UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire Méthodes Statistiques

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1 UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Aée uiversitaire L2 Écoomie Cours de B. Desgraupes Méthodes Statistiques Séace 07: Tests de coformité II Table des matières 1 Tests sur la fréquece Le test de proportios Le test biomial Tests sur la variace 6 1 Tests sur la fréquece O utilise les tests de fréquece lorsqu o étudie ue variable statistique X qui présete deux modalités : 1/0, vrai/faux, pile/face, succès/échec, etc. O s itéresse à la proportio de réalisatio de l ue des modalités das u échatillo et o veut tester si elle est sigificativemet différete d ue proportio théorique détermiée par avace. Par exemple, das le cas d ue aissace, o peut se demader s il s agit d u garço ou d ue fille. Si o déombre k aissaces de filles parmi aissaces, o obtiet ue fréquece empirique égale à k. O coviet de coder la réalisatio d u évéemet par 1 et celle de so cotraire par 0 : { 1 si succès X = 0 si échec Le ombre S de succès parmi réalisatios de l évéemet est la somme des X i pour i = 1,..., : S = i=1 Si p 0 est la vraie probabilité de l évéemet, la variable X suit ue loi de Beroulli de paramètre p 0 et la variable S suit ue loi biomiale B(, p 0 ). O a la formule suivate pour calculer la probabilité que la somme vaille k : X i P (S = k) = C k p k 0 (1 p 0 ) k 1

2 O sait que E(S ) = p 0 et Var(S ) = p 0 (1 p 0 ) Das ce cas, la fréquece empirique est autre que la moyee empirique de la variable X : F = X = 1 S O obtiet doc so espérace et sa variace à partir de celles de S : E(F ) = 1 E(S ) = p 0 Var(F ) = 1 2 Var(S ) = p 0(1 p 0 ) p0 (1 p 0 ) D où l écart-type σ(s ) =. Cette fréquece empirique est u estimateur ˆp de la vraie fréquece p 0 de l évéemet : ˆp = S = k Le théorème cetral limite permet d affirmer que, si est suffisammet grad, la distributio de la variable cetrée réduite Z = ted vers celle de la loi ormale N (0, 1). 1.1 Le test de proportios ˆp p 0 p0 (1 p 0 ) O cosidère que l approximatio de la loi biomiale par la loi ormale est acceptable si les coditios suivates sot remplies : 30 p 0 5 (1 p 0 ) 5 O peut alors costruire le test de proportios pour grad échatillo e preat comme hypothèse ulle : H 0 : p = p 0 2

3 ˆp p 0 Sous l hypothèse H 0, la variable Z = suit asymptotiquemet ue p0 (1 p 0 ) loi ormale N (0, 1). Das le cas d u test bilatéral au seuil α, o détermie le quatile u α tel que O a déjà vu que u P ( Z > u) = α Si la valeur calculée Z est supérieure à u, o rejette l hypothèse de coformité : o coclut, das ce cas, e disat, avec u risque α de se tromper, que la fréquece observée das l échatillo est pas coforme à la fréquece théorique p 0. Sio, o e peut pas rejeter l hypothèse H 0. Remarque Il est importat de vérifier, avat d exécuter ce test, que les coditios d applicatio sot bie vérifiées : 30 p 0 5 (1 p 0 ) 5 Ue roulette de casio comporte 37 cases : la case 0 est de couleur verte et les autres, umérotées de 1 à 36, sot alterativemet rouges et oires. U joueur a remarqué que, sur 300 parties, le zéro était sorti 13 fois. Peut-il coclure, au seuil 5%, que la roulette est défectueuse? La probabilité théorique que la case verte sorte est, e supposat l équiprobabilité de toutes les cases, de p 0 = 1 37 = Cela costitue l hypothèse H 0. O choisit ici de formuler l hypothèse alterative sous la forme : H 1 : p p 0 Le vert devrait sortir e moyee 8 fois (300/37 8) mais il est sorti 13 fois. Les observatios du joueur coduiset à ue proportio empirique de ˆp = = L écart-type attedu, sous l hypothèse H 0, vaut p0 (1 p 0 ) ( ) = =

4 O calcule doc la statistique de test : ˆp p 0 Z = p0 (1 p 0 ) = = La valeur de la statistique Z = est iférieure à la valeur critique 1,96. O e peut doc pas rejeter l hypothèse H 0 : l apparitio excessive du vert peut être simplemet l effet du hasard. 1.2 Le test biomial Lorsque la taille des échatillos est très petite, o peut evisager de faire u test exact. Les tests exacts sot ceux pour lesquels o peut, sous l hypothèse H 0, calculer la probabilité exacte d obteir les valeurs qui ot été observées. O utilise pas de statistique ou de variable de décisio. O compare directemet la probabilité de rejeter l hypothèse au risque α. S il est très improbable, sous l hypothèse H 0, d obteir les doées observées alors o rejette l hypothèse ulle. Le test biomial est u test exact utilisé das le cas d ue variable aléatoire ayat deux modalités. O va voir so foctioemet sur u exemple. Pour u test bilatéral, l hypothèse ulle est que le ombre d observatios das ue classe est coforme à ue probabilité théorique coue d avace et l hypothèse alterative est que les valeurs observées diffèret des valeurs attedues. Pour u test uilatéral, l hypothèse ulle est que le ombre d observatios das ue classe est iférieur ou égal à la valeur attedue et l hypothèse alterative est qu il est strictemet supérieur. O joue à pile ou face 15 fois et o obtiet 3 faces. Peut-o dire, au seuil 5%, que la pièce est truquée? O appelle S la variable aléatoire représetat le ombre de faces. L hypothèse H 0 est que la pièce est équilibrée autremet dit que la proportio P F de faces est égale à la proportio P P de piles, doc à 1/2. L hypothèse H 1, au vu des résultats obteus, sera P F < P P. Doc { H 0 : P F = P P H 1 : P F < P P C est u test uilatéral. Sous l hypothèse H 0, o coaît la loi de probabilité exacte suivie par la 4

