Cas de base en électromagnétisme

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1 Cas de base en électromagnétisme Sommaire I Les équations de Maxwell ainsi que les théorèmes fondamentaux II Cas relatifs au champ E Charge ponctuelle Fil infini Plan infini Couche de charge Davantage de cas en exercice III Cas relatifs au champ B Fil infini Distribution plane Spire circulaire Solénoïde infini Davantage de cas en exercice IV Condensateurs Calcul de la capacité Différents cas de condensateurs envisageables Cas en exercice V Force de Laplace, force de Lorentz VI Dipôle électrique, dipôle magnétique Les quelques cas que traite ce fascicule sont à connaître absolument, puisque toutes les situations au programme s y ramènent. I Les équations de Maxwell ainsi que les théorèmes fondamentaux Les équations de Maxwell sont au nombre de quatre, et ce sont celles qui suivent: rot E = B t div E = ρ ε 0 [ rot E B = µ 0 j + ε0 t div B = 0 1

2 Ces équations donnent les théorèmes qui suivent: ( E Le théorème de Gauss: Φ Σ = Q int où Σ est une surface fermée, Q int est la charge qu il renferme. ε 0 Le théorème d Ampère: B dl = µo I Σ où Γ est une courbe fermée, Σ une surface délimitée par Γ, ( Γ j I Σ = Φ Σ (c est une intensité enlacée, en quelques sortes. La loi de Biot et Savart: B (M = µ 0 dl ep M 4π Espace P M 2 La loi de Coulomb: E (M = 1 dq e P M 4πε 0 Espace P M 2 Les équations de Poisson: Poisson électrostatique: V = ρ ε 0 Poisson potentiel-vecteur: A = µ 0 j II Cas relatifs au champ E 1 Charge ponctuelle Charge placée en un point quelconque de l espace. Symétries du problème: E = E (r e r (sphériques Surface de Gauss: boule de rayon r centrée sur la charge Équation obtenue: 4πr 2 E (r = 1 soit 1 E (r = er ε 0 4πε 0 r 2 2 Fil infini Fil infini aux deux extrémités, chargé uniformément (densité linéique λ. Symétries du problème: E = E (r e r (cylindriques d axe le fil Surface de Gauss: Cylindre de hauteur h quelconque Équation obtenue: 2πrhE (r = λh soit E (r = λ er ε 0 2πε 0 r 3 Plan infini Plan infini uniformément chargé (densité surfacique σ. Symétries du problème: E = E (z e z (cartésiennes Surface de Gauss: Pavé de dimensions l L h coupé au milieu de sa heuteur par le plan chargé Équation obtenue: 2E (z S = σs soit E (z = σ ez (remarque: un plan infini est vu comme étant ε 0 2ε 0 infini, peu importe la distance à laquelle on se trouve... 4 Couche de charge Couche infinie d épaisseur e, chargée uniformément en volume (densité volumique ρ. Symétries du problème: E = E (z e z (cartésiennes (tout plan contenant le point M où le champ est à déterminer ainsi que e z est plan de symétrie, de plus E est impaire ρz ez si z < e Équation obtenue: E (z = ε 0 2 z ρe ez si z > e z 2ε 0 2 2

3 Proof. Dans la couche de charge: div E = ρ et div E = de ε 0 dz Hors la couche de charge: div E = 0 d où E (z = cte = + ρe l intervalle ; e 2 ρz d où E (z = + cte ε 0 }{{}. sur l intervalle 2ε 0 (solution de continuité, d où l équation. [ 0 e [ 2 ; + et E (z = ρe 2ε 0 sur 5 Davantage de cas en exercice Exercice 1. Soit un ensemble de fils parallèles, verticaux, équidistants (de a > 0 et infinis, tous contenus dans le même plan (x = Déterminer la valeur σ de la densité surfacique de charge que l on attribuerait à cet ensemble de fils vus de loin (répartition continue. 2. On ne fait plus l hypothèse de la répartition continue; pour un point situé face à un des fils, quel est le champ E (M? Proof. L exercice se traite ainsi: 1. Il suffit de considérer un rectangle contenant n fils, de hauteur h et de largeur l = na qui contient la charge nλh = σnah d où σ = λ a. On peut alors appliquer le modèle surfacique vu plus haut. 2. Le plan x = 0 est un plan de symétrie pour les charges donc un plan d antisymétrie pour E, donc E = E (M ey où E (M = E (x, y (invariance par translation en z. De plus, pour tout p N, les fils numéro p et p créent en M des champs dont les composantes suivant x s opposent, et dont les composantes y valent E py = λ ( sin MP, OP (P étant la position du fil p soit E py = λ y. On 2ε 0 r p 2ε 0 r p r p a aussi r p = a 2 p 2 + y 2 + λ y Il n y a plus qu à tous les sommer: E (M = = λy + 1 2ε 0 r p r p 2ε 0 r 2. La convergence de la série est p laissée à l appréciation du matheux le plus proche (comparaison à la série de Riemann... III Cas relatifs au champ B 1 Fil infini Fil infini aux deux extrémités, parcouru par un courant d intensité i Symétries du problème: B = B (r e θ (cylindriques d axe le fil Contour d Ampère: Cercle de rayon r Équation obtenue: 2πrB (r = µ 0 i soit B (r = µ 0i eθ 2πr 2 Distribution plane Distribution de courants plane infinie, dont j s est uniforme (et contenu dans le plan. Symétries du problème: B (z (cartésiennes où Ox, Oy le plan, Oz le plan Contour d Ampère: Rectangle de dimensions l L traversé en sa demi-hauteur par le plan chargé Équation obtenue: 2B (z = µ 0 j s soit B (r = z µ 0 js z 2 e z 3

