Leçons de choses. 1. Alphabet grec

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1 Leçons de choses Vidéo partie. L'alphabet grec Vidéo partie. L A TEX en cinq minutes Vidéo partie. Formules de trigonométrie : sinus, cosinus, tangente Vidéo partie. Formulaire: trigonométrie circulaire et hyperbolique Vidéo partie 5. Développements limités Vidéo partie 6. Primitives. Alphabet grec α alpha ν nu β beta ξ i γ Γ gamma o omicron δ delta Π pi ɛ ζ epsilon zeta ρ, ϱ rho σ Σ sigma η eta τ tau θ Θ theta υ upsilon ι iota φ, ϕ Φ phi κ kappa χ chi λ Λ lambda µ mu ψ Ψ psi ω Ω omega On rencontre aussi nabla, l opérateur de dérivée partielle (dites d rond ), et aussi la première lettre de l alphabet hébreu aleph ℵ.

2 LEÇONS DE CHOSES. ÉCRIRE DES MATHÉMATIQUES : L A TEX EN CINQ MINUTES. Écrire des mathématiques : L A T E X en cinq minutes.. Les bases Pour écrire des mathématiques, il eiste un langage pratique et universel, le langage L A TEX (prononcé [latek]). Il est utile pour rédiger des tetes contenant des formules, mais aussi accepté sur certains blogs et vous permet d écrire des maths dans un courriel ou un teto. Une formule s écrit entre deu dollars $\pi^$ qui donne ou entre double dollars si l on veut la centrer sur une nouvelle ligne ; $$\lim u_n = +\infty$$ affichera : Dans la suite on omettra les balises dollars. lim u n = +.. Premières commandes Les eposants s obtiennent avec la commande ^ et les indices avec _ : a s écrit a^ ; u n s écrit u_n ; α i \alpha_i^. Les accolades { } permettent de grouper du tete : ^{0} pour 0 ; a_{i,j} pour a i,j. Il y a ensuite toute une liste de commandes (qui commencent par \) dont voici les plus utiles : s écrit \sqrt racine a \sqrt{a} + \sqrt{+\sqrt{}} \sqrt[]{} \frac fraction a b + \frac{a}{b} \frac{\pi^}{} \frac{}{ + \frac{}{}} γ n \gamma^{\frac{}{n}} \lim limite lim n + u n = 0 \lim_{n \to +\infty} u_n = 0 \sum \int somme intégrale lim 0 + f () < ε i i= i0 b a a i φ(t) \lim_{ \to 0^+} f() < \epsilon \sum_{i=}^n \frac{}{i} \sum_{i \ge 0} a_i \int_a^b \phi(t) dt.. D autres commandes Voici d autres commandes, assez naturelles pour les anglophones. f : E F f : E \to F + +\infty a 0 a \le 0 a > 0 a > 0 a a \ge δ \delta \Delta a E A E P = Q P Q a \in E A \subset E P \implies Q P \iff Q \forall \eists \cup \cap

3 LEÇONS DE CHOSES. ÉCRIRE DES MATHÉMATIQUES : L A TEX EN CINQ MINUTES.. Pour allez plus loin Il est possible de créer ses propres commandes avec \newcommand. Par eemple avec l instruction \newcommand{\rr}{\mathbb{r}} vous définissez une nouvelle commande \Rr qui eécutera l instruction \mathbb{r} et affichera donc. Autre eemple, après avoir défini \newcommand{\monintegrale}{\int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{t} dt} la commande \monintegrale affichera + sin t 0 t. Pour (beaucoup) plus de détails, consultez le manuel Une courte (?) introduction à L A TEX. Mini-eercices. Écrire en L A TEX toutes ces formules (qui par ailleurs sont vraies!).. a b = a b a + b. + n=. lim R + n = 6 +R R e t =. ε > 0 δ 0 ( 0 < δ = ln() ln( 0 ) < ε) k 8k + 8k + 8k + 5 = 8k + 6

4 LEÇONS DE CHOSES. FORMULES DE TRIGONOMÉTRIE : SINUS, COSINUS, TANGENTE. Formules de trigonométrie : sinus, cosinus, tangente.. Le cercle trigonométrique y,,, (0, ) ,, 0 6, (, 0) (, 0) 80 60, ,, (0, ) ,,, Voici le cercle trigonométrique (de rayon ), le sens de lecture est l inverse du sens des aiguilles d une montre. Les angles remarquables sont marqués de 0 à (en radian) et de 0 à 60. Les coordonnées des points correspondant à ces angles sont aussi indiquées. y T sin M tan O cos Le point M a pour coordonnées (cos, sin ). La droite (OM) coupe la droite d équation ( = ) en T, l ordonnée du point T est tan.

