Cours de béton armé Comportement du béton en flexion simple

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1 Cours de béton armé Comportement du béton en flexion simple BAC3 - HEMES -Gramme 1 Dr Ir P. Boeraeve - Unité 9 Construction

2 Conventions/notations Signes : + compression - traction Min Maj NOM 2

3 Etats limites ELU F k * γ F 3 γ ELU F G Q Effet défavorable 1,35 1,5 Effet favorable 1,0 0,0

4 Etats limites ELS F k * γ F γ ELS F G Q Effet défavorable 1,0 1,0 Effet favorable 1,0 0,0 4

5 Méthode des coefficients partiels Concept de sécurité Amplification des actions et minoration des résistances F k * γ F R k / γ m Valeurs de CALCUL (indice «d» : DESIGN) F d R d 5

6 Coefficients partiels Sur les sollicitations : γ F γ ELU ELS F G Q G Q Effet défavorable 1,35 1,5 1,0 1,0 Effet favorable 1,0 0,0 1,0 0,0 Sur les résistances : γ m (minoration) BETON γ c = 1.5 (acc. 1,0) ACIER (armatures) γ s = 1.15(acc. 1,0) 6

7 Indiquez les parties de béton comprimé en bleu Indiquez les parties de béton tendues en rouge 7

8 Loi de constitutive du béton σ = f(ε) f ctm Diagramme idéalisés de calcul Parabole-rectangle fck fcd = α avec γc = 1.5 et γ Triangle-rectangle c α = 0.85 Rectangle ε cu3

9 Loi constitutive de l acier des armatures σ = f(ε) ACIER ARMATURES Diagramme de calcul simplifié avec palier plastique fyk fyd = avec γ γ s s = Les barres à haute adhérence (HA) sont généralement en S500 (f yk =500 MPa), donc f yd = 500/1.15 = 435 MPa

10 Acier : zones en traction (résistance : 500 MPa) Béton : zones en compression (résistance 40 MPa) Sections d acier faibles 10

11 11

12 12

13 13

14 14 La poutre est maintenant totalement armée

15 DOC4 : comportement en flexion Questions 15

16 16

17 17 Fissures de compression Fissures de traction

18 Déformations/contraintes Que peut-on déduire des mesures par jauge?

19 19

20 Flexion pure La courbe Moment (M)- Courbure (φ) montre les 4 stades de la poutre φ = (ε / y) = [ σ / E ] / y = [(My / I) / E] / y φ = M / ( E I ) 3 : Plastique, fissuré 4 : Rupture 2 : Élastique, fissuré I : Élastique, non fissuré 20

21 Domaine 1 : Poutre BA, domaine élastique non fissuré I : Élastique, non fissuré 21

22 Domaine 1 : Poutre BA, domaine élastique non fissuré Poutre rectangulaire ( b x h ) armée avec une section d acier A s. Determiner la position de l axe neutre (=CG), le moment d inertie I zz de la poutre non fissurée (béton équivalent). En déduire les contraintes dans le béton et dans les armatures produites par un moment M. E c Module de Young béton (Concrete) E s Module de Young Acier (Steel) A s Section d acier d hauteur utile b largeur h hauteur 22

23 Mécanique de Matériaux : section composée de deux matériaux 1. Transformer la section mixte en section homogénéisée (ici Acier-> Béton équivalent) 2. Position du CG (axe neutre) 3. Moment d Inertie 4. Contraintes 23

24 Mécanique de Matériaux : section composée de deux matériaux 1. Transformer la section mixte (élastique) en section homogénéisée (ici Acier Béton équivalent) 24 Le béton équivalent à A s doit transmettre le même effort, or sa déformation est ε s. N = A σ = A E ε = AE ε c céquiv, c céquiv, c s s s s N = A σ = AE ε s s s s s s E A = = s céquiv, As na. s Ec

25 Solution (section non fissurée) béton Axe neutre x enf = - + béton acier A s A s béton = - + béton A s n = E s /E c Béton équivalent n.a s 25

26 Solution (domaine( élastique non fissuré) x enf = 2 bh + ( n 1) Ad s 2 bh + n A ( 1) s E n = E s c I 3 bh h 2 ( ) 2 = + xenf bh + d xenf ( n 1) A 12 2 s f c Me. xenf Me.( d xenf ) = fs = n. I I 26 f ct = Me.( h xe ) I

27 Contrainte dans les armatures? b ε c f c = E c. ε c x enf h d Contraintes dans le béton ε s f sc = E c. ε s f E s f s = E s. ε s =E s. f sc /E c f s n = E s /E c E c = n. f sc f sc ε 27 ε s

28 Domaine 2 : Poutre BA, domaine élastique fissuré 2 : Élastique, fissuré 28

29 Domaine 2 : Poutre BA, domaine élastique fissuré Poutre rectangulaire ( b x h ) armée avec une section d acier A s. 29 Determiner la position de l axe neutre (=CG) et le moment d inertie I zz de la poutre fissurée. En déduire les contraintes. E c Module de Young béton (Concrete) E s Module de Young Acier (Steel) A s Section d acier d hauteur utile b largeur h hauteur

