Les filtres électriques

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1 PHYSIQUE Les filtres électriques Qu est ce qu un filtre électriques? Définition Un filtre est un quadripôle (deux pôles à l entré et deux pôles à la sortie) qui réalise une opération de traitement du signal. Il atténue certaines composantes d'un signal et en laisse passer d'autres. Le filtre ne modifie pas les fréquences contenu dans le signal d entrée (Ve); il agit principalement sur l amplitude( Vem ) I ) Les filtres passe bas Les filtres passe bas sont des circuits électroniques qui laissent passer les signaux de faible fréquence N ) Filtre passe bas passif ( RC ) Un filtre est dit passif s il est constitué par des composants électrique passifs ( transforme l énergie reçue en chaleur seulement ) comme une résistance R, un condensateur C, etc.. U R a- Montage i U e ( t ) : la tension d entré ( délivrée par un G.B.F ) i Soit ue (t ) = sin ( ωt + φ e ) U S ( t ) : La tension de sortie qui est égal dans ce cas à U C + Soit U s (t ) = U sm sin ( ωt + φ s ) U R : La tension aux bornes de la résistance R i : L intensité du courant qui circule dans le circuit

2 b- Etude théorique Equation différentielle En appliquant la loi des mailles au circuit on a : U S + U R - U e = 0 Sachant que U S = U c, U R = Ri et i = C. duc dt on peut déduire que l équation différentielle s écrit : RC. d US dt + U s = U e Expression de la tension de sortir maximale A l aide de la construction de Fresnel ci-contre ( cas où Ф e = 0 ) on montre que : U Sm = +( RC.πN) + Expression de la transmitance T ( fonction de transfert ) RC.π.N.U Sm La transmitance T d un filtre s écrit : T = U Sm = +( RC.πN) Expression du gain G en db Le gain d un filtre est G = 0log ( T ), on montre que le gain G peut s écrire : G = - 0 log ( + ( ΠRCN ) ) La fréquence de coupure N C dans ce cas : Si N > N C le filtre est bloqué et si N < N C le filtre est passant Comment déterminer la valeur de N C ére méthode : c est une méthode analytique ( par calcul ) Pour N = N c ona T = T 0 ( T 0 est la transmitance maximale dans ce cas = ) d où pour N = N C on a T = donc = +( RC.πNc) Ou pour on a G = G 0-3dB (G 0 est la gain maximale dans ce cas = 0) d où pour on a G = -3dB donc - 0.log ( + ( ΠRCN C ) )= -3dB dans les deux cas on trouve N C = ( Si on vous donne les valeurs de R et C, vous pouvez déduire N C ) π.rc Remarque cette fréquence est appelée aussi N h ( la plus haute fréquence dont le signale d entré ( Ve ) peut passer à travers ce filtre ) éme méthode : c est une méthode graphique On note qu on peut tracer les courbes de réponse d un filtre ( T = f (N ) et de G = f ( N ) sur un papier semi-log ( voir document à la dernière page ) A partir de la courbe de T = f ( N ) A partir de la courbe de G = f ( N ) G 0-3 T 0 /

