Béton armé et précontraint I VERIFICATIONS E.L.S. E.N.P.C. module B.A.E.P.1. Jean Marc JAEGER Setec TPI. ENPC Module BAEP1 Séance 3 1

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1 Béton armé et précontraint I VERIFICATIONS E.L.S. Jean Marc JAEGER Setec TPI E.N.P.C. module B.A.E.P.1 ENPC Module BAEP1 Séance 3 1

2 ENPC Module BAEP1 Séance 3 2

3 3. ETATS LIMITES DE SERVICE : Définition -E.L.S. ou état limite de ervice pour lequel on vérifie le «bon fonctionnement» de la tructure ou le charge réellement appliquée. Le vérification, qui dépendent de troi état dit caractéritique, fréquent et quai-permanent, concernent le état de contrainte, le ouverture de fiure et le calcul de déplacement (ou flèche). Le matériaux uivent une loi de comportement élatique. ENPC Module BAEP1 Séance 3 3

4 Etat limite de ervice Le État Limite de Service (E.L.S.) correpondent à de condition au-delà dequelle le exigence d'aptitude au ervice pécifiée pour une tructure ou un élément tructural ne ont plu atifaite. Ce exigence concernent le fonctionnement de la tructure ou de élément tructuraux en utiliation normale, le confort de peronne, l'apect de la contruction. Le critère d utiliation courant ont la durabilité de la tructure et le contrôle de déformation. Leur dépaement peut entraîner de dommage à la tructure mai pa a ruine. Le État Limite de Service courant, tel que défini par la norme NF EN , concernent : la limitation de contrainte, la maîtrie de la fiuration, la limitation de flèche. D autre état-limite peuvent avoir de l importance pour de tructure particulière tel que vibration ou accélération mai ne ont pa couvert par cette norme. Combinaion d action Troi type de combinaion d action ont à conidérer : le combinaion caractéritique, le combinaion fréquente et le combinaion quaipermanente. Loi de comportement de matériaux Le vérification conitent à aurer que la valeur de calcul de l effet de action et inférieure à la valeur limite de calcul du critère d aptitude au ervice conidéré. Le matériaux uivent un loi de comportement élatique. ENPC Module BAEP1 Séance 3 4

5 7. COMBINAISONS D ACTION : Combinaion E.L.S. COMBINAISONS E.L.S. combinaion caractéritique Σ G up + Σ G inf + Q K1 + Σ Ψ 0i Q Ki combinaion fréquente Σ G up + Σ G inf + Ψ 11 Q K1 + Σ Ψ 2i Q Ki combinaion quai-permanente Σ G up + Σ G inf + Σ Ψ 2i Q Ki Exemple : G + Q en ELS caractéritique G + 0.3Q en ELS quai-permanent ENPC Module BAEP1 Séance 3 5

6 Combinaion d action E.L.S. Dan le combinaion d action pour le état limite de ervice le coefficient partiel ont égaux à l unité. Le coefficient de combinaion Ψ ditinguent le troi type de combinaion. La combinaion caractéritique et à conidérer normalement pour le état limite à court terme, lié à une eule atteinte d une certaine valeur. L action variable dominante, dite de bae, et prie avec a valeur caractéritique, le autre action variable concomitante ont prie en compte avec leur valeur de combinaion Ψ 0 Q Ki. La combinaion fréquente et à conidérer pour de état limite à moyen terme, lié à l atteinte d une certaine valeur pendant une petite partie de la durée de la durée d utiliation du projet. L action variable de bae et prie avec a valeur fréquente ψ 1 Q k, le autre action variable concomitante ont prie en compte avec leur valeur quai-permanente Ψ 2 Q Ki. La combinaion quai-permanente et à conidérer pour de état limite à long terme, lié à l atteinte d une certaine valeur pendant une longue durée. Toute le action variable ont prie avec leur valeur quai-permanente Ψ 2 Q Ki. L Eurocode 2 donne un rôle important à la combinaion quai-permanente pour laquelle il conviendra en particulier de vérifier le ouverture de fiure. ENPC Module BAEP1 Séance 3 6

