VALEUR ÉCONOMIQUE DE DETTES SUBORDONNÉES POUR DES SOCIÉTÉS NON-VIE

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1 ARTICLES ACADÉMIQUES ACADEMIC ARTICLES Assurances e gesion des risques, Mars-uin 015, Vol. 8 (1-) Insurance and risk managemen, March-June 015, Vol. 8 (1-) VALEUR ÉCONOMIQUE DE DETTES SUBORDONNÉES POUR DES SOCIÉTÉS NON-VIE Version du 09/05/015 François Bonnin*, Frédéric Planche**, Monassar Tammar***, Amédée de Clermon-Tonnerre**** e Domenico Sapone ISFA - Laboraoire SAF Universié de Lyon - Universié Claude Bernard Lyon 1 3 RÉSUMÉ Ce aricle présene un modèle de valorisaion économique d une dee subordonnée pour une enié non-vie non coée e l applique au calcul de la valeur d un fonds commun de irisaion. ABSTRACT This aricle presens an economic valuaion model for a condiional deb o an unlised non-life eniy and apply i o calculae he value of a muual securiizaion fund. Inroducion L enrée en vigueur au 1 er anvier 016 du nouveau disposiif réglemenaire européen pour les aciviés d assurance, Solvabilié, condui à une modificaion profonde des modaliés de gesion des organismes * F. Bonnin es Direceur du déparemen quaniaif de KPMG, Insurance and financial risk consuling. ** F. Planche es Professeur à l ISFA e acuaire associé chez PRIM ACT. Conac : frederic@planche.ne. *** M. Tammar es consulan chez PRIM ACT. **** A. de Clermon-Tonnerre, acuaire, es géran de porefeuille e D. Sapone, CFA, es analyse senior, ous deux chez Cohen & Company.

2 concernés. On rouvera par exemple dans Guillauma De Blignieres e Milanesi [014] une analyse globale des conséquences économiques de la mise en place de ce nouveau cadre e dans le chapire 4 d Ewald [013] une descripion synhéique de passage de la réglemenaion acuelle («Solvabilié 1») au nouveau cadre («Solvabilié»). Guiber e al. [014] fourni de son coé des élémens déaillés sur les évoluions induies en ermes de gesion des risques pour les assureurs. On peu en reenir ici de manière rès synhéique qu alors que les règles acuelles de fixaion du niveau de l exigence de marge de solvabilié (EMS) son forfaiaires e foncion du volume de l acivié e non des risques supporés, le nouveau sysème déermine le capial de solvabilié (SCR) en foncion du profil de risque de l enié en s appuyan sur une analyse de la srucure d un bilan en valeur de marché e de sa déformaion à l horizon d un an. Cela a pour conséquence un besoin supplémenaire en capial réglemenaire pour ceraines enreprises d assurance européennes, du fai des conraines globalemen plus fores que fai peser cee réglemenaion sur le bilan e de la volailié inhérene à une appréciaion en valeur de marché des acifs e des passifs. Il en résule dans cerains cas un besoin d augmenaion des fonds propres afin de mainenir le raio de couverure des engagemens à un niveau suffisan, niveau déerminé à la fois par les conraines réglemenaires e par les règles de gouvernance inerne. On peu ainsi reenir que le aux de couverure du SCR visé es a minima enre 10 e 150 % en foncion des aceurs. Afin de saisfaire ces exigences, ceraines enreprises d assurance, noammen parmi les muuelles, seron ainsi amenées à émere dans les prochains mois des ires obligaaires subordonnés assimilables à des quasi-fonds propres par les auoriés de uelle. Ces insrumens consiuen à ce ire une modalié inéressane de financemen du besoin en capial (les modaliés de leur prise en compe son précisées à l aricle A334-1 du Code des Assurances). Mais pour pouvoir effecuer une elle opéraion, il es nécessaire de disposer d un accès aux marchés financiers pour y rouver des conreparies. Au surplus, le volume de l émission doi êre suffisan pour que les frais ne soien pas rédhibioires. Une émission d environ 10 M don pourrai avoir besoin une muuelle ypique es de ce poin de vue rop faible. 13 Assurances e gesion des risques/insurance and risk managemen Mars-uin/March-June 015 Vol. 8 (1-)

