Intégration. Exercice 1. Répondre par vrai ou faux en justifiant votre réponse On considère la fonction f: x x sur l intervalle I = [0,2].

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1 Itégrtio Pscl Lié Itégrtio Eercice. Répodre pr vri ou fu e justifit votre répose O cosidère l foctio f: sur l itervlle I = [,] Est ue somme de Riem ssocie à f sur I. Est ue somme de Riem ssocie à f sur I. Est ue somme de Riem ssocie à f sur I. Est ue somme de Riem ssocie à f sur I. Allez à : Correctio eercice i i= i i= i i= 4i i= Eercice. Répodre pr vri ou fu e justifit votre répose Toutes les foctios cosidérées sot supposées itégrles sur l itervlle cosidéré.. L itégrle sur [,] d ue foctio égtive ou ulle est égtive ou ulle.. L itégrle sur [,] d ue foctio pire est positive ou ulle. 3. L itégrle sur [,] d ue foctio impire est ulle. 4. L itégrle sur [,] d ue foctio miorée pr est iférieure ou égle à. 5. L itégrle sur [,] d ue foctio mjorée pr est iférieure ou égle à. 6. L itégrle sur [,] d ue foctio mjorée pr est iférieure ou égle à Si ue foctio f est telle que pour tout [,], f() < 3, lors so itégrle sur [,] est strictemet égtive. 8. Si l itégrle sur [,] d ue foctio f cotiue vut y, lors il eiste [,] tel que f() = y. 9. Si l itégrle sur [,] d ue foctio f vut y, lors il eiste [,] tel que f() = y. Allez à : Correctio eercice Eercice 3. Répodre pr vri ou fu e justifit votre répose. Toute foctio itégrle sur [, ] est cotiue.. Si f est ue foctio cotiue sur [, ], suf e u poit, lors f dmet ue primitive qui s ule e. 3. Toutes foctios cotiue sur [, ] dmet ue primitive qui s ule e. 4. Toute primitive d ue foctio cotiue sur [, ] s ule e u poit de [, ]. 5. Toute primitive d ue foctio cotiue sur [, ] est dérivle sur ], [. 6. Toute primitive d ue foctio cotiue sur ], [ est dérivle à droite e. Allez à : Correctio eercice 3 Eercice 4. Répodre pr vri ou fu e justifit votre répose

2 Itégrtio Pscl Lié. Toute primitive d ue foctio positive ou ulle est positive ou ulle.. Toute primitive d ue foctio égtive ou ulle est décroisste. 3. Toute foctio cotiue est l primitive d ue foctio cotiue. Allez à : Correctio eercice 4 Eercice 5.. Soit f ue foctio de clsse C sur l itervlle [, ]. Motrer que lim + f(t) si(t) dt =. Soit f ue foctio e esclier sur l itervlle [, ]. Motrer que lim + f(t) si(t) dt = O pourr commecer pr motrer que pour tout α < β lim + β si(t) dt = 3. Soit f ue foctio cotiue sur l itervlle [, ]. Motrer que lim + α f(t) si(t) dt = O rppelle que pour toute foctio cotiue sur [, ], pour tout ε >, il eiste ue foctio e esclier χ telle que sup f(t) χ(t) < ε t [,] Allez à : Correctio eercice 5 Eercice 6. Soit f l foctio idictrice de Q. si Q f() = { si Q O rppelle que tout itervlle ouvert o vide de R cotiet des rtioels et des irrtioels. Soit u etier strictemet positif. Pour i =,,, o pose i = i.. Motrer que pour tout i =,,, il eiste i et y i ds [ i, i ] tels que f( i ) = et f(y i ) =.. O cosidère les deu sudivisios poitées D = {([ i, i ], i )} i et D = {([ i, i ], y i )} i Motrer que S D (f) = et S D (f) = O rppelle que Pour D = {([ i, i ], α i )} i 3. E déduire que f est ps itégrle. Allez à : Correctio eercice 6 S D (f) = f(α i )( i i ) i= Eercice 7.. Motrer que le produit de deu foctios e esclier est ue foctio e esclier.. L composée de deu foctios e esclier est toujours ue foctio e esclier. Est-ce vri ou fu? (Justifier). Allez à : Correctio eercice 7 Eercice 8. Motrer que si f est itégrle, lors f est églemet itégrle. O rppelle le théorème

3 Itégrtio Pscl Lié Soit f ue foctio orée sur [, ]. Si pour tout ε > il eiste g Riem-itégrle sur [, ] tel que sup f() g() ε [,] Alors f est Riem-itégrle. Et o pourr utiliser ue forme de l iéglité trigulire. Allez à : Correctio eercice 8 Eercice 9. Soiet et deu réels fiés, vec <. O ote C ([, ]) l espce vectoriel des foctios cotiues de [, ] vers R et E l espce vectoriel des foctios e esclier de [, ] vers R ulles e.. Motrer que C ([, ]) et E sot e somme directe.. Motrer que l espce C ([, ]) E est égl à l espce des foctios cotiues pr morceu de [, ] vers R. Allez à : Correctio eercice 9 Eercice. Clculer l limite, si elle eiste, des suites suivtes : S, = ; S + k, = ( + k) ; S 3, = k ; k= k= k= S 4, = ; S 5, = k k + k k + ; S 6, = 3 + k k= Allez à : Correctio eercice k= k= Eercice. Clculer, si elle eiste Allez à : Correctio eercice lim + et dt + t Eercice. Soit I = ( t ) dt. Étlir ue reltio de récurrece etre I et I +.. Clculer I. 3. E déduire que Allez à : Correctio eercice Eercice 3. I = ( )k k + ( k ) k= Soit I = si (t) dt. Étlir ue reltio de récurrece etre I et I +.. E déduire I p et I p+. 3. Motrer que (I ) N est décroisste et strictemet positive. 4. E déduire que I I +. 3 = (!) ( + )!

4 Itégrtio Pscl Lié 5. Clculer I I Doer lors u équivlet simple de I. Allez à : Correctio eercice 3 Eercice 4. Soit I = d +. E mjort l foctio itégrée, motrer que (I ) N.. Clculer I + I Détermier lim ( ( )k+ k= ) + k Allez à : Correctio eercice 4 Eercice 5. O pose pour tout e I = (l(t)) dt. Clculer I et I. Pour tout trouver ue reltio etre I et I et pour tout e déduire ue reltio etre I et I. 3. Détermier I pour tout. Allez à : Correctio eercice 5 Eercice 6. Clculer pr récurrece : Allez à : Correctio eercice 6 Eercice 7. Clculer pr récurrece : Allez à : Correctio eercice 7 4 du I = cos (u) e J = (l(u)) du Eercice 8. Soit f ue foctio cotiue sur R, périodique et impire. O pose + F() = f(t)dt. A l ide du chgemet de vrile u = t clculer F( ) = f(t)dt. Motrer que F est dérivle sur R et clculer F (), que peut-o e déduire sur F. 3. Clculer 4 f(t)dt Allez à : Correctio eercice 8 Eercice 9. Soit F l foctio défiie pour tout > pr 4

5 Itégrtio Pscl Lié dt F() = l( + t). A l ide de l formule de Tylor-Lgrge motrer que pour tout t > : t t < l( + t) < t. E déduire que pour tout ], 3[: 3 l( + ) F() l( + ) + l ( 3 ) Puis 3. Clculer, pour tout >, F (). 4. E déduire que pour tout >, F() > l(). Allez à : Correctio eercice 9 lim F() Eercice. Soit I = ], + [. O désige pr f l'pplictio de I ds R, défiie, pour tout I, pr l(t) f() = (t ) dt > Première prtie Ds cette prtie o e chercher ps à eprimer f à l ide de foctios usuelles. Détermier le sige de f().. Justifier l dérivilité de f sur I, et clculer f () pour tout I, o eprimer f () de l mière l plus simple possile. 3. ) Motrer que pour tout t I, (t ) t < l(t) < t O pourr utiliser l formule de Tylor Lgrge etre et t. ) E déduire l eistece et l vleur de lim f() + Deuième prtie. Détermier ue primitive de l foctio t l(t) (t ) à l ide d ue itégrtio pr prties.. Eprimer l foctio f à l ide de foctios usuelles de l fço l plus simple possile. Allez à : Correctio eercice Eercice. Soit F l foctio défiie sur ], [ pr 5 dt F() = si(t). Motrer que F est ie défiie sur ], [, puis qu elle est de clsse C sur cet itervlle.. Clculer F (), e déduire les vritios de F sur ], [. 3. A l ide de l formule de Tylor-Lgrge motrer que pour tout t [, ] ], [ (c est-à-dire pour ], 4 [).

