La cinématique Chapitre 6. La cinématique du point

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1 La cinématique du point Objectif : Utiliser des démarches et des méthodes permettant de décrire et de caractériser les mouvements (trajectoire, vitesse et accélération) de tous les points des solides d un système. Nom : Prénom : Classe : Table des matières 1 Introduction Le Référentiel Les Repères La position, la vitesse et l accélération La trajectoire Les mouvements Les équations horaires de mouvement L équiprojectivité Le Centre Instantané de Rotation (CIR) La composition des vecteurs vitesses P a g e 1 19

2 1 Introduction 1.1 Définition La cinématique est la partie de la mécanique qui étudie le mouvement des corps, indépendamment des efforts qui les produisent. Les objectifs sont la détermination des grandeurs cinématiques telles que les vecteurs accélération, vitesse, position et l'équation horaire de la trajectoire de ce point par rapport à un référentiel choisi par l'observateur. 1.2 Hypothèses En cinématique, les solides étudiés sont supposés indéformables. Un solide peut être défini comme un ensemble de points dont les distances respectives restent inchangées au cours du temps. Une pièce mécanique (S) peut être considérée comme un solide indéformable si quels que soient les points A et B appartenant à (S) la distance AB reste constante au cours du temps. A et B (S), t, AB = constante P a g e 2 19

3 2 Le Référentiel L'étude du mouvement d'un point implique nécessairement la présence d'un observateur qui analyse le mouvement de ce point. Suivant la position de l'observateur par rapport à l'objet en mouvement ses conclusions quant à la nature du mouvement seront très variables. 2.1 Définition Le référentiel est un système de coordonnées permettant de situer un événement dans l espace et dans le temps. Le référentiel est l emplacement de l observateur. Il est constitué idéalement d un repère d espace et d un repère de temps. Exemple : Ainsi dans un train qui se déplace en ligne droite à vitesse constante un passager qui lâche verticalement une bille conclut que la bille a un mouvement rectiligne (la bille tombe droit). La personne qui est sur le quai et qui observe la même scène lorsque le train passe devant elle conclut que le mouvement n'est pas rectiligne et pourtant il s'agit bien de la même bille. Le mouvement d'un point est donc relatif à un observateur fixe dans un référentiel d'étude. Dans le langage courant, le référentiel est rarement précisé car il est implicite. Lorsqu'on dit qu'un véhicule roule à vitesse constante il est sous-entendu que c'est par rapport à la route. Le passager, assis dans le véhicule peut dire qu'il est immobile : on comprendra que c'est par rapport au véhicule. En mécanique, pour qu'il n'y ait pas de doute possible, il est impératif de préciser par rapport à quoi l'étude du mouvement sera effectuée c'est à dire indiquer le référentiel choisi. Ce référentiel est constitué par tout ce qui est fixe par rapport à l'observateur. P a g e 3 19

4 3 Les Repères L'étude cinématique du mouvement d'un point revient à pouvoir répondre aux questions «où?» (où se trouve le point?) et «quand?» (à quel moment dans le temps?). Pour répondre à ces questions il est nécessaire de définir un repère d'espace et un repère de temps. 3.1 Le repère d espace Un repère d'espace est défini par une origine O qui est fixe dans le référentiel et des axes de référence orthonormés c'est-à-dire orthogonaux et munis d'une unité de longueur (vecteur unitaire de norme égale à 1) qui vont permettre à l'observateur de juger dans quelle direction se trouve le point. Les trois axes forment un trièdre direct. L'étude du mouvement dans un plan nécessite 2 axes (Ox, Oy) et dans l'espace 3 axes (Ox, Oy, Oz). À chacun de ces axes est associé un vecteur unitaire respectivement u x, u y et u z. Les vecteurs (u x, u y, u z ) forment une base orthonormée. 3.2 Le repère de temps Un repère de temps est constitué d'une origine des temps fixée par l'observateur et d'une durée unitaire fixant une chronologie. À chaque instant, on associe un nombre réel t appelé date qui correspond à la durée écoulée depuis l'instant origine t 0. En mécanique classique ou newtonienne, on postule que le repère de temps est le même pour tous les référentiels et que le temps s'écoule de la même manière dans des référentiels en mouvement les uns par rapport aux autres. P a g e 4 19