3 La créaion d un fonds commun de irisaion (FCT) don l acif es consiué par ce ype d émissions perme de conourner ces difficulés e d apporer ainsi un financemen sous forme de ires subordonnés remboursables. Ce ype de fonds commun rémunère alors les invesisseurs à l aide de coupons indexés sur des aux variables offran une rémunéraion addiionnelle au-dessus de l Euribor. Du poin de vue de l enreprise d assurance, ce ype de monage vien s aouer aux insrumens permean de disposer d un financemen don la charge es modulée en foncion d indicaeurs de solvabilié els que l exigence de capial minimum (MCR) ou le capial de solvabilié requis (SCR). La mise en place d un el disposiif implique ouefois de fournir une valeur économique de la dee subordonnée pour une enié supposée ici non coée. Ceci n es pas immédia, en l absence d indicaeurs de marché sur le niveau des primes de risque aendues par les invesisseurs en foncion des caracérisiques de l émeeur. On propose dans le présen aricle un modèle permean de répondre à cee problémaique. 1. Descripion du modèle Le foncionnemen du fonds proposé es le suivan : une enié financée par le FCT paye rimesriellemen un inérê égal au aux Euribor maoré d une prime de risque ; lorsque le Solvency Capial Requiremen (SCR) ou le Minimum Solvency Requiremen (MCR) défini par la Direcive Solvabilié ne son plus couvers par les fonds propres économiques de l enié, oue ou parie de la créance du FCT peu êre incorporée aux fonds propres, le fonds n éan alors plus remboursé (oalemen ou pariellemen). Le déail de ce mécanisme es présené à la secion 3 ci-dessous). Compe enu de l absence de données financières direces permean d apprécier l évaluaion des anicipaions de défau des muuelles émerices de dee subordonnée sur un marché, une approche marked o model es proposée. Du fai des spécificiés du conexe, les modèles usuels de crédi (don on rouvera par exemple une synhèse dans Duffie e Singleon [003]) ne s avèren pas adapés : on ne dispose ni de prix de dérivés de crédi, ni d une noaion e, de plus, le «défau» es défini conracuellemen en foncion d une condiion relaive au bilan économique e non au bilan compable. Valeur économique de dees subordonnées pour des sociéés non-vie 133

4 L évaluaion de la valeur des dees subordonnées es donc effecuée sur la base du calcul sous une mesure maringale de la somme des flux fuurs servis par ces insrumens acualisés au aux sans risque. Les risques suivans son inégrés au modèle : le risque de aux, via un modèle de proecion risque-neure du aux cour (uilisé comme proxy pour le aux Euribor) ; le risque de marché de chaque muuelle ; le risque de souscripion de chaque muuelle. La prise en compe de ces risques es effecuée dans le cadre d un modèle de proecion de flux don les principales caracérisiques son les suivanes : les données disponibles son des données synhéiques sur la srucure de bilan des muuelles : valeur de marché de l acif, monan des engagemens (provisions echniques Solvabilié ) e hypohèses sur la volailié de ces grandeurs (données de marché ou issues des spécificaions echniques de l EIOPA ) ; la logique générale du modèle s inspire du modèle de Meron dans une vision dynamique e muli-sociéés de ce modèle. On propose donc de décrire le bilan d une muuelle par un acif aléaoire modélisé par un brownien géomérique e un passif aléaoire log-normal (par branche) égalemen. Dans le cas d un passif d une muuelle de aille peie ou moyenne l hypohèse qu il n y a pas de dee exérieure, qui serai senior par rappor au passif subordonné obe de la irisaion, parai raisonnable. Dans le cas conraire, e si celle-ci rese secondaire dans le bilan, un proxy via un changemen de paramère dans la modélisaion du passif es possible e décrie au paragraphe. «Bilan d une enié» ci-après. Le modèle es dynamique car les défaus peuven survenir à des daes disinces. Cela implique de enir compe des coisaions acquises par les muuelles, année après année e des presaions qu elles paien auprès de leurs assurés. Sous l hypohèse qu une muuelle émerice de dee es une muuelle sané ou IARD sans ineracion acif / passif maérielle e don le passif es peu sensible au risque de aux, la dynamique proposée dans Guiber e al. [01] es uilisée, avec ouefois une dynamique d acif risque-neure e non hisorique, en suivan une logique proche de Bonnin e al. [014], [015]. 134 Assurances e gesion des risques/insurance and risk managemen Mars-uin/March-June 015 Vol. 8 (1-)

