DYNAMIQUE DES SYSTÈMES MÉCANIQUES : ONDES ET VIBRATIONS

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1 DYNAMIQUE DES SYSTÈMES MÉCANIQUES : ONDES ET VIBRATIONS COURS MS 204 ENSTA PARISTECH Amphi 1 EQUIPE PÉDAGOGIQUE Cours : Cyril Touzé Petites classes : Jean Boisson Corinne Rouby Marine Bayard Cyril Touzé

2 Exemples introductifs Hypothèses générales et plan du cours OBJECTIFS DU COURS de la dimension temps dans l analyse des systèmes mécaniques décrits par des milieux continus. les milieux vont vibrer, osciller, sous l effet de conditions initiales et/ou de forces externes. Apparition de nouveaux phénomènes : Propagations d ondes. Vibrations des systèmes mécaniques, modes propres. Au niveau mathématique : résolution d EDP. Objectifs du cours Donner les principaux outils d analyse. Donner des exemples de milieux continus que l on pourra analyser: En mécanique des solides : Milieux élastiques, cordes, poutres, plaques. En mécanique des fluides :, ondes de surface, ballottement. Exemples introductifs Hypothèses générales et plan du cours ONDES/VIBRATION Jet d un caillou dans l eau propagation d une onde de déformation à la surface. Onde : phénomène propagatif. A l échelle de la Terre... Tsunami du 26 décembre 2004

3 Exemples introductifs Hypothèses générales et plan du cours ONDES/VIBRATION Présence d obstacles, de limites : réflexions de l onde incidente, localement la dynamique se complexifie. Sommes d ondes se propageant dans des directions opposées: onde stationnaire On a alors affaire à des vibrations : Exemples introductifs Hypothèses générales et plan du cours ONDES/VIBRATION Milieu infini: lorsque les conditions aux limites sont "loins". lorsque le rapport entre le temps d observation et le temps de propagation est petit devant 1. approche locale Le milieu est modélisé par une EDP. formalisme des ondes. cours 1 et 2. Lorsque le milieu est fini: approche globale Le milieu est modélisé par une EDP assortie de conditions aux limites formalisme des modes. cours 3, 4 et 5.

4 Exemples introductifs Hypothèses générales et plan du cours DISPERSIF / NON-DISPERSIF Lorsque le paquet d onde ne se déforme pas pendant la propagation: La propagation est non-dispersive. cours 1 Lorsque le paquet d onde se déforme : La propagation est dispersive. cours 2 Exemples introductifs Hypothèses générales et plan du cours STATIQUE/DYNAMIQUE Dimensionnement "statique" d une structure On connaît a priori l amplitude maximale des efforts s exerçant sur une structure Dimensionnement statique afin que le déplacement reste inférieur à une valeur donnée Modèle équivalent : Dimensionnement statique : x < x max = F ext k

5 Exemples introductifs Hypothèses générales et plan du cours RÉPONSE VIBRATOIRE D UN OSCILLATEUR Force Créneau d amplitude égal à la force critique Exemples introductifs Hypothèses générales et plan du cours RÉPONSE VIBRATOIRE D UN OSCILLATEUR Force Créneau d amplitude égal à la force critique Résultat : Réponse 2 supérieure à la réponse statique!

6 Exemples introductifs Hypothèses générales et plan du cours Forçage harmonique : Exemples introductifs Hypothèses générales et plan du cours Forçage harmonique : Réponse 100 supérieure à la réponse statique!

7 Exemples introductifs Hypothèses générales et plan du cours MILLENNIUM BRIDGE (LONDRES) Un exemple de forçage harmonique aux conséquences gênantes... Exemples introductifs Hypothèses générales et plan du cours DYNAMIQUE DES SYSTÈMES MÉCANIQUES Milieux continus + cadre général des H.P.P. : 2 w t 2 + L(w) = f ext(x, t) Milieu infini (chapitre 2) Ondes non-dispersives : milieux élastiques 3D et acoustique. cours 1 Ondes dispersives : poutre en flexion et ondes de surface. cours 2 Milieu fini (chapitre 3) Approche modale. cours 3 Systèmes discrets et méthodes numériques (chapitre 4 et 5) solutions temporelles : oscillateur 1D et ND. cours 4 Résolution numérique et analyse modale expérimentale. cours 5 et 6

8 LA CORDE VIBRANTE Tension T (x) Masse linéique m l = ρa Déplacement vertical d un élément de corde : ξ(x, t) = w(x, t)e y Équilibre des forces au 1 er ordre : dx 0 : T = Cte : m l dx 2 w t 2 = T (x + dx) w w (x + dx, t) T (x) (x, t). x x m l 2 w t 2 = x m l 2 w t 2 ( T (x) w ) x = T 2 w x 2