7 7. COMBINAISONS D ACTION : Coefficient de combinaion Coefficient ψ EN 1990 Section 6 ENPC Module BAEP1 Séance 3 7

8 Coefficient de combinaion Le coefficient de combinaion pour le bâtiment ont précié dan l annexe A1 de la norme NF EN A titre d application, dan le ca particulier d une tructure de bureaux en dalle pleine béton armé de 26 cm d épaieur, de poid propre g= 6,5KN/m², upportant une denité de charge d équipement g =1,7KN/m² et une denité de charge d exploitation q=2,5kn/m² le denité de charge à conidérer pour le état limite de ervice ont le uivante: - ELS caractéritique : p ELS cara = g+g +q = 10,7KN/m² - ELS fréquent : p ELS freq = g+g + 0,5 q = 9,45KN/m² - ELS quai-permanent : p ELS qp = g+g + 0,3 q = 8,95KN/m² ENPC Module BAEP1 Séance 3 8

9 9.2 FLEXION SIMPLE E.L.S. HYPOTHESES DE CALCUL : - le ection plane retent plane - adhérence parfaite de armature et du béton adjacent - réitance à la traction du béton négligée - diagramme contrainte-déformation de matériaux élatique, utiliation du coefficient d équivalence ENPC Module BAEP1 Séance 3 9

10 Hypothèe du calcul pour le état-limite de ervice Le hypothèe du calcul de ection droite de béton armé oumie à une flexion imple ou à une flexion compoée ont le uivante: le ection plane retent plane, on en déduit que le diagramme de déformation et plan ur la hauteur de la ection, celui-ci et caractérié par la déformation en fibre upérieure et par la déformation en fibre inférieure, le armature adhérente (armature de béton armé), qu elle oient tendue ou comprimée, ubient le même déformation que le béton adjacent, on en déduit qu au niveau d une fibre donnée ε c =ε et que le diagramme de déformation commun peut être caractérié par le raccourciement du béton ε c en fibre comprimée et l allongement de l acier ε t en fibre tendue, la réitance à la traction du béton et négligée : le béton itué ou l axe neutre en zone tendue n et pa pri en compte dan le calcul, le contrainte dan le béton comprimé et dan le armature tendue ou comprimée e déduient de déformation élémentaire en conidérant que le matériaux ont dan le domaine élatique, c et-à-dire en appliquant la loi de Hooke σ =ε E. Ce quatre hypothèe déterminent le principe du calcul de ection aux E.L.S. ENPC Module BAEP1 Séance 3 10

11 4. MATERIAUX : Coefficient d équivalence en E.L.S. Coefficient d équivalence n = E /E c COEFFICIENT DE FLUAGE AU TEMPS INFINI φ - CONTRIBUTION DES CHARGES PERMANENTES (M G+ψ2Q ) ELS /(M G+Q ) ELS - COEFFICIENT DE FLUAGE EFFICACE EFF = x (M G +ψ2q ) ELS /(M G+Q ) ELS - COEFFICIENT D EQUIVALENCE n= E / (Ec / (1+ EFF ) ) ouvent pri égal à 15 pour implifier Section 7 EC2 ENPC Module BAEP1 Séance 3 11

12 Coefficient d équivalence n En E.L.S. le deux matériaux, béton et acier, retent dan le domaine élatique. En rapprochant deux de hypothèe du calcul E.L.S. : le contrainte ont proportionnelle aux déformation et l adhérence et parfaite entre l acier et le béton adjacent, on fait apparaître la notion de coefficient d équivalence n égal au rapport entre le module de l acier et celui du béton: σ ε = et ε c = ε E σ σ c E = σ = σ c σ = nσ c E E E c c E n = Ec Le module de déformation longitudinal de l acier paif et contant et égal à E = MPa, celui du béton varie dan le temp du fait fluage du béton: une éprouvette de béton oumie à une contrainte de compreion contante σ ubit un raccourciement élémentaire intantané égal à ε i = σ /E cm, au temp infini ce raccourciement era plu élevé et aura pour valeur ε v = σ /(E cm /(1+φ ef,els )). Le coefficient de fluage φ ef,els et lié à la combinaion de charge conidérée avec φ ef,els = φ M Eqp / M Ecar. M Eqp repréentant le moment à l ELS ou la combinaion quai-permanente et M Ecar repréentant celui ou la combinaion caractéritique. Dan le ca courant on peut adopter n=15 pour le béton courant et n=9 pour le béton à haute performance. A noter que la norme NF EN en rete à la définition de bae de n. ENPC Module BAEP1 Séance 3 12

