Centrale inertielle. bien dans la gamme d accélérations données par le constructeur.

Transcription

1 X-ENS-MP-014-Extrait Cntral inrtill I- Etud d un accéléromètr pndulair 1- La vitss d la main st d nviron 5 m s 1 Lorsqu l jouur agit rapidmnt l bras, il l boug n nviron 0,1s c qui donn un accélération a rapid = 50 m s = 5g Quand l jouur jou lntmnt il agit l bras n 0,5 s soit a lnt = 10 m s = g On s situ donc bin dans la gamm d accélérations donnés par l constructur - On s plac dans l référntil R lié au boitir, non galilén t on prnd comm systèm la mass d épruv L référntil R st n translation par rapport au référntil R Il faut donc prndr n compt la forc d inrti d ntrainmnt : f i = ma(t)u c qui donn n appliquant la loi d la quantité d mouvmnt projté dans la dirction u : mx (t) = ma(t) kx(t) mγx (t) soit : X (t) + γx (t) + ω r X(t) = a(t) 3- On suppos qu l accélération st un constant : a(t) = a La solution particulièr d l équation différntill st a ω r L discriminant d l équation sans scond mmbr st = 4(γ ω r ) Dans l cas faiblmnt amorti où γ < ω r, < 0 La solution d l équation différntill st donc : X(t) = xp( γt) (Acos( ω r γ t) + Bsin( ω r γ t)) a ω r Dans l cas fortmnt amorti où γ > ω r, > 0 La solution d l équation différntill st donc : X(t) = (Axp (( γ + γ ω r )t) + Bxp (( γ γ ω r t))) a ω r 4- Dans ls dux cas la solution tnd vrs la solution particulièr au bout d un crtain tmps soit : t ; X(t) a ω r 5-6- Dans l cas d l oscillatur faiblmnt amorti, l tmps d répons st l tmps d la décroissanc xponntill soit τ = 1 γ

2 Dans l cas d l oscillatur fortmnt amorti, l tmps d répons corrspond à l amortissmnt l plus lnt soit τ = 7- Il faut séparr ls différnts cas : 1 γ+ γ ω r Si γ < ω r il faut tracr la fonction τ = 1 t si γ > ω γ r il faut tracr la fonction τ = Cs dux fonctions s rjoignnt pour γ = ω r 1 γ+ γ ω r 8- D après la qustion précédnt, l tmps d répons minimal corrspond à τ = 1 ω r 9- On nous donn Q = ω r γ c qui fait γ = ω r Q un tmps d répons τ = 1 γ = Q ω r = 100μs L déplacmnt stationnair st n valur absolu : X s = a ω r = 8 nm = ω r 5 On st donc dans la situation γ < ω r d où 10- L tmps d répons t la snsibilité caractérisé par X s sont tous ls dux ds fonctions décroissants d la pulsation ω r Un tmps d répons court st donc incompatibl avc un grand snsibilité 11- L dispositif msur la composant sur u d la différnc ntr la psantur g t l accélération du boitir soit : (g a ) u II- Détction élctrostatiqu 1- Ls élctrods sont assimilés à dux plans infinis, soumis à un différnc d potntil d U V f E V m < V f Q U = V f V m Q Si on appll u x l ax prpndiculair aux dux plans, il y a invarianc d la distribution d chargs par translation parallèl à u y t u z donc l champ n dépnd qu d x D plus ls

3 plans (M, x, y) t (M, x, z) sont ds plans d symétri d la distribution d charg donc E (M) = E(x)u x Si on appliqu l théorèm d Gauss à un cylindr d ax x, contnu ntièrmnt ntr ls dux élctrods ou ntièrmnt à l xtériur ds dux élctrods, on put n déduir qu l champ st uniform à l xtériur du condnsatur t à l intériur du condnsatur car il n y a pas d charg dans c volum On fait circulr l champ sur l ax ds x d un élctrod à l autr, n sachant qu l champ st dirigé vrs ls potntils décroissants (voir figur) : +X C(E ) = U = E dl = E( + X) on n déduit l xprssion du champ élctriqu ntr ls dux élctrods : E = 0 U +X u x 13- On modélis ls dux élctrods par dux plans infinis l un chargé +σ t l autr chargé σ ; l xprssion du champ ntr ls élctrods st la suprposition du champ créé par cs dux plans infinis soit : E = σ ε o u x On n déduit U = σ soit Q = σs = ε os U = C +X ε o +X 1U c qui donn : C 1 = ε os +X Pour X = 0 on a : C = ε os c qui donn : C 1 = C +X 14- L élctrod fix st assimilé à un plan infini chargé +σ Ctt élctrod cré un champ élctriqu au nivau d l élctrod mobil : E f = σ ε o u x L élctrod mobil st chargé σs Ell subit donc un forc F d la part d l élctrod mobil tll qu : F = σse f soit : F = σ S ε o u x, dirigé d l élctrod mobil vrs l élctrod fix Mais on a vu qu σs = C CU Uc qui donn F = σ +X ε o C +X Uu x t comm obtint : F = u (+X) x, dirigé d l élctrod mobil vrs l élctrod fix U +X = σ ε o 15- On a F = N Pour un mass d épruv d 1 μg cla donn un accélération : a = F m = 50 m s c qui corrspond à un accélération d 5g qui va fortmnt prturbr la msur 16- On a dux condnsaturs, portant la mêm charg Q puisqu l élctrod mobil rst nutr Entr l élctrod fix 1 t l élctrod mobil, on a la rlation : Q = C (V +X s V), t ntr l élctrod fix t l élctrod mobil, on a la rlation : Q = C (V ( V X s) On n déduit la rlation : C (V +X s V) = C (V X s + V) soit : V = V X s 17- Dans ctt configuration, la forc élctrostatiqu du à l élctrod 1 st toujours : F 1 = C(V s V) u (+X) x, n rmplaçant U par (V s V), t n rprnant l mêm raisonnmnt pour l élctrod, la forc st ctt fois dirigé vrs l élctrod, c st-à-dir vrs u x t vaut : F = + C(V s+v) u x ( X) on