5 Il rese alors à décrire les flux servis par l acif enan compe d évenuels défaus e d un aux de recouvremen. L évaluaion de l espérance de la somme acualisée de ces flux (en probabilié risque neure pour l acif e hisorique pour le passif), fourni une «valeur économique» de l acif du FCT. On soulignera que, s agissan d une valorisaion, la srucure de dépendance enre les flux des différenes eniés n inervien pas (voir la secion 3), ce qui consiue un faceur imporan de simplificaion du modèle. Par ailleurs, comme le souligne Cummins [1988], le défau d une enié peu êre impacé par des événemens rares se raduisan du poin de vue de la modélisaion par la prise en compe de saus dans les processus d acifs e / ou de passif. Cee possibilié a éé ignorée dans le cadre du modèle proposé ici du fai de la complexié mahémaique qu elle engendre. Elle peu êre pariellemen conournée en augmenan la volailié des processus concernés.. Environnemen de aux Afin de pouvoir proeer les risques financiers sous une probabilié risque neure cohérene avec cee courbe, on en reien la représenaion de Vasicek (Vasicek [1977]) basée sur le aux cour avec l hypohèse d une dynamique de la forme dr = ar ( r ) d + σdw, qui condui à l expression paramérique suivane des aux (cf. Planche e al. [011]) zéro-coupon ( R( 0, τ), τ 0): σ τσ R (, τ ) r ϕτ σ = + ( a) ϕτ ( a) r a a 4 a 1 e avec ( x) = x. Les paramères ( a, r, σ ) de la diffusion son x esimés par minimisaion des écars quadraiques enre les aux zéro-coupons issus du modèle e les aux issus de la courbe de référence. Lorsque la maurié du prê es peie, on a : τ a σ τσ e τr (, τ) = τ r ϕτ ( a) r a + a 1 σ 4 a a τ r σ σ τ r r a a = τ r r r Valeur économique de dees subordonnées pour des sociéés non-vie 135

6 ce qui perme d approcher l inérê servi enre e + τ, τr (, τ), par τ r. Dans la mesure où le calcul se fai par simulaion, un aure choix aurai éé possible, noammen un modèle de marché permean la prise en compe des prix d opions de aux. 3. Bilan d une enié Les aléas affecan le bilan d une enié son synhéisés, comme dans Guiber e al. [01], en quare risques agrégés : l inceriude sur le rendemen de l acif, les coisaions perçues, le risque de provisionnemen e le risque de réserve. Ainsi, à l insan, il s agi de décrire la srucure de quare variables aléaoires : la valeur de la par d acif S, le monan des coisaions acquises C, le bes esimae BEL (ne de réassurance) e β le raio combiné (égalemen ne de réassurance). Les aures élémens du calcul se déduisen de ces faceurs de risque de base. Le choix d une descripion agrégée de l acif a éé fai en supposan que l acif es invesi dans une unié de compe S, ce qui revien à supposer que la gesion d acif de l enié es réalisée en référence à une allocaion sraégique cible sable sur l horizon de proecion. Dès lors, les caracérisiques de cee allocaion déerminen la volailié de l unié de compe. La dynamique du bilan d une enié repose ainsi sur les équaions suivanes : pour la valeur de l acif 4 : A = A ( 1 + R ) I ( F C ); dp = 1 pour la valeur du passif 5 : L = BEL + RM = BEL + α D SCR. en noan BEL = n = Assurances e gesion des risques/insurance and risk managemen Mars-uin/March-June 015 Vol. 8 (1-) n BEL. On doi donc déerminer le rendemen R du fonds dans lequel es invesi l acif 6, des presaions servies (F ), de la charge de la dee (I ), des coisaions perçues (C ), des provisions echniques bes esimae (BEL ) e des exigences de capial (MCR e SCR ). La duraion D sera supposée fixe, ce qui es cohéren avec l hypohèse de srucures ayan une acivié insallée e en «régime de croisière». Ces différenes valeurs seron calculées en suivan la démarche décrie dans le ravail de Guiber e al. [01], qui repose sur l uilisaion des équaions de récurrence suivanes : σ a valeur de la par d acif : S+ 1 = S exp r + a + a σ ε 1,,

7 σ c coisaions perçues : C d = C exp c d d z p µ + σ raio combiné : β + p c p + dp, c, σ β = β exp d + σ β d z + dp p p + dp, β, p provisions : BEL+ d = BEL exp p dp p dp z p + dp p µ σ () + σ, + β + d C + d, p p avec z, a, z, c, z, pdes bruis blancs gaussiens, μp() = r + ln( 1 ϕ) e ϕ la quoe-par des réserves servies en presaions annuellemen. ϕ e la duraion D son des paramères du modèle. Les presaions de la branche considérée son déerminées par l égalié (cf. Guiber e al. [01] pour la démonsraion) : σ p F+ d = r dp p dp z p + dp p d + exp σ, ϕ BEL p = θ ( BEL β C ) + dp + dp + d p Avec ϕ d p ϕ d d p p = 1 ( 1 ϕ) e θ = 1 ϕ On inrodui une srucure de dépendance enre les branches de la manière suivane : i i z = A d p. + 1 i + 1 i avec z e i des veceurs de aille n (le nombre de branches de l enié) e A i la racine carrée de la marice de corrélaion des branches. La marice A i es supposée idenique pour ous les faceurs de risque de passif. Le MCR es calculé conformémen aux spécificaions echniques de la formule sandard (MCR.19) en uilisan la formule MCRl, = ( a BEL + b C ) avec les coefficiens a e b fixés pour une branche donnée. Les bornes prévues dans MCR.11 seron ensuie appliquées, soi MCR = min( max( MCRl,, 0,5 SCR), 0,45 SCR ). Le SCR es quan à lui calculé en résolvan par dichoomie l équaion implicie suivane, reprise de Guiber e al. [01], 1 1 SCR = + BEL + ( exp( µ ( χ) σ ( χ) φ ( 99,5 %)) ) 1 α D Valeur économique de dees subordonnées pour des sociéés non-vie 137

