11 Soit (u n ) définie sur N par u 0 = 1 et. u n+1 = f(u n ). On a construit ci-dessous la courbe représentative

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1 Activités metales u est la suite défiie pour tout etier aturel par u = + +. Calculer u 4. u est la suite défiie pour tout etier aturel o ul par u =. Calculer les trois premiers termes de la suite. u est la suite défiie pour tout etier aturel par u = ( 5) +. Calculer u. 4 u est la suite défiie pour tout etier aturel par = u + = u 4. Calculer u puis u. 5 u est la suite défiie pour tout etier aturel par = u + = +. Calculer u, u et u. u 6 u est la suite défiie pour tout etier aturel par = u + = (+)u. ) Calculer u puis u. ) Écrire u e foctio de u. 7 u est la suite défiie pour tout etier aturel o ul par u = Calculer les quatre premiers termes de cette suite. 8 u est la suite défiie pour tout etier aturel o ul par u = Calculer les quatre premiers termes de cette suite. ) ) ) 9 Calculer. k ( ) k k k+ (k+) ( ) k 0 Compléter. ) = k=... ) = k=... Soit (u ) défiie sur N par = et u + = f(u ). O a costruit ci-dessous la courbe représetative de f et les premiers termes de la suite(u ). + y = x + Lire graphiquemet ue valeur approchée de u 4. O a costruit ci-dessous la courbe représetative de f et les premiers termes de la suite(u ). Lire graphiquemet ue valeur approchée de u. + + y = x (u ) est ue suite arithmétique de raiso r = 4 et de premier terme = 6. Doer le terme u 6. 4 u est ue suite géométrique de raiso q = et de premier terme =. Doer le terme u. Mode de géératio d ue suite 5 MÉTHODE p. 09 Pour chacue des suites ci-dessous, calculer u, u et u. ) u défiie pour tout etier aturel o ul par : u = +. ) u défiie pour ( ) tout etier aturel par : u =. ) u défiie pour tout etier aturel par : u = k = Chapitre A5. Notio de suite 7

2 6 MÉTHODE p. 0 CALC ) Pour chacue des suites ci-dessous, calculer, u et u. a) u défiie pour tout etier aturel par : u = 5 b) u défiie pour tout etier aturel par : u = (+) ( ) c) u défiie pour tout etier aturel par : u = (i+ ) i=0 ) À l aide de la calculatrice, cotrôler les résultats des questios a) et b). 7 MÉTHODE p. MÉTHODE 4 p. Pour chacue des suites ci-dessous : ) Calculer u, u et u. ) Écrire u e foctio de u. ) À l aide de la calculatrice, cotrôler les résultats de la questio. u défiie pour tout etier aturel par : = u + = u +. u défiie pour tout etier aturel par : = u + = u. u défiie pour tout etier aturel par : = u + = u +. 8 Suite défiie par ue relatio de récurrece Pour chacue des suites ci-dessous : ) Calculer u, u et u. ) Écrire u e foctio de u pour les questios a) et b). a) u défiie pour tout etier aturel par : = u + = u 5. b) u défiie pour tout etier aturel par : = 7 u + = (+)u 4. c) u défiie pour tout etier aturel par : = u = u + = u u +. 9 CALC ) Pour chacue des suites ci-dessous, idiquer so mode de géératio et ses quatre premiers termes : a) u défiie sur N par u = v 0 = 5 b) v défiie sur N par v + = v c) w défiie sur N par w = ) À l aide de la calculatrice, cotrôler les résultats précédets. CALC ) Pour chacue des suites ci-dessous, idiquer so mode de géératio et ses quatre premiers termes : a) u défiie sur N par u = + et = ; u ( π ) b) v défiie sur N par v = si. ) À l aide de la calculatrice, cotrôler les résultats précédets. INFO O souhaite calculer à l aide d u tableur les premiers termes d ue suite v. ) E recopiat la formule écrite e C vers la droite, quelle valeur obtiet-o das la case D? ) Défiir la suite v. INFO Soit u la suite défiie pour tout etier aturel par : = u + = u + u. Que doit-o écrire das les cellules B et C pour qu e étirat vers la droite le coteu de la cellule B, o obtiee les premiers termes de la suite u? Même éocé que l exercice pour la suite w défiie pour tout etier aturel par : w 0 = 4 w + = 5w. 8 Chapitre A5. Notio de suite