6 Itégrtio Pscl Lié 4. E déduire que 5. Motrer que pour tout ], [ < t t < si(t) < t t < si(t) < t + t l() < F() < l() l ( ) 6. E déduire l limite de F() lorsque. Allez à : Correctio eercice Eercice. Soit f l foctio défiie sur ],[ pr : l( + t) f(t) = { si t t si t = Soit F l foctio défiie sur ],[ pr : F() = f(t)dt. Motrer que f est cotiue sur ],[.. E déduire que F est de clsse C sur ],[. 3. Clculer F () pour et clculer F (). 4. Motrer que F est impire. 5. Détermier les vritios de F sur ],[. Puis sur ],[. Allez à : Correctio eercice Eercice 3. Soit I = [, ] et soiet f et g deu foctios cotiues de I ds R telles que: f est décroisste et g(i) [,] et o pose λ = g(t)dt, G() = g(t)dt et F() =. Motrer que F et G sot de clsse C sur I.. Motrer que pour tout I, + G() 3. Etudier les vritios de F sur I = [, ]. 4. E déduire l'iéglité Allez à : Correctio eercice 3 f(t)g(t)dt +G() +λ f(t)dt f(t)dt f(t)g(t)dt Eercice 4. Soit f ue foctio dérivle et strictemet mootoe sur [, ] telle que f() =. Soit g ue foctio défiie sur [, ] pr :. Motrer que g est dérivle.. Clculer g et e déduire g. Allez à : Correctio eercice 4 g() = f(t)dt f() + f (t)dt f() 6

7 Itégrtio Pscl Lié Eercice 5. Soit < <. O cosidère. Motrer que I = l() + d l() + d = l() + d O pourr utiliser le chgemet de vrile = t. E déduire l vleur de I. Allez à : Correctio eercice 5 Eercice 6. Soit ], [. Les trois questios sot idépedtes. Soiet F() = si(), G() = cos() et H() = +cos() d +cos() d 7 +cos() d. Clculer F().. Le ut de cette questio est de clculer G() à l ide d u chgemet de vrile. ) A l ide des règles de Bioche, détermier le «o chgemet de vrile». ) Clculer G() à l ide de ce chgemet de vrile. 3. Trouver ue reltio élémetire etre G() et H() et e déduire H(). Allez à : Correctio eercice 6 Eercice 7. Soit f: R R défiie pr f() = dt 4+t 4 Soit g: R R, défiie pr g() = ( t 4+t 4). Motrer que f est défiie, cotiue et dérivle sur R. O dmettr que f est impire.. Clculer l dérivée de f et e déduire les vritios de f. Et motrer que dt 5 4+t Doer le développemet limité de f à l ordre e et e déduire ue équtio de l tgete u poit d scisse. 4. Ecdrer 4+t 4, e déduire u ecdremet de f(), puis l limite de f e Motrer que t 4+t 4 t6, puis motrer que E déduire u équivlet de f() e Trcer sommiremet le grphe de f sur R. Allez à : Correctio eercice 7 dt g() Eercice 8. Soit F l pplictio défiie pr : dt F() = t 4 + t +. Motrer que F est défiie, cotiue et dérivle sur R.. A l ide du chgemet de vrile u = t, étudier l prité de F. 3. Motrer que pour tout > :

8 Itégrtio Pscl Lié < F() < E déduire l limite de F e Clculer l dérivée de F et résoudre F () =, pour >. Allez à : Correctio eercice 8 Eercice 9. Soit F: R R défiie pr e t F() = { t dt F() = l(). Motrer que pour tout, F est dérivle.. ) A l ide de l formule de Tylor Lgrge, motrer que pour tout t R il eiste c ] t, t [ tel que : e t = te c ) E déduire que pour tout t [,], t. e < t e t < e t c) Trouver u ecdremet de F et e déduire que F est cotiue e =. 3. Pour tout, clculer l dérivée F de F. F est-elle dérivle e? que peut-o e déduire sur l llure de le grphe de F? 4. Etudier les vritios de F. 5. Motrer que pour tout t, e t e t, e déduire ue mjortio de F et s limite e +. t 6. E repret l églité du. ), motrer que pour tout t <, e t > t e déduire que pour tout < F() > l() E déduire l limite de F e. 7. Trcer l llure du grphe de F. Allez à : Correctio eercice 9 Eercice 3. Soit f l foctio défiie sur ], + [ pr f(t) = l(t) pour t et f() = Soit F, l foctio défiie sur ], + [ F() = t f(t)dt. Motrer que f est cotiue sur ], + [.. Détermier le sige de f sur ], + [ selo les vleurs de t. 3. Détermier le sige de F sur ], + [ selo les vleurs de. 4. Motrer que F est de clsse C, clculer F () et e déduire les vritios de F sur ], + [. Allez à : Correctio eercice 3 Eercice 3. Soiet I = l() et I ε, = l() ε d. Clculer t t dt d. A l ide du chgemet de vrile t = clculer d 3. A l ide d ue itégrtio pr prties, motrer que : 8

9 Itégrtio Pscl Lié F() = l() d = l() l( )) l( + ) + K Où K est ue costte réelle. 4. Motrer que I est ue itégrle géérlisée e et e. 5. Motrer que I coverge. 6. A l ide d u développemet limité, à l ordre, u voisige de, de : Clculer l limite e de : g() = l() + l( ), puis de F(). 7. Clculer I ε,. E déduire l vleur de I. Allez à : Correctio eercice 3 Eercice 3. Soit f ue foctio de clsse C sur [,] telle que [,], f () >, f( ) = et f() =. Motrer, à l ide du théorème des ccroissemets fiis que f ( ) Où R + est ue costte que l o e chercher ps à détermier.. Motrer que O pourr poser I = lim + (f()) d = (f()) d Et motrer que ces deu itégrles tedet vers. Allez à : Correctio eercice 3 Eercice 33. Soit l foctio réelle défiie sur R pr: 9 et J = (f()) d φ() = et φ() = e pour o ul et pour tout etier turel N, soit u l foctio réelle défiie pr : Première prtie. Prouver que: lim u () = u () = φ() = e pour tout etier turel pour o ul. Motrer que φ est cotiue et dérivle sur R. Motrer que l dérivée φ est cotiue et vérifie : φ () = et φ () = u 3 () pour o ul E déduire l reltio φ() = 3 φ () pour tout réel () 3. Etudier les vritios de φ et trcer sommiremet s coure représettive, e précist les poits d'ifleio évetuels. Deuième prtie Soit f l foctio réelle défiie sur R pr: f() = et f() = e φ(t)dt

10 Itégrtio Pscl Lié 4. Motrer que f est impire. 5. Motrer que pour >, o : φ(t)dt e () 6. E déduire que f est cotiue sur R. 7. Pour tout o ul, motrer que f est dérivle et clculer s dérivée f (). 8. E utilist (), motrer que pour tout, o l reltio: φ(t)dt = 3 φ() 3 t φ(t)dt (3) E déduire que f est dérivle e et que f () = 9. Pour o ul, clculer l limite de f() 3 lorsque ted vers. (O pourr ppliquer l règle de l'hospitl u quotiet F() où F() = G() φ(t)dt et G() = 3 φ()). E déduire le développemet limité de à l'ordre 3 e. Allez à : Correctio eercice 33 f CORRECTIONS Correctio eercice. Remrque : Si o coupe l itervlle e prtie égle, ue somme de Riem ssocie à f sur [, ] est S = Si =, = et f() =. De plus f ( + i ) = i = 4 i = 4 i i= S = 4 i i=. Cel e semle ps être o, vérifios le i = i = i= i= = 4 ( + ) = + i= ( + ) i= = d = + + Cette somme e ted ps vers, ce est ps ue somme de Riem de f sur I.. Vu isi cel e ressemle ps à l remrque prélimiire, pourtt, e utilist le ), l somme est équivlete à celle-ci-dessus diviser pr et doc ted vers. Cel e suffit ps à dire qu il s git d ue somme de Riem de f sur I, mis o v regrder de plus près. O coupe l itervlle e prtie égle S = f ( + i ) i= C est o. 3. D près l remrque prélimiire i = i= f (i ) = i = i i= S = 4 i = S = 4 i i= i= Doc i= est ps ue somme de Riem de f sur I. Remrque : i O urit ussi pu clculer l limite de i= et voir qu elle vlit. 4. Oui, voir l remrque prélimiire. Allez à : Eercice i= i= Correctio eercice.

