Béton Armé. la section de béton est globalement comprimée, la présence des aciers longitudinaux viennent seulement renforcer la résistance du poteau.

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1 I. Principe u Béton Armé La réiance u éton e trè aile en traction. En revance, l acier réie trè ien à la traction. Aui, le principe ou-jacent au éton armé e inérer an la matrice e éton e acier an le zone tenue. I.1. Ca u tirant (N en traction) Toute la ection e éton e tenue, le acier longituinau reprennent eul l eort e traction (le éton n a qu une onction enroage). I.. Ca u poteau ou u uton (N en compreion) la ection e éton e gloalement comprimée, la préence e acier longituinau viennent eulement renorcer la réiance u poteau. I.. Ca e la poutre en leion ( et V préent) De acier longituinau ont inérée an la zone tenue e la poutre pour reprenre l eet e. De acier tranverau reprennent l eort trancant V. On le appelle aui acier e couture. Téorème e réciprocité e Caucy Soit une poutre poée r eu appui oumie à un eort vertical P. La Figure I-1 repréente l allure u iagramme e l eort trancant et u moment léciant. oment léciant P Y X Eort trancant Figure I-1 - Sollicitation V et an une poutre oumie à e la leion imple Intéreon nou maintenant à un petit cue e poutre (Figure I-) en l iolant et en eectuant le ilan e action. Ce cue comme la poutre en général e en équilire. La omme e eort et la omme e moment oivent onc être nul. 1

2 Comportement ou leion Un empilement e plance orizontale... τ 1 On iole un cue Analye e contrainte et ilan τ O τ 1 τ On applique le PFS : - Somme e orce - Somme e moment en O τ 1 τ Une coupe ictive... Figure I- - Téorème e Caucy La Figure I- met en évience le téorème e Caucy : à avoir, il y a égalité e contrainte tangentielle r le 4 côté u cue avec le en e ce contrainte péciié r cette même igure. ie en évience e la néceité acier e couture τ τ O τ τ R R Firation à 45 Figure I- - Démonration e la néceité e acier e couture Compte tenu u téorème e Caucy, la réltante e contrainte tangentielle montre que an le éton une iration va e einer à 45. Il aut coure cette ire avec e acier perpeniculaire à celle ci. Dan la réalité, il n e pa trè pratique e ipoer le acier à 45. Aui, an la majorité e ca, le acier ont poitionné verticalement. II. Bae réglementaire Le matériau éton par nature non omogène - aocié à l acier inuit un comportement autrement plu complee que ne peut le écrire le ypotèe trè impliicatrice e la R. C e pourquoi, e règle e calcul précie et éiée au éton armé ont été étalie. Elle ont contenue an le règlement BAEL (Béton Armé au Etat Limite). La ernière verion majeure ate e 91 mai e moiication mineure ont été réaliée epui. Le BAEL era ientôt remplacé par l Eurocoe uniiant le iérent règlement européen.

3 [Art. A.1.1 u BAEL] Ce règle, aée r la téorie e état limite, ont applicale à tou le ouvrage en éton armé ont le éton e conitué e granulat naturel normau et ont le oage en ciment et au moin égal à 00 kg/m. III. Le Etat Limite III.1. Déinition [Art. A.1.] Un état limite e un état pour lequel une conition requie une conruction (ou un e e élément) e rictement atiaite et ceerait e l être en ca e variation éavorale une e action appliquée. III.. Etat limite e ervice & Etat limite ultime La téorie e état limite conière état limite [Art. A.1.] III..a. Etat limite e ervice (ELS) Le conition e on onctionnement e la ructure ont été atteinte. La urailité e la ructure e remie en caue. - Etat limite ouverture e ire : rique ouverture e ire. - Etat limite e compreion u éton : on limite volontairement la contrainte e compreion à une valeur raionnale. - Etat limite e éormation : lèce maimale. L état limite e ervice atteint remet en caue l aptitue au ervice e la ructure (ire, uite, éorre iver). En revance, la écurité (c e à ire a réiance) n e pa remie en caue. III... Etat limite ultime () Le épaement e cet état conuit à la ruine e la ructure. Au elà e l état limite ultime, la réiance e matériau éton et acier e atteinte, la écurité n e plu garantie et la ructure rique e eonrer. - Etat limite e l équilire atique. - Etat limite e réiance e l un e matériau. - Etat limite e ailité e orme : lamement IV. Le action IV.1. Valeur caractériique e action [Art. A..1.] Le état limite iinguent principalement type action caractériique [Art. A..1] : le action permanente et le action variale. Le valeur attriuée à ce ivere action ont e valeur caractériique : c e à ire qu elle tiennent compte u caractère aléatoire e la valeur e action (En autre terme, il n e pa poile e éterminer avec préciion la valeur e telle ou telle action). Elle ont onc ie un calcul proailie et acceptent le rique que an 5% ou 10% e ca la valeur réelle e ce action épae (ca éavorale) la valeur caractériique retenue. IV.1.a. Le action permanente G i [Art. A..1,] Le action permanente ont une intenité conante ou trè peu variale an le temp. Elle ont éignée par la lettre G. - Poi propre e la ructure

4 - Cloion, revêtement, perructure ie - Pouée e terre, e l eau IV.1.. Le action variale Q i [Art. A..1,] Le action variale ont une intenité qui varie réquemment et e açon importante an le temp. Elle ont éignée par la lettre Q. - Carge eploitation (ratio utiliateur, e véicule, etc.) claée par urée application (provioire, longue urée) - Carge climatique (neige et vent) - Eet termique IV.. Valeur e calcul e action [Art. A..] Pour tenir compte e rique non merale, on aocie au valeur caractériique e action un coeicient e écurité pour otenir le valeur e calcul e action. Pui on comine ce valeur e calcul pour étalir le ca e cargement le plu éavorale. IV..a. Cominaion action au ELS [Art. A..,] La cominaion action courante à l ELS e la ivante : avec : - G ma : enemle (omme) e action permanente éavorale. - G min : enemle (omme) e action permanente avorale. - Q 1 : action variale e ae. - Q i : autre action variale accompagnement avec leur coeicient ψ i. G ma + Gmin + Q1 + ψ iqi 1 Le cominaion le plu courante : - G + Q + 0.9( S ouw ) (S : now W : win) - G + ( S ouw ) Q IV... Cominaion action au [Art. A..,] La cominaion action courante à l e la ivante : avec : - G ma : enemle (omme) e action permanente éavorale. - G min : enemle (omme) e action permanente avorale. - Q 1 : action variale e ae. - Q i : autre action variale accompagnement avec leur coeicient ψ i. 1.5G ma + Gmin + 1.5Q1 + 1.ψ iqi Le cominaion le plu courante : 1.5G Q + 1.( S ouw ) G 1.5G ( S ouw ) Q G 1 Tou le coeicient e écurité ont égau à 1. 4

