Suspension d un liquide par un tube capillaire vertical et de révolution

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1 Suspension d un liquide par un tube capillaire vertical et de révolution É. Mathieu To cite this version: É. Mathieu. Suspension d un liquide par un tube capillaire vertical et de révolution. J. Phys. Theor. Appl., 1884, 3 (1), pp < /jphystap: >. <jpa > HAL Id: jpa Submitted on 1 Jan 1884 HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of scientific research documents, whether they are published or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. L archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

2 82 tendus, tels que les modifications produites à température cons stante sous l influence prolongée de la chaleur; il se prête aussi à la détermination de la marche de ces transformations dans des circonstances diverses, et il lu a conduit à mettre en évidence une variété cristalline qui avait j usqu ici échappé aux investigation dirigées par les divers autres procédés. Ces résultats m excuseront peut-être près du lecteur de ravoir retenu si sur longuement les particularités nombreuses de cette étude. SUSPENSION D UN LIQUIDE PAR UN TUBE CAPILLAIRE VERTICAL ET DE RÉVOLUTION; PAR M. É. MATHIEU (1). la SLII face lntérlellre du tube soit de révolu- Les surfaces inférieure 1. Supposons que tion et qu elle ait son axe vertical (fig. 1). Fig. 1. et supérieure BCB et AC A. du liquide suspendu dans ce tube seront aussi de révolution autour du méme axe. Désignons respectivement par z et z les hauteurs des points des surfaces BCB et AC A au-dessus d un plan horizontal. Si R, R, et R, Rfl sont les rayons de courbure principaux en un point quelconque de ces surfaces on aura Je dis qu on doit prendre la même constante le dans ces deux ( ) Ce Mémoire et le suivant sont extraits de la Théorie de la capillarité que M. É. Matlneu vient de publier (in-1 de igi p.; Gautliier-Villars, 1883). Article published online by EDP Sciences and available at

3 équations. En effet, désignons par deux sommets C et C et par y et y les rayons points ; 83 A et Iz les valeurs de z et z aux de courbure en ces ou car cette équation exprime que le poids d un filet vertical liquide, compris entre les deux sommets est égal à la différence d action des deux ménisques qui terminent ce filet. Or Inéquation (2) se déduit des équations (i) retranchées l une de l autre, et montre qu il fallait prendre la même constante li dans ces deux équations. Suspension d un liquide dans un tube cylinclrique vertical. 2. Si l on applique la théorie au précédente cas oû le tubc est cylindrique, les deux ménisques tournés en sens contraires sont alors identiques et, en faisant y == Y dans l équation (2), on Fig. 2. trouve h == h. L équilibre de la goutte ne serait donc plus possible. L expérience prouve cependant qu une petite quantité de liquide peut rester suspendue dans un tube cylindrique vertical si le tube n est pas mouillé intérieurement au-dessous du ménisque inférieur, et l on ne peut expliquer ce désaccord qu en admettant un frottement du liquide contre le tube. Le frottement du liquide sur le tube étant supposé du méme ordre de grandeur que la cohésion, le liquide tendra à tomber en C, mais sera retenu en B près de la paroi (jig. 2); le ménisque

4 84 inférieur s afl aissera donc et l angle de raccordement augmenter. Désignons par 1 la longueur AB comprise entre les bords des inénisclues ; si le liquide a un mouvement suivant l axe du tube, la force de frottement contre le tube sera f étant un coefficient. Imaginons un déplacement vertical et descendant de trans- les deux surfaces. lation commun à tout le liquide, et, en regardant ACA, B C B comnle sphériques, ou i et i étant les angles aigus de raccordement des surfaces supérieure et inférieure avec la paroi. Quand il y aura égalité entre les deux membres, la valeur de 1 représentera la longueur maximum de la colonne liquide qui peut rester suspendue. Réciproquement, si l on détermine, cette longueur maximum par l expérience, on en conclura la valeur de f. Désignons par 2 r r lf la résistance opposée par le frottement pour empêcher le mouvement; en représentant, pour ahréger, par H la quantité mise entre crocliets dans l inégalité (a). Considérons un filet vertical H B A I à section droite rectangulaire, dont un des côtés ds est sur la surface du tube. Désignons par P le poids de ce filet, par V la composante verticale de la différence d action des deux ménisques qui terminent le filet et par D la différence de l action verticale du tube sur ces deux ménisques ; Or P ==- Bl pour tous les filets verticaux, et cette égalité a encore lie u tout près de la paroi ; on a donc

5 - z Ensuite la partie du tube en contact avec le filet produit à la surface supérieure la composante verticale g p a2 cos i ds et à la surface inférieure la composante verticale (1 ) On a donc pour la quantité D g p a2 cos i ds. 85 et l on déduit de l équation (c) En comparant (b) et (d), om a Supposons H remplacé par sa valeur; la longueur 1 est connue par l expérience et l angle i est aussi connu : cette équation servira à déterminer l angle i de raccordement de la surface BCB avec le tube. 1 des surfaces des mé- 3. z et z étant les distances d un point nisques supérieur et inférieur à un point horizontal, nous avons La longueur 1 de la colonne comptée entre les bords des ménisques - est égale à la valeur de z pour x == 1 ; ainsi nous avons Cette équation ne renferme pas d inconnues nouvelles et sera impossible. Mais admettons que le liquide ait une viscosité qui ne (1) hoir Chap. I, n 13, de l Ouvrage de M. Mathieu.

6 86 dans les deux soit pas négligeable; il ne faut plus alors supposer équations (i) que la constante k ait la même valeur. Changeons k en k dans l expression de z ;, au lieu de l équation (e), équation qui déterminera k - k. L équation (2) sera remplacée par et l on voit que g p (k - k ) indiquera la résistance opposée par la viscosité pour contribuer à l équilibre. MODIFICATION DE LA POUSSÉE D UN LIQUIDE PAR LES FORCES CAPILLAIRES; PAR M. É. MATHIEU. 1. Soient PQ (fig. 1) le plan de niveau et u3 le cercle auquel le liquide, ient affleurer sur le corps de révolution AEBD, dont l axe AB est vertical. Désignons par u l angle du plan tangent au corps le long du cercle ab avec le plan de niveau et par i l angle de raccordement F pi. Il existe en chaque point b du cercle ab une force de tension dirigée suivant la tangente bi au méridien bh du liquide, et sa composante verticale sera et, si nous désignons par r le rayon du cercle ab, la portion du liquide voisine de ce cercle produit une force verticale, agissant de haut en bas et égale à Évaluons ensuite la pression hydrostatique provenant du reste du liquide qui entoure le corps solide. La pression normale sur un élément de surface do, appartenant