11 Itégrtio Pscl Lié. Le résultt du cours est : «si f est ue foctio positive ou ulle, itégrle sur [, ] vec <, lors f(t)dt» f est ue foctio positive ou ulle sur [,] doc ( f(t))dt, ce qui équivut à f(t)dt., d où l o déduit que f(t)dt. C est fu. 3. Ds l itégrle d = [ 3 3 ] = 3 f(t)dt O fit le chgemet de vrile u = t t = u dt = du t = u = t = u = f(t)dt = f( u)( du) = f(u)( du) = f(u)du = f(u)du = f(t)dt L première églité est le chgemet de vrile, l secode viet du fit que f est impir, l troisième est l simplifictio du produit de deu siges égtifs, l qutrième viet de l iterversio des ores et l ciquième viet du fit que l vrile d itégrtio est ue vrile «muette» (o peut lui doer importe quel om). D où l o déduit que C est vri. 4. Preos l foctio costte égle à. f(t)dt dt C est fu 5. Preos l foctio costte égle à 3 4 < C est fu. 3 4 dt [,], f(t) f(t)dt C est vri. = f(t)dt = [t] = > = = [ 3t 4 ] = 3 4 ( 3 4 ) = 3 > f()d dt 3 d f(t)dt = [t] = ( ) = 4 Cr 3 est impir et d près l questio 3 ). Rie empêche de fire le clcul directemet. C est vri. 8. D près l formule de l moyee il eiste [,] tel que f() = f(t)dt = f(t)dt = y C est vri. 9. D près l formule de l moyee il eiste [,] tel que f() = ( ) f(t)dt = f(t)dt = y

12 Itégrtio Pscl Lié Cel e mrche ps. O v chercher u cotre-eemple, cherchos u truc simple, l foctio costte égle à y, y dt Preos f(t) = 3 yt = [ yt ] = y ( y ) = y et pourtt y y suf pour y =, c est ecore rté. 3 yt dt = 3 [yt3 3 ] = 3 (y 3 ( y 3 )) = 3 y 3 = y Si t [,] lors t [,] et doc 3 yt 3 y ce qui motre que 3 y < f(t) < 3 y, t [,], f(t) y. Il fllu fire iterveir l vleur solue cr o e sit ps si y est positif ou égtif. Allez à : Eercice Correctio eercice 3.. Ue foctio e esclier o cotiue est itégrle. C est fu.. Si =, =, f() = pour [, [ ], ] et f ( ) =. Supposos qu il eiste ue primitive de f sur [,] qui vérifie, F() =. Sur l itervlle [, [, les primitives de l foctio cotiue f sot les costtes, F() = k. Sur l itervlle ], ], les primitives de l foctio cotiue f sot les costtes, F() = k. Pour que F() = o doit predre k =. Le prolème est e, o veut que F() F ( lim ) = f ( ) = Si ted vers vec >, F() F ( ) = F ( ) Lorsque ted vers, vec >, le déomiteur ted vers +, comme le umérteur est costt doc l limite e peut ps être égle à. (o urit pu fire le même risoemet sur [, [). C est fu. 3. Soit F défiie pr F() = f(t)dt F () = ( f()) = f() F est ue primitive de f. De plus F() = f(t)dt = C est vri. 4. Soit F ue primitive de f sur [, ], Soit M = sup F() [,] G défiie pr G() = F() + M + est ussi ue primitive de f M F() M M + F() + M + 3M + < M + G() G() est jmis ulle, c est fu. 5. Pr l défiitio ue primitive de f sur [, ] est ue foctio F qui vérifie [, ], F () = f() C est vri, et même sur [, ]. 6. Soit f défiie pr f() = sur ],[. f est cotiue. Les primitives de f sot de l forme F() = l() + k, k R Ces foctios e sot même ps défiies e, doc certiemet ps cotiues. Allez à : Eercice 3 Correctio eercice 4.

13 Itégrtio Pscl Lié. Soit F ue primitive de f sur [, ], Soit M = sup F() [,] G défiie pr G() = F() M est ussi ue primitive de f M F() M 3M F() M M G() M < Doc c est fu. Remrque : Il e fut ps cofodre vec le résultt suivt : Si < et si f() sur [, ] lors f(t)dt. Soit F ue primitive de f sur u itervlle I. F () = f() doc F est décroisste. C est vri. 3. Si pour toute foctio F cotiue sur [, ], il eiste f cotiue telle que [, ], F () = f() cel pose u prolème cel voudrit que toutes les foctios cotiues sot de clsses C, ce qui est fu, trouvos u cotre-eemple. Soit F() = sur [,], utremet dit F() = sur [,] et F() = sur [,], cette foctio est cotiue, si <, F () = et si >, F () =. Les limites à guche et à droite de F () e sot différetes doc F est même ps dérivle e, ce est ps l primitive d ue foctio cotiue. Allez à : Eercice 4 Correctio eercice 5.. f(t) si(t) dt u (t) = si (t) v(t) = f(t) u(t) = cos(t) v (t) = f (t) f(t) si(t) dt = [ cos(t) f (t)] ( cos(t)) f (t)dt f(t) si(t) dt = [ cos(t) f (t)] + cos(t) f (t)dt = cos() f () + cos() f () + cos(t) f (t)dt cos(t) f (t)dt cos(t) f (t) dt Cr f est cotiue doc itégrle. lim + f (t) dt = Pr coséquet lim + cos(t) f (t)dt = Comme f (t) dt. O lim ( + cos() f () + cos() f ()) = lim + f(t) si(t) dt β si(t) dt = [ α cos(t)] = α cos(β) + cos(α) Soit χ ue foctio e esclier sur [, ], il eiste t, t,, t p et y, y,, y p tels que β 3 =

14 Itégrtio Pscl Lié = t < t < < t p < t p = Les vleurs de χ e t i ot ps d importce. Et i {,,, p }, t ]t i, t i+ [, χ(t) = y i Pr coséquet χ(t) si(t) dt p t i+ = y i si(t) dt = y i si(t) dt p i= t i 4 p i= t i t i+ = y i ( cos(t i+ ) + cos(t i )) Cr ue somme fiie de termes qui tedet vers ted vers. 3. Pour tout ε >, il eiste ue foctio e esclier χ telle que sup Comme i= (f(t) χ(t)) si(t) dt t [,] f(t) χ(t) si (t) dt lim χ(t) si(t) dt + Pour le ε choisit ci-dessus, il eiste N N tel que pour tout > N or Doc f(t) si(t) dt Cel motre ie que Allez à : Eercice 5 f(t) si(t) dt χ(t) si(t) dt < ε f(t) χ(t) < ε = (f(t) χ(t) + χ(t)) si(t) dt = (f(t) χ(t)) si(t) dt (f(t) χ(t)) si(t) dt lim + f(t) si(t) dt εdt + χ(t)si(t) dt + χ(t)si(t) dt = = ε( ) ε( ) + ε Correctio eercice 6.. Pour tout i =,,, ] i, i [ est u itervlle o vide de R, il cotiet des rtioels doc u rtioel que l o omme i, pr coséquet f( i ) = et des irrtioels doc u irrtioels (c est-àdire des élémets de R Q) que l o omme y i pr coséquet f(y i ) =.. 3. S D (f) = f( i )( i i ) = ( i i ) = ( ) + ( ) + + ( ) i= i= = + = + = S D (f) = f(y i )( i i ) = ( i i ) = i= L(f, D) = ( i i i ) if f() i i i= i= S D (f) = sup L(f, D) D

15 Itégrtio Pscl Lié U(f, D) = ( i i i ) sup f() i i i= S D (f) = if U(f, D) D f est ps itégrle. Allez à : Eercice 6 sup D L(f, D) if U(f, D) D Correctio eercice 7.. Soit D = {,,, } vec α = < < < < = β Soit D = {,,, m } vec α = < < < m < m = β Soiet,,, et y, y,, y m O défiit deu foctios e esclier i {,,, }, ] i, i [, f () = i j {,,, m}, ] j, j [, f () = y j Et peu importe les vleurs de f pour = i et de g pour = i Soit D = D D, il s git d u esemle fii doc il eiste c, c,, c p tels que D = {c, c,, c p } et α = c < c < < c p = β S il eiste k {,,, p} et i {,,, } tels que c k < i < c k il y ue cotrdictio cr cel sigifie que i D or i D D. De même il eiste ps de j etre deu c k. Pr coséquet pour tout {,,, p}, il eiste i {,,, } ]c k, c k [ ] k, k [ et il eiste j {,,, m} tel que ]c k, c k [ ] j, j [. O déduit de cel que pour tout k {,,, p} et pour tout ]c k, c k [, f () = i et f () = y j et doc f ()f () = i y j Cel motre que f f est ue foctio e esclier.. C est fu, si o pred l foctio costte égle à sur [,], [,], f() = f f() = f(f()) = f() Mis f est ps défiie pour =. Allez à : Eercice 7 Correctio eercice 8. f est itégrle (doc orée), pour tout ε >, il eiste ue foctio e esclier χ telle que f() χ() ε D près l iéglité trigulire Doc sup [,] A B A B f() χ() f() χ() Ce qui etrie que pour tout ε >, il eiste ue foctio e esclier (doc itégrle) telle que f() χ() sup f() χ() < ε sup [,] Ce qui motre que f est itégrle. Allez à : Eercice 8 Correctio eercice 9. Remrque : [,] 5

