Université Paris-sud

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1 Université Paris-sud Centre scientifique d Orsay Licence et Magistère de Physique Travaux dirigés Électromagnétisme 1

2 Formulaire I Analyse vectorielle A ( B C ) = ( A. C ) B ( A. B ) C div ( rot A) = 0 rot ( grad p) = 0 p = div ( grad p) A = grad (div A) rot ( rot A ) grad (pq) = p grad q + q grad p div (p A ) = p div A + A. grad p (pq) = p q + q p + 2 grad p. grad q rot (p A) = p rot A + grad p A div ( A B ) = B. rot A A. rot B rot ( A B ) = A div B ( A. ) B + ( B. ) A B div A grad ( A. B ) = A rot B + B rot A + ( A. ) B + ( B. ) A II Coordonnées cartésiennes (x, y, z) z dz M dx dy dτ = dx dy dz y x Divergence : Gradient : ( f) x = f x. A = A x x + A y y ( f) y = f y + A z ( f) z = f 2

3 Rotationnel : ( A ) x = A z y A y ( A ) y = A x A z x Laplacien : ( A ) z = A y x A x y f = 2 f x f y f 2 III Coordonnées cylindriques (r, θ, z) r dθ z Divergence : Gradient : Rotationnel : Laplacien : x θ dz r M m ( f) r = f r dr. A = 1 r y r (ra r) + 1 r ( f) θ = 1 r f θ dτ = r dr dθ dz x = r cos θ A θ θ + A z ( A ) r = 1 r A z θ A θ ( A ) θ = A r ( A ) z = 1 r f = 2 f r r A z r [ r (ra θ ) A r θ f r + 1 r 2 2 f θ 2 y = r sin θ ( f) z = f ] + 2 f 2 3

4 IV Coordonnées sphériques (r, θ, φ) z M θ dr r dθ r sinθ dφ dτ = r 2 sin θ dr dθ dφ x = r sin θ cos φ y = r sin θ sin φ x φ m y z = r cos θ Divergence : Gradient : Rotationnel : Laplacien : ( f) r = f r 1. A = r 2 r (r2 A r ) + ( f) θ = 1 r ( A ) r = 1 r sin θ ( A ) θ = 1 r ( A ) φ = 1 r [ 1 r sin θ θ (sin θa θ) + A ] φ φ f θ ( f) φ = [ θ (sin θa φ ) A ] θ φ [ 1 sin θ A r φ r ] (ra φ) [ r (ra θ ) A ] r θ f = 1 [ ( f r 2 r (r2 r ) + 1 θ sin θ r sin θ r = 1 r 2 r 2 (rf) + 1 r 2 sin θ ( θ sin θ f θ ) f + θ φ ( 1 r sin θ ) f r 2 sin 2 θ φ 2 1 r sin θ f φ )] f φ 4

5 TD n 1 Énergie électromagnétique et équations de Maxwell I Équations de Maxwell dans le vide 1. On considère une onde plane scalaire en notation complexe : A( r, t) = A 0 e i( k. r ωt) Exprimer son gradient et son laplacien en fonction du vecteur d onde k et de A( r, t). 2. On considère maintenant une onde plane vectorielle en notation complexe : E ( r, t) = E0 e i( k. r ωt) Donner les expressions de sa divergence et de son rotationnel en fonction du vecteur d onde k et de E ( r, t). 3. Écrire les équations de Maxwell dans le vide. 4. Trouver les solutions en ondes planes des équations de Maxwell dans le vide. Montrer que ces solutions n existent que si k = k est relié à ω par une relation que l on précisera. Rappeler l expression de la vitesse de phase et de la vitesse de groupe. 5. Donner l expression du champ magnétique correspondant à E. Représenter sur un schéma E, B et k dans le cas où E est polarisé rectilignement selon une direction u x. Que se passe-t-il dans le cas d une onde polarisée circulairement? 6. Calculer le vecteur de Poynting N et l intensité I. II Énergie magnétique stockée dans une bobine Une bobine de longueur l, de rayon a et d axe (Oz) est constituée par un enroulement de n spires circulaires jointives par unité de longueur. 1. Quelle est, dans l approximation du solénoïde infini, le champ magnétique engendré par la bobine lorsqu elle est parcourue par le courant I? 2. Quelle est l énergie magnétique E m associée à la bobine? Quelle valeur du coefficient d auto-inductance L de la bobine peut-on en déduire? 3. La bobine est mise en charge par un générateur de f.e.m. e, de résistance interne R grande par rapport à celle de l enroulement. Quelle est la loi d évolution du courant dans le circuit, fermé à l instant t = 0? 4. Calculer les champs magnétique et électrique engendrés par la bobine à l instant t en tout point. 5. Quelle est l expression du flux du vecteur de Poynting à travers la surface délimitant le volume de la bobine? Interpréter ce résultat. III Propriétés mécaniques du champ électromagnétique 1. Énergie (a) Une particule ponctuelle de masse m, de charge q, de vitesse v est située en M à l instant t. Rappeler l expression de la force de Lorentz s il règne en M à l instant t un champ électromagnétique (EM) ( E(M, t), B(M, t)). Écrire les équations de Maxwell dans le vide en présence d une densité volumique de charge ρ et d une densité de courant j. (b) À partir des équations de Maxwell, établir l équation locale de conservation de la charge. (c) Exprimer la puissance fournie à une particule par le champ EM en fonction de q, E et v. En déduire la puissance par unité de volume fournie à la matière par le champ EM ; on écrira que la matière est composée de particules chargées identiques en nombre n(m, t) par unité de volume. 5