3 ) Filtre passe bas actif ( RC ) Ce filtre est constitué essentiellement d un amplificateur opérationnel ( AOP ) a- Montage U R U e ( t ) : la tension d entré ( délivrée par un G.B.F ) + i Soit ue (t ) = sin ( ωt + φ e ) 3 U S U s ( t ) : La tension de sortie qui est égal dans ce cas à U C U R B U c D Soit U s (t ) = U sm sin ( ωt + φ s ) i : L intensité du courant délivrée par la générateur et A qui travers la résistance R i : L intensité du courant traversant la résistance i C : L intensité du courant traversant le condensateur C A, B et D sont des nœuds ε : tension différentielle de l AOP ( dans ce cas elle est nulle puisque l AOP es considéré idéal ) b- Etude théorique Equation différentielle D après la loi des nœuds ( nœud A) on a i = i + i C En appliquant la loi des mailles Maille : -U e + U R - ε = 0 or ε = 0 d où : -U e + U R = 0 et par suite on a i = U e R ( ) Maille : U s + U C + ε = 0 or ε = 0 d où : U s + U C = 0 et par suite on a i c = - C. du s ( ) Maille 3 : U R - U C = 0 donc U C = U R = 0 D après la loi des nœuds on a alors ( ) = ( ) + ( 3 ) On trouve finalement l équation différentielle : R C. d US dt Expression de la tension de sortir maximale A l aide de la construction de Fresnel ci-contre ( cas où Ф e = 0 ) on montre que : U Sm = R. U C dt = i or d après la maille U C = - U S d où i = - U S ( 3 ) + R.U S = -U e +( C.πN) + Expression de la transmitance T ( fonction de transfert ) R C.π.N.U Sm La transmitance T d un filtre s écrit : T = U Sm = R. +( C.πN) R. Expression du gain G en db Le gain d un filtre est G = 0log ( T ), donc G peut s écrire : G = Log( R ) - 0 log ( + ( Π CN ) ) La fréquence de coupure N C dans ce cas : Si N > N C le filtre est bloqué et si N < N C le filtre est passant Comment déterminer la valeur de N C ére méthode : c est une méthode analytique ( par calcul ) Pour N = N c ona T = T 0 ( T 0 est la transmitance maximale dans ce cas = R. ) d où pour N = N R C on a T =. R donc R. = R. +( C.πN) Ou pour on a G = G 0-3dB (G 0 est la gain maximale dans ce cas = 0.Log( R ) ) d où pour N = N R C on a G = 0.Log( R ) - 0 log ( + ( ΠR CN ) ) = Log ( R ) -3dB

4 dans les deux cas on trouve N C = ( Si on vous donne les valeurs de R et C, vous pouvez déduire N C ) π. C Remarque cette fréquence est appelée aussi N h ( la plus haute fréquence dont le signale d entré ( Ve ) peut passer à travers ce filtre ) éme méthode : c est une méthode graphique On note qu on peut tracer les courbes de réponse d un filtre ( T = f (N ) et de G = f ( N ) sur un papier semi-log ( voir document à la dernière page ) A partir de la courbe de T = f ( N ) G 0 > 0 A partir de la courbe de G = f ( N ) T 0 > G 0-3 T 0 /

5 II) Filtre passe haut passif ( CR ) Les filtres passe haut sont des circuits électroniques qui laissent passer les signaux de haute fréquence N U C a- Montage i U e ( t ) : la tension d entré ( délivrée par un G.B.F ) i Soit ue (t ) = sin ( ωt + φ e ) U S ( t ) : La tension de sortie qui est dans ce cas égal à U R + Soit U s (t ) = U sm sin ( ωt + φ s ) U C : La tension aux bornes du condensateur C i : L intensité du courant qui circule dans le circuit b- Etude théorique Equation différentielle En appliquant la loi des mailles au circuit on a : U S + U C - U e = 0 Sachant que U S = U R = Ri d où i = U S d autre part U R C =. idt =. U C RC Sdt on peut déduire l équation différentielle s écrit :. U RC Sdt + U s = U e Expression de la tension de sortir maximale A l aide de la construction de Fresnel ci-contre ( cas où Ф s = 0 ) on montre que : L amplitude de U S est U Sm = + +( RC.πN ) Ф s Ф e Expression de la transmitance T ( fonction de transfert ) (ω = πn ) La transmitance T d un filtre s écrit : T = U Sm = +( RC.πN ) Expression du gain G en db Le gain d un filtre est G = 0log ( T ), on montre que le gain G peut s écrire : G = - 0 log ( + ( La fréquence de coupure N C dans ce cas : Si N > N C le filtre est passant et si N < N C le filtre est bloqué Comment déterminer la valeur de N C ére méthode : c est une méthode analytique ( par calcul ) RC.πN ) ) Pour N = N c ona T = T 0 ( T 0 est la transmitance maximale dans ce cas = ) d où pour N = N C on a T = donc = +( ) RC.πN C Ou pour on a G = G 0-3dB (G 0 est la gain maximale dans ce cas = 0) d où pour on a G = -3dB donc - 0.log ( + ( RC.πNc ) )= -3dB dans les deux cas on trouve N C = ( Si on vous donne les valeurs de R et C, vous pouvez déduire N C ) π.rc Remarque cette fréquence est appelée aussi N b ( la plus haute fréquence dont le signale d entré ( Ve ) peut passer à travers ce filtre )