4 3 Spire circulaire Spire parcourue par un courant d intensité i uniforme Symétries du problème: B = B (z e z (cylindriques d axe perpendiculaire au centre de la spire Contour d Ampère: Aucun (on appliqera Biot/Savart µ 0 i Équation obtenue: B (M = 2a sin3 α e z Proof. B (M = µ ˆ 0i 4π sur l axe. spire dl ep M P M 2 = µ ˆ 0i 4π spire dl sin α a 2 sin α e z = µ 0i sin 3 α 4πa 3 2πa e z soit B (M = µ 0i 2πa 2 sin3 α e z 4 Solénoïde infini Solénoïde à section quelconque parcouru par un courant d intensité i à spires jointives. Symétries du problème: B = B (x, y e z (Oz axe du solénoïde Contour d Ampère: Rectangles de dimensions l i L, l un traversé en sa demi-hauteur par le solénoïde, l autre uniquement hors solénoïde. Équation obtenue: B (M = µ0 ni e z à l intérieur. ˆ Proof. Hors le solénoïde: B dl = B (M L = µ0 I enlacé = 0 soit B (M = 0. ˆ Γ Dans le solénoïde: B dl = B (M L = µo I enlacé où I enlacé = nil où n est le nombre de spires par unité de longueur. Γ 5 Davantage de cas en exercice Exercice 2. Déterminer le champ B dans un solénoïde fini à spires circulaires, parcouru par un courant d intensité I, pour un point M sur son axe de symétrie. On pourra calculer pour cela l intensité di d un courant parcourant une spire élémentaire, puis en déduire db. Proof. Un schéma s impose avant tout: Le repère est l axe Oz (axe du solénoïde orienté vers la droite. Une spire élémentaire d épaisseur dz voit traverser un courant di = NIdz L élémentaire db créé en M (distance a, angle θ est db = µ 0dI 2a sin3 θ e z = µ 0ndzI sin 3 θ e z. 2a = ndzi (= j s dz; le champ De plus dz = adθ sin 2 soit db = µ 0nI ( sin θdθ e z. Les angles limites étant θ 1 et θ 2 (notés 1 et 2 ci-dessus, θ 2 on en déduit B = µ 0nI 2 (cos θ 2 cos θ 1 e z. IV Condensateurs 1 Calcul de la capacité En règle générale: étant donnés Q = σs = ρv =... et U = V 1 V 0 où V (M = A ln r r 0 en général (vide et espacement constant entre les deux armatures: on a Q = CU donc C = Q U. 4

5 2 Différents cas de condensateurs envisageables Les deux cas principaux sont: le condensateur plan (fini ou infini, cas simple où E est uniforme (en général, et l on devine aisément V le condensateur cylindrique (cas typique âme+blindage: c est la même chose que précédemment mais en enroulé. 3 Cas en exercice Exercice 3. qui suit: Soit un condensateur plan, d épaisseur e, sauf en une sphère, de rayon a, comme sur le schéma On considère que le champ généré par l armature du haut est uniforme à grande distance de la bosse. 1. Déterminer la fonction potentiel V dans le condensateur, puis sur la bosse. 2. Déterminer la densité surfacique de charge σ sur l armature du bas. 3. En déduire la charge portée par la sphère. Comparer à un dipôle en équilibre électrostatique qui serait placé à cet endroit. Exercice 4. Soit un câble coaxial composé d une âme en cuivre (ε r 2, 0,2 mm, d un diélectrique supposé parfait ( 2,0 mm, et d un blindage en cuivre tressé; le câble a une longueur de 10 mètres. 1. Déterminer la capacité de ce câble. 2. On souhaite utiliser ce câble pour transporter des signaux de fréquence f 482 MHz. Déterminer l impédance de ce câble pour cette gamme de fréquences; pensez-vous qu un signal de faible amplitude sera déformé sur cette longueur de câble? V Force de Laplace, force de Lorentz Ce sont des forces liées à la présence des champs E et B. La force de Lorentz est la force exercée par des champs B et E sur une particule de charge q voyageant à la vitesse v : [ E F = q + v B. La force de Laplace en est la composante v B. VI Dipôle électrique, dipôle magnétique Le tableau suivant compile les propriétés à retenir absolument et à savoir retrouver en moins de 30 secondes, même malgré une migraine un lendemain de fête bien arrosée. Champ résiduel (DL 1 Moment Unité repère Dipôle électrique p E = 4πε 0 r 3 [2 cos θ e r + sin θ e θ p = qiopi (dipolaire 1 ε 0 Dipôle magnétique µ 0 m B = 4πr 3 [2 cos θ e r + sin θ e θ m = i S (magnétique µ 0 = 4π10 7 5