Algorithmes gloutons

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1 Alorithms loutons L prinip l lorithm louton : ir toujours un hoix lolmnt optiml ns l spoir qu hoix mènr à un solution lolmnt optiml. Éypt On ppll rtion éyptinn un rtion l orm n v n N.. Soint t ux ntirs (prmirs ntr ux) tls qu <. Donnr l xprssion l rtion éyptinn l plus rn prmi ls rtions éyptinns stritmnt plus ptits qu t l xprssion lur iérn.. On onsièr l lorithm suivnt : Xs ypt (, ) : = { lol, ; := ; :=numr( /) ; :=nom( /) ; s i == lors rturn ; sinon := irm (, ) ; := iquo (, ) +; rturn (, ypt (, *) ) ; s i ; } : ; ns lqul l ntré (;) st un oupl ntirs v <. Érir un vrsion itértiv l lorithm.. Qull st l sorti l lorithm v l ntré (,) = (,n + ) où n st un ntir nturl non nul?. Qul st l rôl t lorithm? Démontrr. 5. L lorithm louton proposé onn-t-il un éomposition n somm rtions éyptinns v l minimum trms possils? Ls épruvs ns l ymns Dns un ymns oivnt s éroulr un séri épruvs. Ls épruvs n sont ps sulmnt rtérisés pr lurs urés : hqu épruv st rtérisé pr un t éut i t un t in i. On souhit "sr" l plus possil épruvs, ux épruvs n pouvnt voir liu n mêm tmps (lurs intrvlls tmps oivnt êtr isjoints).

2 Glouton Glouton Glouton Glouton On tri ls épruvs pr uré roissnt, on hoisit l plus ourt, puis l plus ourt prmi lls qui lui sont omptils, puis...c hoix mèn-t-il u éroulmnt un nomr épruvs mximl? On tri ls événmnts pr ts ommnmnt roissnts t on loutonn : on hoisit l événmnt ommnçnt l plus tôt, puis l plus tôt prmi ls événmnts omptils...mêm qustion. On tri tt ois ls événmnts pr nomr intrstions roissnt : on hoisit or lui qui intrst l moins événmnts, puis...mêm qustion. On tri ls événmnts pr ts in roissnts t on loutonn : on hoisit l épruv s trminnt u plus tôt, puis l épruv s trminnt u plus tôt prmi lls qui sont omptils à l prmièr...mêm qustion. Monni. On ispos piès monni (sns limit tis) 8 hlouis, 7 hlouis t hloui. On hrh l çon pyr n hlouis (n ntir nturl) n utilisnt l moins possils piès. On loutonn insi : on utilis s piès 8 hlouis tnt qu on put, puis s piès 7 tnt qu on put, puis s piès. Ctt loutonnri onnr-t-ll un répons optiml?. L mêm loutonnri onuit-ll à un nomr miniml piès lorsqu ls piès sont s piès 0, 5, t?. Soit p N, p. L mêm loutonnri onuit-ll à un nomr miniml piès lorsqu ls piès sont s piès, p, p, p,..., p k? Dux lorithms sur s rphs. Coupl Soit G un rph, on ppll oupl tout nsml rêts tl qu ux rêts qulonqus t nsml n sont jmis inints à un sommt ommun. Ls rêts u rph i-ssous sont ponérés. On imrit étrminr un oupl pois mximl. Appliqur l prinip louton ( st à ir : hoisir l rêt pois mximl, puis l rêt pois mximl prmi ls rêts qu l on put nor hoisir...). Aoutit-on à un oupl pois mximl?

