Partie A 1/ a) Déterminer les affixes des vecteurs AB et AD. b) Que peut-on en déduire pour les points A, B et D? AM BM

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1 D E V O I R S R V E I L L E MTIERE : MTHEMTIQES Esgmt sécfqu LSSE d : Trmals S S & S SLLE : PROFESSER : Mms GIHENEF GILLEVI ROXEL DTE : Mrcrd mars HERE Début : h HERE f : h MTERIEL TILISE : LLTRIE TORISEE OI NON Ral : Tous ls rêts échags t sorts d documts sot strctmt trdts durat ls dvors tout élèv dot révor l matérl dot l a bso EXERIE N r r L la coml st mu d u rèr orthoormal drct ( O;uv) O désg ar t D ls ots d affs rsctvs : z ; z ; z ; zd Part / a) Détrmr ls affs ds vcturs t D b) Qu ut-o dédur our ls ots t D? z z / a) alculr b) E dédur la atur du tragl z z Part O cosdèr l alcato f qu à tout ot M d aff z dstct d assoc l ot M ' d aff z ' tll qu : z' / Sot E l ot d aff ze Détrmr l aff du ot E ' mag du ot E ar f / Motrr qu l st u uqu ot M dot l mag ar l alcato f st l ot d aff / Démotrr qu our tout ot M dstct du ot M OM ' M / Démotrr qu our tout ot M dstct du ot t du ot o a l égalté : ( ;OM') ( M ; M) [ π] ( z ) u r π / Démotrr qu s l ot M aartt à la médatrc du sgmt [ ] alors l ot M ' aartt à u crcl dot o récsra l ctr t l rao z EXERIE N Juls Ta décd d lus fumr Et aujourd hu ( r jour d l étud ) l st arvu! Mas our la sut o admt qu : - S l fum as u jour doé alors la robablté qu l fum as l ldma st - S l fum u jour doé alors la robablté qu l fum as l ldma st O s dmad commt l comortmt d J Ta va évolur t qulls sot ss chacs d réusst O désg our IN* l évémt S : «Juls fum as l èm jour» t o ot la robablté d S / Illustrr ls chacs d réalsato d S sur ls jours cosécutfs t ar u arbr odéré tl qu clu doé c-cotr ( à rcor t comlétr sur votr co ) : / a) Dor la valur d b) Etablr our IN* qu : S / a) Pour IN* o os q Motrr qu la sut ( q) st géométrqu S b) E dédur q us focto d our * S / Etudr s ls affrmatos suvats sot vras ou o Justfr la réos a) La sut ( ) st crossat b) Pour tout IN* la robablté rst suérur à c) Pour suffsammt grad st très vos d d) dès qu S S S

2 EXERIE N Sot ( u ) la sut déf ar : u d Sot / a)motrr qu : f ( ) our tout rél d [ ; ] our tout tr aturl b) alculr la valur d u / a) Motrr qu u our tout tr aturl u b) Etudr l ss d varato d la sut ( ) c) Justfr qu la sut ( ) u st covrgt / a) Motrr qu : u our tout tr aturl u b) E dédur la lmt d la sut ( ) f la focto déf sur [ ; ] ar : f ( ) EXERIE N O a rrésté la courb f d f das l rèr orthoormé c-cotr Sot f la focto déf sur ] ; [ ar : f( ) ( l ) / a) ojcturr l ss d varato d f sur ] ; [ us l démotrr b) ojcturr l sg d f sur ] ; [ us l démotrr c) ojcturr la lmt d f t us ls calculr / Sot F la focto déf sur ] ; [ ar : F( ) l Motrr qu F st u rmtv d f sur [ ; [ / Sot a u rél d l trvall ] ; ] O ot l ar uté d ar du doma délmté ar la courb f ls drots d équatos a t a) Ermr focto d a b) alculr la lmt d quad a td vrs Itrrétr c résultat / Sot b u rél d l trvall [ ; [ O ot l ar uté d ar du doma délmté ar la courb f ls drots d équatos b t a) Ermr focto d b b) Pour qull valur d b a-t-o :?