30 Appl2 - Poutre BA, domaine élastique fissuré f c = E c. ε c x ef bxef. f C = 2 c f s = E s. ε s T = f A s s 30

31 Appl2 - Poutre BA, domaine élastique fissuré 1. La section n est soumise qu à un moment de flexion, les efforts C et T sont donc égaux On exprime ainsi l équilibre de la section x b T = C f A = 2 ef s s c On obtient finalement : f x b ef fs = 2As f c 31

32 Appl2 - Poutre BA, domaine élastique fissuré 2. Les matériaux sont élastiques, donc, ils respectent la loi de Hooke qui s écrit : f c = E c. ε c f s = E s. ε s Remplacez dans l expression précédente : 32 x b E ε c c ε ef s s s 2 = Donc : E A ε ε c s s s s E 2A 2nA = = E c xefb xefb

33 Appl2 - Poutre BA, domaine élastique fissuré 2. Il n y a pas de déplacement relatif entre les armatures et le béton et les sections restent planes : condition de compatibilité. Déduire du diagramme des ε une x ef relation entre ε c et ε s εs ε c = d x x ef ef 33

34 Appl2 - Poutre BA, domaine élastique fissuré Donc : x 2nA ef = s d x x b ef Réarrangeons l équation sous la forme. ef 2nA 2nA 2 x + s x s d ef = ef b b 0 34

35 Appl2 - Poutre BA, domaine élastique fissuré Utilisons le rapport de la section d acier à la section de béton ( pourcentage d armature). ρ = A s bd 2 2. x + nρd x nρd = ef Réécrivons sous une forme non-dimensionelle en fonction de x e /d. ef x ef d 2 x + 2nρ ef 2nρ = 0 d 35

36 Appl2 - Poutre BA, domaine élastique fissuré La solution de cette équation est : 2nρ ± 2nρ + 8nρ x ( ) ef = d x ef 2 = n + 2 ( ) d 2 ρ nρ nρ 2 36

37 Appl2 - Poutre BA, domaine élastique fissuré Le moment d inertie vaut : x ef 3 2 bxef xef = + + ( ) I ef bxef d xef na s 37

38 Application 2 Poutre BA, domaine élastique fissuré x ef = ρ + nρ nρ d x ( ) 2 ef n 2 I f ef c 3 bxef ( ) 2 = + d xef na 3 s n = ρ = E E s c A s bd Mef. xef Mef.( d xef ) = fs = n. I I ef ef 38

39 Domaine 3 : plasticité Ce domaine n est intéressant que par son stade ultime : la rupture 3 : Plastique, fissuré 4 : Rupture 39

40 Domaine 4 : rupture par plasticité 4 : Rupture 40

41 Domaine 4 : rupture par plasticité, Poutre BA rectangulaire (A s, h et b fixés, calcul de Mrd) hypothèses La zone comprimée est modélisée par un diagramme rectangulaire équivalent. ε c,max = (si classe résistance C50/60) f s =f yd pour une rupture ductile (souhaitable) ε=

42 Domaine 4 : rupture par plasticité, Poutre BA rectangulaire 1. La section n est soumise qu à un moment de flexion, C et T sont donc égaux On exprime ainsi l équilibre de la section C = 0.8xbf u cd T = Af s yd x = u Af s yd 0.8bf cd 42

43 Domaine 4 : rupture par plasticité 2. Les efforts internes C et T sont équivalents à un moment qui est le moment résistant de calcul M rd. Donc : M ( ) rd = T d 0.4x u M rd 43

44 Domaine 4 : rupture par plasticité 3. Vérification que les armatures sont bien fyd plastifiées : ε > ε = s y Es Il n y a pas de relatif entre les armatures et le béton et les sections restent. : condition de compatibilité. Déduire du diagramme x u = des ε la relation entre ε c et ε s ε ε = d x x s c u u ( d x ) ε u s = xu

45 Exercice Moment résistant de calcul M rd =? 45 (cotes en cm pour le béton!) b= 20 cm h= 40 cm d= 35 cm Béton C25/30 armatures : 2 φ 20 HA en S500 solution

46 Domaine 4 : rupture par plasticité, Poutre BA rectangulaire Pour assurer une ductilité suffisante, l EC2 impose, en flexion simple, une limite au rapport x u /d : (x u /d) lim = 0,45 pour des bétons de classe de résistance C35/45 et (x u /d) lim = 0,35 pour des bétons de classe de résistance C40/ Cette limite est-elle un maximum ou un minimum? 2. Déduisez le domaine de validité des déformations dans l armature. Quelle en est la conséquence si f yd =435MPa? bétons de classe de résistance C35/45 ε s est toujours < ou > que bétons de classe de résistance C40/50 ε s est toujours < ou > que solution 46

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