5 4 La position, la vitesse et l accélération 4.1 La position Lorsqu un point matériel M est mobile par rapport à un repère R 0, on peut caractériser sa position par le vecteur position OM (t). O étant l origine du repère R 0 et t l unité du temps. Le vecteur position OM (t) peut s écrire sous les formes suivantes : x(t) OM (t) = x(t). x + y(t). y + z(t). z = y(t) z(t) Les variables x(t), y(t) et z(t) sont les coordonnées du point M dans le repère R 0 en fonction du temps t. R La vitesse La vitesse moyenne La vitesse moyenne V est le rapport d une distance sur un temps. V = d t f t i = d t = distance parcourue temps pour parcourir cette distance La vitesse moyenne ne décrit pas complètement un mouvement. En effet, elle ne prend pas en compte les arrêts, retours en arrière, P a g e 5 19

6 La vitesse instantanée La vitesse du point M par rapport au repère R 0 est, par définition la dérivée par rapport au temps du vecteur position défini dans le repère R 0 est peut-être caractérisé par le vecteur vitesse V M/R0 (t). V M/R0 (t) = [ dom x (t) (t) = x (t). x + y (t). y + z (t). z = y (t) dt ]R 0 z (t) R 0 Les caractéristiques de ce vecteur vitesse sont : Exemple : V M/R0 (t) Point d application M Direction Tangent à la trajectoire Sens Celui du mouvement { Norme V M/R0 (t) = x (t) 2 + y (t) 2 + z (t) L accélération L accélération du point M par rapport au repère R 0 est, par définition la dérivée par rapport au temps du vecteur vitesse défini dans le repère R 0, c'est-à-dire aussi à la dérivée seconde du vecteur position et peut-être caractérisé par le vecteur accélération a M/R0 (t). a M/R0 (t) = [ dv M/R 0 (t) d 2 OM x (t) (t) = [ = x (t). x + y (t). y + z (t). z = y (t) dt dt ]R ]R0 0 z (t) R 0 P a g e 6 19

7 5 La trajectoire On appelle trajectoire du point (M) d un solide (S) l ensemble des positions occupées successivement par ce point, au cours du temps, au cours de son déplacement par rapport à un référentiel donné. En représentant graphiquement dans un repère la courbe correspondant aux équations x(t), y(t), z(t) du vecteur position OM (t), on obtient la trajectoire du pt M. Notation : T M S/R = trajectoire du point M appartenant à S, par rapport au repère R. Exemple 1 : La trajectoire T A 1/0 correspond au trait tracé par le stylo. Exemple 2 : Soit une bicyclette en mouvement par rapport à un repère R 0 considéré comme un repère fixe. Soit A le point de contact entre la roue 1 et le sol 0. Soit B le centre de l articulation entre la roue 1 et le cadre 2. Soit C un point appartenant à une poignée de frein. P a g e 7 19

8 6 Les mouvements 6.1 Définition Un mouvement, dans le domaine de la mécanique (physique), est le déplacement d'un corps par rapport à un point fixe de l'espace et à un moment déterminé. On distingue deux types de mouvements : Le mouvement absolu : mouvement d'un corps considéré par rapport au référentiel absolu qui est «fixe» (La terre peut être assimilée avec une très bonne approximation à un référentiel absolu). Le mouvement relatif : mouvement d'un corps considéré par rapport à un autre référentiel quelconque (qui n'est pas une simple translation du référentiel absolu), qui n'est pas «fixe». Parmi l ensemble des mouvements possibles, on retrouve certains mouvements particuliers : P a g e 8 19

9 6.2 Le mouvement plan Un solide exécute un mouvement plan lorsque tous les points qui le constitue se déplace dans des plans parallèles entre eux. Cette schématisation permet de rassembler dans une même catégorie la plupart des mouvements de solides rencontrés en technologie. 6.3 La translation Lorsqu un solide est en translation, chaque ligne de celui-ci se déplace parallèlement à sa position initiale au cours du temps. Propriétés Tous les points du solide en translation ont des trajectoires identiques. Tous les points du solide ont même vitesse v. Tous les points du solide ont même accélération a. Le mouvement de translation d un solide est complètement défini par le mouvement de n importe quel point. P a g e 9 19

10 Les cas particuliers La translation rectiligne : Les trajectoires des points sont des segments de droites parallèles. La translation circulaire : Les trajectoires des points sont des courbes géométriques quelconques identiques du plan. Le champ des vecteurs vitesses du solide en translation : Quel que soit A, B appartenant à S, à chaque instant tous les vecteurs vitesse d un solide en translation sont équipollents (même norme, même sens, supports parallèle) P a g e 10 19

