Travaux dirigés de physique quantique PA101 - PC 1 Mécanique analytique. généralisées q i=1,..,s et un lagrangien L = L q 1,,q s, dq 1 dt,, dq )

Transcription

1 Travaux rgés e physque quantque PA101 - PC 1 Mécanque analytque Exercce 1 On consère un système e partcules posséant s egrés e lberté écrt par les cooronnées généralsées q 1,..,s et un lagrangen L L q 1,,q s, q 1,, q s,t. Montrer que l acton S L estextremalelorsquelemouvementecespartculesrelelepontq 1,,q s ]aupontq 1 t 2,,q s t 2 ] Exercce 2 Sot un système mécanque bmensonnel écrt par le schéma c-essous u k M k O x y m v w 1. Comben e egrés e lberté possèe ce système? 2. Ecrre son lagrangen 3. Ecrre les équatons u mouvement. Exercce 3 On consère une partcule e masse m, e charge e repérée ans un référentel galléen par le vecteur poston r évoluant lbrement ans un champ électromagnétque E V A, B A. On néglge t le pos e cette partcule. 1. Montrer que le lagrangen e cette partcule s écrt L r, r 1 2 m r 2 +e r. A ev 2. A quelle conton la transformaton e jauge A A A+ φ V V V φ où φ r,t est une foncton quelconque t lasse nvarante les équatons u mouvement? 3. Détermner l mpulson p e cette partcule et en éure son hamltonen H p, r. 4. Ecrre les équatons u mouvement à partr es équatons e Hamlton. 1

2 Travaux rgés e physque quantque PA101 - PC 1 Mécanque Analytque Correcton Exercce 1 La conton extremum s écrt δs 0, or S Sq, q et onc 0 δs S δq + S δ q q q δq + L q q δq δq + L δ q q q une ntégraton par parte u secon terme onne 0 q q δq + ] t2 L δq q pusque l on a fxé les contons au bor δq 1,,δq s ] δq 1 t 2,,δq s t 2 ] 0 L acton est extremale s L δq 0 q q en ncorporant les équatons e Lagrange on a le résultat. Pour la récproque l faut que les δq soent népenants... Exercce 2 1 Système à 2 egrés e lberté : par exemple l angle nclnason u penule θ, et la poston e la masse M sur l axe horzontal x. 2 Il n y a que es forces conservatves : les forces e rappel es ressorts érvent un potentel ans que le pos. Le lagrangen est onc L T U où T est l énerge cnétque totale et U l énerge potentelle totale. On chost un référentel galléen avec un es axes selon l axe e glssement e M e Ox Les masses M et m sont supposées ponctuelles. On a OM x u et Om x u +l v u untare le long e Ox et fxe, v untare le long e la tge supportant m et onc moble On a onc OM ẋ u et Om ẋ u +l v ẋ u +l θ w pus T 1 2 Mẋ2 + 1 ẋ 2 m 2 +l 2 θ2 +2ẋl θcos u, w 1 2 Mẋ2 + 1 ẋ 2 m 2 +l 2 θ2 +2ẋl θcosθ 1

3 Pour l énerge potentelle l y a les 2 ressorts et le pos et onc Premère équaton u mouvement U mgl1 cosθ+ 1 2 kx k x2 mgl mglcosθ +kx 2 L 1 2 Mẋ2 + 1 ẋ 2 m 2 +l 2 θ2 +2ẋl θcosθ mgl+mglcosθ kx 2 Deuxème équaton u mouvement L L ẋ x 0 Calcul e 3 lgnes sans ntérêt... L θ L θ 0 Calcul e 3 lgnes sans ntérêt... Cet exercce est mportant car l montre à es gens qu sortent e prépa comment on peut obtenr très faclement les équatons u mouvement pour un problème toru qu pourrat les terrorser autrement ls ne connassent que Newton... Il montre auss que la ffculté rése ans le fat e résoure les équatons u mouvement ce qu est généralement mpossble et pas ans le fat e les écrre... Exercce 3 Cet exercce est mportant car l permet e comprenre la fférence entre mpulson et quantté e mouvement. C est fonamental en MQ lorsque l on quantfe cette mpulson. Le hamltonen avec champ magnétque est utlsé pour explquer l effet Zeemann par exemple, mas l y a ben autres exemples Il y a 2 méthoes,sot on part u lagrangenfournt,on écrt les équatonse Lagrangeet on retrouve les équatons u mouvement. On peut auss fare l nverse. Je préconse cette soluton car elle permet explquer comment on fabrque un lagrangen... En mécanque classque, on constate expérmentalement que la charge e subt une force, te e Lorentz et que l équaton onnant son mouvement s écrt m r e E + r B F 1 Le but u jeu, car l ne s agt pas autre chose pour le moment, consste à trouver un lagrangen tel que l équaton e Lagrange assocée reonne l équaton 1. Pour ce fare, commençons par remplacer ans l expresson e la force e Lorentz, les champs par leurs potentels, l vent F e A t V + r ] A 2 en remarquant que A A t + r A r A t + r. A 2 3