3 . Arr pois mximl Alorithm Kruskl. Un rr ns un rph G st un sous-rph qui n possè uun yl. Ls rêts l rr issous sont ponérés. L hoix louton (on hoisit l rêt pois mximl, puis l rêt pois mximl prmi lls qui puvnt nor êtr hoisis...) mèn-t-il à un rr pois mximl? On mttr : «Tous ls rrs ouvrnts un rph onnx G ont l mêm nomr rêts (à svoir n où n st l nomr sommts).». Mtroï. Ls oupls un rph onstitunt un mill nsmls «héréitir» : si un nsml H rêts st un oupl u rph G lors tout nsml H rêts ontnu ns H st ussi un oupl u rph G. Ls nsmls rêts un rph G nnrnt un rph sns yl vériint élmnt tt propriété héréité : si un nsml H rêts nnr un rph sns yl lors tout nsml H rêts ontnu ns H nnr ussi un rph sns yl.. Formultion l lorithm louton pour un oupl (E,I ) où E st un nsml ini élémnts (pr xmpl : l nsml s rêts un rph) t I un mill prtis E héréitir (pr xmpl, l mill s oupls ou l mill s rphs sns yls un rph). Ls élémnts I sront nommés prtis inépnnts. Entré l oupl (E, I ) t un ontion pois w (à vlurs positivs) éini sur E. Tritmnt J :=, A := E TntQu A := élémnt A pois mximl A := A Si J + st un prti inépnnt lors J := J + FinTntQu Sorti J L lorithm s trmin toujours (puisqu E st ini). Sous rtins onitions (voir i-ssous), il onnr un prti inépnnt pois mximl.. L mill s nsmls rêts un rph nnrnt un rph sns yl vérii l propriété éhn (on n l émontrr ps ii) : «si H t H sont s nsmls rêts u rph G nnrnt un rph sns yl t si H < H lors il xist un élémnt H tl qu H + nnr un rph sns yl.» D çon plus énérl, un systèm (E,I ) héréitir sr pplé mtroï s il vérii l propriété éhn : «si H t H sont s prtis inépnnts t si H < H lors il xist un élémnt H tl qu H + st un prti inépnnt.» () Vériir qu l mill s oupls un rph n possè ps l propriété éhn. () Vériir qu pour un systèm héréitir qui n st ps un mtroï l lorithm louton énoné i-ssus put n ps mnr à un prti inépnnt pois mximl.

4 () Vériir qu, pour un mtroï, l lorithm louton i-ssus mèn à un prti inépnnt pois mximl (t n prtiulir, l lorithm Kruskl onn un rr ouvrnt pois mximl). 5 L s à os 5. L s à os u mriolur. Un volur évlisnt un msin trouv n ojts. L ojt numéro i vut v i uros t pès w i k. L volur vut qu son utin it l plus rn vlur (n uros) possil mis n put ps mportr plus W k ns son s à os. Glouton L résultt st-il optiml n hoisissnt l ojt l plus hr prmi ux qui puvnt tnir ns l s, puis l plus hr prmi ux qui puvnt nor tnir... Glouton L résultt st-il optiml n hoisissnt or ls ojts plus rn prix u k?. Ls ojts sont mintnnt s quntités rtionnls (pr xmpl 0 k un rtin pour). L lorithm louton onsistnt à hrr ns l s à os l plus rn quntité u prouit l plus hr u k, puis l plus rn quntité u prouit l plus hr u k prmi ux qui rstnt...onn-t-il un solution optiml? 5. L s à os l spion L présnttion u s à os ns tt stion été utilisé ns un lorithm hirmnt (Mrkl- Hllmn) pour lqul on pourr trouvr l prinip étillé ii : On ispos un suit ini ntirs s, s,..., s k supr-roissnt, st à ir tll qu s j > j l= s l ( j k). On s onn un ntir C > 0 t on hrh si l somm rtins élémnts s j st él à C, st à ir si l on put trouvr (ε,ε,...,ε k ) {0;} k tl qu k j = ε j s j = C. Montrr qu l lorithm louton i-ssous résout l prolèm : Xs sos ( l i s t,c) : = { // l i s t : séqun supr roissnt n t i r s // C : somm à ttinr lol j, lonuur_list, solu, s ; lonuur_list := s i z ( l i s t ) ; solu := sq [ ] ; pour j lonuur_ list jusqu 0 ps i r s := l i s t [ j ] ; s i s<=c lors solu := solu, s ; C:=C s ; s i ; pour ; s i C==0 lors rturn solu ; sinon rturn " ps solution " ; s i ; } : ; sos([,5,8,5,80],5) rnvoi pr xmpl 5,8,.