11 6.4 La rotation Un solide est en rotation si tous les points du solide décrivent des cercles concentriques centrés sur l axe du mouvement. Propriétés Tous les points du solide en rotation ont des trajectoires circulaires de même centre. Tous les points du solide ont la même vitesse angulaire ω. Tous les points du solide ont la même accélération angulaire α. Le champ des vecteurs vitesses du solide en rotation : Comme la vitesse angulaire ω est la même pour tous les points du solide, la vitesse linéaire V varie linéairement avec la distance R à l axe de rotation par la relation : V = ω R Le vecteur vitesse est quant à lui, tangentiel à la trajectoire. En technologie, la vitesse de rotation d un solide est souvent donné par N en tour/minutes à la place de ω en rad/s. La relation entre N et ω est la suivante : ω = 2π N 60 P a g e 11 19

12 7 Les équations horaires de mouvement 7.1 Le mouvement rectiligne uniforme (MRU) C est le mouvement le plus simple, l accélération est nulle (a=0) et donc la vitesse V est constante au cours du temps. Il est noté M.R.U. Soient : t 0 : instant initial x 0 : le déplacement initial, à t = t 0 (m) V = V 0 = constante : la vitesse initiale (m/s) x(t) : le déplacement à l instant t (m) P a g e 12 19

13 7.2 Le mouvement rectiligne uniformément varié (MRUV) Il sert de modèle à de nombreuses études simplifiées. Pour ces mouvements, accélérés (a>0) ou décélérés (a<0), l accélération reste constante au cours du temps. Il est noté M.R.U.V. Soient : t 0 : instant initial a = constante : l accélération (m/s²) x 0 : le déplacement initial, à t = t 0 (m) V 0 : la vitesse initiale, à t = t 0 (m/s) x(t) : le déplacement à l instant t (m) V(t) : la vitesse à l instant t (m/s) P a g e 13 19

14 7.3 Le mouvement circulaire uniforme (MCU) L accélération angulaire α ou θ est nulle, et donc la vitesse angulaire ω est constante. Ce mouvement est noté M.C.U. Soient : T 0 : instant initial θ 0 : l angle de rotation initial, à t = t 0 (rd) ω = ω 0 : la vitesse angulaire initiale, à t = t 0 (rd/s) θ(t) : l angle de rotation à l instant t (rd) P a g e 14 19

15 7.4 Le mouvement circulaire uniformément varié (MCUV) L accélération angulaire α ou θ est constante. Ce mouvement est noté M.C.U.V. Soient : t 0 : instant initial α = α 0 : l accélération angulaire (rd/s²) ω 0 : la vitesse angulaire initiale, à t = t 0 (rd/s) θ 0 : l angle de rotation initial, à t = t 0 (rd) θ(t) : l angle de rotation à l instant t (rd) ω(t) : la vitesse angulaire à l instant t (rd/s) P a g e 15 19

16 8 L équiprojectivité L équiprojectivité permet de déterminer le vecteur vitesse d un point quelconque d un solide en mouvement plan connaissant le support de ce vecteur vitesse et le vecteur vitesse d un autre point du solide. 8.1 Théorème Si A et B sont deux points distincts d un solide, la projection orthogonale de la vitesse de A sur (AB) est égale à la projection orthogonale de la vitesse de B sur (AB). V A R/R0. AB = V B R/R0. AB L utilisation de ce théorème ne s applique que si les deux points A et B appartiennent au même solide. Exemple : l échelle L échelle est appuyée en A sur un mur et en contact avec le sol en B. Elle glisse en A vers le bas à la vitesse de 0,5 m/s. Déterminer la vitesse en B par rapport au sol sachant que celle-ci appartient au plan du sol (direction x). Graphiquement : 1- On trace V A Echelle/Sol avec une échelle des vitesses (exemple 1cm=10m/s) 2- On projette le vecteur vitesse V A Echelle/Sol sur la droite (AB). On obtient le segment [AH]. 3- On reporte la longueur de projection au niveau du point B. On obtient le segment [BK]. Avec BK = AH. 4- Par projection sur la direction connue (ici x), on obtient le vecteur vitesse V B Echelle/Sol 5- Il ne reste plus qu à mesurer la longueur de puis la convertir avec l échelle des V B Echelle/Sol vitesses choisie Analytiquement : V A R/R0. AB = V B R/R0. AB V A R/R0. AB. cos 30 = V B R/R0. AB. cos 60 0,5. cos 30 = V B R/R0. cos 60 0,5. cos 30 V B R/R0 = = 0,866 m/s cos 60 P a g e 16 19

