4 t [s] Figure 1 Signal analogique x(t) limité dans le temps et sa transformée de Fourier.

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1 EPREUVE PRATIQUE DE TRAITEMENT DU SIGNAL Service de Théorie des Circuits et de Traitement du signal 4 ème ELEC (durée : H, sans notes, sans calculette, sans GSM) SOLUTIONS NB: En ce qui concerne les questions sous Matlab, n oubliez pas d'indiquer sur votre feuille les commandes MATLAB utilisées et les résultats obtenus: esquisses des graphiques avec indication des abscisses et ordonnées, valeurs numériques des résultats des calculs. En ce qui concerne les questions sous Simulink, n oubliez pas de dessiner votre graphe simulink complet sur votre feuille et de préciser à chaque étape les paramètres choisis pour les blocs utilisés. Nous vous demandons également de sauver votre graphe Simulink dans l espace de travail «Work» sous le nom de famille de l un des membres du groupe, écrit sans espaces ni caractères spéciaux. 1. Spectre d un signal échantillonné sin( ωt) Soit le signal : x( t) = avec ω = π f = 4π rad/s ω t sin( ωt) x( t) = ω t X ( f ) = q ( f ) f 1/(f ) -4 4 t [s] -f f f Figure 1 Signal analogique x(t) limité dans le temps et sa transformée de Fourier. Sachant que la transformée de Fourier du signal analogique x( t ) limité dans le temps (au moyen d une fenêtre rectangulaire) de t = 4s à t = + 4s est pratiquement égale à la fonction réelle q f 1 pour - f f f ( f ) = f ( Figure 1), on vous demande de : ailleurs sin( ωt) a) Prédéterminer le plus précisément possible l allure du spectre du signal y( t) = πt échantillonné avec une fréquence d échantillonnage de fe=3hz et limité dans le temps de t = 4s à t = + 4s (avec une fenêtre rectangulaire).

2 b) De créer ce signal y( n) au moyen de la fonction Matlab sinc(x) (permettant de calculer, sin( π x) sinc( x) = et d afficher ce signal y( n) en fonction du temps (de -4 à 4 s donc). π x c) D afficher le spectre en amplitude du signal y( n) calculé sur N TFD = 15 points et de vérifier vos prédéterminations. Les amplitudes et les fréquences observées sont-elles correctes? d) De superposer à cette FFT une seconde FFT à N TFD points de manière à ce que les valeurs obtenues pour ce second spectre constituent un sous-ensemble des valeurs obtenues par le premier spectre, avec à peu près un point sur 15 du premier spectre (indiquer votre raisonnement). Solution : sin( ωt) a) Tout d abord, il faut passer du signal analogique x( t) = limité dans le temps, au ωt sin( ωt) signal analogique y( t) = limité dans le temps (avec les mêmes limites). Pour πt ω cela, il suffit de multiplier x( t) par π ω π f En conséquence, le spectre sera également multiplié par = = f π π Y ( f ) Puis il faut passer du signal analogique y( t ) limité dans le temps, au signal échantillonné + y ( t) avec une fréquence d échantillonnage de fe, ce qui revient à diviser les amplitudes du spectre par Te=1/fe et de dupliquer ce dernier tous les fe : + Y ( f ) 1/Te=fe 1/Te=fe -f f fe fe-f fe fe+f f Toutefois, ici, la condition de Shannon n est pas respectée car fe/<fmax (fe/=15hz et fmax=f=hz) => il y aura donc recouvrement des spectres. Et comme ceux-ci sont purement réels, ils vont s additionner. On aura donc au final : + Y ( f ) db

3 b) On sait que sin( ωt) sin( π ft) sin( π ft) sin( π x) y( t) = = f = f = f avec x = ft πt πt f π f t π x y( t) = f sinc( x) ave c x = f t On tapera donc les commandes suivantes sous Matlab : fe=3; W=4*pi; f=w//pi t=[-4:1/fe:4]; x3=*f*sinc(*f*t); figure, plot(t,x3) ou stem (t,x3) Zoom : c) On a : NTFD=^15; figure, freqz(x3,1,ntfd,'whole',fe); Magnitude (db) X: Y: X: 148 Y: Frequency (Hz) Cela concorde avec nos prédéterminations puisque : *log1(fe)= db et *log1(*fe)= db x 16 Phase (degrees) Frequency (Hz)