4 cette force se réecrt F e A V + en se souvenant une formule analyse vectorelle fort utle u. v u v + v u + u. v + ṙ. ] A+ ṙ A 4 v. u 5 et en notant que tous les opérateurs construts à partr e ont une acton nulle sur r, la force e Lorentz peut fnalement se mettre sous la forme F e A + ṙ. A V ] 6 l équaton u mouvement 1 s écrt onc m r +ea ] e r. A ev pour retrouver la forme s partculère e l équaton e Lagrange l faut fare apparaître une érvée par rapport à la vtesse à l ntéreur u terme e érvée temporelle totale, c est possble en écrvant m r+e A ] ] 1 r 2 m r 2 +e r. A 8 l équaton 7 onne onc ] 1 r 2 m r 2 +e r. A e r. A ev r à l ntéreur e la érvée par rapport à la vtesse terme e gauche on peut rajouter le terme ev qu ne épen que e la poston. De même, à l ntéreur e la érvée par rapport à la poston terme e rote on peut rajouter le terme 1 2 m r 2 qu ne épen que e la vtesse, ans en ntrousant le lagrangen 2. En applquant la transformaton e jauge au lagrangen on trouve L 1 2 m r 2 +e r. A ev L L 1 2 m r 2 +e r A ev L+e φ t + r φ r 11 L+ φ e S la charge e est constante, lors une transformaton e jauge es champs on rajoute au lagrangen la érvée totale par rapport au temps une foncton e r et e t. Les équatons u mouvement Lagrange sont équvalentes au prncpe e monre acton, or lors une transformaton e jauge l acton event S S S + e φ 3

5 s e ne épen pas u temps le terme supplémentare est constant une fos ntégré, lors e la varaton S l est onc nul : Les équatons u mouvement sont onc nchangées. Cette relaton entre une symétre u système jauge et une lo e conservatoncharge est l un cas partculer u théorème e Noether. En MQ, on a la conservaton u courant e probablté qu est assocée à la symétre consstant à multpler la foncton one par un facteur e phase e ϕ. 3. Par éfnton, l mpulson s écrt p : L r r+e. A 12 un terme supplémentare vent onc s ajouter à la quantté e mouvement ans la éfnton e l mpulson. Comme ans le cas conservatf, nous pouvons écrre le hamltonen et tenter une nterprétaton, l vent c H p. r L r +ea. r 1 2 m r 2 e r. A+eV m r 2 +ev Ce hamltonen ne ferat onc pas ntervenr e termes magnétques...! La réponse à ce faux problème tent ans le fat qu l ne faut pas écrre le hamltonen en foncton e r mas en foncton e p pour obtenr un ensemble cohérent. Dans les bonnes varables, on a H p e A 2 2m +ev La premère équaton e Hamlton est alors comme ans le cas conservatf une éfnton e la quantté e mouvement, elle s écrt en effet en utlsant la relaton astuceuse u. u 2 r H p p e A m u u + u. ] u quelques lgnes e calcul et un retour aux champs, permettent e se renre compte que la euxème équatone Hamlton ṗ H r reonne m 2 r ] E + r B