13 11.5 POUTRE CONTINUE Critère de vérification ELS Critère de vérification CONTRAINTE DE COMPRESSION DU BETON ( 7.2) E.L.S. caractéritique : σ c < k 1 f ck = 0,60 f ck E.L.S. quai-permanent : σ c < k 1 f ck = 0,45 f ck - CONTRAINTE DE TRACTION DES ACIERS ( 7.2) E.L.S. caractéritique : σ t < k 3 f yk = 0,80 f yk - OUVERTURE DES FISSURES ( 7.3) E.L.S. quai-permanent : w cmax = 0,30 mm ou vérif. Forfaitaire - LIMITATION DE FLECHE ENPC Module BAEP1 Séance 3 13

14 Critère de vérification en ELS Le critère de vérification en ELS concernent : la limitation de contrainte de compreion du béton, La limitation de contrainte de compreion a pour objectif de limiter la fiuration longitudinale et le effet du fluage afin d aurer un fonctionnement correct de la tructure ou/et de l élément conidéré. La contrainte de compreion du béton doit reter inférieure à 0,6f ck en ELS caractéritique et à 0,45f ck en ELS quai permanent. la limitation de contrainte de traction dan le acier paif La limitation de la contrainte de traction a pour objectif d éviter le déformation platique de armature et le fiuration ou déformation inacceptable. La contrainte de traction doit reter inférieure à 0,8f yk en ELS caractéritique. la limitation de ouverture de fiure La limitation de ouverture de fiure vie à aurer un bon fonctionnement de la tructure, a durabilité et à garantir on apect. Le calcul de l ouverture de fiure et fait en ELS quai permanent. La valeur limite dépend de la clae d expoition, pour le clae XC la limite et égale à w max = 0,3mm. la limitation de la flèche Cette limitation a pour objet de garantir le bon fonctionnement de la tructure aini que on apect. ENPC Module BAEP1 Séance 3 14

15 9.2 FLEXION SIMPLE ELS : Vérification de contrainte Section homogénéiée en béton : (adhérence parfaite acier-béton) ection A ection n A acier béton équivalent Poition de l axe neutre : c A c x d (moment tatique nul) σ b σ c /n A t b σ t /n bx²/2 + na c (x-c ) - na t (d-x) = 0 ENPC Module BAEP1 Séance 3 15

16 Vérification de contrainte en ELS En E.L.S. le deux matériaux acier et béton retent en phae élatique et ont uppoé parfaitement adhérent, par ailleur la contribution du béton tendu n et pa prie en compte. Le principe de détermination de contrainte en E.L.S. conite à homogénéier la ection par rapport au béton: la ection d acier et remplacée par une ection de béton équivalente c et-à-dire capable d équilibrer le même effort: une ection A d acier travaillant à un niveau de contrainte σ et équivalente à une ection de béton na travaillant à un niveau de contrainte σ c. F t =A σ =A nσ c = na σ c La ection aini homogénéiée par rapport au béton fait l objet d un calcul de contrainte de type RdM, ce qui et jutifié par l hypothèe d un comportement élatique en ELS. En exprimant que le moment tatique de la ection par rapport à l axe neutre et nul on détermine la poition de l axe neutre dont on déduit une inertie homogénéiée I h. Une foi obtenue le caractéritique de la ection homogénéiée par rapport au béton le calcul de contrainte e fait de manière claique à partir de expreion RdM. ENPC Module BAEP1 Séance 3 16

17 9.2 FLEXION SIMPLE ELS : Vérification de contrainte Inertie homogénéiée : I h = bx 3 /3 + na c (x-c )² + na t (d-x)² d A c c x A t Contrainte : b fibre up béton : σ b = M x / I h σ b (y) = M y / I h acier comprimé : σ c = n M (x-c ) / I h acier tendu : σ t = - n M (d-x) / I h ENPC Module BAEP1 Séance 3 17