17 9 Le Centre Instantané de Rotation (CIR) Le Centre Instantané de Rotation (CIR) permet de déterminer la direction du vecteur vitesse d un point, connaissant les directions des vecteurs vitesses de 2 autres points du solide. 9.1 Théorème À chaque instant du mouvement plan d un solide, il existe un point I de ce plan, et un seul, ayant une vitesse nulle, ce point est appelé centre instantané de rotation (C.I.R.). Soient deux points A et B appartenant à (S) en déplacement par rapport à R 0. Le centre instantané de rotation se trouve à chaque instant sur la normale à la trajectoire T A d un point quelconque A R/R0. Il est situé également sur la normale à la trajectoire T B d un point quelconque B R/R0. Le C.I.R. se trouve donc à l intersection des normales aux vecteurs vitesses V A R/R0 et V B R/R0. Il permet de déterminer graphiquement la vitesse d un point quelconque de (S) à l instant t, à partir d une vitesse connue. Remarque : le CIR n est pas forcement situé sur la pièce. Exemple : l échelle Reprenons l exemple de l échelle de longueur AB=3m qui glisse en A avec une vitesse de 0,5 m/s. Graphiquement : 1- On trace V A Echelle/Sol avec une échelle des vitesses (exemple 1cm=10m/s) 2- On trace la perpendiculaire à V A Echelle/Sol au point A. 3- On trace la perpendiculaire à V B Echelle/Sol au point B. 4- L intersection des 2 perpendiculaires est appelée «CIR», il est souvent noté «I». 5- On place un point fictif A situer sur la droite (IB) tel que IA = IA. 6- On trace le vecteur vitesse V A Echelle/Sol dont la longueur est égale à celle de V A Echelle/Sol et la direction perpendiculaire à (IA ). 7- En prolongeant la droite (Ia ) sur la direction de V B Echelle/Sol on obtient le vecteur vitesse V B Echelle/Sol. 8- Il ne reste plus qu à mesurer la longueur de V B Echelle/Sol puis la convertir avec l échelle des vitesses choisie Analytiquement : ω = contante = V A R/R 0 IA = V B R/R 0 IB avec IA = IA = AB. cos 60 = 1,5m IB = AB. sin 60 = 2,6m ω = V A R/R 0 = 0,5 = 0,33 rad/s IA 1,5 V B R/R0 = ω. R = 0,33. 2,6 = 0,866 m/s = V A R/R 0 IA P a g e 17 19

18 10 La composition des vecteurs vitesses 10.1 Théorème Soit un solide en mouvement plan par rapport à deux repères R 1 et R 0. Le vecteur vitesse du point M R/R0 est égale à la somme du vecteur vitesse de M R/R1 et du vecteur vitesse de M R1 /R 0. Généralisation : V M R/R0 = V M R/R1 + V M R1 /R 0 Exemple : Cascadeur Prenons l exemple d un cascadeur courant sur un camion. La vitesse du cascadeur par rapport au sol est la somme de la vitesse du cascadeur par rapport au camion et de la vitesse du camion par rapport au sol : V M 2/1 = V M 2/1 + V M 1/0 V M 2/1 : Vitesse du point M appartenant au cascadeur par rapport au camion (vitesse relative) V M 1/0 : Vitesse du point M appartenant au camion par rapport au sol (vitesse d entraînement) V M 2/0 : Vitesse du point M appartenant au cascadeur par rapport au sol (vitesse absolu) P a g e 18 19

19 Exemple : Bateau Un bateau 2 traverse une rivière 1 qui s'écoule à une vitesse V1/0 (vitesse du courant) par rapport à la berge 0. Le bateau 2 se déplace par rapport à l'eau 1 qui est elle-même en mouvement par rapport à la berge 0 considérée comme immobile. Le repère fixe lié à la berge est appelé : repère absolu. Le repère mobile lié à l'eau (qui se déplace en même temps que l'eau) est appelé : repère relatif. V A 2/1 : Vitesse du point A appartenant au bateau 2 par rapport à l'eau 1 (vitesse relative) V A 1/0 : Vitesse du point A appartenant à l'eau 1 par rapport à la berge 0 (vitesse d entraînement) V A 2/0 : Vitesse du point A appartenant au bateau 2 par rapport à la berge 0 (vitesse absolu) V A 2/1 = V A 2/1 + V A 1/0 Exemple : Décollage d une mongolfière Le ballon b décolle du sol s avec une vitesse ascensionnelle verticale par rapport à la masse d'air ambiant a elle-même en mouvement (phénomène de vent) par rapport au sol s. Le vent provoque donc une dérive du ballon par rapport au sol. On peut écrire la loi de composition des vitesses : P a g e 19 19