4 d) Etant donné que les points du spectre sont espacés 1 N TFD en fréquences normalisées, pour que les valeurs obtenues pour le second spectre constituent un sous-ensemble des valeurs obtenues pour le premier spectre, il faut que 1 1 = k avec k entier positif N N TFD TFD N TFD 1 1 = NTFD = k k 15 Or, N TFD doit être une puissance de deux (pour pouvoir appliquer l algorithme de FFT) 1 15 = n N TFD = (avec n entier positif) k doit aussi être une puissance de deux. k on pourrait donc prendre k= (une valeur sur ) N TFD = = ou k= (une valeur sur 4) N TFD = = ou k= (une valeur sur 8) N TFD = 3 = ou Mais si on désire avoir moins à peu près un point sur 15 du premier spectre, k doit valoir au minimum 1 => k= 4 =16 Alors 1 N TFD = 4 = Sous matlab: Soit: NTFD=^15; freqz(x3,1,ntfd,'whole',fe); hold on, freqz(x3,1,^11,'whole',fe); %puis changer la couleur d'une courbe à la main en faisant clic droit->color Magnitude (db) Frequency (Hz) x 16 Magnitude (db) Frequency (Hz) x 16 Phase (degrees) - -4 Phase (degrees) Frequency (Hz) zoom : Frequency (Hz)

5 Soit: [X3,f]=freqz(x3,1,NTFD,'whole',fe); figure,plot(f,*log1(x3)); [X3bis,fbis]=freqz(x3,1,^11,'whole',fe); hold on,plot(fbis,*log1(x3bis),'r'); zoom : Spectre de trois sinusoïdes (sous Simulink) Considérons un signal s échantillonné de manière à respecter le théorème de Shannon et constitué de la somme de trois sinusoïdes, où: Les 3 premiers échantillons de la première sinusoïde s 1 (n) sont représentés à la Figure ; La seconde sinusoïde s (n) est définie par la fonction π s ( n) = 5sin (. rand(1,1)+.6) nπ + 3 ; La troisième sinusoïde s 3 (n) est la réponse impulsionnelle du filtre numérique décrit par la position de ses pôles et zéros, illustrée à la Figure 3 et dont le gain K=. Figure Valeurs des 3 premiers échantillons de la première sinusoïde (NB : il n y a pas d effet stroboscopique puisque Shannon est respecté).

6 Figure 3 Position des pôles et zéros du filtre dont la réponse impulsionnelle correspond à la troisième sinusoïde. On vous demande de: a. Déterminer le nombre N d échantillons du signal s ainsi que le nombre N TFD de points à utiliser pour calculer et visualiser distinctement toutes les raies de la transformée de Fourier discrète du signal s, en minimisant le temps de calcul et sachant que: on utilise une fenêtre rectangulaire pour se limiter à N échantillons ; on désire au minimum visualiser distinctement le lobe principal et chacun des premiers lobes secondaires de part et d autre du lobe principal correspondant à chacune des raies (trois lobes par raie ne se recouvrant pas donc) ; On souhaite obtenir 4 échantillons en fréquence, au minimum, pour l affichage des trois lobes de chaque raie. Solution : Pour la première sinusoïde, on voit qu il y a exactement 1 échantillons par périodes f1 1 T1 = 1T e F1 = = =.833 f 1 e Pour la seconde sinusoïde, on a : s ( n) 5sin (. rand(1,1)+.6) n π 5sin n π π ϕ 5sin nπ F π = + = + = nπ F = (. rand(1,1)+.6 ) nπ F = (.1rand(1,1)+.3 ) Or rand(1,1) renvoie un seul échantillon dont la probabilité d appartenir à l intervalle [ 1] est équivalente F = (.1rand(1,1)+.3 ) l intervalle [.3.4].3 F.4 est une valeur aléatoire appartenant à