6 T 0 éme méthode : c est une méthode graphique On note qu on peut tracer les courbes de réponse d un filtre ( T = f (N ) et de G = f ( N ) sur un papier semi-log ( voir document à la dernière page ) A partir de la courbe de T = f ( N ) A partir de la courbe de G = f ( N ) G 0-3

7 II) Filtre passe bande sélectif passif ( Circuit RLC ) Les filtres passe bonde sont des circuits électroniques qui laissent passer les signaux dont la fréquence N appartient à un intervalle de fréquence bien déterminé a- Montage U B U C i U e ( t ) : la tension d entré ( délivrée par un G.B.F ) i Soit ue (t ) = sin ( ωt + φ e ) U S ( t ) : La tension de sortie qui est dans ce cas égal à U RO + Soit U s (t ) = U sm sin ( ωt + φ s ) U C : La tension aux bornes du condensateur C U B : La tension aux bornes de la bobine ( L,r) i : L intensité du courant qui circule dans le circuit b- Etude théorique Equation différentielle En appliquant la loi des mailles au circuit on a : U S + U C + U B - U e = 0 Sachant que U S = U R0 = R 0 i d où i = U S d autre part U R C =. idt =. U 0 C R 0 C Sdt U B = L d i L + ri =. d US r +. Us dt R 0 dt R 0 on peut déduire l équation différentielle s écrit : Expression de la tension de sortir maximale A l aide de la construction de Fresnel ci-contre ( cas où Ф e = 0 et N > N 0 U Sm = R 0 R 0 +r. ωl +( r+r0 ω (R0+r)C ) avec ω = πn Expression de la transmitance T ( fonction de transfert ) La transmitance T d un filtre s écrit : T = U Sm Expression du gain G en db Le gain d un filtre est G = 0log ( T ), le gain G peut s écrire : G = 0log ( R 0 R ) 0log ( + ( πnl R - πnrc ) ) La fréquence de coupure N C dans ce cas : Le filtre ni passant que si N ε [ N C, N C ] si non il est bloqué ( Avec : N C = Nb et N C = Nh ) Comment déterminer la valeur de N C ére méthode : c est une méthode analytique ( par calcul ) Pour N = N c ona T = T 0 ( T 0 est la transmitance max dans ce cas = R 0 R R 0 donc. = R0 R +( πn C L πn C RC ) ) d où pour on a T = R 0 Ou pour on a G = G 0-3dB (G 0 est la gain max dans ce cas =0log ( R 0 ) ) si on a G =0log ( R 0 ) -3dB R R donc 0log ( R 0 ) 0log ( + ( πn CL - ) ) = R πn C RC 0log (R 0 ) -3dB R dans les deux cas on trouve deux fréquence de coupure soient : N b = N 0.( - + Q Q : facteur de qualité : Q = R + 4Q ) et N h = N 0.( + + Q 4Q ) avec : N 0 : fréquence propre N = L C π LC

8 T 0 éme méthode : c est une méthode graphique On note qu on peut tracer les courbes de réponse d un filtre ( T = f (N ) et de G = f ( N ) sur un papier semi-log ( voir document à la dernière page ) A partir de la courbe de T = f ( N ) A partir de la courbe de G = f ( N ) 0 T 0 N N b N h N b N h N = N 0 Remarque La bonde passante du filtre est [ N b, N h ]Hz soit N h N b = N largeur de la bonde passante ( en Hz ) N 0 = N b+n h N = N 0 Q

9 Papier semi-log

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