8 σ a avec µ ( χ ) = µ µ a +, σ ( χ) = σ + σa e n µ µ c θ BEL e p c (( + ) ( 1 c β C e ) ) = 1 σ = ln( 1 + ω ),µ = ln 1 + ω où on a noé ω = n V (( c + θ ) BEL + 1 ( 1 + β + 1 θ ) C + 1) = 1. n (( c + ) BEL e ( c ) C e p ) c θ µ 1 β µ = 1 Le calcul du coefficien de variaion ω es déaillé en annexe. Le calcul du SCR ne dépend pas du pas de discréisaion d p puisque le SCR es sysémaiquemen calculé sur un horizon d un an. La charge de la dee pour un monan nominal de l émission N es de la forme I = N ( RT (, ) + p) avec T = 10 e p le spread à l émission exprimé en poins de base. Le défau de paiemen associé au non remboursemen pariel de la dee survien lorsque le MCR (ou le SCR en foncion des disposiions conracuelles) n es plus couver. 4. Valeur de l acif du FCT Le calcul de la valeur de l acif du fonds nécessie de définir préalablemen les condiions du défau, don on dédui ensuie les flux reçus par le fonds. La valeur acualisée au aux sans risque de ces flux (proeés à l aide d une mesure maringale) fourni alors une valeur de l acif du FCT. 4.1 Définiion du défau Le défau es défini comme le premier insan où le MCR n es plus couver par les fonds propres économiques NAV = A L : τ i i = = T NAV, min 1,, / < 1. MCRi, 138 Assurances e gesion des risques/insurance and risk managemen Mars-uin/March-June 015 Vol. 8 (1-)

9 On se place dans le conexe défini par l ar. A334-1 du Code des Assurances 7. À la dae de défau, la pere subie par l invesisseur es esimée en se plaçan dans le conexe d une liquidaion de l enié (soi que l enié es liquidée complèemen, ce qui es en praique rare, soi que le porefeuille fasse l obe d un ransfer d office puis que l enié «vidée de ses engagemens» soi alors liquidée). L invesisseur, prioriaire sur l acionnaire, récupère alors la valeur des fonds propres économiques, dans la limie du nominal de l émission 8. Avec ce raisonnemen le aux de pere en cas de défau es : max( 0, NAVi, τ ) i LGDi( τ i) = max. 0,1 N 4. Déerminaion des flux reçus par le FCT Le coû de la dee pour l enié, égal au revenu servi par le FCT (aux chargemens près), correspond au aux Euribor maoré de p poins de base, usqu à la maurié, la dee éan alors remboursée, ce que l on radui ici, pour un nominal N, par : I = N ( r + p) dp 1{ T } + N 1{ = T } avec p le spread de l émeeur (par exemple p = 600 poins de base). On uilise l approximaion R(, dp) r lorsque d p es pei. La valeur économique de ces flux en l absence de défau se calcule simplemen : Q V = E δ() I sd T f [ ] f Q = N dp ( E [ δ() r ]+ p P( 0, ) )+ P( 0, T) T La somme éan prise sur ous les insans de la grille de discréisa- Q ion inférieurs à T. En observan que E δ( ) r P ( 0, ) e comme en uilisan : = P P r σ a σ ( 0, ) ( 0, ) e r r 0 a a on rouve finalemen : f i [ ] = σ a σ Vsd = N dp P(0, ) p + r e r r P(0, T ). 0 T a a + Valeur économique de dees subordonnées pour des sociéés non-vie 139

