EPREUVE DE MATHEMATIQUES

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1 EPREUVE DE MATHEMATIQUES DUREE : 1h30mn Cofficint 5 CONSIGNES SPECIFIQUES Lisz soignusmnt ls consigns ci-dssous afin d réussir au miu ctt épruv : - Ctt épruv comport volontairmnt plus d'rcics qu vous n pouvz n traitr dans l tmps qui vous st imparti. La raison n st qu votr profssur n'a pas ncor forcémnt traité l'nsmbl du programm d Trminal S. - Vous dvz répondr à 45 qustions parmi ls 60 proposés (au choi) pour obtnir la not maimal. Si vous traitz plus d 45 qustions, suls ls 45 prmièrs sront priss n compt. - Touts ls pags blanchs situés au vrso d c sujt puvnt êtr utilisés à l usag d brouillon si vous l souhaitz. Aucun brouillon n vous sra distribué. - L usag d la calculatric ou d tout autr apparil élctroniqu st intrdit. - Aucun autr documnt qu c sujt t sa grill répons n st autorisé. - Attntion, il n s agit pas d un amn mais bin d un concours qui induit un classmnt. Mêm si vous trouvz c sujt «difficil», n vous arrêtz pas n cours d composition, n abandonnz pas, rstz concntré() t faits d votr miu. Ls autrs candidats rncontrnt probablmnt ls mêms difficultés qu vous! Barèm : Afin d éliminr ls stratégis d réponss au hasard, chaqu bonn répons st gratifié d 3 points, tandis qu ls mauvaiss réponss sont pénalisés par l rtrait d 1 point. Pag 1 sur

2 EQUATIONS POLYNÔMIALES L nombr d solutions distincts d l équation : 4 1) dans Rst : 1 B) C) 3 D) 0 ou 4. ) dans Cst : 1 B) C) 3 D) 0 ou 4. LIMITES 3) lim B) 3 C) 3 4 Pag sur

3 4) lim 8 3 B) 3 C) 3 4 D) aucun ds trois propositions proposés ci-dssus n st corrct cos( ) 5) lim 0 + B) C) n ist pas D) aucun ds trois propositions proposés ci-dssus n st corrct EXPONENTIELLE ET LOGARITHME 6) 1 ln() + ln(7) + ln( ) ln( 3) 4 1 3ln(9 + 3) 4 B),5ln(3) C) 5ln( 3) D ) aucun ds trois propositions proposés ci-dssus n st corrct. Pag 3 sur

4 7) ln(1) ln() + ln(3) ln(4) + ln(5) 3 B) 15 8 C) 5! 8) Pour tout rél ] 0;1[ : (ln( )) ln( ) B) C) > (ln( )) ln( ) < (ln( )) ln( ) 9) Pour tout rél ] 1; + [ : (ln( )) ln( ) B) C) > (ln( )) ln( ) < (ln( )) ln( ) D) aucun ds trois propositions proposés ci-dssus n st corrct Dans R : 10) l équation ln( + 7) 7 + a pour solution : S B) S { 7} C) S { 7; 7} Pag 4 sur

5 11) l équation + 7 ln( ) 7 + a pour solution : S B) S { 7} C) S { 7; 7} 1) L nsmbl ds solutions d l inéquation ( 1)(1 + ) 0st : [ 1;0] B) ] ; 1] [0; + [ C) [0; + [ D) ] ; 1] ETUDE DE FONCTIONS Soit f la fonction défini sur R par f ( ) 13) sa fonction dérivé f ' st alors défini sur R par f '( ) B) C) D) ( 1) ( 1) Pag 5 sur

6 14) f st strictmnt décroissant sur Concours AVENIR Ercic d ntraînmnt d Mathématiqus [ ; ] 1 B) [ 1; ] 1 1 C) [ ; ] D) [ ; ] 4 15) sa courb rprésntativ dans un rpèr orthonormal st symétriqu par rapport à l a ds abscisss B) l a ds ordonnés C) l origin 16) lim f ( ) + B) C) n ist pas D) aucun ds trois propositions proposés ci-dssus n st corrct 17) lim f ( ) 0 + B) C) n ist pas D) aucun ds trois propositions proposés ci-dssus n st corrct Pag 6 sur