16 Itégrtio Pscl Lié Ue comiiso liéire de foctios cotiues et ulle e est évidemmet ue foctio cotiue ulle e doc C ([, ]) est u sous-espce vectoriel de l espce vectoriel des foctios cotiues pr morceu sur [, ] (o urit pu dire des foctios défiies sur [, ]). Ue comiiso liéire de foctio e esclier est évidemmet ue foctio cotiues pr morceu doc E est u sous-espce vectoriel de l espce vectoriel des foctios cotiues pr morceu sur [, ]. C est ce qui justifie l questio.. Il y qu à motrer que l itersectio est réduite u vecteur ulle (doc l pplictio ulle sur [, ] otée θ [,] ). Soit f C ([, ]) E Cette foctio est cotiue sur [, ] et f() = d ue prt et f est ue foctio e esclier d utre prt. Ue foctio cotiue et e esclier sur [, ] est costte (C est ssez évidet pour pouvoir l ffirmer), comme f() = cette costte est ulle, pr coséquet f = θ [,], o ie C ([, ]) E = {θ [,] }. O ppelle E l espces de foctios cotiues pr morceu, il fut motrer que C ([, ]) E = E Remrque : O e peut ps utiliser le résultt sur les dimesios de C ([, ]) et de E cr ces espces vectoriels sot de dimesio ifii. O v motrer que toute foctio f ds E se décompose e ue somme d ue foctio g ds C ([, ]) et d ue foctio h ds E pour motrer que C ([, ]) + E = E Comme C ([, ]) E = {θ [,] } O ur ie C ([, ]) E = E Allez à : Eercice 9 Première prtie O v d ord cosidérer ue foctio f qui dmet qu u poit de discotiuité e c [, ]. Si c ], [. O ppelle f(c ) = lim f() et c f(c+ ) = lim f() c + f() f() si < c g: [, ] { f(c ) f() si = c f() + f(c ) f(c + ) f() si c < [, c[ g() = f() f() = lim g() = lim f() f() = l c c f() = f(c) lim g() = lim f() + c + c + f(c ) f(c + ) f() = f(c + ) + f(c ) f(c + ) f() = f(c ) f() = g(c) g est cotiue e c, et pour [, c[ ]c, ] g est cotiue cr f est cotiue sur [, c[ et sur ]c, ]. Bref g est cotiue sur [, ] et g() =, utremet dit g C ([, ]). Soit f() si < c h: [, ] { f() f(c ) + f(c) si = c f(c ) + f(c + ) + f() si c h est ue foctio e esclier, h E. 6

17 Itégrtio Pscl Lié f() f() + f() si < c [, ], g() + h() = { f(c ) f() + f() f(c ) + f(c) si = c f() + f(c ) f(c + ) f() f(c ) + f(c + ) + f() si c < f() si < c = { f(c) si = c = f() f() si c < O motré l eistece de deu foctios g ds C ([, ]) et d ue foctio h ds E telles que f = g + h. C est ie ce que l o voulit. Pour c = ou c = l méthode précédete e mrche ps tout-à-fit mis o peut l dpter fcilemet. Allez à : Eercice 9 Deuième prtie O cosidère mitet ue foctio discotiue e deu poits c et d, o ppelle f(d ) = lim d f(d+ ) = lim d + f() f() si < c f(c ) f() si = c g: [, ] f() + f(c ) f(c + ) f() si c < < d f(d ) + f(c ) f(c + ) f() si = d { f() + f(d ) f(d + ) + f(c ) f(c + ) f() si d < Et f() si < c f() f(c ) + f(c) si = c h: [, ] f(c ) + f(c + ) + f() si c < < d f(d) f(d ) f(c ) + f(c + ) + f() si = d { f(d ) + f(d + ) f(c ) + f(c + ) + f() si d < Je lisse u lecteur qui me lit ecore le soi de vérifier que g() =, que g est cotiue sur [, ], que h est ue foctio e esclier (çà c est trivil) et que f = g + h. Fire cel pour poits de discotiuités me prit ie compliqué à écrire, lors je vis fire ue récurrece Allez à : Eercice 9 Troisième prtie Soit f ue foctio discotiue e poits otés c < c < < c, vec < c et c <, o ote I = [, c [; I = ]c, c [; ; I = ]c, c [; I + = ]c, ] i {, + }, [, ], f i () = { f() si I i si I i Et f i est ulle u poits de discotiuités (c est juste pour simplifier l fi du risoemet, o pourrit doer importe quelle vleurs u poits de discotiuités). Toutes ces foctios sot cotiues pr morceu. Supposos que pour tout k {,, + }, f + + f k est l somme d ue foctio g k C ([, ]) et d ue foctio h k E telles que f + + f k = g k + h k, o ppelle (H k ) cette propositio f est ue foctio cotiue pr morceu, vec u seul poit de discotiuité e c, d près l première prtie il eiste deu foctios g ds C ([, ]) et d ue foctio h ds E telles que f = g + h. Motros que (H k ) etrie (H k+ ) f + + f k + f k+ = (f + + f k ) + f k+ D près (H k ) f + + f k = g k + h k où foctio g k C ([, ]) et d ue foctio h k E. f + + f k + f k+ = g k + h k + f k+ = (g k + f k+ ) + h k g k + f k+ est l somme d ue foctio cotiue et d ue foctio cotiue pr morceu, c est doc ue foctio cotiue pr morceu, f k+ est discotiue e c k et e c k, doc g k + f k+ ussi, d près l deuième prtie, o e déduit que g k + f k+ est l somme d ue foctio g k+ cotiue sur [, ], ulle e, et d ue foctio h k+ e esclier, f + + f k + f k+ = (g k + f k+ ) + h k = g k+ + h k+ L récurrece est motrée, o l pplique à k = + f + + f + = g + + h + O presque fii, pour tout [, ], vec c i o 7

18 Itégrtio Pscl Lié Soit H l foctio défiie pr f() = f () + + f + () { H() = si c i H(c i ) = f(c i ) Doc pour tout [, ] f() = g + () + h + () + H() h + + H est ue foctio e esclier et g + est cotiue sur [, ] et ulle e. C est fii, il e reste plus qu à coclure. O viet de motrer que C ([, ]) + E = E Comme C ([, ]) E = {θ [,] } O ie C ([, ]) E = E Allez à : Eercice 9 Correctio eercice. Remrque prélimiire, si f est itégrle lim + Avec f() = + doc f (k ) k= = f()d et lim + f (k ) k= S, = = + k k= + k = f (k ) k= k= = f()d lim S, = d = [l( + )] + + = l() l() = l() S, = ( + k) = k= ( + k = k= ) f (k ) k= Avec f() = (+), doc lim S d, = + ( + ) = [ + ] = + = Ds cet eercice k e vrie ps de (ou ) à (ou ), il fut fire ttetio. O pose k = k k = k + k = k = k = k = Esuite rie empêche de reommer k e k. Avec f() = + doc S 3, = k = (k + ) k= k = S 3, = (k + ) = k= ( k = k= + ) ( k = S, k= + ) lim S 3, = + S 4, = = + k k= ( + k = k= ) + k = f (k ) k= k= 8

