Fonction exponentielle

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1 ANALYSE Fonction exponentielle 4 Connaissances nécessaires à ce chapitre Calculer avec les puissances Déterminer une ite de fonction Étudier la continuité et la dérivabilité d une fonction Auto-évaluation Calculer la dérivée d une fonction Étudier les variations d une fonction Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires Des ressources numériques pour préparer le chapitre sur Soit un réel a non nul et deux entiers n et p Écrire sous forme d une puissance de a ) 3) a 5) a n a p 7) a n ) p ) a n 4) a 6) a n 8) an a p ) Écrire sous la forme n 3 p où n Z et p Z a) b) ) 3 3 ) ) 6 ) Écrire sous la forme x y 3 où x R et y R a) b) On fait fructifier 5 000e au taux annuel de,5 % ) Quel est le capital au bout de 0 ans? n ans? ) À partir de combien d années sera-t-il doublé? 4 Soit f une fonction dérivable sur R telle que f3) = 4 et, pour tout x R, f x) = 0 Que peut-on dire de la fonction f? x 5 Déterminer n pour un entier n x a+h) 3 a 3 6 Soit a R Déterminer h 0 h En déduire une équation de la tangente à la courbe représentative de x x 3 au point d abscisse a 7 Soit a R + et la fonction définie sur R + par : a+h a f : h h ) Montrer que fh) = a+h+ a ) Calculer h 0 fh) pour : a > 0 a = 0 3) Conclure sur la dérivabilité de x x 8 Déterminer les tangentes horizontales à la courbe représentative de f : x x + ) x 3) 3 9 Soit f : x et g : x x+ 3 définies sur ] 4x ; [ représentées par C 4 f et C g dans un repère ) Étudier les variations de f et g ) Démontrer que C f et C g sont tangentes au point de coordonnées ) ; 0 Soit l équation x3 6 + x + x+ = 0 ) Démontrer qu elle a une unique solution dans R ) Déterminer l arrondi au millième de cette solution Voir solutions p 49 5

2 Activités d approche ACTIVITÉ Virus informatique INFO ALGO À l instant t = 0, un système informatique est attaqué par un virus qui occupe une mémoire de ko kilo-octet) Par la suite, à chaque instant, le virus se propage et sa mémoire croît On note ft) la mémoire en ko) occupée par le virus à l instant t en secondes) Partie A : Étude de cas discrets ) On suppose d abord que la mémoire du virus augmente de 00 % chaque seconde a) Justifier que chaque seconde, il y a duplication de la mémoire b) Quelle progression suit ft) seconde après seconde? c) Les unités Mo mégaoctet), Go gigaoctet) et To téraoctet) vérifient : Mo = 04 ko Go = 04 Mo To = 04 Go Au bout de combien de temps la mémoire occupée par le virus atteindra-t-elle To? ) On suppose maintenant que la mémoire du virus augmente de 0 % chaque 0, s On s aide d un tableur pour calculer les mémoires successives A B C D E F G H I J K L M t 0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9, ft) 3 ft+0,) 4 [ft+0,)-ft)]/0, a) Dans la cellule C, quelle formule doit-on écrire et recopier jusqu à la cellule M? b) Dans la cellule B3, quelle formule doit-on écrire et recopier jusqu à la cellule L3? c) Dans la cellule B4, quelle formule doit-on écrire et recopier jusqu à la cellule L4? Que représentent les nombres de la ligne 4 d après l étiquette écrite en cellule A4? d) Que remarque-t-on en comparant les lignes et 4? Expliquer pourquoi Partie B : Étude du cas continu On considère que la mémoire occupée par le virus augmente de h % toutes les h centièmes de seconde pour h = 0 mais proche de 0 autant qu on veut ) a) On pose t = h ft+ t) ft) Démontrer que = ft) 00 t b) En déduire que, pour tout t 0, f t) = ft) Il semblerait qu il existe une fonction f définie et dérivable sur [0 ; + [ telle que : f0) = et f = f ) On considère l algorithme ci-après a) Expliquer à quoi sert cet algorithme b) Programmer cet algorithme sur un ordinateur ou une calculatrice et le faire tourner avec les valeurs suivantes : h = 0 h = h = 0, h = 0, 0 c) Vérifier que les valeurs trouvées approchent de mieux en mieux un nombre que la calculatrice fournit ainsi : repérer e x au-dessus de la touche ln et faire 6 Chapitre A4 Fonction exponentielle