6 (d) On note R le vecteur de Poynting et u la densité volumique d énergie électromagnétique. Calculer div R et en déduire l équation locale de conservation de l énergie. (e) Montrer que dans le cas d un régime périodique, la puissance moyenne entrant par rayonnement à travers une surface fermée est intégralement cédée à la matière contenue dans le volume intérieur à cette surface. 2. Impulsion On considère l interaction entre une onde EM plane, homogène, harmonique de période T = 2π/ω, progressive dans la direction et le sens de Oz et une particule M (masse m, charge q) animée sous l action de la force de Lorentz et d autres forces, d un mouvement harmonique forcé, de période T, dans le plan z = 0, au voisinage du point O. La polarisation de l onde et le mouvement forcé ne sont pas forcément rectilignes. (a) Exprimer sous la forme d une intégrale l énergie W fournie par le champ EM à la particule en une période. (b) Déterminer l impulsion p cédée en une période par le champ à la particule en fonction de W, c et u z. (c) Rappeler le lien entre l impulsion et l énergie du photon. Vérifier la cohérence avec la question précédente. 3. Moment cinétique La situation est la même qu à la question 2. On note σ z la composante sur Oz du moment cinétique en O cédé par le champ à la particule en une période. (a) Comparer les dimensions de W et σ z. Proposer une relation à une constante multiplicative près entre W, σ z et T. (b) En utilisant le résultat de 2.(b), montrer que σ z est indépendant du choix de O. (c) Montrer que σ z = q T 0 OM.( u z E(O, t))dt. (d) On considère le cas où l onde est à polarisation circulaire gauche. Exprimer u z E(O, t) en fonction de d E(O, t). En intégrant par parties, trouver la relation entre σ z et W. Comparer à la question (a). dt En déduire le moment cinétique selon Oz des photons dans cet état de polarisation. (e) Donner sans calcul, le moment cinétique des photons à polarisation circulaire droite. Pour un état de polarisation rectiligne, que donne la mesure du moment cinétique des photons selon Oz? IV Interprétation corpusculaire de la pression de radiation Un faisceau cylindrique d onde plane électromagnétique monochromatique produit par un laser à argon se propage dans le vide et rencontre un plan métallique parfaitement réfléchissant, dont la normale fait l angle θ = 30 avec la direction de propagation des photons associés à l onde. On donne la longueur d onde λ = 0,515 µm et l intensité du faisceau (puissance moyenne transportée à travers une section droite unité) I = 90 kw/m 2. On note E 0 l amplitude du champ électrique. 1. Quelle est la moyenne temporelle < u > de la densité volumique d énergie électromagnétique de l onde? Exprimer < u > en fonction de I. 2. Calculer la densité N de photons dans le faisceau. 3. Quelle est la quantité de mouvement p 0 transférée au métal par un photon qui subit un choc élastique? 4. Calculer le nombre x de photons reçus par le métal par unité de temps et par unité de surface. 5. En déduire la pression de radiation P en fonction de θ et de E 0. 6