10 4.3 Valeur de l acif du FCT A parir des composans décris ci-dessus, le modèle perme de proeer les flux servis par l acif du FCT acualisés au aux sans risque e à en calculer la somme, don la srucure es la suivane : Λ = Λi où on a noé Λ i la somme des flux acualisés servis par l enié i qui es donnée par : Λ i = N i d p δ() ( r( ) + p i ) + ( LGDi( T τi)) δ T τi i I I, 1 ( T τ i ) avec T = 10, δ( ) = exp ru du, LGD i le aux de pere en cas de 0 défau e τ i l insan de défau de l enié i. De manière évidene LGD ( i T ) = 0 si τ i > T. On suppose que le défau survien au plus une fois sur la durée T du conra. 4.4 Expression en monan La valeur du FCT es alors simplemen, en uilisan les noaions de Bonnin e al. [015] : P Q P Q V = E [ Λ] = E [ Λ ]. d a f a f On peu observer que la valeur du fonds ne dépend pas de la srucure de dépendance enre les eniés, du fai de la linéarié de l espérance. Cee valeur héorique es esimée par simulaion. De manière plus précise, on simule des raecoires de l environnemen économique e du bilan de chaque enié, ce qui condui à calculer pour la simulaion n k : δ ( k ) ( k) ( k) ( k ) ( k) Λ i = Ni dp () ( r ( ) + pi ) + ( 1 LGDi ( T τi )) δ k T τ ( ) i δ k ( T τ i ) ( k) ( ) puis à uiliser l approximaion V Vd Vi, d pour l acif du FCT. i I i, d i I 1 K K k = 1 i Λ pour une enié e ( k ) i 140 Assurances e gesion des risques/insurance and risk managemen Mars-uin/March-June 015 Vol. 8 (1-)

11 À la dae d émission, la valorisaion héorique réalisée es confronée à la valeur nominale e es réconciliée avec sa valeur nominale au moyen d un spread, en praique exprimé en référence à un indice de marché 9. Ce spread, calé à l émission es pris en compe dans les évaluaions ulérieures e évolue comme le spread de l indice de référence. 4.5 Valorisaion via un spread au-delà du aux sans risque Une fois la valeur économique du fonds (ou de la dee d une enié) déerminée, il es commode de l exprimer sous la forme d un spread fixe à aouer au aux sans risque de sore que la valeur des flux sans prise en compe du défau acualisée avec le aux sans risque maoré du spread soi égale à la valeur économique du conra. On inrodui donc pour un spread x fixé le faceur d acualisaion δ x () = exp ( r u + x) du f x ce qui condui aux prix Px ( 0, ) = E ( δ x ()) = P( 0, ) e. On peu alors vérifier que la valeur des flux sans défau basée sur cee courbe d acualisaion décalée es égale à : σ a σ dp Px(0, ) p r e r r 0 Vsd ( x) = N + T a a. + Px (0, T) Pour une enié donnée, on peu donc calculer le spread associé en résolvan (par dichoomie) l équaion Vi, sd( x) = Vi, d. Ce spread x es donc celui qui, aoué au aux sans risque, perme, en acualisan les flux conracuels (r + p pour les inérês) en l absence de défau, de rerouver la valeur de ces flux avec prise en compe du défau. 5. Srucure e usificaion du paramérage On décri dans cee secion la srucure e la source du paramérage du modèle. Il es précisé que les valeurs numériques uilisées pour décrire l enié e les caracérisiques du fonds son puremen illusraives e ne corresponden à aucune siuaion réelle. 0 Q 5.1 Taux d inérê On uilise la courbe de aux ( R( 0, τ), τ 0) à la dae du calcul. Cee courbe es uilisée pour esimer les paramères du modèle de proecion risque neure pour le aux cour : Valeur économique de dees subordonnées pour des sociéés non-vie 141

12 TABLEAU 1 Paramères du modèle de aux PARAMÈTRE DESCRIPTION REMARQUE r 0 Valeur iniiale Esimé à parir de la courbe iniiale a Viesse de reour à la moyenne Esimé à parir de la courbe iniiale r Taux d inérê moyen en régime Esimé à parir de la courbe iniiale saionnaire σ Volailié du aux cour Esimé à parir de la courbe iniiale r L esimaion es effecuée en minimisan la somme des écars quadraiques enre les prix des ZC issus de la courbe e ceux fournis par le modèle. Il convien de noer que le paramère de volailié σ r pourrai égalemen êre calibré sur un panier de prix d opions. 5. Paramérage propre à une enié Les paramères spécifiques à chaque enié son composés de rois élémens : Les valeurs iniiales du bilan ; Les paramères de déformaion du bilan ; Les caracérisiques de la dee. Ces élémens son déaillés ci-après. TABLEAU Valeurs iniiales PARAMÈTRE DESCRIPTION REMARQUE A 0 BEL 0 C 0 Valeur de marché de l acif Monan des provisions bes esimae nees de réassurance Monan de coisaions pour l année du calcul ; ce monan ne ser que pour le calcul de C 1 Avec la venilaion par branches si la sociéé exerce plusieurs aciviés significaives Avec la venilaion par branches si la sociéé exerce plusieurs aciviés significaives 14 Assurances e gesion des risques/insurance and risk managemen Mars-uin/March-June 015 Vol. 8 (1-)