7 TRIGONOMETRIE π π 18) Pour tout rél, cos( + π ) cos( π ) + sin( ) sin( + ) 0 B) cos( ) C) sin( ) Dans l intrvall[ π ; π ], 19) l équation sin ( ) + cos ( ) 0 a pour solution : π 3π S ; 4 4 π B) S 0; C) S [ π ; π ] 0) l équation sin ( ) + cos ( ) 1 a pour solution : π 3π S ; 4 4 π B) S 0; C) S [ π ; π ] Pag 7 sur

8 1) l équation sin( ) + cos( ) 0 a pour solution : π 3π S ; 4 4 π B) S 0; C) S [ π ; π ] ) La fonction f défini sur Rpar 3 f ( ) cos ( ) st : pair t π périodiqu B) impair t π périodiqu C) pair t 4π périodiqu D) impair t 4π périodiqu Pag 8 sur

9 ANALYSE DE COURBES 3) C1 C C3 sont ls courbs rprésntativs d un fonction f, d sa dérivé f ' t d un d ss primitivs F C1 C C3 sont rspctivmnt ls courbs rprésntativs d : f, f ' t F B) f ', f t F C) F, f ' t f D) f ', F t f. Pag 9 sur

10 Soit la courb C f ci-dssous rprésntant un fonction f : 4) la fonction f : st dérivabl n t n 1 B) st dérivabl n mais pas n 1 C) st dérivabl n 1 mais pas n D) n st dérivabl ni n ni n 1 5) lim < f ( ) f ( ) + 1 B) C) n ist pas Pag 10 sur

11 6) lim h 0 f (1 + h) f (1) h B) + C) 3 D) -6 LOGIQUE - ARITHMETIQUE 7) La somm d tous ls divisurs ntirs positifs d 48 st égal à : 13 B) 14 C) 76 D) Aucun ds trois propositions proposés ci-dssus n st corrct. 8) Dans un class d T S d 35 élèvs qui sont chacun ds fills ou ds garçons, ds intrns ou ds trns On considèr ls du propositions suivants : A : «Tout garçon st intrn» t B : «Il ist un fill intrn» Laqull d cs propositions st act : si A st fauss alors B st nécssairmnt vrai. B) si B st vrai alors A st nécssairmnt fauss. C) pour prouvr qu B st fauss il st nécssair d vérifir qu touts ls fills sont trns. D) pour prouvr qu A st fauss il suffit d trouvr un garçon trn. Pag 11 sur

12 9) Dans un group d 8 sportifs, on put formr autant d équips différnts d 3 qu d 6 jouurs. B) on put formr plus d équips différnts d 6 qu d 3 jouurs. C) on put formr plus d équips différnts d 3 qu d 6 jouurs. 30) Sur R 3 B) C) D) 31) Sachant qu 3 1, l maimum d 4 + st alors égal à -5 B) 7 3 C) 4 D) Pag 1 sur

13 TANGENTES Soit f la fonction défini sur Rpar 4 + t 0 f ( ) (1 ) rprésntativ au points d abscisss 0 t. T t T 1 ls tangnts rspctivs à sa courb 3) T 1 a pour équation réduit : y 1 B) y C) y ) T 0 t T 1 s coupnt alors au point d coordonnés : (-1 ;-3) B) (0;0) C) (-3;-1) D) T 0 t T 1 sont parallèls. Pag 13 sur

14 SUITES n 34) La suit ( Un) défini par U n sin(( ) nπ ) st convrgnt B) divrg vrs C) divrg vrs + D) divrg sans limit 35) Soit la suit arithmétiqu ( U n) tll qu U 1 7t U 1 6alors U B) 0 C) 0 D) aucun ds trois propositions proposés ci-dssus n st corrct 36) Soint ( U n) ; ( Vn ) t ( W n) trois suits tlls qu pour tout n 009 Un < Vn < Wnavc lim U 1t lim W alors : n + n n + n ( Vn ) st obligatoirmnt minoré par 010 t majoré par 010. B) ( Vn ) put êtr divrgnt. C) ( Vn ) convrg forcémnt vrs un rél appartnant à ]-1;[. D) ( Vn ) convrg forcémnt vrs un rél appartnant à [-1;]. Pag 14 sur

15 NOMBRES COMPLEXES Soint z1t z ls solutions dans Cd l équation 37) z1z 5 z + 3z B) 5 4 C) ) arg( z 1) arg( z ) B) arg( z) C) π arg( z) D) π + arg( z) 39) L nombr compl z 10 i st : (1 ) un rél strictmnt positif B) un rél strictmnt négatif. C) un imaginair pur Pag 15 sur

