DEVOIR SURVEILLE DE MATHEMATIQUES 3 heures Probabilités conditionnelles - Suites géométriques - fonctions exponentielles Calculatrice autorisée

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1 DEVOIR SURVEILLE DE MATHEMATIQUES 3 heures Probabilités coditioelles - Suites géométriques - foctios epoetielles Calculatrice autorisée Termiale ES123 Eercice 1 : 5 poits Partie A : Ue agece de locatio de voitures propose trois types de véhicules cabriolet, utilitaire ou prestige. Ue assurace facultative correspodat à ue suppressio totale de frachise e cas de dommage est proposée au momet de la locatio. Ue étude statistique a permis d'établir que : 60 % des cliets louet u cabriolet et 10% louet u véhicule de prestige. 21 % des cliets ot loué u véhicule utilitaire et ot souscrit u cotrat d'assurace. 40 % des cliets qui ot loué u cabriolet souscrivet u cotrat d'assurace. 54 % des cliets souscrivet u cotrat d'assurace. O prélève au hasard la fiche d'u cliet et o cosidère les évèemets suivats : C l'évèemet «le cliet a loué u cabriolet». P l'évèemet «le cliet a loué u véhicule de prestige». U l'évèemet «le cliet a loué u véhicule utilitaire». A l'évèemet «le cliet a souscrit u cotrat d'assurace». 1) A l aide des évèemets aisi défiis et de l étude statistique, o peut affirmer que p C 0, 6 Traduire de la même maière les quatre autres probabilités déduites de l étude statistique. 2) Costruire u arbre podéré décrivat la situatio. 0,4 A C 0,6 0,6 0,1 0,9 A P 0,1 0,3 0,7 A U 0,3 3) Calculer la probabilité que la fiche soit celle d'u cliet ayat loué u véhicule utilitaire.

2 4) La fiche est celle d'u cliet ayat loué u véhicule utilitaire. Détermier la probabilité qu'il ait souscrit u cotrat d'assurace. E déduire la probabilité qu'u cliet ayat loué u véhicule de prestige ait souscrit u cotrat d'assurace. D après la formule des probabilités totales, 5). a) Eprimer à l'aide d'ue phrase l'évèemet P A. P A est l évèemet qu u cliet a loué u véhicule de prestige et a souscrit u cotrat d assurace. p P A 0,. b) Motrer que 09 c) Détermier la probabilité que la fiche soit celle d'u cliet ayat loué u véhicule de prestige sachat qu'il a souscrit u cotrat d'assurace. Partie B : O choisit maiteat 10 cliets au hasard qui redet leur véhicule. O suppose le ombre de cliets est suffisammet importat pour que les prélèvemets soiet cosidérés de faço idépedate et das des coditios idetiques. O rappelle que la probabilité pour souscrire u cotrat est de 0,54. O ote X la variable aléatoire qui comptabilise le ombre de souscriptios de cotrats d assuraces réalisés. 1) Justifier que la variable aléatoire X suit ue loi biomiale dot o doera les paramètres Epreuve de Beroulli : «le cliet a souscrit u cotrat d assurace» est u succès de probabilité 0,54. O répète 10 fois cette épreuve das des coditios d idépedace. Alors la variable aléatoire X suit la loi biomiale de paramètres =10 et p=0,54, c est-à-dire B(10 ; 0,54). 2) Quelle est la probabilité que trois d'etre eu eactemet aiet souscrit u cotrat d'assurace? 3) Quelle est la probabilité qu au mois 9 d etre eu aiet souscrit u cotrat

3 Eercice 2 : 5 poits Le 1 er javier 2000, u cliet a placé 3000 à itérêts composés au tau auel de 2,5%. O ote C le capital du cliet au 1 er javier de l aée 2000+, où est u etier aturel. 1) Calculer C 1 et C 2. Arrodir les résultats au cetime d euro. 2) Eprimer C 1 e foctio de C. E déduire que, pour tout ombre etier aturel, o a la relatio C , 025 est ue suite géométrique de raiso 1,025 et premier terme 3000 alors. 3) O doe l algorithme suivat Etrée Saisir u ombre S supérieur à 3000 Traitemet Affecter à la valeur 0. Iitialisatio Affecter à U la valeur 3000 Iitialisatio Tat que U S faire N pred la valeur +1 U pred la valeur U 1, 025 Fi Tat que Sortie Afficher le ombre a) Pour la valeur S=3300 saisie, recopier et compléter autat que écessaire le tableau suivat. Les résultats serot arrodis à l uité. Valeur de Valeur de U , , ,44 Coditio U S vrai vrai vrai vrai fau b) E déduire l affichage obteu quad la valeur de S saisie est L affichage obteu est c) Das le cotete de cet eercice, epliquer commet iterpréter le ombre obteu e sortie de cet algorithme quad o saisit u ombre S supérieur à Le ombre obteu e sortie de cet algorithme est l aée où le cliet dépasse la somme S.

4 4) Au 1 er javier 2013, le cliet avait besoi d ue somme de Moter que le capital de so placemet est pas suffisat à cette date. Au 1 er javier 2013 le cliet aura 5) Détermier, e détaillat la méthode, à partir du 1 er javier de quelle aée le cliet pourrait avoir so capital iitial multiplié par 10. O veut tel que. A l aide de la calculatrice : 93 9, ,19

5 Eercice 3: QCM Soit f ue foctio défiie sur [-1 ;4] par f. O ote F ue primitive de f. 3 2 a. F 1,5 3,5 2 b. F 4 F 1 5 4,5 3 2 c. F 0 2 d. F 3,5 Parmi les affirmatios suivates, laquelle est vraie? a. la foctio 45 1, 2 est strictemet croissate sur b. La courbe représetative de la foctio c. d. 1,8 1,8 0,1 2,3 1,2 5 1,8 0,1 2 1,1 0, 3 coupe l ae des abscisses Pour tout ombre réel a et b, parmi les égalités suivates, laquelle est vraie? a b a b a b a. e e e b. e e e c. e e e d. e e a e b

6 Eercice 4 : Soit f la foctio défiie sur 5 poits 5;2 par f 2 3 e 1) Etude des variatios de f. a. Le logiciel Xcas doe la dérivée f de la foctio f. Détailler toutes les étapes du calcul de f pour arriver au résultat proposé.. Sa courbe représetative est otée C f b. Étudier le sige de f selo les valeurs de Sige de f c. Dresser le tableau des variatios de f sur 5; f() 2) Compléter sur cette feuille à l aide de la calculatrice le tableau de valeurs suivat o arrodira à 10-2 : f -0,09-0,20-0,45-0,95-1, ,72 7,39 3) Tracer C f das le repère orthoormé d uité 1 cm doé ci-dessous. ( O placera chaque poit du tableau précédat sas oublier le poit correspodat au miimum de la foctio).

7 4) Détermier ue équatio de la tagete T à la courbe C f au poit d'abscisse 0. Tracer T das le repère. La tagete T : 5) Motrer que l'équatio f 5 admet ue solutio uique α das l'itervalle 1 ;2 À l'aide de la calculatrice, détermier ue valeur arrodie à 10-2 près de α. admet ue solutio uique α das l itervalle [1 ; 2] car premièremet das cet itervalle, f est strictemet croissate. Deuièmemet les foctios et sot cotiues et doc f aussi. Derièremet, alors d après le théorème des valeurs itermédiaire, il eiste ue solutio uique das l itervalle [1 ; 2]. A l aide de la calculatrice, o trouve les ecadremets suivats : Alors, α=1,88 à 0,01 près.

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