5 variable S : c est la loi biomiale B(15, 1/2) de paramètres = 15 (ombre d expérieces) et p 0 = 1/2 (probabilité de faces). Par défiitio, o a : P (S = k) = C k p k 0 (1 p 0 ) k O est doc capables de calculer la probabilité exacte qu il y ait au plus 3 faces : P (S 3) = P (S = 0) + P (S = 1) + P (S = 2) + P (S = 3) = = 0, , 76% Cette probabilité P (S 3) représete la p-valeur associée à otre échatillo. Comme elle est iférieure au seuil de 5%, o rejette l hypothèse H 0 et o cosidère doc que la pièce est défectueuse. Si le seuil avait été de 1%, o aurait pas pu rejeter l hypothèse H 0. Voici ue représetatio graphique des desités de masse de la loi biomiale B(15, 1/2) % La p-valeur déped de l échatillo. Voyos ce qui se passerait si, das ue autre expériece, le ombre de faces était de 4. 5

6 La p-valeur serait alors P (S 4) : P (S 4) = P (S 3) + P (S = 4) = 0, = , 93% O e pourrait pas rejeter l hypothèse H 0. Si o le faisait, o aurait u risque de se tromper qui serait au mois de 5,93% puisque l évéemet qui s est produit (à savoir S 4) a ue probabilité de 5,93% avec ue pièce correctemet équilibrée % Tests sur la variace Le test de variace permet de tester la valeur de la variace Var(X) d u caractère X das la populatio au vu de la variace empirique d u échatillo. O suppose que la variable est distribuée selo ue loi ormale. L hypothèse H 0 est que la variace au iveau de la populatio a ue certaie valeur σ 2 : H 0 : Var(X) = σ 2 E otat s 2 la variace empirique de l échatillo, o motre le résultat suivat : Sous l hypothèse H 0, la statistique Y = 1 σ 2 s 2 6

7 suit ue loi du χ 2 à 1 degrés de liberté. L itervalle d acceptatio se costruit avec les quatiles de la loi du χ 2. Par exemple, das le cas d u test bilatéral au seuil 5%, il faut trouver les bores a et b telles que : P (Y a) = α et P (Y b) = α 2 2 Avec u échatillo de taille = 10, o a 1 = 9 degrés de liberté et les tables de la loi du χ 2 doet les valeurs suivates pour les quatiles : a = 2.70 et b = Test de variace bilatéral a=2.7 95% χ 2 () b= Remarques 1. Noter qu ici l itervalle est pas symétrique autour de l espérace. 2. La variace utilisée das la statistique de ce test est la variace empirique modifiée (c est-à-dire l estimateur sas biais de σ 2 ). 3. Le mode de la loi χ 2 () vaut 2 (pour > 1). C est l abscisse du maximum sur le graphe précédet. 7

8 Approximatios de la loi du χ 2 Lorsque la taille de l échatillo est grade, les quatiles de la loi du χ 2 e sot pas toujours dispoibles das les tables (car les tables e peuvet pas doer toutes les valeurs pour tous les degrés de liberté). O peut éamois, lorsque est assez grad, remplacer la loi du χ 2 par des lois approchates. Ue loi du χ 2 à degrés de liberté a pour espérace et pour variace 2. Si U χ 2 (), alors le théorème cetral limite permet d affirmer que Z = U 2 ted e loi vers la loi ormale N (0, 1). O costruit doc l itervalle d acceptatio pour la variable Z avec la loi ormale plutôt que pour la variable U avec la loi du χ 2. Ue autre approximatio possible est fourie par le théorème suivat : Théorème 2.1 (de Fisher). Si U est ue variable aléatoire suivat ue loi du χ 2 à degrés de liberté alors 2 U 2 1 L N (0, 1) lorsque +. À partir de la statistique Y calculée das le test de variace, o calcule la quatité 2 Y 2 1 et o voit si elle est das la régio d acceptatio ou pas. O utilise ces approximatios que si est grad. L itérêt de l approximatio de Fisher par rapport au théorème cetral limite est qu elle procure ue covergece plus rapide. Ue société fabrique u câble e acier trempé galvaisé dot la charge de rupture est de 210 kg avec ue marge de 5 kg. U cotrôle de qualité effectué sur 10 bobies a coduit aux résultats suivats : Cet échatillo cofirme-t-il la marge aocée? O calcule la moyee et la variace modifiée de l échatillo : X = et Var(X) = s 2 = La statistique du test de variace vaut : Y = 1 σ 2 s 2 = = Cette valeur se trouve das la régio de rejet, à l extérieur de l itervalle [2.70 ; 19.02] trouvé précédemmet pour 9 degrés de liberté. O doit doc rejeter l hypothèse et cosidérer, au risque 5% de se tromper, que l échatillo étudié présete ue variace qui e correspod pas à la variace aocée. 8