5 V. Le matériau (acier et éton) V.1. Réiance caractériique u éton V.1.a. Réiance caractériique en compreion cj [Art. A.1,11] Cette réiance ( cj en pa) e otenue par un gran nomre eai e compreion juqu à rupture r une éprouvette normaliée 16 cm * cm (environ 00 cm²) cylinrique. σ Contrainte à rupture n ième eai Figure V-1 Coure e comportement u éton en compreion ε cj e le réltat un calcul proailie qui accepte le rique que an 5% ou 10% e ca la valeur réelle e réiance u éton oit inérieure (ca éavorale) à cj retenue. Le urciement u éton étant progrei, cj e onction e l âge u éton. Aui, la valeur conventionnellement retenue pour le calcul e ouvrage e c8, la réiance caractériique u éton à 8 jour. j - Pour c8 <40 pa cj j avec c c8 eprimé en pa j - Pour c8 >40 pa cj j c 5

6 cj [pa] 45 Réiance caractériique en compreion [pa] cj [pa] Age [jour] Figure V- - Relation réglementaire en onction e l'âge u éton (ca c8 < 40 pa ) cj Clae u ciment 45 et 45 R 55 et 55 R c8 [pa] CC AS 4 CC AS * non ami * 5 75 * * Taleau V-1 - en onction u oage en ciment et e la clae u ciment [Art. B1.1] c8 pa) V.1.. Réiance caractériique en traction tj [Art. A.1,1] Il e particulièrement iicile otenir epérimentalement la réiance à la traction u éton. C e pourquoi, on retient conventionnellement : 06 tj cj (valale pour cj <60 pa et cj eprimé en Eemple : Pour otenir un éton e réiance caractériique en compreion c8 5 pa, il aut : - un éton e clae 55 oé à 75 - un éton e clae 55 oé à 50 améliorée. kg/m e ciment il e réalié an e conition courante. Sa réiance caractériique en traction t8 e égale à *5.1 pa. kg/m e ciment it il e réalié an e conition e contrôle V.. Réiance caractériique e l acier [Art. A.,1] Quel que oit le type acier utilié, celui ci e ppoé e comporter également en traction et compreion. Il n y a onc pa e iinction entre la réiance à la traction et à la compreion. On éinit onc la réiance caractériique e l acier comme étant a limite élaique garantie : e. Principale armature utiliée R pour rapie. CC : Conition Courante e arication u éton. 4 AS : CC + Auto contrôle Surveillé. 6

7 Acier ron lie Acier à aute aérence (HA) Treilli oué à il lie Treilli oué à aute aérence (HA) Déignation Fe E 15 Fe E 5 Fe E 400 Fe E 500 TLE 500 Fe TE 500 e [pa] Taleau V- - e en onction u type acier Le moule élaicité longituinal e l acier E 5 S e toujour pri égal à pa [Art. A.,1]. V.. Dipoition conructive V..a. Enroage e armature [Art. A7.1] Ain e protéger le armature e la corroion, celle ci oivent être iamment enroée e éton. E éini l enroage e. e acier éton e L enroage e e toute armature e au moin égal à : Figure V- Déinition e l enroage e - 1 cm : locau couvert non epoé au conenation. - cm : epoé au intempérie, conenation et liquie ou action agreive (ramené à cm i c8 >40 pa). - 5 cm : atmopère trè agreive, mer, emrun. - et toujour périeur à. V... Groupement acier [Art. A7.] Le armature ont ouvent groupée en paquet. ai leur ipoition oit être compacte et oppoer le minimum e gène lor u coulage u éton (en particulier à caue e la taille e granulat). On retienra le ipoition conructive ivante : e V D : imenion maimale e granulat e H 1.5D ou e V D ou e' H 1.5D ou Solution non autoriée e H e' H Figure V-4 - Dipoition conructive pour le groupement 'armature 5 L inice S pour Steel. 7

8 VI. Béton Armé Introuction au calcul VI.1. Ojecti u calcul L ojecti e tout calcul e e éinir le imenion u corage aini que le erraillage e tou le élément une conruction. VI.. Dimenionnement / Vériication La notion état limite introuit un nomre important e conition. Il aut en eet arer que l élément e ructure étuié atiae le conition impoée par l ELS mai aui par l. C e pourquoi, le calcul e éton armé e aé r le principe u imenionnement / vériication. Dan un premier temp, une pae e imenionnement 6 va permettre e éterminer une première valeur e ection acier. Ce imenionnement rélte e l application une eule e ipoition réglementaire. Dan un euième temp, on vériie que toute le conition réglementaire ont atiaite. Aini an le ca général, i le imenionnement eploite une conition e l ELS, la vériication era réaliée avec le conition e l ou vice-vera. VI.. étoologie e calcul 1) Evaluation e action et e cominaion action ) Etue e réiance e matériau N, V et et éormation en toute ection e l élément coniéré ) Détermination e coure enveloppe et éuction e «ection angereue» (valeur maimale e ollicitation) 4) Dimenionnement au roit e ce «ection angereue» e ection armature à l ELS (ou l ) 7 5) Vériication e ce même ection armature à l (ou l ELS) 6) Etaliement e plan eécution : armature/corage VII. Vériication e ection ou contrainte normale - ELS Le contrainte normale σ ont inuite par N ou. Elle ont claiquement préente an le tirant, poteau et poutre. VII.1. Hypotèe e calcul [Art. A4.5,1] Le ection roite reent plane aprè éormation Pa e gliement relati entre armature et éton ε ε Le éton tenue e négligé Le éton et acier ont un comportement élaique linéaire Conventionnellement, le rapport u moule élaicité longituinal e l acier à celui u éton noté «coeicient E équivalence n» e pri égal à 15 : n 15 E VII.. Conition impoée par l ELS VII..a. Etat limite e compreion u éton [Art. A.4.5,] La contrainte e compreion an le éton e limitée à 0.6 cj. 6 Par comparaion, le pré-imenionnement e le ruit e l epérience. 7 Généralement, un pré-imenionnement préalale aura ourni le ection e éton. 8