3 4 Soit la suite (u ) défiie pour tout N par = u + = 0, 5u +. O doe la feuille de calcul ci-dessous. ) Quelle est la formule etrée das la cellule C et recopiée vers la droite? ) Quelle est la formule etrée das la cellule C et recopiée vers la droite? ) Cojecturer ue relatio de récurrece permettat de passer d u terme au suivat. ) Cojecturer la forme explicite de chacue de ces suites si le premier terme est. Les algorithmes suivats permettet de calculer et afficher les premiers termes des suites précédetes. Associer l algorithme correspodat à chacue des suites a) et b). ALGORITHME 5 O cosidère la suite(u ) défiie sur N par : u = +( ). ) Écrire u + e foctio de. ) Écrire u e foctio de. 6 O cosidère la suite(v ) défiie sur N par : v = ( ). ) Écrire v e foctio de. ) Écrire u + e foctio de. ( π ) 7 Soit w = cos. ) Calculer les 6 premiers termes de la suite. ) Soit u etier aturel. Exprimer w +6 e foctio de w. 8 Soit(u ) la suite défiie sur N par u = + 7. ) Exprimer u + e foctio de. ) Exprimer u + e foctio de u. 9 Soit (u ) la suite défiie sur N par v =. ) Exprimer v + e foctio de. ) Exprimer v + e foctio de v. ALGORITHME ALGO O cosidère ue suite (u ) dot u terme, d idice choisi par l utilisateur, est calculé à l aide de l algorithme ci-dessous. 0 Das chaque cas, exprimer u e foctio de u. ) (u ) est la suite défiie sur N par = et u + = u + 5 ) (u ) est la suite défiie sur N par u = et u + = (+) u ALGO O cosidère les deux suites de ombres suivats : a) 4 ; ; 0 ; ;... b) 4 ; ; ; 0,5 ;... ) Pour chacue des deux suites de ombres, quels semblet-être les deux termes suivats? ) La suite(u ) est-elle défiie par sa forme explicite ou par récurrece? ) Défiir la suite(u ). Chapitre A5. Notio de suite 9

4 ALGO O cosidère ue suite (u ) étudiée à l aide de l algorithme ci-dessous. 6 Représeter graphiquemet les ciq premiers termes des suites ci-dessous das u repère adapté. ) u défiie pour tout etier aturel par : u = 5. ) u défiie pour tout etier aturel par : u =. ) Commet est défiie cette suite? ) Que fait cet algorithme? ) Modifier cet algorithme pour qu il affiche que le terme dot l idice a été choisi par l utilisateur. 4 La spirale de Pythagore O cosidère OA A u triagle rectagle e A tel que OA = A A =. O costruit esuite ue suite de poits A, N tels que OA A + soit u triagle rectagle e A et que A A + =. Soit (u ) la suite défiie par u = OA pour tout N. A 4 A ) Calculer u et u. ) Défiir la suite (u ) par récurrece. ) Cojecturer la forme explicite de la suite(u ). A A O 7 Représeter graphiquemet les ciq premiers termes des suites ci-dessous das u repère adapté. ) u défiie pour tout etier aturel o ul par : ( ) u = 4. ) u défiie pour tout etier aturel o ul par : u = +. 8 MÉTHODE p. Costruire les trois premiers termes des suites cidessous défiies pour tout etier aturel par ue relatio de récurrece : = ) u + = (u ) das u repère orthogoal ( cm pour deux uités e abscisse et cm pour 0 uités e ordoées). = ) u + = u + 5 das u repère orthoormé d uité cm. 9 Sur le graphique ci-dessous, o a représeté les premiers termes d ue suite(u ). + Représetatio graphique + 5 MÉTHODE p. 09 Représeter graphiquemet les trois premiers termes des suites ci-dessous défiies par : ) u = pour tout N ) u = 5 pour tout N ) u = ( ) pour tout N ) Quel est le premier terme de la suite? ) Par quelle relatio de récurrece est défiie(u )? ) Lire graphiquemet la valeur de u. Vérifier par le calcul. 0 Chapitre A5. Notio de suite

5 40 Sur le graphique ci-dessous, o a représeté les premiers termes d ue suite(u ). y = x 44 MÉTHODE 7 p. 4 Das chacu des cas suivats, (u ) est ue suite arithmétique de raiso r. Écrire(u ) e foctio de. ) = r = ) = 0 r = ) u = r = 6 u 4 = 4 r = 5 0 u u u 45 Das chacu des cas suivats, (u ) est ue suite arithmétique de raiso r. Écrire (u ) e foctio de. ) Quel est le premier terme de la suite? ) Par quelle relatio de récurrece est défiie(u )? ) Lire graphiquemet la valeur de u. Vérifier par le calcul. Suites arithmétiques 4 MÉTHODE 5 p. Détermier si les suites (u ) ci-dessous sot arithmétiques. Si oui, doer le premier terme et la raiso. ) u = 4+ 7 ) u = + 5 ) u = + u = 8 4 Détermier si les suites(u ) ci-dessous sot arithmétiques. Si oui, doer le premier terme et la raiso. ) u = + ) u = MÉTHODE 6 p. ) u = u = + + Détermier si les suites (u ) ci-dessous, défiies pour tout N, sot arithmétiques. Si oui, doer la raiso. = ) u + = u = ) u + = +u = ) u + = u = 000 u + = +u ) = r = ) = 000 r = 50 ) u = r = u 4 = 0 r = 46 Soiet deux termes d ue suite arithmétique(u ). Écrire (u ) e foctio de et détermier u 4. ) u 5 = 4 = 49 ) u 6 = 7 = 5 ) = 90 0 = O coaît deux termes d ue suite arithmétique (v ) : v = 6 et v = 6. Détermier v ) Parmi les costructios ci-dessous lesquelles coceret des suites arithmétiques? ) Doer le premier terme et la formule de récurrece de chaque suite. a) C D B G u u Chapitre A5. Notio de suite