7 Pour la troisième sinusoïde, on sait que la réponse impulsionnelle correspondant à pôles complexes conjugués est une cissoïde amortie d amortissement lié au module des pôles (ici ρ = 1 pas d amortissement) et de pulsation liée à l angle des pôles. π (18 7.) ici ϕ3 = (18 7.) = π F3 F3 = = On aurait donc, si on ne se limitait pas à N échantillons, le spectre suivant de à 1 en fréquences normalisées et sans respecter les amplitudes des raies: X(f).8..3 F F F.7 1 Nous avons vu au labo que le fait de se limiter à N échantillons au moyen d une fenêtre rectangulaire conduisait à obtenir, au droit de chacune des raies, des fonctions pieuvres qui s annulent tous les 1/N en fréquences normalisées: Or, pour visualiser le lobe principal et les premiers lobes secondaires de chacune des raies, il faut que ceux-ci ne se recouvrent pas. Les raies les plus proches étant celles en.48 et.5, il faut :

8 4 il faut Fmin N 4 N (.5.48) N 1 NB : si on choisit de ne visualiser que le spectre de à fe, on est cette fois limité par la fréquence de Nyquist normalisée F nyquist =.5 et on a : il faut Fmin N N (.5.48) N 1 Comme on choisit la plus petite valeur entière pour minimiser la charge de calcul N = 1 Pour obtenir 4 échantillons au minimum pour l affichage des trois lobes de chaque raie, il faut : N N TFD NTFD 4 N NTFD 1 4 Comme on prend la plus petite puissance de deux pour pouvoir appliquer l algorithme de FFT tout en minimisant la charge de calcul N TFD = 14

9 Ensuite, dans un même graphe Simulink où vous utiliserez un temps de simulation de s et un pas de traitement variable, on vous demande de : b. Créer un masque (un sous-système) dont l unique paramètre sera la fréquence d échantillonnage f e, que vous fixerez à une valeur de 1 Hz. c. Générer, dans ce masque, la sinusoïde s 1 (n) au moyen d une source sinusoïdale de la librairie «Simulink/Sources», de sorte qu il soit transmis par échantillons. π s n = 5 sin. rand(1,1)+.6 nπ + (de 3 fréquence d échantillonnage f e ) au moyen d un bloc «Embedded MATLAB Function» de la librairie «Simulink/User-defined Functions». Utiliser pour cela 3 entrées: Les instants de simulation, c est-à-dire le temps (bloc «clock») ; Une constante égale à la fréquence d échantillonnage ; Une valeur aléatoire (correspondant au rand(1,1)) générée toute les 5 secondes au moyen d un bloc «Uniform Random Number» de la librairie «Simulink/Sources». Le signal s (n) doit être transmis par échantillons. d. Générer, dans ce masque, la sinusoïde ( ) ( ) e. Générer, dans ce masque, la sinusoïde s 3 (n) au moyen d'un bloc «Discrete Filter» de la librairie «Simulink/Discrete» de sorte que le signal soit transmis par échantillons. f. Visualiser, en dehors de ce masque, la transformée de Fourier du signal s = s 1 (n)+s (n)+s 3 (n), calculée sur N échantillons du signal et visualisée sur N TFD points de à f e (où les valeurs de N et N TFD sont celles déterminées au point a). Si la question a n'a pu être résolue, utiliser N=174 et N TFD =51 (ceci n'est pas la solution de la question a). Solution : Pour le masque : Pour la première sinusoïde, on voit sur la figure 1 que son amplitude vaut, que sa phase est nulle et qu il y a exactement 1 échantillons par période 1 T1 = 1T e f1 = f 1 e

10 f.1rand(1,1)+.3 f Pour la seconde sinusoïde, on a (cf point a) : F = = ( ) f = ( ).1rand(1,1)+.3 * f e e On génère le rand(1,1) au moyen d un bloc «Uniform Random Number» de sorte que sa valeur change toutes les 5 secondes: Et on définit ensuite la sinusoïde ( ) suivante : π s n = 5sin π ft + au moyen de la fonction 3

11 Pour la troisième sinusoïde, il s agit de la réponse impulsionnelle d un filtre composé de deux pôles complexes conjugués, deux zéros en zéros et de gain K=. La fonction de transfert de ce filtre est donc de la forme : 1 1 H = K = K cos z z z avec K= + 1z cos z + ( ) ρ θ ρ ρ θ ρ d d d d d d

12 Pour visualiser, dans ce masque, la transformée de Fourier du signal s, on a :