16 40) A tout compl z C tl qu z + iyoù ( ; y) R R on associ l nombr compl L écritur algébriqu d z ' st : 1 z '. z y + i + y + y y i + y + y B) y + i + y + y C) y i + y + y D) 41) Dans un rpèr orthonormal dirct du plan compl, la transformation qui à tout point d affi z associ l point d affi (1 i) z st un : translation B) rotation C) homothéti D) aucun ds trois propositions proposés ci-dssus n st corrct π π 4) La form ponntill d 3(cos( ) + sin( )) st : 7 7 π 3 i 7 3 i π 7 B) C) 3 i 6 7 π Pag 16 sur

17 PROBABILITES 43) A t B étant du événmnts indépndants tls qu P( A ) 0,3 t P( A B ) 0,65 on a ainsi P( B ) 0,5 B) 1 C) 0,05 D) 0,7 44) X étant un variabl aléatoir prnant ss valurs dans { 1;1; } tll qu P( X 1) 0, 3 t P( X 1) 0,5, son spéranc mathématiqu st alors égal à : 0, B) 0,4 C) 0,6 D) 0,8 A t B étant du événmnts tls qu 1 P( A ) ; 4 3 P( B ) t 5 P ( B ) A 3 45) on a ainsi PA ( B ) 1 3 B) 5 C) 3 5 D) 3 Pag 17 sur

18 46) t PB ( A ) 4 6 B) 5 6 C) 6 6 D) 7 6 GEOMETRIE ANALYTIQUE 47) Sachant qu dans un rpèr orthonormal, ls points A,Bt Cont pour coordonnés A( 1;1); B(1;0); C( ; 1), on put alors affirmr qu l triangl ABC st : rctangl non isocèl B) isocèl non rctangl C) rctangl isocèl Dans un rpèr orthonormal d l spac 48) + ( y 1) 4st un équation d un crcl B) d un sphèr C) d un plan D) aucun ds trois propositions proposés ci-dssus n st corrct Pag 18 sur

19 49) 3 7z 4 st un équation d un droit B) d un plan C) d un crcl D) aucun ds trois propositions proposés ci-dssus n st corrct Dans l spac rapporté à un rpèr orthonormal ( O; i, j, k). on considèr ls points A (0;1; 4) ; B(1; 1;0) ; C(3;0; 3) ; D( 6;3;18) 50) ainsi : A, Bt D sont alignés B) A, C t D sont alignés C) B, C t D sont alignés 51) ls points A, Bt C appartinnnt tous trois : 5) par aillurs, à un mêm droit B) au plan d équation 8 + 6y z C) au plan d équation 3 + y z 3 D) au plan d équation y + z 3 AD > BC B) AD < BC C) AD BC Pag 19 sur

20 53) d plus, la distanc du point Oau plan ( ABC) st égal à : 0 B) 6 C) D) EQUATIONS DIFFERENTIELLES 54) la solution d l équation différntill y y ' 4 tll qu y (0) 1st B) C) D) y ( ) 3 + y ( ) y 0,5 ( ) 3 4 y 0,5 ( ) ) la solution d l équation différntill y ' + y 4 tll qu y (0) 1st y( ) + B) y( ) 1 C) y ( ) D) aucun ds trois propositions proposés ci-dssus n st corrct Pag 0 sur

21 INTEGRATION π cos( ) 56) Un primitiv sur ] ; π [ d la fonction f défini par f ( ) st défini par F( ) sin( ) sin( ) cos( ) B) sin( ) cos( ) C) ln(sin( )) D) ln(sin( )) 57) d 0 B) C) ) Sur R, la fonction f défini par f ( ) t dt st : 1+ t croissant B) décroissant C) non monoton D) aucun ds trois propositions proposés ci-dssus n st corrct Pag 1 sur

22 59) Soit ( In) la suit défini sur par In 0,5 n d 0,5 ( In) st convrgnt. B) ( In) st monoton. C) pour tout n N I n > 0. D) pour tout n N I n < 0. 60) Dans un rpèr orthonormal d unité graphiqu cm, l air du domain délimité par ls droits 3 d équations t, l a ds abscisss t la courb rprésntativ d la fonction st égal, n cm à : 0 B) 8 C) 16 D) 3 Pag sur