7 TD n 2 Électrostatique du vide et des conducteurs I Rayon classique de l électron 1. Calculer l énergie électrostatique d une boule sphérique de rayon R, chargée en volume avec la densité volumique uniforme ρ. 2. Un électron de masse m e et de charge e(e > 0) est assimilé à une telle distribution. Définir et calculer le rayon classique de l électron R e. Commenter la valeur numérique. 3. En fait, bien avant d arriver à des distances de l ordre de R e, d autres phénomènes sont à prendre en compte : en préciser la nature. Quelle longueur caractéristique fixe la limite inférieure de validité de la théorie classique des champs pour un électron? En donner l ordre de grandeur. II Condensateur cylindrique On considère un condensateur constitué par un cylindre métallique de rayon a entouré par un autre cylindre creux, de même axe et de rayon b. Ces deux cylindres constituent les deux armatures du condensateur, l armature intérieure est au potentiel V a et a une charge Q a et l armature extérieure au potentiel V b. Le milieu remplissant l espace entre les deux armatures est le vide. Leur longueur est h b, de telle sorte qu on peut négliger les effets de bords. À l aide du théorème de Gauss, calculer le champ électrique dans le condensateur. En déduire la capacité C du condensateur. III Dipôles linéaires 1. Un fil rectiligne infini porte une charge électrique uniforme. Soit λ sa densité linéique de charge. (a) étudier les symétries et invariances du système. (b) En déduire la direction du champ électrique E (M) en tout point M de l espace non situé sur le fil. De quelles variables convenablement choisies dépendent ses composantes? (c) Calculer E (M) et le potentiel électrique V (M). Peut-on choisir l origine du potentiel à l infini? Vérifier que V (M) obéit à l équation de Laplace. (d) Comment sont modifiés les résultats précédents si le fil est un cylindre conducteur dont la section droite est un cercle de rayon R? 2. Deux fils rectilignes, infinis, sont parallèles à l axe Oz et distants de 2a. Celui qui passe par le point A situé sur Ox à l abscisse a porte la densité linéique de charge λ > 0 uniforme. Celui qui passe par le point B situé sur Ox à l abscisse a porte la densité linéique de charge λ uniforme. (a) étudier les symétries et invariances du système. Expliquer pourquoi il suffit de calculer E (M) et V (M) dans le plan xoy pour les connaître partout. Soit M un point non situé sur les fils, M son symétrique par rapport au plan xoz et M son symétrique par rapport au plan yoz. Comparer E (M), E (M ) et E (M ). (b) Calculer V (M) pour M non situé sur les fils. Peut-on choisir l origine du potentiel à l infini? (c) Calculer l équation des surfaces équipotentielles. Les représenter sur un schéma ainsi que les lignes de champ. Quelle est la surface de potentiel nul? (d) On considère la portion des fils comprise entre les plans z = 0 et z = h. Calculer son moment dipolaire électrique. Définir le moment dipolaire par unité de longueur des fils. On utilise les coordonnées cylindriques de M(r, θ, z) et on étudie le cas où r a. Donner dans ce cas une approximation de V (M). Commentaire. (e) Les deux fils sont en réalité des cylindres conducteurs de rayon R a. Dans ce cas on peut négliger les effets d influence. Calculer la différence de potentiel entre les deux fils. En déduire la capacité par unité de longueur du système. 7