13 PARAMÈTRE DESCRIPTION REMARQUE β Raio combiné iniial Avec la venilaion par branches 0 si la sociéé exerce plusieurs aciviés significaives SCR Valeur iniiale du SCR Pour conrôle avec le résula 0 issu du modèle MCR Valeur iniiale du MCR Pour conrôle avec le résula 0 issu du modèle DS Valeur nominale de la dee senior TABLEAU 3 Paramères pour la dynamique du bilan PARAMÈTRE DESCRIPTION SOURCE µ a Taux de rendemen de l acif synhéique 10 Enié σ Volailié du rendemen de l acif Enié ou référence de marché a synhéique µ Taux de croissance des coisaions Enié (nul par défau) venilé c par branche σ Volailié des coisaions Enié (nulle par défau) venilée c par branche β Raio combiné cible Enié ou référence de marché (par défau on pourra uiliser la valeur iniiale) venilé par branche σ Volailié du raio combiné Enié ou EIOPA (SCR.8.71) venilé β par branche D Duraion des engagemens Enié ou référence de marché venilé par branche σ Volailié des réserves (pour 1 p de provision) ϕ Par des réserves payées en presaions Enié ou EIOPA (SCR.8.74) venilé par branche Enié ou référence de marché venilé par branche Valeur économique de dees subordonnées pour des sociéés non-vie 143

14 Les valeurs par défau des volailiés pour les risques de réserve e de primes son issues de la formule sandard de Solvabilié e reprises dans le ableau ci-après : TABLEAU 4 Valeurs par défau pour les volailiés du passif BRANCHES NOM DE LA BRANCHE σ p σ β B1 Moor vehicle liabiliy insurance and proporional 9 % 10 % B Oher moor insurance and proporional 8 % 8 % B3 Marine, aviaion and ranspor insurance and proporional 11 % 15 % B4 Fire and oher damage o propery insurance and 10 % 8 % proporional B5 General liabiliy insurance and proporional 11 % 14 % B6 Credi and sureyship insurance and proporional 19 % 1 % B7 Legal expenses insurance and proporional 1 % 7 % B8 Assisance and is proporional 0 % 9 % B9 Miscellaneous financial loss insurance and proporional 0 % 13 % B10 Non proporional casualy 0 % 17 % B11 Non proporional marine, aviaion and ranspor 0 % 17 % B1 Non proporional propery 0 % 17 % B13 Medical expense insurance and proporional 5 % 5 % B14 Income proecion insurance and proporional 14 % 9 % B15 Workers compensaion insurance and proporional 11 % 8 % B16 Non-proporional healh 0 % 17 % Lorsque la source indiquée es l EIOPA, il s agi de reprendre les valeurs par défau proposées dans les spécificaions echniques 11 de la formule sandard du 30/04/014. L ensemble de ces données doi êre communiqué en dae de calcul. Enfin, il convien de disposer des caracérisiques de la dee émise par l enié e figuran à l acif du FCT. 144 Assurances e gesion des risques/insurance and risk managemen Mars-uin/March-June 015 Vol. 8 (1-)

15 TABLEAU 5 Caracérisiques de l émission obligaaire PARAMÈTRE DESCRIPTION REMARQUE S Dae d émission de l emprun N Valeur nominal de l emprun T Maurié en années 10 ans par défau p Spread conracuel 600 bp par défau f Fracionnemen Trimesriel par défau 5.3 Srucures de dépendance Des coefficiens de corrélaion permeen d inroduire des dépendances enre les branches. La marice de corrélaion fournie par l EIOPA dans les spécificaions echniques es uilisée : TABLEAU 6 Coefficiens de corrélaions enre branches d acivié MATRICE DE CORRÉLATION ENTRE BRANCHES D ACTIVITÉ B1 B B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 B1 B13 B14 B15 B16 B1 1 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0, B 0,5 1 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0, B3 0,5 0,5 1 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0, B4 0,5 0,5 0,5 1 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0, B5 0,5 0,5 0,5 0,5 1 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0, B6 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 1 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0, B7 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 1 0,5 0,5 0,5 0,5 0, B8 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 1 0,5 0,5 0,5 0, B9 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 1 0,5 0,5 0, B10 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 1 0,5 0, B11 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 1 0, B1 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0, B ,5 0,5 0,5 B ,5 1 0,5 0,5 B ,5 0,5 1 0,5 B ,5 0,5 0,5 1 La marice A es la racine carrée de la marice de corrélaion ci-dessus. Valeur économique de dees subordonnées pour des sociéés non-vie 145