3 D E V O I R S R V E I L L E MTIERE : MTHEMTIQES Esgmt d Sécalté LSSE d : Trmals S S & S SLLE : PROFESSER : Mms GIHENEF GILLEVI ROXEL DTE : Mrcrd mars HERE Début : h HERE f : h MTERIEL TILISE : LLTRIE TORISEE OI NON Ral : Tous ls rêts échags t sorts d documts sot strctmt trdts durat ls dvors tout élèv dot révor l matérl dot l a bso EXERIE N r r L la coml st mu d u rèr orthoormal drct ( O;uv) O désg ar t D ls ots d affs rsctvs : z ; z ; z ; zd Part / a) Détrmr ls affs ds vcturs t D b) Qu ut-o dédur our ls ots t D? z z / a) alculr b) E dédur la atur du tragl z z Part O cosdèr l alcato f qu à tout ot M d aff z dstct d assoc l ot M ' d aff z ' tll qu : z' / Sot E l ot d aff ze Détrmr l aff du ot E ' mag du ot E ar f / Motrr qu l st u uqu ot M dot l mag ar l alcato f st l ot d aff / Démotrr qu our tout ot M dstct du ot M OM ' M / Démotrr qu our tout ot M dstct du ot t du ot o a l égalté : ( ;OM') ( M ; M) [ π] ( z ) u r π / Démotrr qu s l ot M aartt à la médatrc du sgmt [ ] alors l ot M ' aartt à u crcl dot o récsra l ctr t l rao z EXERIE N O souhat étudr u oulato d'osau mgraturs étud mé javr a motré qu'u quart d la oulato séjourat das la régo ord D'u mos sur l'autr % ds osau du sud artt vrs l ord t % ds osau du ord mgrt vrs l sud O ot N ( rsctvmt S ) la roorto d'osau vvat das la régo ord ( rsctvmt das la régo sud ) mos arès l mos d javr our tout N O ot la matrc colo : S / Idqur la matrc colo corrsodat au roortos d'osau vvat au ord t au sud javr / Dor l grah robablst assocé à ctt stuato / a) Précsr la matrc t justfr l'égalté : avc tr aturl b) E dédur l'rsso d focto d t Justfr clarmt la réos c) l'ad d la calculatrc détrmr la roorto d'osau vvat au ord t au sud jullt ( o dora ls valurs arrods à % rès ) / Détrmr l'état stabl S assocé à ctt stuato

4 / O os : t Das tous ls calculs qu suvt o vllra à travallr avc ls valurs acts autrmt dt ls coffcts ds matrcs srot doés sous form d fractos a) alculr t détrmr l rél λ tl qu : λ b) alculr t omarr t E dédur qu : λ c) Motrr ar récurrc qu our tout * λ d) E dédur ls valurs d N t S focto d our tr aturl o ul ) Qu ut-o dr quat à la roorto d'osau das chacu ds régos au bout d'u grad ombr d mos? EXERIE N Sot ( u ) la sut déf ar : u d Sot / a)motrr qu : f ( ) our tout rél d [ ; ] our tout tr aturl b) alculr la valur d u / a) Motrr qu u our tout tr aturl u b) Etudr l ss d varato d la sut ( ) u st covrgt / a) Motrr qu : u our tout tr aturl u c) Justfr qu la sut ( ) b) E dédur la lmt d la sut ( ) f la focto déf sur [ ; ] ar : f ( ) EXERIE N O a rrésté la courb f d f das l rèr orthoormé c-cotr Sot f la focto déf sur ] ; [ ar : f( ) ( l ) / a) ojcturr l ss d varato d f sur ] ; [ us l démotrr b) ojcturr l sg d f sur ] ; [ us l démotrr c) ojcturr la lmt d f t us ls calculr / Sot F la focto déf sur ] ; [ ar : F( ) l Motrr qu F st u rmtv d f sur [ ; [ / Sot a u rél d l trvall ] ; ] O ot l ar uté d ar du doma délmté ar la courb f ls drots d équatos a t a) Ermr focto d a b) alculr la lmt d quad a td vrs Itrrétr c résultat / Sot b u rél d l trvall [ ; [ O ot l ar uté d ar du doma délmté ar la courb f ls drots d équatos b t a) Ermr focto d b b) Pour qull valur d b a-t-o :?

5 EXERIE N ORRETION Part / a) z z z t z z z 8 z b) O dédut : D Par coséqut ls ots t D sot algés z z ( ) / a) z z z z b) O dédut : z z D ( ) D z z doc Et ( ) ; arg [ π] arg()[ π] [ π] z Doc ( ) ( ) O dédut qu l tragl st rctagl socèl Part ( z ) O cosdèr l alcato f qu à tout ot M d aff z dstct d assoc l ot M ' d aff z ' tll qu : z' z ( ze ) ( ) ( ) ( )( ) / Sot E l ot d aff ze ze' z E ( z ) z / Résolvos l'équato : z' qu dvt : us sot z z doc z z z sot z zd Par coséqut D st l'uqu ot dot l mag ar l alcato f st l ot d aff ( z ) / O cosdèr l'égalté : z' z ( z ) z zm z M E trms d moduls ll dvt : OM ' z' z z z z M E trms d'argumts ll dvt : ( u r ;OM ') arg( z' )[ π] z M ( z ) z [ π ] arg () arg [ π] arg z z π z z M arg [ π] zm z π ( M ; M)[ π] M M / S M aartt à la médatrc d [ ] alors M M t or OM ' doc OM ' O dédut qu M ' M M aartt au crcl d ctr O d rao EXERIE N π / Vor c-cotr / a) car Juls st arvu aujourd'hu à as fumr b) ( S ) ( S S ) ( S S ) ( S ) P ( S ) ( S ) P ( S ) S S ( ) / a) O os q alcul : q S S S S S S

