IX PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE

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1 IX PRINCIPE FONDMENTL DE L DYNMIQUE Le prncpe fondamental de la dynamque est la base de la mécanque classque. Il établt une relaton entre le mouvement d un système matérel et les actons mécanques qu lu sont applquées. Il permet de prévor et d explquer avec précson les phénomènes mécanques classques. 1. Los de Newton En mécanque du pont, on vérfe les 3 los de Newton (XVII ème sècle) suvantes : 1 ère Lo : Prncpe d nerte Sot ( Gm, ) un pont matérel sur lequel s exerce une force éreure F, alors l exste un référentel R, dt Galléen, dans lequel : ma( G/ R) = F ème Lo (Equvalente à la 1 ère ) S ( Gm, ) est un pont matérel solé ( F = 0), alors sa vtesse VG ( / R) ( Gm, ) a un mouvement rectlgne unforme. est constante et 3 ème Lo : Les actons récproques Soent ( G1, m 1) et ( G, m ) deux ponts matérels, alors s F 1 et F 1 sont respectvement les efforts de G 1 sur G et de G sur G 1, on a : F = F 1 1 """"" et GG 1 F1 = 0 Remarque : Ces 3 los sont valables pour des ponts matérels et se généralsent au cas d un système matérel sous la forme du P.F.D. Mécanque - IX - 1 / 6

2 . Prncpe fondamental Enoncé : Sot S un système matérel, l exste au mons un repère R, appelé repère galléen, tel que le torseur dynamque de S dans son mouvement par rapport à R est égal au torseur des efforts éreurs qu s exercent sur S. [ K( S / R) ] = [ F( S) ] Remarque : Un repère lé à la Terre est généralement une bonne approxmaton d un repère galléen. Exceptons : mouvements que l on peut suvre pendant un temps assez long (pendule de Foucault) et mouvements très rapdes (gyroscope) Théorème : Les 3 los de Newton sont équvalentes au prncpe fondamental de la dynamque. 3. Théorèmes généraux de la dynamque Théorème des actons récproques Soent S 1 et S deux systèmes matérels (pas nécessarement des soldes rgdes), s on défnt par F j les torseurs des efforts de S sur S j, alors on a : [ F ] = [ F ] 1 1 Démonstraton : Il sufft de subdvser un système S en sous-systèmes S 1 et S, d applquer le P.F.D. à chacun et de comparer. Défnton : En exprmant que les deux torseurs ntervenant dans le prncpe fondamental ont même résultante générale et même moment résultant en tout pont, on obtent deux théorèmes appelés théorèmes généraux de la dynamque. Soent m la masse et G le centre d nerte du système matérel S en mouvement par rapport au repère galléen R. Mécanque - IX - / 6

3 En un pont quelconque on a : ma( G/ R) [ KS ( / R) ] = K ( / ) S R et [ F ( S) ] R( S) = M ( ) S Théorème de la résultante dynamque Pour tout système matérel S en mouvement par rapport a un référentel galléen R, la résultante dynamque de S dans son mouvement par rapport à R est égale à la résultante générale du torseur assocé aux actons mécanques éreures à S. m a( G / R) = R( S) Théorème du moment dynamque Pour tout système matérel S en mouvement par rapport au repère galléen R, le moment dynamque de S dans son mouvement par rapport à R est égal au moment résultant du torseur assocé aux actons mécanques éreures à S. K ( S / R) = M ( S) d = L ( S / R ) + mv ( / R ) V ( G / R ) dt R Rappels : - Lorsque S est un solde rgde, on peut utlser la relaton : """ S L ( S/ R) = J ( Ω ( S/ R)) + mg V( S/ R) - S = G ou s est un pont fxe par rapport à R, le théorème se smplfe : ( / ) d ( / ) d M ( / ) S R = L S R = J Ω S R dt R dt (théorème du moment cnétque) S ( ( )) R Remarques : - Les deux théorèmes de la résultante et du moment dynamque, projetés sur une base vectorelle, fournssent sx équatons scalares nécessares et suffsantes pour détermner le mouvement de S par rapport à R. - Le PFS n est qu un cas partculer du PFD lorsque S est mmoble ([ KS ( / R )] = [ 0] ) Mécanque - IX - 3 / 6