5 6 Colortion s sommts un rph On hrh à otnir un olortion s sommts un rph qui stisss à l ontrint suivnt : ux sommts voisins n ont jmis l mêm oulur. Un qustion s pos : qul st l plus ptit nomr oulurs prmttnt olorir ls sommts un rph sous tt ontrint? ( plus ptit nomr st pplé nomr hromtiqu u rph). On onsièr l lorithm suivnt : Donné un rph G t s oulurs,,,...ls sommts G sont numérotés à n (s,s,...,s n ). Prossus pour i llnt à n, tr u sommt s i l plus ptit oulur non éjà té à ss voisins éjà oloriés ( st-à-ir l plus ptit oulur non éjà té à ux s sommts s,s,...,s i qui lui sont jnts). En utrs trms, on loutonn : on prn lolmnt l plus ptit nomr possil. Sorti Un olortion vli u rph G. Mis l nomr oulurs utilisés st-il miniml? 6. L lorithm n ournit ps néssirmnt un olortion optiml. Appliqur t lorithm u rph i-ssous v ls ux numérottions s sommts proposés : () (). Ct lorithm onn-t-il l nomr hromtiqu u rph? 6. Nomr mximl oulurs utilisés pr l lorithm Montrr qu t lorithm onnr toujours un olortion utilisnt u plus (G) + oulurs (où ésin l ré mximl s sommts). 6. L lorithm put onnr un olortion optiml. Montrr qu l olortion u rph i-ssous st optiml mis qu ll n put ps êtr otnu pr l lorithm.. Étlir qu il xist toujours un numérottion initil G tll qu l pplition l lorithm onn un olortion optiml ( st à ir v χ(g) oulurs). i h 5

6 6. Un très muvis olortion? L lorithm présnté n onn ps néssirmnt un olortion optiml. Mis un très muvis olortion (u point vu u nomr oulurs utilisés) st-ll possil? Soit k un ntir. Construir un rph G nomr hromtiqu t un numérottion s sommts rph G tll qu l pplition l lorithm préént onn un olortion v k oulurs. 6.5 Grph intrvlls On rprn l prolèm u ymns. On hrh mintnnt l nomr miniml ymnss prmttnt l éroulmnt tous ls événmnts. Glouton Ls ts in u plus tôt ynt prmis l éroulmnt un nomr optiml épruvs v un sul ymns, on ssi "rmplir" l ymns u mximum v prinip, puis on pss à un ymns, puis...l résultt sr-t-il optiml? Glouton On rprésnt pr xmpl ls intrvlls tmps : pr l rph : Montrr qu un olortion u rph pr l lorithm louton érit plus hut utilis un nomr oulurs él u nomr hromtiqu v un numérottion s sommts orrsponnt à l orr s xtrémités uh s intrvlls. 6.6 Alorithm Brlz On éinit, à tout étp l lorithm, l ré-oulur un sommt omm l nomr oulurs éjà utilisés pour ss voisins. Donné un rph G t s oulurs,,,...(ls rés-oulur sont initilisés à 0). Prossus Prnr prmi ls sommts ré-oulur mximl un sommt ré mximl, lui ttriur l plus ptit oulur possil. Mttr à jour ls rés-oulur. Sorti Un olortion vli u rph G. Mis l nomr oulurs utilisés st-il miniml? Exri. Appliqur l lorithm u rph i-ssous : 6

7 . Montrr qu l olortion otnu n st ps néssirmnt optiml ( st à ir : put mnr un nomr oulurs stritmnt supériur u nomr hromtiqu).. Montrr qu l lorithm Brlz olor ls rphs iprtis n ux oulurs. 7

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