9 Pour un éton âgé e plu e 8 jour, il vient : σ c er 0.6 c8 VII... Etat limite ouverture e ire [Art. A.4.5,] Pour limiter le ire, on limite la contrainte an le armature tenue. En onction e la eination e la ructure (à écouvert, à l ari, en or e mer), la taille e ire ont plu ou moin nocive. Ca 1 - iration peu préjuiciale (FPP - intérieur) : σ Ca poutre i >0 mm e H <4 et enité armature e peau cm²/ m oit environ 4HA10 par mètre e paroi [Art. A.8.] Ca alle, e H <min.( cm, ) [Art. A.8.,4] Ca iration préjuiciale (FP etérieur, conenation) : σ ( 40, 110 η ) er ma tj avec 8 η er η 1pour acier lie 1.6 pour HA e et tj eprimé en pa >6 mm Ca poutre i >0 mm e H <4 et enité armature e peau cm²/ m (4HA10/m) [Art. A.8.] Ca alle, e H <min.(5 cm, ) Ca iration trè préjuiciale (FTP milieu agrei) : σ ma( 00, 90 η ) er tj >8 mm Ca poutre i >0 mm e H < et enité armature e peau 5 cm²/ m (5HA1/m) [Art. A.8.] Ca alle, e H <min.(0 cm, 1.5) VII..c. Etat limite e éormation Ce critère n e généralement pa préponérant en éton et ne era pa éveloppé. VII.. Vériication e élément courant VII..a. Traction imple N ELS connu Section acier tenue A connue Section A N ELS ou N a Vériication (Etat limite ouverture e ire) : σ N A ELS er VII... Compreion imple (compreion centrée) N ELS connu Section acier comprimée A connue Section A Diagramme e contrainte (ection omogénéiée éton) n.a σ c σ n N ELS a 1 cm 1 cm σ n 8 η e appelé coeicient e iration. 9

10 Vériication (Etat limite e compreion u éton) : σ avec r c N ELS totale N ELS B + na B : ection réuite u poteau telle que ( a cm)( cm) B r. L introuction e la ection réuite e une manière e ouraire la ection e armature r la ection e éton. VII..c. Fleion imple r er 1. Section rectangulaire avec ou an armature comprimée Ca 'une poutre avec partie inérieure tenue A Hauteur comprimée ' σ c σ F F Z A F σ e petit Syème iolé : ection B.A. Bilan e eort etérieur (prie en compte u moment léciant uniquement) Figure VII-1 - Bilan atique et état e contrainte 'une ection e poutre BA Bilan e eort etérieur : F, F : eort an le acier tenu et comprimé. F : eort an le éton comprimé (nul an le éton tenu). PFS : F : moment e leion. + F F 0 acier tenu F Z F ( ) 0 Donnée :,, et connue ( inconnue onc Z aui) ELS connu Section acier A et A connue 9 9 Seule le ection acier comprimée entourée armature tranverale tou le 15 ont prie en compte an A. 10

11 Diagramme e éormation --> linéaire Diagramme e contrainte (ection omogénéiée éton) Diagramme e réltante ' σ c ' n.a σ n 1/ F F σ n G ae ou ire neutre µ (σ0 et ε0) n.a F Z G F F σ A σ c Traction Compreion Figure VII- - Diagramme (éormation, contrainte normale et réltante) à l'els en vériication Conition à vériier : σ er σ c er iérente e la R!). avec σ ( y) Recerce e la poition e la ire neutre On a : ELS y valale an la ection omogénéiée éton (attention à la convention e igne I µ, c e à ire la valeur e : - F + F F σ + 0 c Aσ Aσ (PFS) - σ c σ n σ n ( ) ( ) armature comprimée, (Talè) Il vient alor : + na ( ) na ( ) 0 (équation u ème egré) où éuction e. S il n y a pa A e nul. Détermination u moment quaratique I : I /ae orizontal : moment quaratique u éton comprimé + moment quaratique e acier tenu + moment quaratique e acier comprimé. éton comprimé : I + (ection rectangulaire + Huygen) 1 πd nre e arre 64 acier tenu : ( ) ( ) I 4 + na na acier comprimé : ( ) ( ) 4 πd I nre e arre + na na 64 Il vient alor : I + na ( ) + na ( ) (ection circulaire + Huygen) (ection circulaire + Huygen). S il n y a pa armature comprimée, A e nul. Détermination e contrainte etrême pour vériication : ELS σ n ( ) er I σ I ELS ( ) er 11

12 . Section en Té avec ou an armature comprimée Le principe e le même que pour le ca une ection implement rectangulaire. Le eu inconnue onamentale qui oivent être éterminée pour la vériication ont et I. Deu ca e préentent : Ca 1 : ae neutre an la tale e compreion Ca : ae neutre an la nervure A A 0 0 A A 0 0 Figure VII- - Zone e éton comprimé an le ca 'une ection en Té Pour avoir où e ituera l ae neutre, il e néceaire eectuer un premier calcul aritraire pour éterminer le igne e + na ( ) na ( ) en remplaçant par 0. Si le igne e poiti, l ae neutre e an la tale e compreion (ca 1) le calcul ont ientique au ca une ection rectangulaire (le équation ne cangent pa). Si le igne e négati, l ae neutre e an la nervure (ca ) : l équation pour éterminer evient l équation pour éterminer I evient ( )( ) I 0 0 ( )( ) 0 + na 0 + na ( ) na ( ) 0 ( ) + na ( ) VIII. Vériication e ection ou contrainte normale VIII.1. Hypotèe générale e calcul [Art. A4.,] Le ection roite reent plane aprè éormation Pa e gliement relati entre armature et éton ε ε Le éton tenue e négligé Le éton et acier n ont pa un comportement élaique linéaire. En conéquence, le iagramme contrainte éormation e réérence pour le éton et l acier ont précié ci eou. Béton [Art. A4.,4] Le iagramme contrainte ( σ c ) - éormation ( ε c ) utiliale u éton comprimé ont : an tou le ca : iagramme «paraole rectangle» [Art. A4.,41] 1