5 LEÇONS DE CHOSES. FORMULES DE TRIGONOMÉTRIE : SINUS, COSINUS, TANGENTE 5 Les formules de base : cos + sin = cos( + ) = cos sin( + ) = sin sin Nous avons les formules suivantes : cos( ) = cos cos cos( ) sin( ) = sin On retrouve graphiquement ces formules à l aide du dessin des angles et. sin( ) Il en est de même pour les formules suivantes : cos( + ) = cos sin( + ) = sin cos( ) = cos sin( ) = sin cos( ) = sin sin( ) = cos sin sin( ) sin cos( + ) + cos cos( ) cos sin( + ) sin( ) sin cos( ) cos

6 LEÇONS DE CHOSES. FORMULES DE TRIGONOMÉTRIE : SINUS, COSINUS, TANGENTE cos 0 sin 0 tan 0 Valeurs que l on retrouve bien sur le cercle trigonométrique. 90 (0, ) 60 5, 0, 6, 0 0 (, 0).. Les fonctions sinus, cosinus, tangente La fonction cosinus est périodique de période et elle paire (donc symétrique par rapport à l ae des ordonnées). La fonction sinus est aussi périodique de période de mais elle impaire (donc symétrique par rapport à l origine). y + 0 cos sin Voici un zoom sur l intervalle [, ]. y + 0 sin cos Pour tout n appartenant pas à {...,,,, 5,...} la tangente est définie par tan = sin cos La fonction tan est périodique de période ; c est une fonction impaire.

7 LEÇONS DE CHOSES. FORMULES DE TRIGONOMÉTRIE : SINUS, COSINUS, TANGENTE 7 y tan + 0 Voici les dérivées : cos = sin sin = cos tan = + tan = cos.. Les formules d additions cos(a + b) = cos a cos b sin a sin b sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a tan(a + b) = tan a + tan b tan a tan b On en déduit immédiatement : cos(a b) = cos a cos b + sin a sin b sin(a b) = sin a cos b sin b cos a tan(a b) = tan a tan b + tan a tan b Il est bon de connaître par cœur les formules suivantes (faire a = b dans les formules d additions) : cos a = cos a = sin a = cos a sin a sin a = sin a cos a tan a = tan a tan a

8 LEÇONS DE CHOSES. FORMULES DE TRIGONOMÉTRIE : SINUS, COSINUS, TANGENTE 8.. Les autres formules Voici d autres formules qui se déduisent des formules d additions. Il n est pas nécessaire de les connaître mais il faut savoir les retrouver en cas de besoin. Les formules précédentes se reformulent aussi en : cos a cos b = cos(a + b) + cos(a b) sin a sin b = cos(a b) cos(a + b) sin a cos b = sin(a + b) + sin(a b) cos p + cos q = cos p + q cos p cos q = sin p + q sin p + sin q = sin p + q sin p sin q = sin p q cos p q sin p q cos p q cos p + q Enfin les formules de la «tangente de l arc moitié» permettent d eprimer sinus, cosinus et tangente en fonction de tan. Avec t = tan cos = t +t on a sin = t +t tan = t Ces formules sont utiles pour le calcul de certaines intégrales par changement de variable, en utilisant en plus la relation d = + t. Mini-eercices.. Montrer que + tan = cos.. Montrer la formule d addition de tan(a + b).. Prouver la formule pour cos a cos b.. Prouver la formule pour cos p + cos q. 5. Prouver la formule : sin = tan + (tan. ) 6. Montrer que cos 8 = +. Calculer cos 6, cos, Eprimer cos() en fonction cos ; sin() en fonction sin ; tan() en fonction tan. t