8 IV Sphère conductrice en présence d une charge ponctuelle, méthode des images On considère une sphère conductrice, centrée en O, de rayon R. On place une charge q sur l axe Oz au point P. 1. On impose le potentiel V = 0 en un point de la surface de la sphère. (a) Quel est le potentiel dans l ensemble de la sphère? Par des considérations de symétrie, simplifier l expression du champ électrostatique E (direction et dépendance des composantes par rapport aux différentes coordonnées). Quel système de coordonnées a-t-on intérêt à adopter? (b) Montrer qu il est possible d obtenir V = 0 sur la surface de la sphère de centre O et de rayon R dans le vide (sans la sphère conductrice) en plaçant une deuxième charge q sur l axe Oz, en plus de la charge q initiale. Que vaut V ( )? Déterminer la valeur et la position de q. (c) Rappeler l équation de Poisson. Quelles sont les conditions aux limites imposées par la sphère conductrice? En déduire que, en dehors de la sphère conductrice, le champ créé par la charge q en présence de la sphère conductrice est le même que celui des charges q et q. (d) Calculer E au voisinage de la surface de la sphère conductrice. Quelle est la direction de E au voisinage de la surface? Rappeler les conditions de discontinuité à la traversée d une surface chargée. En déduire la densité surfacique de charges portée par la sphère. (e) Calculer la charge totale portée par la sphère conductrice. En utilisant le théorème de Gauss, montrer que le résultat était prévisible. (f) En utilisant le principe d action et de réaction, calculer la force qu exerce la charge q sur la sphère conductrice. 2. Le potentiel de la sphère conductrice est maintenant au potentiel V 0. (a) En utilisant le principe de superposition, montrer qu on peut obtenir les bonnes conditions aux limites en ajoutant une troisième charge q. Déterminer la valeur et la position de q. (b) En s inspirant de la question 1.e, calculer la charge totale Q portée par la sphère conductrice. Sachant que Q = 0, déterminer le potentiel de la sphère conductrice initialement neutre lorsqu on approche la charge q. 3. Sphère conductrice dans un champ uniforme. On réalise ce champ uniforme en deux charges +q et q respectivement en +Z et Z, où Z R. (a) En utilisant le principe de superposition, déterminer le champ E créé par +q et q, en l absence de la sphère conductrice. Montrer qu à l ordre 2 près, E peut être considéré comme uniforme sur le volume de la sphère. (b) Calculer la densité surfacique de charges σ qui apparaît sur la sphère conductrice en présence de +q et q. Le champ reste-t-il uniforme au voisinage de la sphère? (c) En déduire le champ créé à l intérieur d une sphère de rayon R, portant la densité surfacique de charge σ 0 cos(θ). (d) On suppose maintenant que la sphère est coupée en deux par le plan xoy. Elle est toujours soumise à un champ électrostatique uniforme. Calculer la force qui s exerce sur chacun des hémisphères en utilisant la pression électrostatique. V Forces de Van der Waals 1. Modèle de l électron élastiquement lié : moment dipolaire induit d un atome Pour décrire un atome, on propose le modèle suivant : le noyau est supposé ponctuel et porte la charge électrique +q. Le nuage électronique est assimilé à une sphère indéformable de rayon a, de densité volumique de charge ρ constante. La charge totale du nuage électronique est égale à q. Le nuage électronique et le noyau peuvent se déplacer librement l un par rapport à l autre. On supposera néanmoins que le noyau reste toujours à l intérieur du nuage électronique. On néglige les forces autres que coulombiennes. (a) Calculer la densité volumique de charge du nuage électronique ρ en fonction de q et de a. 8