19 Itégrtio Pscl Lié lim S 4, = d = [ + + l( + )] = l(3) l() = l( 3) Ds cet eercice k e vrie ps de (ou ) à (ou ), il fut fire ttetio. S 5, = k k + = k = k k= k= ( k + ) k k= + Allez à : Eercice Première méthode : Attetio cette derière epressio e doe rie, si o coupe l itervlle [,] e segmets égu l somme doit ller de (ou ) à (ou ) cel e v ps, si o coupe l itervlle [,] e segmets égu le ps de l sudivisio est cel e v ps o plus cr o devrit voir ppritre f (k ) ds l somme, si o coupe l itervlle [,] e segmets égu le ps de l sudivisio le ps est k et l somme v de (ou ) à (ou ), c est mieu mis le «=, S 5, = k= k k + d +» devt l somme deviet = = [l( + )] = l(5) l() = l( 5) Allez à : Eercice Deuième méthode O coupe l itervlle [,] e segmets égu, le ps de l sudivisio est forme de cette somme : Le «S 5, =» devt l somme deviet S 5, = k= k ( k ) + 4 k k + = = k= = k= = k 4 ( k k= ) + k ( k ) + 4 d + 4, il fut rrger l = [l ( + 4 )] = l ( + 4 ) l ( 4 ) = l (5 4 ) l ( 4 ) = l (5 4) = l( 5) 4 k S 6, = 3 + = ( k ) k k= 3 ( + k = k k= ) ( + k = k= ) k + k = f (k ) k= k= Avec f() = + O fit le chgemet de vrile. lim S 6, = + + d t = + t = + t ( + ) = t + t = + t = t ( + t ) = t = t + t d = t( t ) ( + t )t ( + t ) = 4t ( + t ) = t = = t = 9

20 Itégrtio Pscl Lié + d = t 4t ( + t ) dt 4t = ( + t ) dt O décompose cette frctio e élémets simples 4t t + ct + d ( + t = + ) + t ( + t ) Ue petite ruse permet de e ps se ftiguer 4t ( + t ) = 4 t + ( + t ) = 4 ( t + ( + t ) ) + d = 4 ( t + ( + t ) ) dt = 4[rct(t)] dt 4 ( + t ) dt = 4 ( + t ) Ds cette derière itégrle o fit le chgemet de vrile t = t(θ) θ = rct(t) dt = ( + t (θ))dθ t = θ = rct() = t = θ = rct() = 4 dt ( + t ) = ( + 4 t (θ))dθ 4 dθ 4 (( + t (θ))) = + t = cos (θ) 4 (θ) dθ = ( + cos(θ))dθ = [θ + si(θ)] 4 = ( 4 + si ( 4 ) si()) = Et efi Allez à : Eercice Correctio eercice. lim S 6, = + + d = 4 ( ) = e t Pour t [,[, t doc +t et mis o ps le droit d écrire et lim dt = lim dt = e t dt = e + + t + + t Mis o v essyer de le motrer, c est u peu techique. Pour tout ε > et dt e t dt = ( et + t + t et ) dt = t e t dt + t = ε e t e t dt + t + ε e Ds l première itégrle o mjore t pr ( ε pr. ε e t e t dt + t ε e e t t e t dt + t ε e t e t dt + t + ε e t e t dt + t e ), e t pr e et u déomiteur o miore t + ( ε e ) e dt = ( ε e )+ e Ds l secode itégrle o mjore t pr, e t pr e et u déomiteur o miore + t pr t e t e dt + t dt = e ( ( ε e )) = ε ε e Esuite o choisit telle que ε e

21 Itégrtio Pscl Lié Comme < ε e pour que < ε e ( ε + e ) e ε < (O choisit ε pour qu il soit ussi petit que possile doc o peut s rrger ) pr coséquet ( ε + e ) + Esuite o choisit N N telle que pour tout > N ( ε + e ) e ε O repred les mjortios et pour tout ε >, il eiste N, tel que pour tout > N C est l défiitio de l limite Allez à : Eercice Correctio eercice.. I = ( t ) dt et lim + dt e t dt ε + t + ε = ε et dt + t = ( t ) dt ( t ) dt u (t) = v(t) = ( t ) = e t dt = [e t ] = e u(t) = t v (t) = t( t ) ( t ) dt = [t( t ) ] t( t( t ) )dt Pour, [t( t ) ] = I = ( t ) dt = ( t )( t ) dt = t( t ) ( t )( t ) dt Doc = ( t )( t ) dt + ( t ) dt = I + I ( + )I = I I = + I C est rté, cel doe ue reltio de récurrece etre I et I, ce est ps grve, pour :. I + = I I = + I = + I = Motros pr récurrece que pour tout k {,,, } Or Doc O pred k = Et I k = I = I = k + + k + 3 I k I 3 ( k) ( k) + I k k = k + I k k + + k + 3 k k + I k I = I

22 Itégrtio Pscl Lié 3. I = ( t ) dt I = Pour fire joli : [ ( ) ( ) ] I = ( + ) () ( ) ( ) ( 3) 3 = [!] ( + )! = (!) ( + )! E multiplit e hut et e s pr : ( ) ( ) () = ( ) ( 4) ( t ) dt D près. Allez à : Eercice = ( k ) k ( t ) k dt = (( k ) ( t ) k dt) = (( k ) ( )k t k dt) k= k= = = (( k ) ( )k [ tk+ k + ] ) = ( ( )k k + ( k )) = ( )k k + ( k ) k= k= I = ( )k k + ( k ) k= = (!) ( + )! Correctio eercice 3.. Le prolème est qu ppremmet il y qu ue foctio, si o fit comme «d hitude» c est-à-dire que l o itègre le o v fire pprître u «t» qui e doer rie de o, l oe idée c est d écrire I + de l fço suivte : I + = si(t) si + (t) dt I + = si(t) si + (t) dt u (t) = si (t) u(t) = cos(t) v(t) = si + (t) v (t) = ( + ) si (t) cos (t) I = [ cos(t) si + (t)] ( cos(t))( + ) si (t) cos(t) dt I + = [ cos(t) si + (t)] + ( + ) si (t) cos (t) dt Doc. O pose = p, I p = p = cos ( ) si+ ( ) + cos() si+ () + ( + ) si (t) ( si (t))dt = ( + ) si (t) dt ( + ) si + (t) dt = ( + )I ( + )I + k= ( + )I + = ( + )I I + = + + I p I p = p p p 3 p I p 4 = p p p 3 p I E fit il fudrit fire ue récurrece (mis c est ssez évidet). Et I = si (t) dt = dt = k=

23 Itégrtio Pscl Lié O pose = p Et I p+ = p p + I p = I = si (t) dt I p = p p p 3 p p p + p p I p 3 = I p+ = p p + p p 3 I = [ cos(t)] = cos ( ) + cos() = p p + p p 3 3. Pour t [, ] si(t) si + (t) si (t) E itégrt etre et < I + = si + (t) dt < I = si (t) dt Ce qui motre que (I ) N est strictemet positive et décroisste. 4. O déduit de l questio précédete que l suite (I ) N est covergete (décroisste et miorée pr ). Si cette limite est o ulle, c est fii, I l et I + l etrie que I I +, seulemet voilà pour l istt rie empêche cette limite d être ulle, uquel cs o e peut ps coclure que I, et u poit où j e suis j i ie l impressio que l limite est ulle (mis rie e me permet de l ffirmer!). Repreos l églité I + = + I + < I + < I + < I < + + I < I + < I < + + < I + < I E fist tedre vers l ifii o trouve que : lim + I + I = Autremet dit I + I Remrque : O e coit toujours ps l vleur de l limite. 5. O e coit que I p et I p+, lors o v evisger deu cs, = p, puis = p. = p I I + = pi p I p+ = p ( p p p 3 p 3 4 ) ( p p + p p ) = p p + = + = p I I + = (p )I p I p = (p ) ( p p ) (p p p 3 p 3 4 ) = p p = + 6. Doc Doc I I + = I I + I et + + 3

24 Itégrtio Pscl Lié I I Cr I >. Remrque : J i ie eu riso de me méfier prce que l limite de I est ie ulle. (E fit, je le svis mis je e vous l vis ps dit pour méger le suspese). Commetires : Ces itégrles sot coues sous le om de «itégrles de Wllis» Allez à : Eercice 3 Correctio eercice 4.. Il fut mjorer, il y deu optios, soit mjorer le umérteur, soit miorer le déomiteur, et o + doit pouvoir trouver ue primitive du mjort., je e vois ps mieu, et lors + + < + d < + d = [l( + )] = l() Et là o est coicé, il y plus de, et l vleur à guche et à droite sot distictes cel e doe rie. O v miorée le déomiteur, il y deu possiilités : Pour tout + < d + + = < I = + d Doc I Ou Pour tout + + = < I = + d < d Doc I Je préfère l première possiilité, mis les deu mrchet. = [ + + ] = + = d. I + I + = + d d = + + d = ( + ) d + + = + 3. ( ) k k k= E itégrt etre et. Or = ( ) = ( ) + ( ) k k d = ( + k= = [ ] = = d = + ( ) ( )+ + ) d ( ) k k d = d + ( ) d k= ( ) k [ k+ k + ] = [l( + )] + ( ) + I k= ( )k = l() ( ) + I k + k= = [ + + ] 4