13 σ c u 0.85 θγ cj.10 - ε u,5.10 ε c Figure VIII-1 - iagramme paraole rectangle - u e la valeur e calcul e la contrainte u éton. - Le coeicient θ épen e la urée application e carge : θ1 i urée>4 - θ0.9 i 1 >urée<4. - γ e le coeicient e écurité : γ 1.5 (ca courant) - γ 1.15 (cominaion accientelle). eulement i la ection n e pa entièrement comprimée : iagramme «rectangulaire impliié» [Art. A4.,4] u u 0.8 G G Simpliication Diagramme "paraole rectangle" Diagramme "rectangulaire impliié" Figure VIII- - Paage au iagramme rectangulaire impliié Acier [Art. A.,] & [Art. A4.,] Le iagramme contrainte ( σ ) - éormation ( ε ) utiliale e l acier e : σ γ e ε e ε e e γ E ε ε Figure VIII- - Diagramme e l'acier au - e la valeur e calcul e la contrainte e l acier. - γ e le coeicient e écurité : γ 1.15 (ca courant) - γ 1 (cominaion accientelle). 1

14 Par la ite, on ppoera toujour que pour le acier tenu σ. VIII.. Conition impoée par l VIII..a. Diagramme e éormation limite an la ection [Art. A4.,] & [Art. A4.,] Le éormation au ein une ection, tout en reant linéaire, ont limitée : - à 10 ( ) en allongement pour l acier - à.5 (, ) en raccourciement pour le éton en leion 10 Compte tenu e ce conition limite en éormation, le iver zone e iagramme e éormation poile ont : ' Diagramme e éormation --> linéaire ε u,5.10 Pivot B Fire comprimée A 1 ε c A ε Pivot A ε e Figure VIII-4 - Diagramme e éormation limite () Fire tenue Pour e raion pratique (lor u imenionnement en particulier), ont éini principalement eu pivot (pivot A et B) autour equel on ppoera que le iagramme e éormation tourneront. VIII... Soit N u et Etat limite e ollicitation [Art. A4.,1] u le valeur limite ultime e l eort normal et u moment léciant, on oit vériier : En traction ou en compreion : N u N En leion : u VIII.. Vériication e élément courant VIII..a. Traction imple N connu Section acier tenue A connue Section A N ELS ou N a Vériication (Etat limite ultime e ollicitation) : N u A A γ e N 10 et à (.10 - ) en raccourciement pour le éton en compreion imple. 14

15 VIII... Compreion imple (compreion centrée) [Art. B8.] Soumi à un eort e compreion, un poteau peut avérer inale et lamer. Il e onc néceaire e prenre en compte an le calcul une longueur ictive u poteau appelée longueur e lamement l à la place e a longueur réelle (appelée aui longueur lire) l Longueur e lamement [Art. B8.] et élancement La longueur e lamement l épen u type e liaion préente au etrémité e l élément coniéré. Ca u poteau iolé [Art. B8.,] 1 etrémité lire 1 etrémité encarée etrémité articulée 1 etrémité articulée 1 etrémité encarée etrémité encarée Relation l et l 0 : l.00*l 0 l 1.00*l 0 l 0.707*l 0 l 0.5*l 0 l Relation entre l e et l en onction u type e liaion l 0 : longueur lire e l'élément l : longueur eective ou longueur e lamement équivalente Figure VIII-5 - Relation longueur lire/longueur e lamement Ca e âtiment [Art. B8.,] Lorqu il agit e ructure complee type âtiment, la éuction e la longueur e lamement n e pa aui éviente et il e néceaire e coniérer comparativement le ivere rigiité (ou inertie) e poteau et poutre. 15

16 I poutre I poteau l 0 ***** Ca étage courant : l 0.707*l 0 ***** (i le inertie e poutre ont périeure à l'inertie u poteau : I poutre 1 >I poteau & I poutre >I poteau ) I poutre 1 I poteau l 01 ***** Ca poteau r onation : l 0.707*l 0 ***** (i l'inertie e la poutre e périeure à l'inertie u poteau : I poutre 1 >I poteau ) I : inertie e leion (moment quaratique) ***** Autre ca : l 1*l 0 (mie en écurité) ***** Figure VIII-6 - Longueur e lamement pour un âtiment Déinition e l élancement Un oi éterminée la longueur e lamement l - i e le rayon e giration : i I B min, e éini l élancement - I e le moment quaratique minimum e la ection u poteau - B e la ection u poteau l λ où : i Eemple Soit a et le côté u poteau avec a<, il vient : B a a I min 1 a i 1a a 1. Vériication [Art. B8.4] a, et l connue N connu Section acier comprimée A connue Seule le ection acier comprimée entourée armature tranverale tou le 15 et jouant eectivement un rôle an la ailité au lamement [Art. B8.4,1] ont prie en compte an A. 16

17 Section A N a 1 cm 1 cm Vériication (Etat limite ultime e ollicitation) : avec : r N u α Br 0.9γ c8 + A B : ection réuite u poteau telle que ( a cm)( cm) α : coeicient 1 onction e λ λ λ α λ α 0.6 λ B r e N γ VIII..c. Fleion imple (ection rectangulaire eulement) Seule le ection e type rectangulaire imple avec ou an armature comprimée eront «vériiée» par eploitation irecte e conition e l citée au VIII.. Le ca e ection en Té ne era pa traité an le ca e la vériication (voir le X..c.5). Ca 'une poutre avec partie inérieure tenue A Hauteur comprimée ' σ c σ F F Z A F σ e petit Syème iolé : ection B.A. Bilan e eort etérieur (prie en compte u moment léciant uniquement) Figure VIII-7 - Bilan atique et état e contrainte 'une ection e poutre BA an acier comprimé En outre et an un ojecti e impliication, l enemle e calcul eront mené avec le iagramme rectangulaire impliié. Bilan e eort etérieur : F, F : eort an le acier tenu et comprimé. F : eort an le éton comprimé (nul an le éton tenu). : moment e leion. 1 Si plu e la moitié e la carge e appliquée avant 90 jour, α e à ivier par Si la carge e appliquée avant 8 jour, α e à ivier par