9 (b) Par une analyse des symétries et des invariances, simplifier l expression du champ E int créé par le nuage électronique en tout point de l espace. En appliquant le théorème de Gauss à une surface judicieusement choisie, calculer E int en tout point de l espace. En déduire la force d interaction entre le nuage et le noyau. On pourra introduire le vecteur r = AB où A est la position du centre du nuage électronique et B celle du noyau. Pour ce calcul, on se limitera comme prévu au cas où r < a. (c) On plonge l atome dans un champ électrique E ext uniforme. Déterminer r à l équilibre des forces. Quelle est la valeur maximale de E ext pour que le modèle reste valable? Que se passe-t-il si on dépasse cette valeur? (d) Calculer le moment dipolaire p de l atome en fonction de r, puis en fonction de E ext. Que vaut p lorsque E ext = 0? Ce moment dipolaire qui apparaît sous l effet du champ E ext est appelé moment dipolaire induit. On définit le coefficient α de la manière suivante : p = αɛ 0 E ext. Calculer la valeur de α. Quelle est sa dimension? (e) Application numérique à l atome d hélium : q = 3, C ; a = m ; Calculer α et la valeur maximale de E ext (cf question 1c). 2. Forces de Van der Waals Pour expliquer certaines propriétés des gaz réels, il est nécessaire de tenir compte des interactions électrostatiques entre les molécules ou les atomes qui composent ces gaz, bien que chaque molécule ou chaque atome soit globalement neutre. Dans de nombreux cas, ces forces ont pour seule origine le fait que les molécules ou les atomes présentent des moments dipolaires, soit permanents, soit induits. Dans ce qui suit, un dipôle de moment dipolaire p est assimilé à un ensemble de deux charges ponctuelles opposées, de valeur +q et q séparées par une distance a supposée petite par rapport à la distance entre deux dipôles. On appelle position du dipôle la position du point à mi-distance des deux charges. (a) Rappeler l expression de p en fonction de q et de a. On place un dipôle de moment p 1 parallèlement à l axe Oz, au point O. Par des considérations de symétrie, déterminer la direction en tout point de l axe Oz du champ créé par ce dipôle. Calculer au premier ordre non nul le champ créé en un point de coordonnées (0, 0, z) avec z a. (b) On place un second dipôle de moment p 2 parallèlement à l axe Oz, à l abscisse z. Calculer au premier ordre non nul la force qu exerce le premier dipôle sur le second dans le cas où les deux moments dipolaires sont de même sens, ainsi que dans le cas ou ils sont de sens opposés. (c) Force de Keesom : interaction entre deux molécules présentant chacune un moment dipolaire permanent. Nous nous plaçons dans un modèle simple dans lequel le moment dipolaire p1 de la première molécule est constant et aligné avec l axe Oz. On considère que le moment dipolaire p2 de la seconde molécule est toujours parallèle à l axe Oz et ne peut prendre que deux positions : p 2uz et p 2 uz. Le temps passé dans chacune des positions est égal à A ( exp ± p 2. E k B T ), où E représente le champ que le premier dipôle exerce sur le second, T la température et k B la constante de Boltzmann. Calculer la valeur moyenne dans le temps de la force entre les deux dipôles. On supposera que p 2 E k B T. (d) Force de Debye : interaction entre une molécule présentant un moment dipolaire permanent et une molécule présentant un moment dipolaire induit. On place à l origine de l axe Oz une molécule ayant un moment dipolaire permanent p 1, supposé aligné avec cet axe. A l abscisse z sur cet axe, on positionne un atome d hélium. Le champ électrique E dû à la première molécule induit un moment dipolaire p 2 dans l atome d hélium. Combien vaut-il? En déduire la force qu exerce la première molécule sur l atome d hélium en fonction du coefficient α, de p 1, z et ɛ 0. (e) Force de London : interaction entre deux atomes ou molécules ne présentant pas de moment dipolaire permanent. On s intéresse au cas particulier de deux molécules identiques. La moyenne dans le temps du moment dipolaire de chaque molécule est nulle. Cependant, le moment dipolaire de chaque molécule peut fluctuer instantanément. Il induit alors sur l autre un moment dipolaire d où il résulte une force attractive. On suppose que ces fluctuations se font parallèlement à l axe Oz. On note p 2 la moyenne temporelle de p 2. Calculer la force moyenne due aux fluctuations du moment dipolaire de la première molécule, et celle due aux fluctuations de la seconde molécule. On supposera que le moment dipolaire induit est toujours petit devant le moment dipolaire de fluctuation. En déduire la force totale entre les deux molécules en fonction de p 2, α, z et ɛ 0. 9