6 b) Suites géométriques 5 MÉTHODE 8 p. 5 c) u u Détermier si les suites (u ), défiies pour tout N ci-dessous, sot géométriques. Si oui, doer le premier terme et la raiso. ) u = 4 ) u = ) u = + u = Détermier si les suites u ci-dessous sot géomé- u triques. Si oui, doer le premier terme et la raiso. ) Pour tout N, u = ( ) ) Pour tout N, u = 4 ) Pour tout N, u = Pour tout N, u = 4 5 MÉTHODE 9 p. 5 d) u u Détermier si les suites (u ) ci-dessous sot géométriques. Si oui, doer la raiso. = ) u + = u 4 u = ) u + = +u = ) u + = u 49 Le but de l exercice est de calculer S = ) Motrer que S = + u +..+ u 7 où (u ) est ue suite arithmétique que l o défiira. ) E déduire que S = 8 +4 ( ). ) Termier le calcul de S. 50 Calculer les sommes suivates e utilisat la méthode proposée das l exercice 49. ) ) ) 8 i=0 i 8 (+k) k= 54 MÉTHODE 0 p. 6 Das chacu des cas suivats, (u ) est ue suite géométrique de raiso q. Écrire(u ) e foctio de. ) u est défiie sur N par = et sa raiso q = ) u est défiie sur N par = et sa raiso q = 0,0 ) u est défiie sur N par u = 000 et sa raiso q = 0 u est défiie pour tout etier aturel 4 par u 4 = 7 et sa raiso q = 9 55 Soiet deux termes d ue suite géométrique (u ) défiie sur N. Écrire(u ) e foctio de. Attetio, il peut y avoir plusieurs suites possibles. ) u = 4 u = 8 ) u 5 = u 7 = 7 ) = 8 u 8 = Chapitre A5. Notio de suite

7 56 Soiet deux termes d ue suite géométrique (u ) défiie sur N. Écrire(u ) e foctio de. Attetio, il peut y avoir plusieurs suites possibles. ) ) u 6 = 4 u 7 = 8 ) u 7 = 5 u 6 8 = 5 ) u = 75 u 5 = Soiet deux termes d ue suite géométrique (v ) tels que v 7 = 6 84 et v 9 = Détermier les valeurs possibles pour v. 58 Soiet deux termes d ue suite géométrique (v ) tels que v 4 = 5 et v 7 = 00. u 4 u u u Détermier ue valeur possible pour v Parmi les costructios ci-dessous, lesquelles coceret des suites géométriques? ) u u 60 Le but de l exercice est de calculer : ) u u u S = ) Motrer que S = + u +...+u 7 où (u ) est ue suite géométrique que l o ( défiira. ) E déduire que S = ( ) 7 ). ) Termier le calcul de S. 0u u u 6 Calculer les sommes suivates e utilisat la méthode de l exercicce 60 : ) + 0, 9+0, 8+0, 79+0, 656 ) ) 8 i= 7 k= i ( 0, k) Chapitre A5. Notio de suite