25 Itégrtio Pscl Lié Doc ( )k k + k= Allez à : Eercice 4 Correctio eercice 5.. = ( ) + + ( ) + + ( ) ( ) + = ( )k k k= ( )k+ = l() + ( ) + I k l() k= A l ide d ue itégrtio pr prtie. pour e e I = dt e = e I = l(t) dt I = l(t) dt u (t) = u(t) = t v(t) = l(t) v (t) = t e I = l(t) dt = [t l(t)] e e dt I = e l(e) l() (e ) = = ( )k+ k k= Pour e I = (l(t)) dt u (t) = v(t) = (l(t)) u(t) = t v (t) = t (l(t)) e I = (l(t)) dt = [t(l(t)) ] e e (l(t)) dt I = e I 3. I = e I = e (e ( )I ) = e( ) + ( )I I = e( ) + ( )I = e( ) + ( )(e ( )I 3 ) = e( + ( )) ( )( )I 3 = e( + ( )) + ( ) 3! ( )! I 3 Motros pr récurrece sur k que I = e( + ( ) + ( ) k ( ) ( k + )) + ( ) k I = e( + ( ) + ( ) k ( ) ( k + )) + ( ) k! ( (k ))! (e ( k)i (k+))! ( (k ))! I k = e ( + ( ) + ( ) k ( ) ( k + ) + ( ) k! ( k)) ( (k ))! ( ) k! ( (k ))! ( k)i (k+) 5

26 Itégrtio Pscl Lié = e ( + ( ) + ( ) k ( ) ( k + ) + ( ) k! ( k)) ( (k ))! Allez à : Eercice 5 ( ) k! ( (k ))! ( k)i (k+) Correctio eercice 6. Il fut écrire cos (u) foctios. Pour. I = e produit de deu foctios doc o coit ue primitive de l ue de ces 4 du cos (u) cos (u) f (u) = g(u) = cos (u) cos (u) = cos + (u) I = [ t(u) cos (u) = cos (u) cos (u) cos (u) ] f(u) = t(u) g (u) = ( + ) cos + (u) ( si(u)) 4 4 t(u)( + ) cos + (u) ( si(u))du I = [ t(u) cos (u) ] 4 4 t(u)( + ) cos + (u) ( si(u))du t ( = 4 ) cos ( 4 ) + ( + ) 4 si (u) cos(u) cos (u) du = t ( 4 ) cos ( 4 + ( + ) si ) 4 (u) cos (u) du = ( ) 4 ( ) cos (u) cos du (u) 4 = ( ) ( ) [ cos (u) du 4 cos (u) = ( ( ) ) cos du (u) 4 cos (u) du ] Doc = ( ) ( )[I I ] = ( ) ( )I + ( )I Pr récurrece pproimtive I = ( ) + (( ) ( )I = ( ) + ( )I I = ( ) + I I 4) = ( ) + ( ) I 4 Si = p, pr ue récurrece (que je i ps evie de fire) p 4 I p = ( )p p + p p ( ) p 3 + p p p 4 p 3 ( ) p p p p 4 p 3 p 6 Avec I 6

27 Itégrtio Pscl Lié I = du = 4 Si = p +, pr ue récurrece (que je i ps evie de fire) I p+ = ( )p p 3 I + p p 4 p 5 ( )p 3 p + p p p 3 p ( ) p p p Avec les règles de Bioche o voit que l o peut fire le chgemet de vrile t = si(u) 4 I = du cos(u) du = cos(u) cos = (u) O pose t = si(u) dt = cos(u) du u = t = si() = u = 4 t = si ( 4 ) = I = Allez à : Eercice 6 Correctio eercice 7. 4 cos(u) du si (u) = t dt = + t [l ( t )] = e (l(u)) du f (u) = g(u) = (l(u)) J = [u (l(u)) ] e e J = [u (l(u)) ] e (l(u)) du 4 = ( t + + (l ( 4 + t ) dt cos(u) du si (u) ) l ( )) = + l ( ) f(u) = u g (u) = (l(u)) e u u (l(u)) du u p 3 p = [ l( t) + l( + t)] = e (l(e)) (l()) J = e J J = e J = e (e ( )J ) = e( ) + ( )J = e( ) + ( )(e ( )J 3 = e( + ( )) ( )( )J 3 Motros pr récurrece sur k que : = e (!!!! +! = e (!! k J = e ( ) i i= Pour k =, c est l églité J = e J. Si k J = e ( ) i i= Alors, comme J k = e ( k)j k! ) + ( )3 ( )( )J 3! ( )! ) +! ( )3 ( 3)! J 3! ( )! +! ( i)!! ( i)! + ( ) k! ( k)! J k + ( ) k! ( k)! J k 7

28 Itégrtio Pscl Lié k J = e ( ) i i=! ( i)! k + ( ) k! ( k)! (e ( k)j k ) = e ( ) i! ( i)! i= k = e ( ) i! ( i)! i= 8 + ( ) k+! ( k )! J k + ( ) k+! ( (k + ))! J (k+) L reltio est vérifiée doc elle est vrie pour tout k, ppliquos ce résultt à k = J = e ( ) i i= e! ( i)! Avec J = du = e J = e ( ) i i= Allez à : Eercice 7 Correctio eercice 8.. f(t)dt Pr coséquet! ( i)! + ( )! ( k)! J = e ( ) i i= + ( )! ( k)! J = e ( ) i = e ( ) i! + ( ) ( +! i)! i= i=! ( i)!! ( i)! u = t t = u dt = du t = u = t = u f(t) = f( u) = f(u) = ( f(u))( du) = f(u)du = f(u)du f(t)dt = f(t)dt. f est cotiue et + est dérivle doc F est dérivle. F () = f( + ) f() = f() f() = F est ulle sur l itervlle R doc F est costte f(t)dt = = F() = F( ) = f(t)dt L secode églité viet du fit que F est costte, l troisième viet du. Allez à : Eercice 8 + ( )! ( )! J + ( )! (e ) ( )! = = f(t)dt Correctio eercice 9.. O pose f(t) = l( + t) pour tout t >. Cette foctio est C sur R +, o peut ppliquer l formule de Tylor-Lgrge à importe quel ordre, doc vec u reste à l ordre. f (t) = et f (t) = + t ( + t) Il eiste c ], t[ tel que f(t) = f() + tf () + t f (c) = t t ( + c)

29 Itégrtio Pscl Lié Il est clir que f(t) < t et d utre prt < c < t < + c < + t < ( + c) < ( + t) > t ( + c) > t t t ( + t) 9 > t t ( + t) < ( + c) < t ( + t) t > t ( + c) L iéglité de droite motre que l( + t) > t t. O doc motré les deu iéglités.. Pour tout ], 3[ < < 3 < < < 3 < < t < < Comme t t = t ( t) est le produit de deu réels positifs (t > et t > ), t t > dt t < t t < l( + t) < t t < l( + t) < dt l( + t) [l(t)] F() t t dt t t t(t ) dt l( ) l( ) F() ( t t ) dt l ( ) F() [l(t) l t ] l( + ) F() l( + ) l l 3 = l( + ) + l ( 3 ) Ce qui est ie l iéglité demdée. 3 lim l ( ) = l ( ) = l() = et lim l( + ) = l() 3 Pr coséquet > lim F() = l() > 3. Pour tout > F () = l( + ) l( + ) = l( ) l() = l() l() = l() 4. > etrie que > et que l() >, doc F () >, F est ue foctio strictemet croisste sur ], + [ et lim F() = l(), pr coséquet, pour tout >, o F() > l(). Allez à : Eercice 9 > Correctio eercice. Première prtie. Si > lors > et si t > lors l(t) > doc f() >. t l(t) (t ) Est cotiue et est dérivle doc f est dérivle.

