Langages Formels, Calculabilité, Complexité: Travail de rédaction. Pavages et indécidabilité

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1 Langages Formels, Calculabilité, Comlexité: Travail de rédaction. Pavages et indécidabilité Matthieu SOLNON Vendredi 18 Janvier 2007 Table des matières 1 Introduction 1 2 Définition du roblème Aroche intuitive Définition formelle Démonstration de l indécidabilité du roblème de avage Résultat réliminaire L indécidabilité du roblème Exemle 5 Table des figures 1 Un exemle de quadrillage Tuile T Tuiles T 2 et T Tuiles T 4 et T Tuiles T 6 et T Exemle : machine de Turing Exemle de avage Introduction Nous nous osons le roblème du avage d un lan : étant donné certaines tuiles de base, et certaines règles d adjacence, eut-on aver un quart de lan entier avec ces tuiles et ces règles? On cherche à démontrer la décidabilité (ou l indécidabilité) de ce roblème. 1

2 2 Définition du roblème 2.1 Aroche intuitive On veut aver le quart de lan suérieur droit avec des tuiles carrées de même taille, et toutes lacées sur un quadrillage du lan, uniforme, et dont les cases sont aussi des carrés. On se donne un jeu fini de tuiles, dont on disose our chacune d un nombre infini de coies. On oblige une certaine tuile à être lacée à l origine, et seules certaines tuiles euvent être adjacentes horizontalement et verticalement. On ne eut bien sûr as retourner ou ivoter les tuiles. Existe t il un algorithme qui ermet de déterminer si, étant donné le jeu de tuile, les règles d adjacence et la tuile initiale, ermet de décider si on eut aver le lan ou non? Fig. 1 Un exemle de quadrillage 2.2 Définition formelle On formalise le roblème comme suit : un système de avage est un quadrulet : D = (D, d 0, H, V ) où D est un ensemble fini, d 0 D, et H, V D D. Un avage est une fonction f : N N D telle que : 2

3 f(0, 0) = d 0 (f(n, m), f(n + 1, m)) H (f(n, m), f(n, m + 1)) V n, m N n, m N 3 Démonstration de l indécidabilité du roblème de avage 3.1 Résultat réliminaire On désignera ar ε le mot vide. Lemme 1. Le langage L ε = {< M > M s arrête sur ε} est indécidable. Démonstration. Réduisons olynomialement (le olynomial sera imlicite dans la suite du texte lorsque l on arlera de réduction) le roblème de l arrêt L Halt = {< M, w > M s arrête sur w} à L ε. Nous savons déja que ce roblème est indécidable. Suosons qu il existe une machine de Turing qui décide L ε. Construisons alors une machine M qui décide L Halt. On sait que l on eut construire à artir du mot w et d une machine de Turing M une machine M w qui simule M sur w. Si le calcul sur M w sur ε s arrête, alors celui de M sur w aussi, et réciroquement. Ainsi L Halt serait décidable, c est absurde. 3.2 L indécidabilité du roblème Théorème 2. Le roblème de déterminer si, étant donné un système de avage, il existe un avage corresondant est indécidable. Démonstration. L idée est de réduire le roblème L ε à ce roblème. Ainsi, ce roblème devient clairement indécidable. Si M 0 décide de L ε, alors on rerésente une configuration du calcul de M 0 sur ε ar une ligne du avage (qui rerésentera la bande de M 0 avec quelques informations sulémentaires), la suite des configurations s ajoutant suivant l axe croissant des ordonnées du quadrillage. La k ieme configuration se retrouve sur la k ieme ligne. Ainsi, un avage infini équivaut à un calcul infini (et as d arrêt), alors qu une imossibilité de avage équivaut à un arrêt du calcul. On eut considérer les bords des tuiles comme étiquetés ar des mots, seules les tuiles ayant des bords avec la même étiquette ouvant être adjacentes. Les étiquettes des bords haut et bas ermettent de donner la osition de la tête de lecture, de la lettre écrite sur la case ainsi que l état dans lequel se trouve l automate dans la configuration. Les étiquettes latérales ermettent de forcer la remière ligne à rerésenter le bonne configuration initiale, ainsi que de simuler le mouvement de la tête de lecture. Soit M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, ) une machine de Turing, δ étant la fonction de transition, qui devrait décider L ε. 3

4 Détaillons maintenant les tuiles nécessaires à la résolution du roblème.. Pour chaque a Σ Γ {}, on a la tuile suivante, qui communique uniquement une lettre d une configuration à une autre, sur la même case de la bande, sans la changer : a a Σ Γ {} a Fig. 2 Tuile T 1 Pour chaque q Q et chaque a Σ Γ {}, tels que δ(q, a) = (, b, ) (écriture de b sur la bande, assage dans l état et délacement à droite de la tête de lecture), on utilise les tuiles suivantes : b (, c) (q, a) c Fig. 3 Tuiles T 2 et T 3 De même, si δ(q, a) = (, b, ), on a les tuiles suivantes b (, c) (q, a) c Fig. 4 Tuiles T 4 et T 5 4

5 On a effectué grâce à ces tuiles la simulation du calcul : roagation des lettres non modifiées, écriture d une lettre sur une bande, changement d état, délacement de la tête de lecture. Il ne reste lus qu à initialiser la simulation. Il faut, our cela, lacer une tuile à l origine, et lacer une tuile qui comblera le avage à droite des zones écrites (avec le symbole ). (q 0, ) Fig. 5 Tuiles T 6 et T 7 La remière ligne est donc forcée d être la rerésentation de configuration (s,)... On a donc bien construit la réduction, comme souhaité. 4 Exemle Construisons un exemle de la simulation du calcul d une machine de Turing sur ε (entrée vide) : On rend comme machine de Turing la machine : M = ({1, 2, 3}, (a, b), {}, δ, {1}, {}, ) δ(1, ) = (2, a, ) δ(2, ) = (3, b, ), a,, b, Fig. 6 Exemle : machine de Turing 5

6 Cette machine, lorsqu elle est lancée sur ε, écrit tout simlement ab et s arrête. Voici le avage (incomlet) associé : a b (3, ) a (2, ) 3 (1, ) 2 Fig. 7 Exemle de avage Références [1] Harry R. Lewis, Christos H. Paadimitriou : Elements of the Theory of Comutation, Prentice Hall International Editions,