18 PFS : F Béton Armé + F F 0 acier tenu F Z F ( ) 0 Donnée :,, et connue ( inconnue onc Z aui) connu Section acier A et A connue 1 Diagramme e éormation --> linéaire Diagramme e contrainte (rectangulaire impliié) ' u Diagramme e réltante ' 0.8/ F F A G ae ou ire neutre µ : (ε0) Z Traction Compreion A F Figure VIII-8 - Diagramme (éormation, contrainte normale et réltante) à l' en vériication G F 0. 8 u F A F A Pour impliier l écriture, on poe : Conition à vériier : α Vériication (Etat limite ultime e ollicitation) : u ZF + F ( ) Le inconnue ont Z et F. Recerce e et onc Z : On a F F F A A 0 + u 0. 8 En conéquence : ( A A ) Il vient alor : Z 0.8 ( 1 0.4α ) Calcul e u : ( 0.8 ) 0. + A ( ) u 8 u u 1 Seule le ection acier comprimée entourée armature tranverale tou le 15 ont prie en compte an A. 18

19 IX. Béton Armé Dimenionnement e ection ou contrainte normale ELS IX.1. Hypotèe et conition ELS Le ypotèe étaillée lor e l élaoration e métoe e vériication à l ELS reent valale : voir le VII.1 et VII. page 8. En outre, on ppoera toujour que le acier tenu travaillent au maimum autorié par l ELS : IX.. Dimenionnement e élément courant IX..a. Traction imple a, le côté u poteau avec a< connue N ELS connu Equation e imenionnement : Etat limite ouverture e ire : A N ELS er σ er Dipoition conructive Armature longituinale : Dan le ca un recouvrement armature longituinale, il convient e repecter une longueur minimum e recouvrement appelée «longueur e ellement roit» l (pour plu e étail, voir l article A6.1). Armature tranverale : 10 t où t e le iamètre e armature tranverale. t a en zone courante ( t e l epacement entre le cour ccei armature tranverale et a e la plu petite e imenion tranverale u poteau). IX... Compreion imple (compreion centrée) a, le côté u poteau avec a< connue N ELS connu Equation e imenionnement : Etat limite e compreion u éton : avec r A 1 N n ELS er B B : ection réuite u poteau telle que ( a cm)( cm) Dipoition conructive r B r. Armature longituinale [Art. A8.1,] : ma( 4 p;0.% B) A 5% B où : B e la ection u poteau. p e le périmètre u poteau eprimé en cm, oit p ( a + ). Par ailleur, il convient e poitionner le armature longituinale au voiinage e paroi eptile être le plu ollicitée par e pénomène e lamement. Dan le ca un recouvrement armature longituinale, il convient e repecter une longueur minimum e recouvrement appelée «longueur e ellement roit» l (pour plu e étail, voir l article A6.1). Dan le ca armature comprimée, la longueur e recouvrement peut être limitée à 0.6 l [Art. A6.1,]. Armature tranverale [Art. A8.1,] : 5 mm t 1 mm et 10 min ( 15 ;40 cm; a + 10 cm) t où t e le iamètre e armature tranverale. t où a e la plu petite e imenion tranverale u poteau. 19

20 Dan le zone e recouvrement e acier longituinau, il convient e ipoer troi cour armature tranverale. IX..c. Fleion imple Le imenionnement au ELS e généralement le critère préponérant pour le conition e iration préjuiciale (FP) et trè préjuiciale (FTP), eu ituation typique e ouvrage e travau pulic qui ont yématiquement en etérieur. Il e logiquement ivi une vériication au. Lorqu il agit e imenionner une poutre en leion, le inconnue ont tout autant le côte e la ection e éton ( et ) que le ection acier ( A et A ). Pratiquement, on e onne «à priori» la ection e éton et le calcul e pae enite en eu temp : 1. Evaluation e la capacité e la ection éton à reprenre le moment e leion an armature comprimée calcul u moment réiant éton. r. Dimenionnement eective e armature tenue et éventuellement e armature comprimée. Coi "à priori" e et Reimenionnement e et Calcul u moment réiant éton La ection éton prééini (pa 'acier comprimé) peut-elle reprenre le moment e leion? Non Coi tecnologique Oui Ajout 'armature comprimée Calcul e armature tenue Calcul e armature tenue et comprimée Fin Figure IX-1 - Organigramme éciionnel pour le imenionnement ELS 1. Evaluation u moment réiant éton r Celui ci évalue an armature comprimée et en ppoant le contrainte acier et éton au maimum autorié par l ELS. Bilan e eort etérieur et PFS : F, F et. F F 0 et F Z 0 acier tenu ou F Z 0 éton comprimé Donnée :, et connue ELS connu 0

21 Diagramme e contrainte ue à r (ection omogénéiée éton) et réltante 1/ r er r F Z r n.a F er n F r er F A er Traction Compreion Figure IX- - Diagramme e contrainte normale et ilan e réltante inuit par r Conition à vériier et concluion : pa armature comprimée avec r r ELS < armature comprimée néceaire r r ELS Z F (PFS) Recerce e r et onc Z r : On a : er + er n En conéquence : Il vient alor : er r r (Talè) er 0.6 c8 ou ien α er er er c8 + n 15 Z r : 1 α Z r 1 r r r r c8 c8 + er 15 Calcul e r r : Z r F α 0.6 α 1 r r r er 1 α r c 8. Section rectangulaire an armature comprimée (ca r ELS ) Bilan e eort etérieur et PFS : F, F et. F F 0 et F Z 0 acier tenu ou F Z 0 éton comprimé Donnée :, et connue ( inconnue onc Z aui) ELS connu 1

22 Diagramme e éormation --> linéaire Diagramme e contrainte (ection omogénéiée éton) Diagramme e réltante σ c 1/ F ae ou ire neutre µ (σ0 et ε0) G Z G F c er σ n.a n F F A er Traction Compreion Figure IX- Diagramme (éormation, contrainte normale et réltante) à l'els en imenionnement Equation e imenionnement : ELS A (PFS) Z er La eule inconnue an cette équation e Z (ou ou encore α car Z 1 1 α ). Recerce e la valeur e Z, c e à ire la poition e la ire neutre : On a : F F σ c A er 0 (PFS) er σ c n (Talè) Il vient alor une équation u ème egré onction e α! Sa réolution complee ne era pa aorée en étail. Une tecnique impliiée permet aoutir à la olution. 1) On calcule a avec l équation co( ) ) On otient co( a + 60 ) 1.5 m n 1 a + avec m er m n α avec a en egré. er ELS ) On en éuit Z 1 α ou α. Section rectangulaire avec armature comprimée (ca r ELS Dan ce ca, il eie en ait eu olution : 1) Re imenionner ou juqu à inverer l inégalité. ) Ajouter eectivement e acier comprimé. C e l ojet e ce qui it. < ) Le prolème e écompoé en eu ou - prolème précié an le grapique ivant :