16 5.4 Calcul du MCR Les coefficiens uilisés pour le calcul du MCR son définis par les spécificaions de la formule sandard de Solvabilié, repris dans le ableau ci-après : TABLEAU 7 Coefficiens pour le calcul du MCR BRANCHES NOM DE LA BRANCHE a b B1 Moor vehicle liabiliy insurance and proporional 8,50 % 9,40 % B Oher moor insurance and proporional 7,50 % 7,50 % B3 Marine, aviaion and ranspor insurance and proporional 10,30 % 14,00 % B4 Fire and oher damage o propery insurance and proporional 9,40 % 7,50 % B5 General liabiliy insurance and proporional 10,30 % 13,10 % B6 Credi and sureyship insurance and proporional 17,70 % 11,30 % B7 Legal expenses insurance and proporional 11,30 % 6,60 % B8 Assisance and is proporional 18,60 % 8,50 % B9 Miscellaneous financial loss insurance and proporional 18,60 % 1,0 % FIGURE 1 Paramérage de l exemple 146 Assurances e gesion des risques/insurance and risk managemen Mars-uin/March-June 015 Vol. 8 (1-)

17 BRANCHES NOM DE LA BRANCHE a b B10 Non proporional casualy 18,60 % 15,90 % B11 Non proporional marine, aviaion and ranspor 18,60 % 15,90 % B1 Non proporional propery 18,60 % 15,90 % B13 Medical expense insurance and proporional 4,70 % 4,70 % B14 Income proecion insurance and proporional 13,10 % 8,50 % B15 Workers compensaion insurance and proporional 10,70 % 7,50 % B16 Non-proporional healh 18,60 % 15,90 % 5.5 Applicaion numérique La mise en œuvre du modèle es illusrée ici dans le cas d une sociéé ypique d assurance non-vie exerçan une acivié sané e prévoyance. Dans ce exemple, l enié de référence exerce son acivié en sané / prévoyance sur 3 branches (n 6, 13 e 14) e couvre deux fois son SCR. Il es supposé de manière normaive que le conra ser 600 bp au-dessus du aux cour. Valeur économique de dees subordonnées pour des sociéés non-vie 147

18 On vérifie graphiquemen que 000 simulaions suffisen à sabiliser les résulas des esimaeurs empiriques : FIGURE Convergence des esimaeurs en foncion du nombre de simulaions 8000 Valeur du FCT Nombre de simulaions Sur cee base, on peu comparer les spreads de défau du conra en foncion du aux de couverure du SCR, selon que le défau es défini par le non-respec du MCR ou du SCR : 148 Assurances e gesion des risques/insurance and risk managemen Mars-uin/March-June 015 Vol. 8 (1-)

19 FIGURE 3 Spread de défau en foncion du aux de couverure du SCR 6,5% 6,0% 5,5% 5,0% 4,5% 4,0% 3,5% 3,0% 0 100% 110% 10% 130% 140% 150% 160% 170% 180% 190% Spread MCR Spread SCR Le défau défini sur la base du SCR se produi plus souven, mais avec une inensié moindre que lorsqu il es défini en référence au MCR. On observe que le spread de défau défini avec le MCR comme déclencheur de défau décroi plus rapidemen que celui défini avec le SCR, ce qui s explique par le fai qu une variaion du aux de couverure du SCR engendre une meilleure amélioraion de la solvabilié de l enié lorsqu on uilise le MCR comme déclencheur de défau pluô que le SCR. Valeur économique de dees subordonnées pour des sociéés non-vie 149

20 Conclusion Fournir une valeur mark-o-model à l acif d un fonds commun de irisaion muualisaion des dees subordonnées d organismes non coés es un exercice a priori complexe e nécessie une mesure de la probabilié de défau de chaque enié concernée. En supposan que seuls les risques financiers peuven êre couvers e que les risques d assurance ne le son pas, la modélisaion des bilans proposée dans Guiber e al. [01] perme de consruire les flux de ressources du FCT e d en déduire la valeur de ce dernier. Disposer d un modèle de valorisaion de ce ype d insrumens de financemen doi facilier leur émission, en permean aux aceurs de disposer d une base de discussion auour de la valeur, aussi bien au momen de l émission que sur un évenuel marché secondaire. Comme cela es usuel, le fai de disposer d un modèle de valorisaion perme égalemen une approche en risque en permean une correspondance enre variaion de faceurs de risques d une par e impacs sur la valeur d aure par. Pour la valorisaion de l émission au passif de l assureur, il parai naurel de valoriser au nominal au momen de l émission pour des raisons de cohérence, la quesion des méhodes de réévaluaions ulérieures resan posée : convien-il de mere à our en foncion de l évoluion de l ensemble des paramères comme le voudrai une approche en full fair-value ou de le faire en figean le spread de crédi à l émission comme cela es prévu pour les émissions obligaaires dans le cadre des normes IFRS? Il s agi de quesions qui ne son pas encore oalemen ranchées à nore connaissance pour le bilan prudeniel sous Solvabilié. Il es inéressan de noer que la valeur modélisée ici repose sur une hypohèse de coninuié d acivié, conformémen à la réalié du FCT, alors que la valorisaion dans le bilan prudeniel des passifs sousacens (i.e. le bes esimae) se fai quan à elle sous une hypohèse de run-off pour les conras résiliables à l iniiaive de l assureur e de primes fuures des conras en cours pour ceux qui ne le son pas. Les impacs de ces écars enre hypohèse prudenielle e réalié économique sur l efficacié de ce ype d insrumen dans le piloage de la solvabilié règlemenaire pourron faire l obe de ravaux ulérieurs. Par exemple le seuil de déclenchemen de défau, considéré ici sur des 150 Assurances e gesion des risques/insurance and risk managemen Mars-uin/March-June 015 Vol. 8 (1-)