9 L équation peut se mettre sous la forme : 2 w t 2 c 2 2 w x 2 = 0 avec : c = T m l. Équation locale SOLUTION DE D ALEMBERT (1747) En posant α = x + ct et β = x ct, l équation d onde devient, 2 w α β = 0 Jean le Rond d Alembert ( ) Solution de la forme : w(x, t) = F(x + c t) }{{} variable x ± ct : clé de la solution! + G(x c t) }{{}

10 RÉPONSE À UNE CONDITION INITIALE w Condition initiale : w(x, 0) = w 0 (x), (x, 0) = 0 t Solution de d Alembert : F(x) + G(x) = w 0 (x), F (x) G (x) = 0 Solution : w(x, t) = 1 2 w 0(x + ct) w 0(x ct) w (a) t=0 w (x) 0 w (b) t w x (c) (d) 0.8 t 2 w t x x x ONDE HARMONIQUE Solution harmonique : w(x, t) = a cos[k(x ct) + φ] = a cos(kx ωt + φ) avec c = ω/k k Nombre d onde Longueur d onde : λ = 2π/k ω Pulsation Période : T = 2π/ω Fréquence : F = 1/T = ω/2π φ Phase

11 ONDES RÉELLES, ONDES COMPLEXES Onde complexe : w(x, t) = Ae i(kx ωt), A C Commodité de calcul : / x ik, / t iω A C A Amplitude, arg(a) phase ] Solution physique : Re [Ae i(kx ωt) CORDE SUR FONDATION ÉLASTIQUE d un cas dispersif dans le formalisme simple de la corde vibrante Fondation élastique linéaire en divisant par la masse linéïque: 2 y t 2 c2 2 y x 2 + by = 0

12 OBTENTION DE LA RELATION DE DISPERSION Solution de la forme : y(x, t) = A exp[i(kx ωt)] reliant k et ω : c 2 k 2 + b ω 2 = 0 À un nombre d onde k donné, 2 pulsations différentes : Solution générale: ω ± = ± c 2 k 2 + b w(x, t) = A + exp i(kx ω + t) + A exp i(kx ω t) Similarité avec la solution de d Alembert? w + (x, t) = A + exp ik(x ω + k t), Vitesse de phase : ω k = ± c2 k 2 + b k ω/k dépend du nombre d onde Dispersion EFFET DE LA DISPERSION Réponse de la corde sur fondation élastique à un déplacement imposé sans vitesse initiale w (a) w (x) 0 t=0 w (b) t=0 t > w 1 (c) 0.8 t w (d) t

13 VITESSE DE PHASE ET VITESSE DE GROUPE On définit la vitesse de groupe: c g = ω k Pour la corde sur fondation élastique linéaire on obtient: c φ = ω k = c 1 + b c 2 k 2 c g = ω k = c 2 k c2 k 2 + b au petites longueurs d ondes (k grand): effet de la fondation négligeable retour au cas non dispersif quand k 0 : mouvement d ensemble. RELATION DE DISPERSION traduit l équation du mouvement dans le domaine de Fourier (k, ω) EDP locale w(x, t) = Ae i(kx ωt) 2 w t 2 Corde vibrante c2 2 w x 2 = 0 ω2 c 2 k 2 = 0 2 w t 2 Corde dispersive c2 2 w x 2 + bw = 0 ω2 c 2 k 2 + b = 0 Cas général 2 w + L(w) = 0 t2 D(k, ω) = 0

14 NOTION DE DISPERSIVITÉ Équation de corde : ω 2 c 2 k 2 = 0 ω k = cte La vitesse des ondes est constante non-dispersif. ω k Cas général : D(k, ω) = 0 et = f (k) cte Si l on souhaite faire apparaître une solution type "d Alembert": w(x, t) = A exp ik(x ω k t), La vitesse de propagation qui apparait est dépendante de la longueur d onde. le milieu est dispersif CAS GÉNÉRAL : ω ET k PEUVENT ÊTRE COMPLEXES Si pour ω R donné, Im(k) = 0 Onde propagative Im(k) 0 Onde évanescente Si pour k R donné, Im(ω) = 0 Mouvement non amorti Im(ω) 0 Mouvement amorti

15 INTERPRÉTATION DE LA DISPERSIVITÉ ET NOTION DE VITESSE DE GROUPE Superposition de 2 ondes (ω δω, k δk) et (ω + δω, k + δk) : w(x, t) = cos [(k + δk)x (ω + δω)t] + cos [(k δk)x (ω δω)t] = 2 cos(δkx δωt) cos(kx ωt) }{{}}{{} enveloppe onde (k, ω) Vitesse de la modulation : ω Vitesse de phase k Vitesse de l enveloppe : δω δk ω Vitesse de groupe k INTERPRÉTATION DE LA DISPERSIVITÉ ET NOTION DE VITESSE DE GROUPE Interprétation de Stokes w(x, t) = 2 cos(δkx δωt) cos(kx ωt) }{{}}{{} enveloppe onde (k, ω) x t λ=2π/ k Λ/2 = 2π/δk τ=2π/ω T /2 = 2π/δω Interprétation de Stokes : propagation non-dispersive. propagation dispersive

