Elements de statique des fluides MPSI

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1 Elements de statique des fluides MPSI 29 août 2008

2 Table des matières 1 Éléments de statique des fluides Pression et force pressante Force Résultante exercé par un fluide Particule de Fluide Force pressante exercé par un fluide sur une particule de fluide Définition d un gradiant Loi fondamental de la statique, dans un référentiel galiléen Théorème de Pascal Fluide compressible assimilable à un gaz parfait Loi fondamentale de la statique des fluides dans un référentiel non galiléen Force pressante et poussé d Archimède

3 Chapitre 1 Éléments de statique des fluides Définition 1 Un fluide est un milieu continu, déformable. On considère dans cette définition les liquides et les gaz. Un fluide est considéré comme parfait si son coefficiant de viscosité est nul. 1.1 Pression et force pressante On appelle pression exercé par le fluide en M, le scalaire défini par : d F p = p(m).ds(m) n Système d unité : 1 bar = 10 5 P a 1 tor, (De Torricelli) = pression exercé par 1mm de Hg ( Mercure) 1 atm = 1,013 bar 1.2 Force Résultante exercé par un fluide Considérons un solide immergé dans un fluide. La force pressante résultante exercé par un fluide sur ce solide, est la somme des forces d F (M) : F res = d F (M) = p(m).ds n e Surface Surface avec n e vecteur unitaire, orienté vers l extérieur, normal à ds(m) 2

4 1.3 Particule de Fluide Considérons un fluide quelconque. Soit M un point quelconque dans le fluide. Soit ρ(m), masse volumique dans le fluide, au voisinage de M Soit d M, masse d un volume élementaire au voisinage de M, dv M d M = ρ(m).dv M 1.4 Force pressante exercé par un fluide sur une particule de fluide Considérons une particule de fluide cubique définie au voisinage de M(x,y,z). Soit d F res la force exercé par le fluide sur la particule de fluide. d F res = grad(p).dv m 1.5 Définition d un gradiant Définition 2 Soit p la pression du fluide, avec p = p(x,y,z) ( p x ) p y,z i + ( y ) p x,z j + ( z ) x,y k = grad(p) On le défini aussi à l aide de la relation : dp(m) = grad(p). dl 1.6 Loi fondamental de la statique, dans un référentiel galiléen Définition 3 Considérons un fluide au repos dans le référentiel R galiléen Considérons une particule de fluide définie au voisinage d un point M. La masse de cette particule de fluide est : d m = ρ(m).dv m Considérons que la particule de fluide est au repos. Grâce au P.F.D., on obtient : grad(p) = ρ(m). g Ceci constitue la loi fondamental de la statique des fluides dans R. 3

5 1.7 Théorème de Pascal Définition 4 Un fluide est dit incompressible si : ρ(m) = ρ 0 = cte Considérons un fluide incompressible. Par application de la loi fondamental de la statique, on obtient : grad(p) = ρ(m). g Sachant que la variation de pression est donnée par : dp(m) = grad(p). dl En explicitant, on obtient la relation de Pascal : avec ici, z > 0 p(m) = p 0 + ρ 0.g.z Théorème 1 Un fluide incompressible transmet intégralement les variations de pressions 1.8 Fluide compressible assimilable à un gaz parfait Considérons un gaz parfait isotherme. En utilisant la loi fondamentale de la statique des fluides et la définition du gradiant, on obtient : p(z) = p 0 e Mgz Rt Loi fondamentale de la statique des fluides dans un référentiel non galiléen Considérons une particule M(dM) de masse dm au repos dans un référentiel non galiléen On ajoute deux forces dans la somme des forces du PFD : 1. La force d entraînement d F ie = d m. a e 4

6 2. La force de coriolis d F ic = d m. a c = 0 Ceci nous conduit à la loi fondamentale de la statique dans un référentiel non galiléen : grad(p) = ρ(m).( g a e ) Si le repère est non galiléen, et qu il est en : 1. Translation rectiligne par rapport à un référentiel galiléen, alors : ae = a 0. i avec a 0 accélération de ce repère par rapport à celui galiléen 2. Rotation uniforme autour d un axe fixe du référentiel galiléen : ac = ω 2 R avec R la distance entre l axe de rotation et le point Les surfaces isobare sont perpendiculaire à g dans un référentiel galiléen,et perpendiculaire à g a e 1.10 Force pressante et poussé d Archimède Définition 5 On appelle poussé d Archimède la force définie par : F res = p(m).ds. n e surface Théorème 2 Tous corps immergé dans un ou plusieurs fluide subit une force pressante résultante opposé au poids du fluide déplacé. Cette force est notée π 5