21 hypohèses liées à la réglemenaion prudenielle MCR ou SCR, pourrai êre défini sur des bases économiques plus en cohérence avec le niveau de risque réel du fonds. Un aure axe de recherches ulérieures possible concerne les problémaiques d aléa moral e l analyse de l impac de la irisaion des dees subordonnées via le fonds sur le comporemen individuel des eniés face au risque. Ce sue es bien idenifié s agissan de la irisaion en général, mais raremen quanifié dans les modèles de valorisaion. Enfin, la modélisaion proposée ici rese cenrée sur la valorisaion, donc sur le calcul d une espérance, ce qui évie de considérer la srucure de dépendance enre les eniés. La consrucion d indicaeurs de risque pour le fonds els que le niveau de la pere (pour le fonds) en cas de défau d une (ou plusieurs) enié(s) pourrai êre envisagée, sous réserve de consruire une elle srucure de dépendance, par exemple dans le cadre d un modèle à choc commun. Bibliographie Bonnin F., Combes F., Planche F., Tammar M. [015] «Un modèle de proecion pour des conras de reraie dans le cadre de l ORSA», Bullein Français d Acuaria, vol. 14, n 8. Bonnin F., Juillard M., Planche F. [014] «Bes Esimae Calculaions of Savings Conracs by Closed Formulas - Applicaion o he ORSA», European Acuarial Journal, doi : /s z. Cummins J.D. [1988] «Risk-Based Premiums for Insurance Guarany Funds», Journal of Finance, 4. Duffie D., Singleon K.J. [003] Credi Risk : Pricing, Measuremen, and Managemen, Princeon Universiy Press. Ewald F. (Edieur) [013] Gesion d une enreprise d assurance, Collecion : Managemen Sup, Paris : Dunod. Guiber Q., Juillard M., Neukam T. O., Planche F. [014] Solvabilié Prospecive en Assurance - Méhodes quaniaives pour l ORSA, Paris : Economica. Guiber Q., Juillard M., Planche F. [01] «Measuring Uncerainy of Solvency Coverage Raio in ORSA for Non-Life Insurance», European Acuarial Journal, :05-6, doi : /s Valeur économique de dees subordonnées pour des sociéés non-vie 151

22 Guillauma De Blignieres A., Milanesi J.P. [014] «Les conséquences de Solvabilié II sur le financemen des enreprises», Conseil Économique e Social, Éude n Planche F., Thérond P.E., Juillard M. [011] Modèles financiers en assurance. Analyses de risques dynamiques - seconde édiion revue e augmenée, Paris : Economica (première édiion : 005). Vasicek O. [1977] «An equilibirum characerisaion of he erm srucure», Journal of financial economics, vol. 5, NOTES 1. Ce ravail a bénéficié du souien de la chaire Managemen de la Modélisaion (hp ://isfa.univ-lyon1. fr/ma). Universié de Lyon, universié Lyon 1, Insiu de Science Financière e d Assurances (ISFA) - 50 avenue Tony Garnier Lyon Cedex 07 - France. 3. Remerciemens : Les aueurs remercien le releceur anonyme don les observaions on permis d améliorer sensiblemen la première version de ce ravail. 4. Dans le cas où exiserai une dee exérieure, senior par rappor à la dee subordonnée, de monan D0, les paramères d acif (A o e σ ) peuven êre réausés : A o = Ao Do (conservaion de la valeur nee) ; e σ = σ Ao / A o (conservaion de la variance, vue de l origine). Ce proxy sera d auan meilleur que Ao/A o ~ 1 5. α = 6 %, conformémen aux spécificaions echniques de l EIOPA. 6. Voir Bonnin e al. [015] pour la logique de gesion de l acif via un FCP. 7. hp :// GIARTI &daeTexe=&caegorieLien=cid 8. On considère que, s agissan d une acivié d assurance, le monan d une évenuelle dee senior es négligeable. 9. Par exemple l indice IBOX EUR Insurance Ticker Bloomberg «QX44 Index Go». 10. Le aux de rendemen hisorique de l acif inervien dans le calcul du SCR de l enié. 11. hps ://eiopa.europa.eu/publicaions/echnical-specificaions/index.hml 15 Assurances e gesion des risques/insurance and risk managemen Mars-uin/March-June 015 Vol. 8 (1-)