9 LEÇONS DE CHOSES. FORMULAIRE : TRIGONOMÉTRIE CIRCULAIRE ET HYPERBOLIQUE 9. Formulaire : trigonométrie circulaire et hyperbolique Propriétés trigonométriques : remplacer cos par ch et sin par i sh. cos + sin = ch sh = cos(a + b) = cos a cos b sin a sin b sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a tan(a + b) = tan a + tan b tan a tan b ch(a + b) = ch a ch b + sh a sh b sh(a + b) = sh a ch b + sh b ch a th(a + b) = th a + th b + th a th b cos(a b) = cos a cos b + sin a sin b sin(a b) = sin a cos b sin b cos a tan(a b) = tan a tan b + tan a tan b ch(a b) = ch a ch b sh a sh b sh(a b) = sh a ch b sh b ch a th(a b) = th a th b th a th b cos a = cos a = sin a = cos a sin a sin a = sin a cos a tan a = tan a tan a ch a = ch a = + sh a = ch a + sh a sh a = sh a ch a th a = th a + th a cos a cos b = cos(a + b) + cos(a b) sin a sin b = cos(a b) cos(a + b) sin a cos b = sin(a + b) + sin(a b) ch a ch b = ch(a + b) + ch(a b) sh a sh b = ch(a + b) ch(a b) sh a ch b = sh(a + b) + sh(a b) cos p + cos q = cos p + q cos p cos q = sin p + q sin p + sin q = sin p + q sin p sin q = sin p q Avec t = tan on a cos sin = t tan = t = t +t +t t cos p q sin p q cos p q cos p + q ch p + ch q = ch p + q ch p ch q = sh p + q sh p + sh q = sh p + q sh p sh q = sh p q Avec t = th on a ch = +t t sh = t t th = t +t ch p q sh p q ch p q ch p + q

10 LEÇONS DE CHOSES. FORMULAIRE : TRIGONOMÉTRIE CIRCULAIRE ET HYPERBOLIQUE 0 Dérivées : la multiplication par i n est plus valable cos = sin sin = cos tan = + tan = cos ch = sh sh = ch th = th = ch arccos = arcsin = arctan = + ( < ) ( < ) Argch = ( > ) Argsh = + Argth = ( < )

11 LEÇONS DE CHOSES 5. FORMULES DE DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS 5. Formules de développements limités Développements limités usuels (au voisinage de 0) e = +! +! + + n n! + o( n ) = k k! + o( n ) cos =! +! + n ( )n (n)! sin =! + 5 5! + n+ ( )n (n + )! tan = + ch = + sh = + th = o( 8 )! +! + + n (n)!! + 5 5! + + n+ (n + )! + o( n+ ) = o( 8 ) + o( n+ ) = ( ) k k (k)! + o( n+ ) = + o( n+ ) = k (k)! + o( n+ ) ( ) k k+ + o( n+ ) (k + )! + o( n+ ) k+ (k + )! + o( n+ ) ln ( + ) = ( + ) α = + α + + = + + ( )n n n α(α ) + +! α k + o( n ) k = + + ( ) n n + o( n ) = = n + o( n ) = + = ( ) n + = ( ) n arccos = arcsin = o( n ) = ( ) k+ k k= α(α ) (α n + ) n + o( n ) n! k ( ) k k + o( n ) k + o( n ) 5 (n ) n + o( n ) n n! 5 (n ) n + o( n ) n n! 5 (n ) 6 (n) (n ) 6 (n) arctan = n+ ( )n n + + o( n+ ) n+ n+ + o( n ) n + + o( n+ ) n + + o( n+ )

12 LEÇONS DE CHOSES 6. FORMULAIRE : PRIMITIVES 6. Formulaire : primitives C désigne une constante arbitraire. Les intervalles sont à préciser. e αt = eαt α + C (α ) t α = tα+ + C (α ) α + + t = Arctan t + C t = Arcsin t + C cos t = sin t + C sin t = cos t + C cos t = tan t + C sin t = cotan t + C cos t = ln t tan + + C sin t = ln tan t + C tan t = ln cos t + C cotan t = ln sin t + C = ln t + C t t = ln + t t + C t t + α = ln + t + α + C ch t = sh t + C sh t = ch t + C ch t = th t + C sh t = coth t + C ch t = Arctan et + C sh t = ln th t + C th t = ln (ch t) + C coth t = ln sh t + C