23 1 A A ' Hauteur r comprimée Hauteur r comprimée + ' A A 1 A ELS r ELS - r + A A 1 A A 0 A 1/ r er n.a F r Z r F r ' σ n F 1 er n F er n n.a F r F1 A1 n.a 1 er er F A σ F A Figure IX-4 Décompoition et iagramme (éormation, contrainte normale et réltante) à l'els en imenionnement avec acier comprimé er Le principe e perpoition va permettre aitionner le iérente ection acier otenue. Bilan e eort etérieur et PFS : Prolème 1 : voir le Evaluation u moment réiant éton Prolème : F, F et. F F 0 r page 0. F ( ) 0 ou F ( ) 0 acier tenu Donnée :,,, et r (onc Z r aui) connue r et ELS connu Equation e imenionnement : r Prolème 1 : A1 (PFS) Z Prolème : Il vient alor : A er r ELS r A et A er er ( ) r er ( ) σ ELS r ELS r + et A Z La eule inconnue an cette équation e ( ) acier comprimé r σ ELS (PFS) r ( ) σ, la contrainte an le acier comprimé.

24 Détermination e On a r σ : σ n Il vient alor σ er r (Talè) n er ( ) r r 4. Section en Té avec ou an armature comprimée Le calcul ont aé r un principe ientique mai peuvent avérer eaucoup plu long et compliqué compte tenu e la préence e la tale e compreion. Seule une métoe approcée pour le ection en Té an armature comprimée e étaillée. Le ection en Té avec armature comprimée ne eront pa traitée puiqu elle ont ouvent imenionnée pour ne pa néceiter armature comprimée. étoe e calcul approcée (an armature comprimée) : ELS On a toujour A (PFS). La eule inconnue an cette équation e Z. Z er + Hypotèe complémentaire : Toute la tale et eulement la tale e compreion e comprimée. La répartition e contrainte e omogène. 0 / σ c F Z 0 A F er e petit F F A σ 0 c er Figure IX-5 - iagramme métoe approcée (contrainte normale et réltante) à l'els en imenionnement acier comprimé Il vient alor Z 0 X. Dimenionnement e ection ou contrainte normale X.1. Hypotèe générale e calcul et conition Le ypotèe étaillée lor e l élaoration e métoe e vériication à l reent valale : voir le VIII.1 et VIII. page 1. X.. Dimenionnement e élément courant X..a. Traction imple N connu 4

25 Dimenionnement (Etat limite ultime e ollicitation) : A En outre, le ipoition conructive relative au armature longituinale et tranverale citée au IX..a page 19 reent applicale. N X... Compreion imple (compreion centrée) a, le côté u poteau avec a< et l connue N connu Dimenionnement : avec A N α c8 Br 0.9 γ γ e N B r ection réuite u poteau et α coeicient onction e λ (c. VIII... page 16). En outre, le ipoition conructive relative au armature longituinale et tranverale citée au IX.. page 19 reent applicale. X..c. Fleion imple Le imenionnement au e généralement le critère préponérant pour le conition e iration peu préjuiciale (FPP) ituation rare r le ouvrage e travau pulic. C e pourquoi le imenionnement au e généralement entrepri pour le élément e âtiment. Il e logiquement ivi une vériication au ELS. γ e Lorqu il agit e imenionner une poutre en leion, le inconnue ont tout autant le côte e la ection e éton ( et ) que le ection acier ( A et A ). Pratiquement, on e onne «à priori» la ection e éton et le calcul e pae enite en eu temp : 1. Evaluation e la capacité e la ection éton à reprenre le moment e leion an armature comprimée comparaion e la roite e éormation réelle au eu roite e éormation ivante : Droite A B (paant par le pivot A et B) Droite ε e - B (paant par la éormation acier tenu ε e et le pivot B). Dimenionnement eective e armature tenue et éventuellement e armature comprimée. L enemle e calcul ont mené avec le iagramme rectangulaire impliié. 1. Caractériation e roite e éormation A B et ε e - B Celle ci otiennent an l ypotèe e l aence armature comprimée. Bilan e eort etérieur et PFS : F, F et. F F 0 et F Z 0 acier tenu ou F Z 0 éton comprimé Donnée :, et connue 5

26 ' Diagramme e éormation --> linéaire ε u,5.10 Pivot B Fire comprimée A 1 ε c A ε Pivot A ε e Figure X-1 - Diagramme e éormation limite () Fire tenue Droite e éormation A - B Cette roite e éormation e la roite paant par le pivot A et B imultanément. Epreion e : A B A B.5 (Talè) A B A B.5 Epreion e α A B α A B 0.59 (conante) 1.5 Epreion u moment correponant F Z.8 ( 0.8 ) A B Epreion u moment réuit correponant A B 0 A B u A B A B u A B µ A B A B u µ (conante) Droite e éormation ε e - B Cette roite e éormation e la roite paant par la éormation ε e et B imultanément. e Rappel : ε e γ E Epreion e Epreion e Z ε e B : ε e B ε e B ε e B.5 10 Epreion e α ε e B ε e + ε e (Talè).5 10 ε e B.5 10 Epreion u moment correponant F Z.8 ( 0.8 ) α 0.8α ( α ) ε e B ε e B ε e B u ε e B Epreion u moment réuit correponant + ε ε e B ε e B ε e B u ε e B ε e B ε e B u e 0 oit en onction e µ µ 0.8α ( α ) La ernière équation ournit aui la relation invere : α 1.51 ( 1 ) ε e B µ εe B ε e B εe B εe B Récapitulati Le ivere valeur epreion e la roite e éormation A B ont e conante. Le ivere valeur epreion e la roite e éormation ε e B ont onction uniquement u type acier. Le taleau ivant onne le valeur pour le eu nuance acier principale. 6