8 Approfodir 6 Sur u cercle quelcoque, o place poits disticts A, A,..., A et o s itéresse au ombre de segmets que l o peut tracer etre ces poits. A A 4 A O ommera u ce ombre de segmets possibles. ) Détermier u, u et u. ) Établir ue relatio de récurrece permettat de défiir la suite u. 6 D après BAC A INFO O cosidère la suite(u ) défiie pour tout etier aturel o ul par : = ) Calculer u, u et u. u = (+) u + ) Quelle cojecture peut-o émettre sur la forme explicite de cette suite? ) Pour cofirmer cette cojecture, o calcule à l aide d u tableur les premiers termes de cette suite. Quelle formule faut-il etrer e C et étirer vers la droite pour calculer des termes de la suite? Remarque : le résultat cojecturé pourra se démotrer e Termiale. 64 D après Bac ALGO La populatio de l Allemage (ombre de persoes résidat sur le territoire allemad) s élevait à habitats au premier javier 0. De plus, o sait qu e 0, le ombre de aissaces e Allemage e compesait pas le ombre de décès, et sas teir compte des flux migratoires, o estime le taux d évolutio de la populatio allemade à 0, %. O admet que cette évolutio reste costate les aées suivates. Les résultats serot arrodis à l uité. PARTIE A : À l aide d u algorithme O propose l algorithme ci-après.. Etrée. Saisir u ombre etier aturel o ul S. Iitialisatio 4. Affecter à U la valeur Affecter à N la valeur 0 6. Traitemet 7. Tat que U > S 8. Affecter à U la valeur 0,9978 U 9. Affecter à N la valeur N + 0. Fi tat que. Sortie. Afficher N O saisit e etrée le ombre ) Recopier et compléter le tableau suivat e arrodissat les valeurs à l uité. Étape Iitialisatio Étape Étape... Test U > S U N ) Quel ombre obtiet-o e sortie? ) Expliquer le rôle de cet algorithme. PARTIE B : Par le calcul O ote u l effectif de la populatio de l Allemage au premier javier 0+. ) Détermier et u. ) a) Détermier la ature de la suite (u ). b) E déduire l expressio de u e foctio de. ) E supposat que cette évolutio de 0, % se cofirme : a) calculer l effectif de la populatio de l Allemage au premier javier 05 ; b) à l aide de la table de la calculatrice, détermier e quelle aée la populatio de l Allemage passera au-dessous du seuil de habitats. 65 Des parets déposet 40 euros à la baque à la aissace de leur fils et ils décidet qu ils déposerot ue fois par a de l arget, e mettat chaque aée 0 euros de plus que l aée précédete. ) Quel sera le motat du dépôt la deuxième aée? la dixième aée? ) Quelle somme y aura-t-il au total pour les 8 as de leur fils? 4 Chapitre A5. Notio de suite

9 Approfodir 66 La populatio d ue ville augmete de % chaque aée. E 000, la ville comportait habitats. E 04, combie la ville comportait-elle d habitats? 67 O pred ciq jeux de 54 cartes pour faire u très haut château de cartes. Combie peut-o faire d étages au château? 68 Soit (u ) la suite défiie pour tout etier par u + = u + 5 et =. ) Calculer u, u et u. ) Motrer que (u ) est i arithmétique, i géométrique. ) O pose v = u + 5 pour tout etier aturel. Motrer que(v ) est ue suite géométrique. Doer sa raiso et so premier terme. Exprimer v e foctio de. 5) E déduire(u ) e foctio de. 69 Soit (u ) la suite défiie pour tout etier par u + = u + 8 et = 6. ) Calculer u, u et u. ) O pose v = u pour tout etier aturel. Motrer que(v ) est ue suite géométrique. Doer sa raiso et so premier terme. ) Exprimer v e foctio de. E déduire(u ) e foctio de. 70 Soit (u ) la suite défiie pour tout etier par = u + = u + +. O admet que, pour tout etier, u = 0. ) Calculer u, u et u. ) La suite (u ) est-elle arithmétique? est-elle géométrique? ) O pose v = u pour tout etier aturel. Motrer que(v ) est ue suite géométrique. Doer sa raiso et so premier terme. Exprimer v e foctio de. 5) E déduire(u ) e foctio de. 7 Détermier les réels a, b, c sachat que ce sot trois termes cosécutifs d ue suite arithmétique et que a+b+c = 54 abc = Soit (u ) la suite défiie pour tout etier par = u + = u. +u O admet que, pour tout etier, u = 0. ) Calculer u, u et u. ) O pose v = u pour tout etier aturel. ) Motrer que(v ) est ue suite arithmétique. Doer sa raiso et so premier terme. Exprimer v e foctio de. 5) E déduire l expressio du terme gééral de (u ) e foctio de. 7 Soit (u ) la suite défiie pour tout etier par = 5 u + = 0u. 0+u O admet que, pour tout etier, u > 0. ) Calculer u, u et u. ) O pose v = 5 u pour tout etier aturel. Motrer que(v ) est ue suite arithmétique. Doer sa raiso et so premier terme. ) Exprimer v e foctio de. E déduire l expressio du terme gééral de (u ) e foctio de. 74 Détermier les réels a, b, c sachat que ce sot trois termes cosécutifs d ue suite arithmétique et que a+b+c = 84 a + b + c = Détermier sept ombres pairs cosécutifs tels que la somme de ces ombres est égale à Les images ci-dessous idiquet le début de la costructio de zoes coloriées que l o peut prologer idéfiimet. Tous les rectagles ot la même largeur mais des logueurs différetes. Aisi, le premier rectagle est u carré de côté carreaux, le deuxième rectagle a pour dimesios carreaux par 4 carreaux,... u u u u 4 ) Est-ce que la suite(u ) des aires est arithmétique? ) Est-ce que la suite (v ) des périmètres est arithmétique? Chapitre A5. Notio de suite 5

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