4 La forc résultant st donc : F = F 1 + F = ( C(V s V) (+X) + C(V s+v) rmplaçant V par X V s : F = ( C(V s+ X V s) (+X) + C(V s X V s) ( X) ) u x = CV s (X+) ( + (X ) X (+X) ( X) ) u x, c qui donn n ( X) ) u x = Il n y a plus d forc élctrostatiqu prturbant l accélération d la mass d épruv X-ENS-MP-013 (Extrait) II-Doubl couch élctriqu à la surfac d un colloïd chargé 11- On admt qu J + = J c + + J D + L courant d conduction ds ions positifs (ou négatifs) st J + c = n + (x)v + (x) L énoncé nous dit qu v + = μ + E(x)u x c qui donn : J + c = n + (x)μ + E(x)u x L énoncé nous donn l xprssion du courant d diffusion particulair : J + D = D + dn+ (x) u x D où l xprssion du courant particulair pour ls ions positifs : J + = (n + (x)μ + E(x) D + dn+ (x) ) u x t pour ls ions négatifs : J = (n (x)μ E(x) D dn (x) ) u x, soit comm l dmand l énonc la rlation : J = n(x)μe(x) D dn(x) donn : J = n(x)μ dv(x) dn(x) D 1- En régim stationnair on a J = 0 c qui donn : n(x)μ dv(x) μ dv(x) D = dn(x) n(x) n(x) = n xp ( μv(x) D ) dt dt Mais E(x) = dv(x) c qui = D dn(x) c qui donn : soit : Ln n(x) = μ (V(x) V n D ) Or V = 0 d où la rlation dmandé : 13- L énrgi potntill d un ion dans la solution st donné par la rlation : U(x) = qv(x) La concntration suit la statistiqu d Maxwll-Bolztmann c qui donn : n(x) = n xp ( U(x) ) En idntifiant avc la raltion () on obtint : μ = q D ) = n xp ( qv(x) 14- La dnsité volumiqu d charg st donné par : ρ sol (x) = +Zn + (x) Zn (x) c qui donn : ρ sol (x) = +Zn xp ( ZV(x) ) Zn xp (+ ZV(x) ) soit ρ sol (x) = Zn sinh ( ZV(x) ) L potntil st rlié à la dnsité volumiqu d charg par l équation d Poisson : V(x) = ρ sol c qui donn l équation différntill : d V(x) = Zn sinh ( ZV(x) )

5 15- On pos ZV(x) d Ψ(x) Z V(x) = Ψ(x) = c qui donn V V T = k BT T Z On a donc V(x) = k BT Ψ(x) soit Z = Zn sinh(ψ) k BT d Ψ(x) = sinh(ψ) On n déduit l xprssion d λ Z n D : = 1 Z k BT Ctt écritur prmt d établir la form ds solutions indépndammnt ds n échlls d longuur t d potntil 16- V T =,6 10 V ; = 3 nm ; A = Dans l cas où Ψ 1 on put linéarisr sinh(ψ) = Ψ Dans c cas l équation (3) dvint : d Ψ dx Ψ = La solution d ctt équation différntill st : Ψ(X) = Axp(X) + Bxp( X) L énoncé nous dit qu l potntil tnd vrs 0 à l infini On n déduit A = 0 Pour trouvr la constant B il faut calculr l potntil V(x), puis l cham élctriqu E(x) V(x) = V T Bxp ( x ) = B xp ( x ) ; comm E(x) = dv(x) on obtint : V(x) = E(x) = B xp ( x ) D plus on sait qu E(0) = σ o = B On a donc : V(x) = σ o xp ( x ) t E(x) = σ o xp ( x ) 19- La rprésntation graphiqu du champ dans l élctrolyt st : Dans l cas où il n y a qu du vid, l champ élctriqu st uniform Comm E(0) = σ o on n déduit qu l champ st uniform t vaut E vid = σ o Dans l cas d un élctrolyt, il y a écrantag ds chargs portés par la surfac métalliqu par ls ions contnus dans l colloïd Au bout d qq la présnc du colloïd n s fait plus sntir dans l élctrolyt Comm vari n T c phénomèn d écrantag st d autant plus important qu la tmpératur st bass L paramètr A st l rapport ntr l rayon du colloïd t la longuur d écrantag Plus c paramètr st élvé, plus l modèl du plan infini st corrct pour l colloïd 0- l potntil au nivau du colloïd st : V c = V(x = 0) = σ o On a donc : Q c = Aε oε r V c On n déduit la capacité d un colloïd d surfac A : C c = Aε oε r On trouv un xprssion analogu à cll d un condnsatur plan, d surfac A t dont ls élctrods sont distants d On put justifir cci n supposant qu l colloïd rpouss