27 Nuance acier Droite e éormation A - B Droite e éormation ε e - B ee400 ee500 α A B 0.59 µ A B α εe B µ ε e B α A B 0.59 µ A B α εe B µ ε e B Taleau X-1 - Taleau récapitulati e roite e éormation caractériique à l. Initialiation u calcul et étermination e la néceité éventuelle acier comprimé Bilan e eort etérieur et PFS : F, F et. F F 0 et F Z 0 acier tenu ou F Z 0 éton comprimé Donnée :, et connue connu Calcul initiau : 1. Calculer le moment réuit réel tel que. En éuire α 1.51 ( 1 ) µ u 0.8 µ, α et Z. Détermination u type e pivot et e l eience acier comprimé. Si α α A B ou µ µ A B : pivot A zone 1 : le acier travaillent au maimum e leur éormation (On ne peut épaer la limite u pivot A pour le acier!), par contre le éton e en eou e a limite en éormation. Pa eoin armature comprimé. Si α A B α αε e B ou µ A B µ µ ε e B : pivot B zone : c'e le éton qui travaille au maimum e a éormation (On ne peut épaer la limite u pivot B pour le éton!) et l'acier qui, tout en reant an le omaine plaique, travaille en eçà e a limite e éormation. Pa eoin armature comprimé. Si α ε < α e ou µ ε e B < µ : pivot B avec armature comprimée néceaire (On ne épae toujour pa la éormation limite u éton, en revance la contrainte an le éton épaerait a limite i e armature comprimée ne ont pa ajoutée. D'autre part, on ne permet pa à l'acier e paer en eçà e a limite élaique en éormation). Si aucune armature comprimée n'étaient ajoutée, on paerait an la zone.. Section rectangulaire an armature comprimée (ca µ µ B ) ε e Dimenionnement (Etat limite ultime e ollicitation) : A Z 4. Section rectangulaire avec armature comprimée (ca µ µ ε B ) Le prolème e écompoé en eu ou - prolème précié an le grapique ivant : e 7

28 1 A A ' Hauteur εe - B comprimée Hauteur εe - B comprimée + ' A A 1 A εe - B - εe - B + A A 1 A A 0 A ε u,5.10 Pivot B ε u,5.10 Pivot B εe - B εe - B ε Pivot A ε e Diagramme e éormation ientique Figure X- Décompoition et iagramme (éormation, contrainte normale et réltante) à l' en imenionnement avec acier comprimé Le principe e perpoition va permettre aitionner le iérente ection acier otenue. Bilan e eort etérieur et PFS : Prolème 1 : voir le calcul étaillé r «Droite e éormation ε e - B» à la page 5. Prolème : F, F et. F F 0 F ( ) 0 ou F ( ) 0 acier tenu Donnée :,,, et ε B (onc Z ε B aui) connue e ε e B et connu e acier comprimé ε e Equation e imenionnement : ε e B Prolème 1 : A1 (PFS) Z Prolème : Il vient alor : A ε e B ε e B A et A Z ε e B ε e B ( ) + La eule inconnue an cette équation e ε e B ( ) σ et A ε e B ( ) σ (PFS) ε e B ( ) σ, la contrainte an le acier comprimé. 8

29 Détermination e On a σ : e σ Eε i on e itue an le omaine élaique, c e à ire que ε < ε e. E γ e σ i on e itue an le omaine plaique, c e à ire que ε e γ ε e ε Il vient alor ε (Talè) ε e éuction e σ ε. 5. Section en Té an (ou eceptionnellement avec) armature comprimée Deu ca peuvent e préenter : - Ca 1 : Seule tout ou partie e la tale e compreion e comprimée (la nervure reant une zone tenue) - Ca : En plu e la tale, une partie e la nervure e comprimée. L évaluation e la ituation eectue en calculant le moment e tale ultime Evaluation u moment e tale Tu Tu. Tu e le moment maimum que peut reprenre la ection lorque la totalité e la tale (mai eulement la tale) e comprimée. Hypotèe : On ppoe que toute la tale et eulement la tale e compreion e comprimée. On ppoe aui que la répartition e contrainte e rectangulaire impliiée. 0 / u F A F Z F 0 u F A 0 e petit Figure X- - Diagramme e contrainte et ilan e réltante inuit par TU On a toujour F Z 0 acier tenu avec Il vient alor Tu 0 u 0 0 Z. Conition à vériier et concluion : Tu la tale e compreion e partiellement comprimée (l ae neutre e an la tale) le calcul e ramènent à un ca claique e ection purement rectangulaire. Tu < la tale mai aui une partie e la nervure e comprimée (l ae neutre e an la nervure) voir le paragrape ivant. 9

30 Dimenionnement an le ca < (une partie e la nervure e comprimée) Tu Le prolème e écompoé en eu ou - prolème précié an le grapique ivant : Hauteur comprimée A A 1 A 0 0 Tu1 - Tu1 + A A 1 A Figure X-4 Décompoition e ection en Té à l' en imenionnement avec acier comprimé Le principe e perpoition va permettre aitionner le iérente ection acier otenue avec : Prolème 1 : Tu1 e le moment équilirant la tale e compreion retrancée e a partie centrale e largeur 0. Le conition ont le même que lor u calcul e, il vient alor : ( ) 0 Tu Tu u. Prolème : Tu 1 e le moment réiuel repri par la nervure eule aimilale à une poutre e largeur 0. Le calcul e conuit e la même manière que pour une ection e poutre claique. Si Tu1 > r, il aura rajouter e acier comprimé. ai cette éventualité oit être trè rare puique le ection en Té ont ouvent imenionnée pour ne pa néceiter armature comprimée. Dimenionnement (Etat limite ultime e ollicitation) : A A1 + A Prolème 1 : A 1 Tu1 0 Prolème : La ection armature e e la orme (en l aence acier comprimé) (voir le paragrape Section rectangulaire an armature comprimée (ca A µ ), page 7). µ ε e B Z Tu1 XI. Vériication e ection ou ollicitation tangente Le contrainte tangente τ ont inuite eulement par V. Elle ont claiquement préente an le poutre oumie à la leion ( et V au moin préent). Le élément e type poteau et tirant ne reprennent aucun eort trancant! 0