10 Ces trois forces, qui varient toutes comme 1/z 7 sont appelées Forces de Van der Waals. 10

11 TD n 3 Les milieux diélectriques I Charge ponctuelle au centre d une sphère diélectrique Une charge ponctuelle est plaçée au centre d une cavité sphérique de rayon r 1 creusée dans une sphère diélectrique l.h.i. de rayon externe r 2 et de permittivité relative ɛ r. Calculer le champ électrostatique E en tout point, le vecteur polarisation P et les densités de charges équivalentes. Que se passe-t-il si r 1 0? II Sphère uniformément polarisée On considère une sphère uniformément polarisée. 1. Montrer que le potentiel peut-être déterminé en tout point de l espace en résolvant l équation de Laplace. 2. Résoudre l équation de Laplace en cherchant le potentiel sous la forme V (r) = f(r)cos(θ) où f est une fonction de la forme : f(r) = dont on déterminera les coefficients a n non nuls. + n= 3. Déterminer les potentiels V i et V e à l intérieur et à l extérieur de la sphère, ainsi que les champs E i et E e correspondants. Commenter. a n r n III Plaque diélectrique 1. Le condensateur plan Un condensateur plan rectangulaire de dimension l L, d épaisseur a l ou L, est relié aux bornes d un générateur qui délivre une tension constante V 0. Pour les symétries et invariances, on considère que les armatures sont des plaques conductrices infinies, perpendiculaires à Oz. L espace entre les armatures est vide. On suppose que le champ électrique est nul à l extérieur du condensateur. Étudier la répartition des charges. Retrouver les expressions de la charge Q d une armature, de la capacité C et de l énergie stockée U. 2. Plaque diélectrique infinie (a) Une surface élémentaire ds de normale n porte une densité surfacique de dipôles P s = P s n. Exprimer le potentiel électrique dv (M) créé au point M en fonction de l angle solide algébrique dω de la surface vue du point M (à l infini le potentiel est nul). En déduire le potentiel en tout point créé par un plan infini de normale n, portant une densité surfacique de dipôles uniforme colinéaire à n. Calculer le champ électrique E (M) en tout point. (b) Une plaque diélectrique infinie parallèle au plan xoy, d épaisseur b, porte des dipôles répartis en son volume de sorte que sa polarisation est P = P (z) u z. Calculer en tout point M, le potentiel V d (M) et le champ électrique E d (M). Indication : décomposer la plaque en tranches d épaisseur dz, exprimer V d (M) par une intégrale de P (z) en distinguant les cas où M est extérieur ou intérieur à la plaque. 3. Condensateur diélectrique La plaque de la question 2 avec b < a est placée dans le condensateur de la question 1. Le diélectrique est maintenant linéaire, homogène, isotrope, de susceptibilité χ. a) Montrer que les champs intervenant dans le problème sont parallèles à Oz et ne dépendent que de z. b) Soit E 0 le champ électrique créé par les charges des armatures seules. Appliquer le principe de superposition pour calculer le champ E total en fonction de E 0. Montrer que : Tous les champs sont uniformes. On retrouverait le même champ électrique en remplaçant la plaque diélectrique par deux plans chargés séparés par du vide. Quelles sont leurs charges (charges de polarisation)? c) Calculer la charge des armatures, la capacité du condensateur et l énergie stockée. d) Retrouver les résultats précédents en utilisant le déplacement électrique et le théorème de Gauss. 11

12 4. Introduction de la plaque diélectrique dans le condensateur (a) La plaque diélectrique est introduite dans le condensateur parallèlement à la longueur L de sorte qu il subsiste une longueur x vide. On admet que les champs restent uniformes parallèles à Oz. En déduire le déplacement électrique puis les densités surfaciques de charge. Calculer Q, C et U en fonction de x. (b) Pour calculer la force F que subit la plaque diélectrique on imagine que l opérateur déplace la plaque de dx à vitesse nulle en lui appliquant la force F op = F. Calculer la variation d énergie stockée, le travail de l opérateur et le travail du générateur. En déduire F. IV Sphère chargée flottant sur un diélectrique On considère une sphère conductrice de centre O, de masse m, flottant à la surface d un fluide diélectrique de permittivité relative ɛ r (milieu (2)). On supposera que le milieu (1) est le vide (cf figure). Non chargée, le quart de son volume est immergé à l équilibre. On charge la sphère en la portant au potentiel V S par rapport à l infini et on constate qu elle est à moitié immergée à l équilibre. On utilise alors les coordonnées sphériques de centre O, l axe Oz étant perpendiculaire au plan de séparation des deux milieux. Milieu (1) σ 1 ε 0 ε 0 ε r Milieu (2) σ 2 1. Quelle est l équation aux dérivées partielles que vérifie le potentiel électrique V ( r) dans chaque milieu? Quelles conditions aux limites doit-il vérifier? 2. On essaie un potentiel ne dépendant que de r soit V (r). (a) Déterminer V 1 (r) en fonction de V S. (b) En déduire le champ électrique E 1. (c) Exprimer les densités superficielles de charge σ 1 et σ 2 en fonction de V S et de R. (d) Les conditions aux limites sont-elles remplies? Conclusion. 3. Calculer V S pour que la sphère soit à moitié immergée. 12