6 Sot q q Doc la sut ( ) q st géométrqu d raso b t d rmr trm : q b) O dédut : b q q O a alors : / a) > ; > * t < doc < * : ( ) st décrossat b) > * doc > > * Doc rst suérur à * c) Lm car ] [ Doc Lm us Lm Pour suffsammt grad st très vos d d) dvt : us t sut ( ) l l us ( ) l l t f : l l sot Par coséqut dès qu EXERIE N Sot ( ) u la sut déf ar : d u Sot f la focto déf sur [ ; ] ar : ( ) f / a) alcul : ( ) f our tout rél d [ ; ] our tout tr aturl b) ( ) [ ] ( ) ( ) l l l l d d d u / a) O a : d u Or : > [ ] Doc > [ ] D lus [ ] t Doc [ ] t Itégros ctt égalté : d b) alcul : ( ) d d d d u u O a déjà établ qu [ ] t D lus < [ ]

7 ( ) O dédut : [ ] t ( ) Itégros ctt égalté : d sot u c) La sut ( ) l u La sut ( ) u st décrossat t st moré ar alors d'arès théorèm d covrgc ( ) u st décrossat u covrg vrs u rél l tl qu / a) S alors us sot Pus doc Pusqu [ ] alors our tout tr aturl t doc [ ] t Itégros ctt égalté : d d sot u qu amè : u b) Lm D'arès l théorèm ds gdarms usqu u : Lm u EXERIE N Sot f la focto déf sur ] ; [ ar : f( ) ( l ) / a) La focto f smbl crossat sur ] ] us décrossat sur [ [ Démostrato : alcul : f '( ) ( l ) l l Tablau d sgs : La focto f st b crossat sur ] ] us décrossat sur [ [ b) La focto f smbl ostv sur ] ; ] us égatv sur [ ; [ Démostrato: O rall : f( ) ( l ) or l > s > l s > O dédut l tablau d sgs : La focto f st ostv sur ] ; ] us égatv sur [ ; [ c) La lmt d f smbl êtr t la lmt smbl êtr Démostrato : f l l Or Lm t Lm l f l f '( ) l f ( ) ( ) ( ) ( ) ( l ) Or Lm t / Sot F la focto déf sur ] ; [ ar : F( ) l doc ar somm : Lm f ( ) Lm l doc ar rodut : Lm f( )

8 alcul : F '( ) l l l ( l ) f( ) Doc F st u rmtv d f sur [ ; [ a a a a la / a) f( ) d [ F( ) ] a l la a ( Rmarqu : o a b f ( ) [ a ] ) a a la b) Lm t Lm doc ar somm : Lm L ar uté d ar du doma délmté ar la courb f ls a a a drots d équatos t st égal à b b b b b l b b / a) f( ) d[ F( ) ] l b l ( Rmarqu : o a b f ( ) [ b ] ) b) Résolvos : c qu do : b b l b us ( l b) b doc qu mlqu b ( mossbl car b > ) ou l b Doc b : Valur d b rchrché b ou l b

9 ORRETION EXO SPEILITE / étud mé javr a motré qu'u quart d la oulato séjourat das la régo ord O dédut : / L grah robablst st : / a) O dédut qu : avc tr aturl t 8 9 b) Motros qu : our tout tr aturl Motros qu la rlato doé st vra our Id Suosos qu la rlato sot vra our l rag motros qu ll rst vra our l rag La rlato st vra our t ll st hérédtar doc our tout tr aturl c) Jullt corrsod à Or 8 8 Par coséqut jullt 8 % ds osau sot das la régo ord t 8 % ds osau sot das la régo sud / L état stabl d ctt stuato vérf S S avc S t S S dvt : 8 9 us 8 9 doc 9 t 8 s du équatos sot équvalts à : sot Résolvos : qu dvt : us t Doc : S / O os : t a) O dédut b) alcul : 9 O t 9 O D lus doc alcul : ( ) O O car t c) Motrr ar récurrc qu our tout * λ Motros qu la rorété st vra our : N S 9 8

10 Suosos qu la rorété sot vra our Motros qu'll rst vra our l rag : ( ) ( ) O O λ λ λ λ λ λ L'égalté st vra our t ll st hérédtar doc : our tout * λ d) λ lors : 8 O dédut : N 8 t S our tout tr aturl o ul ( rmarqu : ls rlatos sot vras avc ) ) Lm doc 8 N Lm t S Lm O rtrouv ls coffcts d l'état stabl!! La roorto d'osau das chacu ds régos au bout d'u grad ombr d mos td vrs / au ord / au sud!