31 XI.1. Principe e juiication e l eort trancant P C C C C C C 45 Compreion (éton) ie en évience 'un onctionnement type treilli Analye atique 'un cue τ τ τ R R τ Firation à Traction (acier) P ie en évience 'une iration généraliée ie en place e care pour "coure" le ire nu 'appui nu 'appui Figure XI-1 - Principe étaillé u onctionnement 'une poutre ou ollicitation 'eort trancant. Le moe e rupture poile par eort trancant vont conuire à enviager le état limite principau ivant : 1. Traction limite e armature âme ou armature tranverale. Compreion limite e ielle e éton comprimée limitée par eu ire à 45. Traction limite e acier longituinau eiant. Ce état limite pourraient e écliner à l ELS et l mai compte tenu e l apect nettement préponérant e l r l ELS, le règlement n enviage que e calcul à l. XI.. Hypotèe générale e calcul XI..a. Relation entre eort trancant V et contrainte tangentielle τ La contrainte tangente maimale (eprimée an la ection omogénéiée éton) une ection rectangulaire e ection e e la orme 14 V ( ) ( ) τ avec z le ra e levier entre le point application e la réltante éton et z acier tenu. e compté u nu e l appui gauce. On poe généralement en première approimation z0.9, il vient alor ( ) ( ) V τ Compte tenu e l étérogénéité introuite par le ca une ection e éton armé, cette epreion ière e celle claiquement ournie par la réiance e matériau conruite pour le ca une ection omogène. Rappel : la contrainte V V tangente maimum an une ection rectangulaire omogène e e la orme : τ ( ) ma. 1

32 XI... Contrainte conventionnelle e ciaillement [Art. A5.1,1] On éinit réglementairement la contrainte conventionnelle e ciaillement : τ avec V ma la valeur maimale à l e l eort trancant. V ma Pour tenir compte e la tranmiion irecte e carge au appui, la contrainte conventionnelle e ciaillement peut être calculée en réuiant la part e eort appliqué r la poutre. Il vient le règle ivante : Entre le nu appui et : carge négligée Entre et : eul la raction e la carge e conervée XI.. Conition impoée par l XI..a. Etat limite ultime u éton e l âme [Art. A5.1,1] Pour e care, étrier et épingle verticau (armature tranverale verticale), la contrainte conventionnelle e ciaillement τ oit vériier : En iration peu préjuiciale : τ 0. c8 min ;5 pa γ En iration préjuiciale ou trè préjuiciale : τ XI... Section minimale armature âme [Art. A5.1,] 0.15 c8 min ;4 pa γ Soit t l epacement e cour ccei armature tranverale, t le iamètre e ce même armature tranverale et enin A la ection un cour armature tranverale, on oit vériier : min[ 0.9 ;40 cm] t t t min ; ; 5 10 A t t e XI..c. Etat limite ultime e armature âme [Art. A5.1,] Seul era traité par la ite le ca e armature tranverale verticale.

33 Section Σ à 45 V() A t ~z A t ~z Figure XI- Diagramme e la contrainte e ciaillement et réltante r la ection Σ (care verticau) Iolon le coté gauce e la poutre. Au roit e la ection Σ à l aie, ection à 45 repréentative une ire, e préent l eort trancant V(). En ppoant que le éton qui travaille en traction perpeniculairement à cette ire e négligé, eul le acier tranverau peuvent reprenre l eort trancant V(). La ection totale armature tranverale coupant la ection Σ e Quel que oit, t z t A. A oit onc vériier l inégalité ivante : A σ V ( ) Le imenionnement impoe la recerce e la ection «angereue» correponant à l eort trancant maimal. En outre, le calcul eectuent à l, il vient onc V V σ. z t ma et Enin en introuiant la contrainte conventionnelle e ciaillement, l équation précéente evient : z t A t z At V τ τ oit encore 0.9 t τ 0.9 t t ai l epérience montre que le éton e capale e reprenre une part e cet eort e traction iminuant autant la contrainte evant être reprie par le armature tranverale. Il vient alor l équation moiiée : At τ t ( 0. k) où : k0 i la iration e trè préjuiciale ou il y a reprie e étonnage k1 en leion imple 0.9 tj Pratiquement, on e ie une ection armature tranverale A t et on ait varier l epacement t. Dan le ca une poutre r eu appui et uniormément cargée, on étermine A t et le premier epacement t pui on applique la règle e Caquot en coiiant le epacement an la érie 7, 8, 10, 11, 1, 16, 0, 5, 5, 40 et en le t reportant autant e oi qu il y a e mètre an la emi portée à partir e l aie. XI... Zone appui [Art. A5.1,] Au niveau e appui, l analye u onctionnement e type treilli conuit au ilan atique ivant :

34 Traction Compreion Compreion a/ 1/ Bielle e compreion 45 Traction a cm R R R* 1/ Bilan u noeu 'appui 45 R Figure XI- - Bilan u noeu 'appui 'un poutre BA Bilan e eort etérieur et PFS : R : réaction appui connue (correpon à l eort trancant au roit e l appui) 1 eort e traction an le armature longituinale 1 eort e compreion an la ielle aout Application u PFS (olution grapique) : L eort an la ielle en compreion e e R L eort an le acier longituinau e e R Etat e contrainte (répartition omogène) : Bielle e éton comprimée : σ c R R a a avec a : longueur e la ielle comprimée (généralement égal à la longueur ancrage e acier longituinau retrancée e cm). R Armature longituinale : σ A Soit V 1. Vériication pour appui imple, la valeur e la réaction appui. On oit vériier que la ection armature longituinale e iante (en poant σ an la ielle e éton ne épae pa une valeur iée. Ce eu conition ont rémée e la manière ivante :. Vériication pour appui interméiaire V A et σ c V a ) et que la compreion 0.8 γ Soit V gauce et V roite, le valeur eort trancant (valeur conventionnellement poitive) à roite et à gauce e l appui coniéré et (valeur téoriquement négative) la valeur u moment léciant r appui. Le même conition que précéemment ont à vériier mai avec e équation prenant en compte l inluence poitive u moment léciant : à gauce : A V z V gauce gauce c8 gauce et σ c 0.8 a γ c8 4

35 à roite : V roite z A roite et σ c V a roite 0.8 γ c8 5