18 Calcul de contrainte dan le béton et le acieren ELS En uppoant que la ection oit oumie à un moment de flexion imple M ELS poitif qui tend la fibre inférieure de la poutre et comprime a fibre upérieure et que le calcul de caractéritique de la ection homogénéiée ait donné la poition de l axe neutre x, ditance entre la fibre upérieure et cet axe aini que l inertie de la ection homogénéiée I h, le calcul de la contrainte que ubit le béton itué ur une fibre d ordonnée y comptée à partir de l axe neutre écrit : σ c = M ELS y / I h. La contrainte que ubit un acier itué au droit de la même fibre a pour valeur σ = n σ c. L expreion de la contrainte maximale dan le béton, ur la fibre d ordonnée y=x et celle de contrainte dan le nappe d acier haute (y= x-c ) et bae (y=- (d-x)) e déduient alor directement et ont donnée dan la planche cideu. Il faut noter que la contrainte de traction σ t aini trouvée dan le acier tendu et celle upportée par ce acier au droit de la fiure. En effet une hypothèe de bae du calcul et que le béton tendu et négligé (ection entièrement fiurée). ENPC Module BAEP1 Séance 3 18

19 2. PRINCIPES GENERAUX : Fiure La réitance à la traction du béton et trè faible comparée à a réitance à la compreion ( 1/10 éme ) et et du type fragile. Le béton et uceptible de fiurer dè qu il et tendu. La direction de la fiure et celle du plan ur lequel exerce la contrainte principale de traction. FISSURES D EFFORT TRANCHANT FISSURES DE FLEXION ENPC Module BAEP1 Séance 3 19

20 Méthode de calcul de ouverture de fiure L objectif et de calculer l ouverture de fiure de flexion. La norme NF EN propoe deux approche pour le calcul de l ouverture de ce fiure : une approche dite an calcul direct qui apparaît imple en première analye et une approche avec un calcul direct. La méthode forfaitaire et baée ur l utiliation de tableaux qui ont établi avec de hypothèe trè retrictive qui rendent l utiliation pratique longue et incertaine. La méthode baée ur un calcul direct et la plu imple d application. Le calcul d ouverture de fiure et fait à l ELS quai permanent ce qui contribue fortement à rendre ce calcul non déterminant dan le ca courant. Le principe conite alor à calculer le ection d acier à l ELU et à vérifier enuite le ouverture de fiure en ELS. ENPC Module BAEP1 Séance 3 20

21 9.2 FLEXION SIMPLE E.L.S. : OUVERTURE DE FISSURE Valeur limite de l ouverture de fiure w max (mm) calcul en ELS quai-permanent Section 7 : Tab. 7.1N ENPC Module BAEP1 Séance 3 21

22 Limite d ouverture de fiure Le tableau 7.1N fixe la valeur limite d ouverture de fiure en fonction de la clae d expoition. A noter que l annexe nationale NF EN /NA précie le valeur limite: ENPC Module BAEP1 Séance 3 22

23 Impoible d afficher l image. 9.2 ELS CALCUL DE L OUVERTURE DES FISSURES Allongement relatif de l acier f ct, eff σ k t ( 1 + α e ρ p, eff ) ρ p, eff σ ε m ε cm = 0. 6 E E EC2 σ α ρ A k c, eff t e p, eff = Contrainte dan le armature Rapport E /E cm A A c, eff Aire de la ection effective de béton autour de armature tendue = 0.6 chargement de courte durée = 0.4 chargement de longue durée ENPC Module BAEP1 Séance 3 23