6 ls chargs négativs d l élctrolyt sur un distanc d, créant ainsi un condnsatur plan 1- Si V(0) = V T on a σ o = ε oε r V T = C m c qui donn : σ o = 3, A Ctt unité st plus adapté à l échll atomiqu, l rayon atomiqu étant d l ordr d 1A t la charg d un ion d l ordr d - On a E(x) = dv(x) c qui donn : E(X) = V T dx = V T E On n déduit E c = V T C résultat st attndu puisqu Ψ = V, X = x t qu on vut E = V T dx 3- On a l équation : d Ψ dx = sinh (Ψ) c qui donn n multipliant par : dx dx d Ψ = dx dx sinh (Ψ) soit : 1 d dx ( dx ) = d dx cosh (Ψ) c qui s intègr par : 1 ( dx ) = cosh(ψ) + ct Pour détrminr la constat on s plac n X = où l champ t l potntil sont nuls c qui donn : 1 ( dx ) = cosh(ψ) 1 Avc la formul d trigonométri hyprboliqu donné par l énoncé on a : 1 ( dx ) = (sinh ( Ψ )) Comm l champ ést un grandur positiv dans c problèm, l xprssion dmandé : E = sinh ( Ψ ) 4- D après la qustion 14 on a ρ sol (x) = Zn sinh ( ZV(x) ) soit dx < 0 donc : dx = sinh (Ψ ) d où ρ sol (x) = Zn sinh(ψ) La charg volumiqu st négativ car ls ions négatifs d la solution sont attirés par l colloïd chargé positif alors qu ls ions positifs d la solution sont rpoussés 5- on a E(0) = σ o = E c E (0) c qui donn σ o = E c sinh ( Ψ o ) = V T sinh ( Ψ o ) 6- La capacité du colloïd st défini par C c = Q c avc Q V c = Aσ o = V T ε c λ o ε r A sinh ( Ψ o ) = D V T ε λ o ε r A sinh ( V c ) On obtint n dérivant C D V c = ε oε r A cosh ( V c ) soit C T V c = ε oε r A cosh ( Ψ o ) T σ sol = ρ sol Or d après la rlation d Maxwll-Gauss : dive = ρ sol σ sol = = de donc de = (E( ) E(0)) soit σ sol = E(0) σ sol = σ o La solution dmur globalmnt nutr car ls chargs à la surfac du colloïd provinnnt d ions positifs d la solution adsorbés à la surfac 8- On donn l xprssion du potntil : Ψ = Ln [ 1+θ oxp ( X) ] L approximation linéair 1 θ o xp ( X) corrspond à Ψ 1 c st-à-dir aux grands valurs d x, donc d X d où xp( X) << 1 On linéaris l xprssion d Ψ : Ψ~4θ o xp ( X) soit Ψ~4tanh ( Ψ o )xp( X) Mais comm 4

7 on st dans l cas où Ψ 1, on obtint : Ψ~Ψ o xp ( X) soit V(x)~V o xp ( x ) c qui corrspond bin à l xprssion trouvé à la qustion On trouv bin qu ρ sol st négatif t tnd vrs zéro pour 0, Au nivau d la surfac du colloïd, la courb vari très rapidmnt, c qui corrspond à un couch compact d ions puis ll vari plus lntmnt c qui corrspond à un couch diffus 31- On chrch l ordr d grandur d l épaissur δ d la couch compact pour V(0) = 400 mv L énoncé nous donn ls valurs d σ o t d ρ sol (0) corrspondant à ctt valur du potntil On put supposr : σ o = δρ sol (0) c qui fait δ = 0,9 pm Ctt valur st baucoup trop ptit par rapport à la taill d un ion!!!! 3- L ordr d grandur d distanc donné st clui du microscopiqu Un approch mésoscopiqu qui fait d la matièr un modèl continu n st donc pas adapté