13 TD n 4 Magnétostatique I Solénoïde fini Soit un solénoïde de longueur L, constitué de N spires jointives identiques de rayon R, toutes branchées en série (figure 1). On note n le nombre de spires par unité de longueur. L origine O est choisie au centre de la bobine et l axe de la bobine est Oz. 1. Quelle est la direction du champ magnétique B en tout point de l axe de la bobine? 2. On se place cette fois en un point quelconque, qui ne se trouve pas nécessairement sur l axe Oz. De par les symétries, quel système de coordonnées serait-il judicieux d employer? En utilisant ce système, quelles sont les composantes non nulles de B? De quelles variables dépendent ces composantes? 3. Montrer que B r (r, z) est une fonction impaire de z, alors que B z (r, z) est une fonction paire de z. 4. Calculer le champ en tout point de l axe Oz. Vérifier la parité prévue par la question 3. On suppose L R, montrer que le champ magnétique B au point O est le double de celui du point situé à l extrémité, c està-dire en z = L/2. 5. On veut maintenant étudier le champ magnétique B au voisinage du point O, c est-à-dire lorsque z et r sont tous les deux très inférieurs aux deux grandeurs L et R. Établir les approximations suivantes : B z (r, z) = B z (0, 0) + ar + br 2 + cz 2 B r (r, z) = d rz Calculer les constantes a, b et d en fonction de c. Comment peut-on calculer la constante c? Exprimer c en fonction de N, L et R. En déduire l expression approximative de B au voisinage du point O. II II.1 Supraconducteurs Effet Meissner dans un supraconducteur FIG.1 - Schéma du dispositif. FIG.2 -Lévitation d un supraconducteur. Pour plus d information, voir http ://h0.web.u-psud.fr/supraconductivite/. Dans toute cette partie, on s intéresse à une boule supraconductrice de centre O et de rayon R placée dans un solénoïde très long et de section circulaire de rayon a R, d axe z Oz, possédant n spires par unité de longueur, et parcouru par un courant stationnaire I, le reste de l espace étant vide. On pose B = µ 0 ni. 13

14 On constate expérimentalement que la boule supraconductrice tend à expulser le champ magnétique en créant des courants localisés au voisinage de la surface (effet Meissner). Pour rendre compte de cet effet, on admettra que dans un supraconducteur, la loi d Ohm est remplacée par la relation phénoménologique de London : j = (1/µ0 δ 2 ) A où A est un potentiel-vecteur de B et δ un paramètre caractéristique du matériau. 1. Montrer que A doit satisfaire à la condition div A = 0. L unicité de A justifie alors le caractère non arbitraire de la loi de London. Écrire les équations de la magnétostatique dans un supraconducteur. En déduire l équation aux dérivées partielles dont est solution B et la dimension de δ. 2. La symétrie sphérique étant peu propice aux solutions simples, on remplace d abord le problème réel par le modèle (M ) suivant : la sphère supraconductrice est assimilée à un demi-espace x > 0 ; l espace vide entre le solénoïde et la sphère est remplacé par le demi-espace vide x < 0 ; le solénoïde est oublié et impose uniquement la condition aux limites B (x = ) = B uz. (a) Montrer que B est uniforme dans le vide. Déterminer B dans le supraconducteur en fonction de B, x et δ. Tracer le graphe de B(x) et interpréter δ. (b) Déterminer la densité volumique de courants j en fonction de B, x, µ 0 et δ et tracer le graphe de j(x). (c) Montrer que la force totale subie par une colonne cylindrique de supraconducteur, d axe u x et de section dy dz est de la forme d F.dy dz = ( B 2 (x = 0 )/2µ 0 ) ux. (d) En réalité δ est de l ordre de 0,1 µm. Commenter l approximation d une sphère par un plan. Pour simplifier encore, on se propose de faire tendre δ vers zéro. Montrer qu alors le champ B est discontinu et qu il faut faire intervenir des courants superficiels : calculer leur densité j s en utilisant la relation de passage et vérifier que j s = j(x)dx et d F /dy dz = (1/2) j 0 s B (x = 0 ). 3. Dans la suite, on revient à la symétrie sphérique pour décrire convenablement le champ B dans le vide, mais on suppose δ = 0 pour simplifier les calculs, ce qui revient à adopter le nouveau modèle (M ) : - les champs B int, j et A sont nuls à l intérieur de la boule supraconductrice ; - la continuité de la composante normale de B impose la condition aux limites B. n = 0 au champ dans le vide à l interface vide-supraconducteur ; - le supraconducteur est parcouru par des courants superficiels j s autorisant une discontinuité de la composante tangentielle du champ magnétique B à sa surface ; - la boule supraconductrice subit des forces de Laplace surfaciques de la forme d F /ds = (1/2) j s B où B est le champ dans le vide à sa surface. (a) Écrire les équations locales dont B est solution dans le vide. En déduire un problème de mécanique des fluides analogue et tracer l allure de lignes de champ de B. Indiquer sans calculs des points où B > B et des points où B < B. (b) On cherche un potentiel scalaire φ tel que B = gradφ. De quelle équation (L) est solution φ? On cherche une solution de (L) de la forme φ = αr cosθ + β cosθ/r 2. Justifier sans calculs par des analogies électrostatiques que ces potentiels sont solutions de (L). Déterminer α et β en fonction de B et R. (c) En déduire j s. Soit B s le champ magnétique créé par ces courants au centre O de la boule. Donner sans calculs sa direction. Une portion de sphère de surface Ds = 2πR sinθ dθ est assimilée à une spire circulaire parcourue par un courant infinitésimal di. Montrer que di = j s R dθ puis calculer B s et commenter le mécanisme de l effet Meissner. (d) Calculer le moment magnétique d M de la spire élémentaire étudiée dans la question précédente. En déduire le moment magnétique total M de la boule supraconductrice, le mettre sous la forme M = (χ/µ 0 )(4πR 3 /3) B et déterminer la constante χ. Le milieu est-il paramagnétique (χ > 0) ou diamagnétique (χ < 0)? (e) Montrer par une analyse de symétries des forces d F que la résultante des forces de Laplace subies par la boule supraconductrice est nulle. Ce résultat était prévisible sans calculs et sans expliciter les forces d F ; pourquoi? 14