24 Calcul direct de l ouverture d une fiure En zone tendue et entre deux fiure ucceive l allongement de l acier paif et celui du béton adjacent ont égaux. Le béton et un matériau fragile qui cae dè que la contrainte de traction à laquelle il et oumi dépae a réitance à la traction f ct,eff. L ouverture de la fiure et égale à l allongement relatif de l acier par rapport à celui du béton tendu en deou de a réitance à la traction f ct,eff. Le principe du calcul de l ouverture de fiure w k de la norme NF EN conite à déterminer la déformation relative moyenne de l acier, ε m, par rapport à celle du béton, ε cm, entre deux fiure ucceive et à la multiplier par la ditance entre deux fiure r,max. Ce calcul fait appel aux valeur uivante: σ contrainte de traction dan l acier paif au droit de la fiure, calculée en homogénéiant la ection par rapport au béton, α E rapport entre le module de l acier E = MPa et celui du béton à court terme E cm donné par la Table 3.1, A aire d acier tendu, A c,eff aire de la ection effective de béton tendu entourant le armature. La déformation relative aini obtenue ne peut être inférieure à 60% de la déformation relative de l acier au droit de la fiure. ENPC Module BAEP1 Séance 3 24

25 Impoible d afficher l image. 9.2 ELS CALCUL DE L OUVERTURE DES FISSURES Allongement relatif de l acier hauteur de la ection effective de béton σ r,max h c,eff =min( 2.5(h-d) ; (h-x)/3, h/2) f t (2) EC2 ENPC Module BAEP1 Séance 3 25

26 Allongement relatif de l acier entre deux fiure Au droit d une fiure l effort de traction et entièrement équilibré par le acier paif qui ont oumi à une contrainte σ. En écartant de cette fiure une partie de cet effort de traction va progreivement être tranférée ver le béton adjacent du fait de l adhérence acier béton. La contrainte de traction dan le béton adjacent va progreivement croître alor même que celle de acier paif va diminuer. La contrainte de traction du béton σ c et plafonnée à la valeur de la réitance à la traction f ct,eff de celui-ci, en effet une nouvelle fiure et uceptible de e former quand σ c atteint f ct,eff. Du fait de l adhérence acier béton la déformation relative moyenne de l acier ε m era inférieure à a valeur ε au droit de la fiure et le béton ubira une déformation relative moyenne ε cm. La hauteur conventionnelle de béton tendu entourant le armature et notée h c,eff. ENPC Module BAEP1 Séance 3 26

27 Impoible d afficher l image. 9.2 ELS CALCUL DE L OUVERTURE DES FISSURES Déformation moyenne de l armature : ε m ε m ou par σ = E k t A c, eff kt E f ct, eff adhérence f ρ ct, eff p, eff σ = E repréente au béton k t A l' effort entre c, eff E f A ct, eff moyen qui deux fiure et tranmi Déformation moyenne du béton : ε cm ε cm = ou k t k f t f ρ ct, eff ct, eff p, eff α ρ E e p, eff = ct, eff repréente la contrainte moyenne du béton entre deux fiure k t f E cm EC2 ENPC Module BAEP1 Séance 3 27

28 Déformation relative moyenne de l acier et du béton Le expreion de déformation relative moyenne ε m de l acier et ε cm du béton entre deux fiure ucceive peuvent établir en conidérant que l effort N t tranféré par adhérence de l acier ver le béton et plafonné à une valeur égale à A c,eff f ct,eff. Au delà de cette valeur une nouvelle fiure erait uceptible de e former. L effort moyen N t retenu par la norme NF EN a pour valeur k t A c,eff f ct,eff ou k t vaut 0,6 pour le chargement de courte durée et 0.4 pour le chargement de longue durée. L expreion de ε m e déduit directement de N t : à cet effort correpond une variation ε = N t /(A E ) d où la valeur de ε m = ε - ε. De la même manière la déformation relative du béton tendu entre deux fiure a pour valeur ε c = ε m = N t / (A c,eff E cm ) = k t f ct,eff / E cm. ENPC Module BAEP1 Séance 3 28

29 9.2 ELS CALCUL DE L OUVERTURE DES FISSURES Epacement final maximal de fiure r, max = 3.4c k1k2Φ / ρ p, eff Φ diamètre de barre c enrobage de armature (premier lit) k 1 coefficient d adhérence : 0.8 barre HA 1.6 rond lie k 2 coefficient de déformation : 0.5 en flexion 1.0 en traction pure Ouverture de fiure w k w ε ε ( k = r, max m cm ) EC2 ENPC Module BAEP1 Séance 3 29