16 ÉLASTODYNAMIQUE Équilibre des efforts dans un solide (MS102) : x Ω : div σ + f = ρ 2 ξ t 2 Relation contrainte-déformation pour un solide élastique, isotrope, à température constante : σ = λ(trε)1 + 2µε, Tenseur des déformations : ε = 1 ( ) t ξ + ξ 2 ÉQUATION DE NAVIER Équilibre dynamique exprimé uniquement en termes de déplacement : ρ 2 ξ t 2 = (λ + µ)grad (div ξ) + µdiv (grad ξ) Claude Louis Marie Henri Navier ( )

17 PREMIÈRE IDÉE D ANALYSE Onde harmonique pour le déplacement : ξ X (x, y, z, t) ξ(x, y, z, t) = ξ Y (x, y, z, t) ξ Z (x, y, z, t) = A exp i(k.x ω t) B exp i(k.x ω t) C exp i(k.x ω t) Impossibilité d obtenir une relation de dispersion ONDES LONGITUDINALES Soit D la dilatation locale du milieu : D = div(ξ), Divergence de l équation de Navier : ρ 2 D t 2 = (λ + 2µ) D Mise en évidence d ondes de dilatation (compression/détente) non-dispersives se propageant au sein du milieu élastique. Célérité de ces ondes : λ + 2µ c L = ρ

18 ONDES TRANSVERSES Soit Ω la rotation locale : Ω = 1 2 rot(ξ). Rotationnel de l équation de Navier : ρ 2 Ω t 2 = µ Ω Mise en évidence d ondes transverses non-dispersives se propageant au sein du milieu élastique. Célérité de ces ondes : µ c L = ρ APPROXIMATION EN ONDES PLANES Loin de la source, on peut considérer que l on a des ondes planes Problème invariant dans le plan perpendiculaire au vecteur d onde

19 ÉQUATION DE NAVIER POUR UNE ONDE PLANE Expression du déplacement dans le cas d une onde plane de vecteur d onde k = k e x : ξ X (x, t) ξ(x, y, z, t) = ξ Y (x, t) ξ Z (x, t) L équation de Navier devient : ρ 2 ξ X t 2 = (λ + 2µ) ρ 2 ξ Y t 2 = µ ρ 2 ξ Z t 2 = µ 2 ξ X x, 2 2 ξ Y x, 2 2 ξ Z x. 2 ONDES DE COMPRESSION (ONDES P) ρ 2 ξ X t 2 = (λ + 2µ) 2 ξ X x 2 c 2 L = λ + 2µ ρ

20 ONDES DE CISAILLEMENT (ONDES S) ρ 2 ξ Y t 2 = µ 2 ξ Y x 2 c 2 T = µ ρ COMPARAISON DES VITESSES DE PROPAGATION Ondes longitudinales : c 2 L = λ + 2µ ρ Ondes transverses : c 2 T = µ ρ = E ρ = E ρ 1 2(1 + ν) 1 ν (1 + ν)(1 2ν) c si E (raideur) c si ρ (masse) Quelques valeurs numériques : c L c T Acier 5700 m/s 3000 m/s Bois 5000 m/s 2500 m/s Craie 2500 m/s 1200 m/s

21 APPLICATION : ONDES SISMIQUES Sismogramme LOCALISATION DE L ÉPICENTRE La durée entre les 2 fronts dépend de la distance 3 points d enregistrement...

22 ONDES ACOUSTIQUES Ondes de compression longitudinales dans un milieu fluide. Pas d ondes transversales. Équations de départ : Équations générales de la mécanique des fluides compressibles, linéarisées autour d un état d équilibre. Variables de champ : ρ(x, t), p(x, t), v(x, t) ONDES ACOUSTIQUES On obtient l équation des ondes en 3 dimensions: 2 p t 2 c2 p = 0 Loi d état pour une transformation adiabatique : c = γ R 0T M Valeurs typiques, à 20 C : Eau Air Propagation non-dispersive m/s 340 m/s

23 CONCLUSION - ASPECTS IMPORTANTS À RETENIR Équation dynamique locale de différents milieux Approche en ondes harmoniques : w(x, t) = A exp[i(kx ωt)] D(k, ω) = 0 Vitesse de phase : c ϕ = ω k Vitesse de groupe : c g = ω k Milieux non dispersifs : c ϕ = Cte = c g Milieux dispersifs : c ϕ = f (k), c g = g(k) Deux exemples de milieux continus non-dispersifs: Solide élastique isotrope. fluide compressible (ondes acoustiques). LA PROCHAINE FOIS... Deux exemples de milieux continus dispersifs: Ondes de flexion dans les poutres. ondes de surface. Ajout de bords au domaine (conditions aux limites) Réflexions d ondes Systèmes de dimensions finies ondes stationnaires modes

24 SUPPORTS DE COURS Les supports du cours en amphi (transparents) sont accessibles au format pdf à l adresse suivante: touze/ms204