30 Itégrtio Pscl Lié 3. f () = l( ) ( ) l() ( ) = 4 l() ( ) ( + ) l() ( ) l() = ( ) ( + ) (4 ( + l() ) ) = ( ) ( + ) (4 ) l() = ( ) ( + ) ( + ) = l() ( + ) ) L formule de Tylor Lgrge pour l foctio l etre et t > dit qu il eiste c ], t[ tel que l(t) = l() + (t ) l (t ) (t ) () + l (c) l(t) = t c < c < t < c < t t < (t ) (t ) (t ) < c t < c < (t ) (t ) (t ) (t ) (t ) < c < t t < t c (t ) (t ) (t ) < t t t < l(t) < t t Comme t (t ) t ) O divise pr (t ) > < t, o ie t (t ) < l(t) < t t < l(t) (t ) < t Comme < o itègre ( t ) dt f() t dt [l(t ) t ] f() [l(t )] l( ) l( ) + f() l( ) l( ) l( + ) + f() l( + ) O fit tedre vers + et o trouve que lim f() = l() + Allez à : Eercice Deuième prtie. l(t) (t ) dt = l(t) dt (t ) (t ) l(t) dt u (t) = u(t) = (t ) t v(t) = l(t) v (t) = t f() = [ l(t) ] dt t (t )t Or l(t) l(t) dt = [ (t ) t ] (t )t dt = l(t) t + t(t ) dt 3

31 Itégrtio Pscl Lié O multiplie pr t, puis t = O multiplie pr t, puis t = t(t ) = t + t = [ t ] = t=. Allez à : Eercice = [ t ] t= = l(t) l(t) dt = (t ) t + ( t + l(t) ) dt = l(t) + l(t ) t t f() = [ l(t) t l(t) + l(t )] = l( ) l( ) + l( ) ( l() l() + l( )) = l( ) + l() l() + l() + l ( ) l() = ( )( + ) + l() + )( ) l() + l (( ) l() = ( + + ) l() + l( + ) ( )( + ) l() l() = ( ) l() + l( + ) = l() + l( + ) ( )( + ) + = l( + ) + l() Correctio eercice. Remrque : il est ss doute possile de fire cet eercice d ue utre fço si o sit qu ue primitive de t si(t) est t l (t (t ) ).. t < t < = < si(t) Doc t est cotiue sur [, ], ce qui motre que F est défiie, cotiue et dérivle sur ], [. si(t) F () = si() si() = si() cos() si() = si() cos() si() = cos() si() cos() Pour tout ], [ cos() >, cos() > et si() >, doc F () > Cette foctio est strictemet croisste. 3. comme si est C sur R o peut ppliquer l formule de Tylor-Lgrge à l ordre sur [, ], il eiste c ], [ tel que Doc si(t) = si() + t si () + t si (c) 3

32 Itégrtio Pscl Lié Pour t ], [, < cos(t) < doc Ce qui etrie que Autremet dit D utre prt si(t) = t t cos(t) t < t cos(t) < t t t t t < t cos(t) < t < si(t) < t t t = t ( t) t > et t < < Etrie que t t > Pr coséquet t < si(t) < = t t A l ide d ue décompositio e élémet simple. t( t) = t + t = t t O itègre etre et (o ie < ) dt dt < < ( t si(t) t t ) dt [l(t)] < F() < [l(t) l(t )] l() l() < F() < l() l( ) (l() + l( )) l ( ) < F() < l ( ) l ( ) l() < F() < l() l ( ) Comme lim l ( ) = l() = O d près le théorème des gedrmes lim F() = l() Allez à : Eercice Correctio eercice.. l( + t) t + o(t) = = + o() = f() t t Doc f est cotiue e, pour t f est le quotiet de foctios cotiues.. Les ores sot des foctios de clsse C ( et ) et f est cotiue doc F est de clsse C. 3. Pour 3

33 Itégrtio Pscl Lié 4. F () = f() ( )f( ) = f() + f( ) = l( + ) + l( ) = + l ( ) O sit déjà que F est C e, doc F () est l limite de F () lorsque = (l( + ) l( )) F () = (l( + ) l( )) = ( + o() ( + o()) = ( + o()) = + o() Doc F () =. F est impire. F( ) = f(t)dt = f(t)dt = F() 5. Pour < <, + > > doc + >, pr coséquet F () = l (+) > ce qui motre que F est croisste sur ],[ Pour < <, < + < doc + l (+) > ce qui motre que F est croisste sur ],[. Allez à : Eercice <, pr coséquet l (+ ) < et lors F () = Correctio eercice 3.. g est cotiue sur I doc G est de clsse C sur I. Comme f et g sot cotiues sur I, f g est cotiue sur I et et f(t)g(t)dt est de clsse C sur I, de plus f est cotiue sur I et + G() est de clsse C sur I pr coséquet F est de clsse C sur I.. Comme t I, g(t) lors g(t)dt dt, utremet dit Ce qui etrie que + G() G() F () = f( + G())G () f()g() = f( + G())g() f()g() = g() (f( + G()) f()) [, ], g() D utre prt, comme f est décroisste f( + G()) f() f( + G()) f(), de plus pour [,] g() doc F () = g() (f( + G()) f()). O e déduit que F est croisste sur I. F() = Et F est croisste doc F() Doc Allez à : Eercice 3 Correctio eercice 4. +G() f(t)dt +G() f(t)dt f(t)g(t)dt f(t)g(t)dt +λ f(t)dt = f(t)g(t)dt 33

34 Itégrtio Pscl Lié. f est cotiue doc f(t)dt est dérivle, f est strictemet mootoe et cotiue doc dmet ue ijectio réciproque cotiue f et f est dérivle pr coséquet f (t)dt est dérivle et efi f() est dérivle, ce qui fit de g ue foctio dérivle.. g () = f() + f (f())f () f() f () = g est doc costte sur u itervlle doc pour tout [, ], Allez à : Eercice 4 Correctio eercice 5. f() g() = g() = f(t)dt + f (t)dt f() = Remrque : les trois itégrles de cet eercice sot défiies cr l() + est cotiue sur R+. = t = t d = dt t f() = t = = = t = l() l ( + = t ) + = t ( l(t)) t + t Doc l() + d = t ( l(t)) dt t + t = l(t) t + dt = l() + d. I = l() + d = l() + d + l() + d = l() + d + l() + d = Allez à : Eercice 5 Correctio eercice 6. d +cos(). F() = si(). ) = [ l ( + cos()] = l( + cos()) + l () cos( ) cos () si() d( ) = d + cos( ) + cos() + cos() d si( ) si() si() d( ) = d + cos( ) cos() + cos() d si( + ) si() si() d( + ) = d + cos( + ) cos() + cos() d O doit fire le chgemet de vrile t = t ( ) ) = rct(t) doc d = dt +t, cos() = t ( = lors t = t ( ) ) +t ( = t ), si = lors t = t +t ( ) = et si 34

35 Itégrtio Pscl Lié G() = cos() + cos() d = t( ) 35 t + t + t + t dt + t = t( ) ( + t t ( ) ) = + t dt = ( ) dt + t t ( ) = + t dt rct (t ( )) = cr ], [ d +cos() 3. G() + H() = cos() t ( ) dt t( ) t + t dt = [rct (t)] t ( ) t ( ) = rct (t ( )) t ( ) = t ( ) = t ( ) + Doc H() = G() = t ( ) Allez à : Eercice 6 +cos() d d +cos() = cos()+ = d Correctio eercice 7.. t 4+t 4 est cotiue sur R, est de clsse C sur R. Doc f est de clsse C sur R, doc dérivle.. Pour tout R. f () = = = = = ( ) f 3( 4 ) () = ( ) = 3( )( + ) 4 ( ) Doc f () le même sige que. Si ], [ f est décroisste. Si ],[ f est croisste. Si ], + [ f est décroisste. t t 6 5 t t E itégrt etre et, o trouve que f() f() =, f () = doc f() = + o() et ue équtio de l tgete est y = 4. = 4+t 4 t 4 t et doc d 5. O e déduit que f() [ t ] = 4+t 4 d et que lim f() = + t 4 + t = 4 + t4 t 4 t 4 + t = 4 + t 4 t 4 4 ( 4 + t 4 +t )t 4 + t = 4 4 ( 4 + t 4 +t )t 4 + t 4 4 (t + t )t t = t 6 4 Et il est clir que ( 4+t 4 +t )t 4+t 4 Comme, o t d

36 Itégrtio Pscl Lié ( t dt 4 + t4) O multiplie tout cel pr > D où lim + g() = D utre prt, g() = ( Doc lim + f() =, où ecore f() + t 6 dt g() = [ 5t 5] = = dt f()) = [ ] f() = f() t t. 6. D près l questio ) f(), f() est «e gros» compris etre et si o pproime vec. y = Allez à : Eercice 7 Correctio eercice 8.. t. t 4 +t + dérivle sur R. est défiie et cotiue sur R, est dérivle sur R doc F est défiie, cotiue et F( ) = dt t 4 + t + 3. u = t t = u dt = du t = u = t = u = F( ) = du = ( u) 4 + ( u) + F est impire. Et < etrie que < t 4 + t + < t = 4 t du = F() u 4 + u + 36