15 II.2 Lévitation supraconducteur-supraconducteur Dans toute cette partie, on adopte le modèle macroscopique (M ) et on admet en outre que les supraconducteurs sont localement neutres. On envisage le dispositif dont une coupe verticale est schématisée ci-dessous : un supraconducteur de masse m, en forme d anneau plat, est placé au-dessus d un supraconducteur occupant le demi-espace z < 0, à une distance h de l anneau. 1. Montrer que E = 0 dans les supraconducteurs. En déduire que le flux de B à travers le disque S s appuyant sur le bord interne de l anneau est une constante indépendante du temps que l on notera φ. 2. On suppose pour simplifier que B = B(r) u r dans une zone située entre les deux supraconducteurs à une distance r de l axe de l anneau comprise entre le rayon interne a et le rayon externe b. Exprimer B(r) en fonction de r, φ et h. À quelle(s) condition(s) l hypothèse simplificatrice vous paraît-elle correcte? 3. Calculer la résultante F des forces de Laplace subies par l anneau (on admettra que seule la face en regard du supraconducteur plan contribue). En déduire l existence d un position d équilibre h 0 et l exprimer en fonction de φ, b, a, µ 0, g et m. 4. Lorsque l on perturbe faiblement cet équilibre, on constate que h varie périodiquement dans le temps. Interpréter cette observation et calculer la période T. III Forces de Laplace, théorème de Maxwell On considère un système composé de quatre fils conducteurs rigides, de même longueur L, reliés les uns au bout des autres par des liaisons pivot parfaites. Ces fils sont parcourus par une intensité I constante. Le plan du polygone formé par ces quatre fils est vertical et parallèle à la direction u x. La masse linéique des fils est notée λ, et l accélération de la pesanteur g = g u z. On soumet l ensemble à un champ magnétique B = B 0 ux uniforme et constant. On suppose que l effet de la pression magnétostatique est négligeable (autrement dit, on néglige l effet du champ créé par le circuit sur lui-même), ce qui permet de lever la restriction de rigidité du théorème de Maxwell. 1. I est supposé positif, quel doit être le signe de B 0 pour qu à l équilibre mécanique l angle α soit différent de zéro? 2. Déterminer l énergie potentielle totale de ce système. En déduire la position d équilibre. g a I B 15