30 Epacement maximal de fiure L expreion de la ditance conventionnelle entre deux fiure r,max et contituée de deux terme: un terme contant qui et lié à la dégradation du béton au droit de la fiure et un econd terme lié à l adhérence acier béton. Dan le premier terme c repréente l enrobage du premier lit d armature longitudinale. Dan le econd terme φ repréente le diamètre de barre longitudinale. Dan le ca ou ce diamètre et variable par lit d acier (ca courant) φ et le diamètre moyen calculé elon l expreion φ = (Σ n i φ i ²)/ (Σ n i φ i ). L ouverture de fiure w k et obtenue en effectuant le produit w k = (ε m - ε cm ) r,max. Cette ouverture de fiure et conventionnelle et n a pa pour objet d être comparée à une valeur effectivement meurée en réalité. ENPC Module BAEP1 Séance 3 30

31 11.9 POUTRE CONTINUE Vérification de la flèche Critère de vérification - LIMITATION DU RAPPORT PORTEE/HAUTEUR Tableau 7.4N l/d = 8.10 / 0.60 = 13.5 et r voiin de 0.8% - LIMITATION DE LA VALEUR CALCULEE E.L.S. quai-permanent : f<l/ EC2 ENPC Module BAEP1 Séance 3 31

32 Vérification de flèche La norme NF EN fixe de limitation à la déformation d un élément de tructure de manière à ce que cette déformation ne oit pa préjudiciable au bon fonctionnement de cet élément ou à on apect. Dan le ca d une poutre franchiant une portée l, la flèche calculée de cette poutre ou charge quai-permanente et limitée à l/250 elon la norme NF EN qui renvoie à l ISO La flèche de la poutre et le déplacement vertical maximal à mi-travée compté poitivement ver le ba. Un autre critère de vérification de l état-limite de déformation et la limitation du rapport portée / hauteur. Le tableau 7.4N figurant ci-deu donne le valeur de ba du rapport portée/hauteur pour une poutre ou une dalle ur appui imple portant dan une eule direction. On dit que l élancement (rapport hauteur/portée) et limité par exemple à /20 ème dan le ca d élément faiblement ollicité. Il faut noter que le Recommandation profeionnelle pour l'application de la norme NF EN peuvent être plu retrictive pour retrouver le ancien critère de flèche nuiible. ENPC Module BAEP1 Séance 3 32

33 11.9 POUTRE CONTINUE Vérification de la flèche Flèche de calcul α = ξα α α I II = = II + (1 ξ) α flèchedanl'état non fiuré flèchedanl'état fiuré ξ = 1 β( Mcr/ M) b = 0.5 chargementprolongé Mcr :moment de fiuration I 7.4 EC2 ENPC Module BAEP1 Séance 3 33

34 Calcul de la flèche La norme NF EN demande de calculer la flèche d un élément de tructure en interpolant entre deux valeur: la flèche calculée dan l état non fiuré notée α I et la flèche calculée dan l état entièrement fiuré notée α II. La flèche dan l état non fiuré et déterminée à partir de l inertie brute de l élément, la flèche dan l état entièrement fiuré et calculée à partir de l inertie homogénéiée par rapport au béton telle que décrite dan la planche ci-deu. Le coefficient de ditribution ζ et fonction de la contrainte dan le armature tendue σ ou l effet du chargement conidéré et de la contrainte σ r dan ce même armature en uppoant la ection oumie à un chargement qui provoque la première fiure. On détermine le moment M cr correpondant à ce chargement en exprimant que la contrainte du béton en fibre inférieure et égale à f ct,eff. Par exemple dan le ca d une ection rectangulaire oumie à une flexion imple M cr = bh²/6 f ct,eff. ENPC Module BAEP1 Séance 3 34

SOMMAIRE 1. OBJET... 3

SOMMAIRE 1. OBJET... 3 SOMMAIRE 1 SOMMAIRE 1. OBJET... 3 2. DOMAINE D APPLICATION... 5 3. CALCULS EN ENVIRONNEMENT AGRESSIF... 7 3.1 Généralités... 7 3.2 Vérification des dalles... 12 3.3 Vérification des poutres... 24 3.4 Calculs

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