4 4. Prncpe fondamental en référentel non galléen Il est parfos plus smple d étuder le mouvement d un système matérel S par rapport à un repère R qu ne sot pas galléen. Théorème : Sot S un système matérel en mouvement par rapport à un référentel non galléen R et soums aux efforts éreurs [ F ], alors le prncpe fondamental de la dynamque s applque relatvement à R, à condton d ajouter au torseur d actons mécanques éreures les torseurs des efforts d nerte d entraînement et de Corols. [ KS R] = [ F ] + [ F] + [ F] ( / ) e c avec [ F ] e mae( G) = M ae ( M ) dm S """" et [ F ] c mac( G) = """" M ac ( M ) dm S Démonstraton : Il sufft d applquer le PFD à un repère ntermédare R 0 galléen, en tenant compte de la composton des vecteurs accélératon : ap ( / R0 ) = ap ( / R) + a( P) + a( P) e c Remarque : S le repère R est en translaton rectlgne unforme par rapport au repère galléen R 0 : ap ( R/ R0 ) = 0 et Ω ( R/ R0 ) = 0 [ F e ] = [ 0] et [ F c ] = [ 0] Le PFD s écrt alors : [ KS R] = [ F ] ( / ) Tout repère R en translaton rectlgne unforme par rapport à un repère galléen, est auss galléen Rappel : Le torseur d acton mécanque de la pesanteur nclus les effets d nerte d entraînement dus à la rotaton de la Terre. Un repère lé à la Terre pourra donc être consdéré comme galléen s le torseur [ F c ], dû à la rotaton de la Terre, est néglgeable par rapport au torseur d acton mécanque de la pesanteur. Mécanque - IX - 4 / 6

5 Par contre, ce torseur dot être prs en consdératon pour explquer par exemple : - La dévaton vers l Ouest des projectles lancé du sol - La dévaton des courants aérens dans chaque hémsphère - La dérve des nstruments de bord sur les avons - La rotaton du plan d oscllaton du pendule de Foucault 5. Equatons du mouvement Sot un système matérel S en mouvement par rapport à un repère galléen R. Le PFD applqué à S et projeté sur une base vectorelle fournt 6 équatons scalares dfférentelles d ordre non lnéares de la forme : dq dq q t = f,,, 0 dt dt où les q ( = 1,..., n) sont les paramètres scalares ( n 6 ) qu défnssent la poston de S par rapport à R. Défnton Une équaton du mouvement est une équaton dfférentelle du second ordre tradusant les théorèmes généraux, dans laquelle ne fgure aucune composante nconnue d acton mécanque. L ensemble des équatons du mouvement que l on peut écrre pour un système matérel S consttue un système d équatons dfférentelles dont les solutons peuvent être détermnées en foncton des condtons ntales données. Les condtons ntales du mouvement de S par rapport à R, à l nstant t 0, sont consttuées par la donnée des n paramètres q ( t 0 ) et de leurs dérvées premères q# ( t0 ) Défnton Une ntégrale premère du mouvement est une équaton dfférentelle du 1 er ordre de la forme (#,, ) f q q t = Cste obtenue par ntégraton d une équaton du mouvement. (Equatons très utles dans la pratque) Mécanque - IX - 5 / 6

6 6. pplcaton : Equlbrage L équlbrage d un solde tournant autour d un axe sert à évter la nassance de vbratons nusbles (brut, détéroraton ) Sot R = ( O, e, e, e ) x y z un repère fxe lé au bât. Consdérons un solde S quelconque, de masse m et de centre d nerte G et de repère assocé """ Rs = ( O,, j, k), avec OG = a + c k. S tourne sans frottement suvant l axe ( Oe, z = k ), tel que (, ex ) = θ S Sa matrce d nerte s écrt : J 0 cton mécanque de lason nconnue : [ FR ( S) ] F E = F B D E D C R s = R R = X e + Ye + Ze avec M O O MO = Lex + M ey x y z Pour tourner S subt auss une acton éreure connue (contact, couple transmsson ) R ' R' = X ' ex + Y' ey + Z' ez [ FR ( ' S) ] = avec M ' O O M ' O = L' ex + M ' ey + N' ez L applcaton du PFD en projecton sur R s donne 6 équatons dfférentelles scalares : Résultante dynamque : maθ # = X + X ' ma ## θ = Y + Y ' 0 = Z + Z ' Moment dynamque : E ## θ + Dθ # = L+ L' D ## θ Eθ # = M + M ' C ## θ = N ' Pour que S ne vbre pas, l faut que la lason avec R sot constante, donc ndépendante de θ # et θ ##, sot : - a = 0 : G est en O (Equlbrage statque) - D = E = 0 : ( Ok, ) axe prncpal d nerte (Equlbrage dynamque) Il faut rajouter des pods excentrés sur S pour modfer la poston de G en G et la matrce d nerte Exemple : Cas d une roue (postons fxées / r et z) Mécanque - IX - 6 / 6