37 Itégrtio Pscl Lié 4. Pr coséquet Doc Allez à : Eercice 8 Correctio eercice 9. dt = < dt < dt t 4 + t + t = [ t ] lim F() = + = + = F () = () 4 + () = ( ) ( ) = ( ) 3 4 = ( ) 3( 4 4 ) = ( ) { F () = > { 44 = > { 4 = 4 > =. Si >, < < et pour tout t [, ], t e t est cotiue doc F est de clsse C.. Si <, < < et pour tout t [, ], t e t est cotiue doc F est de clsse C. Doc pour tout, F est dérivle. ) t e t est suffismmet dérivle pour dmettre ue formule de Tylor Lgrge à l ordre. Il eiste c ds l itervlle, t, c est-à dire ]t, [ si t < et ], t[ si t > (doc ds ] - t, t [ tel que : f(t) = f() + tf (c) e t = + t( e c ) = te c ) Comme < c < o : < c < et doc e < e c < e D utre prt Ce qui etrie que c) Si > lors < e dt ( t e t t ) dt t t e c = t e t t edt e < t e t < e t ( ) e t dt F() e( ) e [l(t)] F() e e l() l () F() e l() F() e e Lorsque ted vers +, et e tedet vers e + doc F() ted vers l() = F() ce qui motre que F est cotiue à droite. Si < lors < 37

38 Itégrtio Pscl Lié 3. e dt ( t e t t ) dt e [l(t)] edt e ( ) t dt e t t dt e( ) + F() e e l() l() + F() e e l() + F() e Lorsque ted vers, e et e tedet vers doc F() ted vers l() = F() ce qui motre que F est cotiue à guche. Filemet F est cotiue e. F () = e F () = e e = e e ( + o() ) = e ( + o()) = e (e ) = e ( + o()) lim F () = lim e ( + o()) = Le grphe de F dmet ue tgete olique e = de pete. 4. Si < lors e > et doc F () < Si > lors e < et doc F () < Si = lors F () = < F est décroisste sur R 5. t t e t e t t Doc, puisque si >, < e t t dt e t dt = [ e t ] = e + e ( + ) lim F() = 6. Il eiste c ]t, [ tel que e t = te c t < c < < c < t e < e c < e t < e c t < te c Cr t >, puis o rjoute de chque côté pour oteir t < te c = e t O multiplie cette iéglité pr t < t > e t t t Esuite o itègre etre et, cr pour <, < t dt > e t t t dt ( ) dt > F() [l(t) t] t > F() l() (l() ) > F() l ( ) > F() F() > + l ( ) = l() 7. Comme O lim l() = + lim F() = + 38

39 Itégrtio Pscl Lié y l() Allez à : Eercice 9 Correctio eercice 3.. Si t > et t, f est le quotiet de foctios cotiues doc f est cotiue. Pour t =, o fit le chgemet de vrile u = t, t = + u, f(t) = l(t) = l(+u) = u+o(u) = + o() doc lim f(t) = lim( + o()) = = f() t u u t u f est cotiue, l itégrle est fussemet impropre.. Si < t <, l(t) < et t < doc f(t) > Si t >, l(t) > et t > doc f(t) >. Si t =, f() = > Doc pour tout t >, f(t) >. 3. Si < < lors <, comme f(t) >, F() <. Si > lors >, comme f(t) >, F() >. 4. f est cotiue et est de clsse C doc F est de clsse C. F () = l( ) l() = 4l() ( + ) l() (3 ) l() (3 ) = = ( + ) ( + ) f() Comme f() > et que + > cr >, F () le même sige que 3. Si < < 3, F () < et F est décroisste. Si > 3, F () > et F est croisste. Allez à : Eercice 3 Correctio eercice 3.. t t = t + t = (t ) + t = + t t = (t )(t + ) = t + (t + ) Je multiplie pr t, puis t = = [ t + ] = t= Je multiplie pr t +, puis t = = [ t ] = t= 39

40 Itégrtio Pscl Lié. 3. Doc t = (t )(t + ) = t + t + t t dt = t + l t l t + + K = t + l t t + + K t = t = = t doc d = tdt d = t t t ( dt) = t dt = t + l t t + + K = + l + + K F() = l() d = [ l()] + d F() = l() l + + K F() = l() l( ) l( + ) + K K chgé e cours de route, est-ce ie grve? J i elevé les vleurs solues prce que j e i le droit. 4. l() est ps défiie e et, doc cette foctio est ps cotiue, il s git d ue itégrle géérlisée e et e. 5. E. l() l(), l() et <, doc l itégrle coverge e. E, o pose t =, = t, l() = l(+t) t = t, l itégrle est fussemet impropre t t (géérlisée) e doc l itégrle coverge e. 6. g() = l() + l( )) g() = l() ( + o()) + l ( ( + o())) = l() + l() ( + o()) + l ( + o()) = l() + l() ( + o()) + l ( ( + o())) = l() + l() ( + o()) + l() + l ( + o()) = l() ( + o()) + l ( + o()) 7. Comme lim l () =, lim g() = lim ( l ( + o())) = l () F() = l() + 4 l() + K = 4 4 l() + K lim I ε, = l() d = F() F(ε) ε I ε, = l() 4 + l( ) l( + ) ( ε l(ε) 4 ε + l( ε) l( + ε) 4

41 Itégrtio Pscl Lié Cliremet F() = K et F() = lim ε F(ε) = 4 4 l() + K Doc I = F() F() = 4 4l () Allez à : Eercice 3 Correctio eercice 3.. f est cotiue sur [,] et dérivle sur ],[, o peut ppliquer le théorème des ccroissemets fiis, pr coséquet il eiste c ],[ tel que : f ( ) = f() + (. Comme f est cotiue sur u itervlle fermé oré [,], f est oré et tteit ses ores doc il eiste m et M ds [,] tels que pour tout c ],[ f ( m ) f (c) f ( M ) Or f ( m ) > doc < f ( m ) f (c) Ce qui motre que f (c) f ( m ) Puis o pose = f ( m ) pour motrer le résultt. Cr f est croisste I = I (f ( )) 4 ) f (c) = f (c) (f()) dt (f ( )) dt ( ) < (f ( )) l(f( = e )) l (f ( )) < l ( ) = ( + o ( )) = ( + o()) Comme [,], f() Cr [,], f() I e (+o()) + J = (f()) d J = (f()) d d ( ) = + D'près le théorème des gedrmes I et J tedet vers, puis d près l reltio de Chsles Doc Allez à : Eercice 3 Correctio eercice 33. Première prtie. O pose X =, Pour, u () = X e X (f()) dt = I + J lim + (f()) dt =

42 Itégrtio Pscl Lié lim u () = lim X e X = X Cr l epoetielle l emporte sur les foctios polyômes.. O peut fire le même chgemet de vrile qu à l questio ) ou remrquer que u () = φ() d où l o déduit que : lim u () = lim φ() = = φ() Doc φ est cotiue e, pour, φ est cotiue e tt que composée de foctios cotiues. φ () = 3 e = u 3 () Doc, e utilist l première questio lim φ () =, comme de plus φ est cotiue e, o e déduit que φ est dérivle e et φ () = lim φ () =. (Et même de clsse C ). Pour, φ est dérivle e tt que composée de foctios dérivle. Pour, φ () = 3 e = 3 φ() doc 3 φ () = φ() Pour =, 3 φ () = o 3 = et φ() = =, il y ussi églité. 3. Pour <, φ () < doc φ est décroisste. Pour >, φ () > doc φ est croisste. L étude des poits d ifleio est plus vrimet u progrmme, mis je rppelle que le grphe d ue foctio deu fois dérivle dmet u poit d ifleio si et seulemet si l dérivée secode s ule e chget de sige. Pour, φ () = 6 4 e + 3 ( 3) e = 6 ( 3 + )e Pour =, φ () = 6u 4 () + 4u 6 () doc s limite e est ulle. Il y trois vleurs qui ulet φ (), 3, et 3, Pour proche de et o ul, il est clir que φ () > doc il y ps de poits d ifleio e. Pr cotre 3 + chge de sige e ±, doc φ dmet u poit d ifleio e chcu de ces 3 poits. Allez à : Eercice 33 Deuième prtie f( ) = e ( ) φ(t)dt = e φ(t)dt Je fis le chgemet de vrile t = u ds l itégrle, dt = du, φ(t) = φ( u) = e( u) = φ(u) Si t = lors u = et si t = lors u = doc f est impire. f( ) = e ( ) φ(t)dt = e φ(u)( du) = f() Pour >, φ est croisste doc < t < etrie = φ() < φ(t) < φ() J itègre etre et : d φ(t)dt φ()d φ(t)dt φ() 6. Je multiplie ces iéglités pr e : e φ(t)dt φ()e = Je fis tedre vers +, j e déduis que lim + Comme f est impire l limite e est = = f(). f() = = f(), f est cotiue e. 4