étant intègre et sachant x 0 A, on a nécessairement On en déduit que x est inversible avec x q p a = 1 A x 1 = x q p 1 a