3 Activités d approche VARIABLES e, t, h SONT_DU_TYPE NOMBRE 3 DEBUT_ALGORITHME 4 LIRE h 5 t PREND_LA_VALEUR 0 6 e PREND_LA_VALEUR 7 TANT_QUE t<) FAIRE 8 e PREND_LA_VALEUR e*+h/00) 9 t PREND_LA_VALEUR t+h/00 0 AFFICHER e FIN_ALGORITHME Le nombre e est une constante mathématique appelée nombre d Euler ou constante de Néper d après Leonhard Euler et John Napier Euler a démontré que e est irrationnel on ne peut pas l écrire sous la forme d une fraction) et Charles Hermite a prouvé que e est transcendant comme π, il n est racine d aucun polynôme non nul à coefficients entiers) ACTIVITÉ Vers une nouvelle fonction INFO On admet qu il existe une fonction définie et dérivable sur R telle que f = f et f0) = Appliquons la méthode d Euler pour approcher la courbe représentative de f sur [0 ; ] Partie A : Une construction «géométrique» ) Traduire que f est dérivable en tout x 0 R avec la définition du nombre dérivé de f en x 0 et en déduire que f = f ) En déduire fx 0 + h) fx 0 )+ h) Ainsi, la fonction h fx 0 )+h) est une fonction affine qui approche f au voisinage de x 0 et on peut même démontrer que c est la meilleure approximation affine de la fonction f au voisinage de x 0 On va s en servir pour la suite Soit n un entier naturel non nul et x k le réel défini pour tout entier k tel que 0 k n par : x 0 = 0 et x k+ = x k + n On subdivise ainsi l intervalle[0 ; ] en n intervalles réguliers de longueur n 3) Combien y a-t-il de nombres x k et quel type de progression suivent-ils? En déduire une expression de x k en fonction de k et n 4) Dans cette question, on traite le cas particulier où n = 0On note y k = fx k ) a) En utilisant la meilleure approximation affine au voisinage de x k, montrer que : fx k+ ) = y k+, y k b) Quel type de progression suivent approximativement) les nombres y k? c) En déduire une expression de y k en fonction de k 5) Généralisons pour n quelconque Montrer que, pour tout k {0; ; ;n} : y k + n) k Chapitre A4 Fonction exponentielle 7

4 Activités d approche Partie B : Des courbes qui se rapprochent Dans cette partie, on utilise un logiciel de géométrie dynamique pour construire un nuage de n+ points afin que lorsque n grandit, on approche de mieux en mieux la courbe représentative de la fonction f qui nous intéresse ) Ouvrir une fenêtre dans le logiciel Créer un curseur { entier n variant de à ) Créer la liste XX des abscisses x k telle que XX = n, n, n,, n } n Créer de façon analogue la liste YY des ordonnées y k 3) À partir des listes XX et YY, créer le nuage de points de coordonnées x k ; y k ) 4) Augmenter la valeur du curseur n 5) On appelle «ajustement graphique» un traitement appliqué à un ensemble de points et destiné à obtenir, si cela est possible, l équation d une courbe qui passe au plus près de ces points Par exemple, si des points semblent alignés, un ajustement linéaire va donner l équation d une droite qui approche au mieux ces points Appliquer à l aide du logiciel un ajustement exponentiel au nuage de points On obtient une courbe d équation y = a e bx En variant la valeur du curseur n, que remarque-t-on? n = Nous avons posé le problème : existe-t-il une fonction f vérifiant f = f et f0) =? f = f est une équation différentielle L inconnue n est plus un nombre mais une fonction dont la dérivée apparaît aussi dans l équation f0) = est une condition initiale Nous avons conjecturé que ce problème ou cette équation différentielle admet une solution : la fonction exponentielle Son existence sera admise mais son unicité sera prouvée 8 Chapitre A4 Fonction exponentielle

5 Définition de la fonction exponentielle LEMME S il existe une fonction f dérivable sur R telle que f = f et f0) =, alors elle ne s annule pas sur R Supposons qu il existe une fonction f dérivable sur R telle que f = f et f0) = Soit la fonction h définie sur R par hx) = fx) f x) h est dérivable sur R comme produit de fonctions dérivables sur R Pour tout réel x, on a : h x) = f x) f x)+ fx) f x) ) = fx) f x) fx) f x) = 0 La fonction h est donc constante et égale à h0) = f0) f0) = Ainsi, pour tout x R, hx) = fx) f x) = ce qui montre que f ne s annule pas sur R THÉORÈME Il existe une unique fonction f dérivable sur R telle que f = f et f0) = On prouve ici seulement l unicité pour la preuve de l existence : Ex 9 p 40) Soit f une fonction dérivable sur R telle que f = f et f0) = Supposons alors qu il existe une autre fonction g telle que g = g et g0) = Comme g ne s annule pas d après le lemme précédent, on peut poser kx) = fx) gx) k est dérivable sur R comme quotient de fonctions dérivables sur R Pour tout réel x, on a : k x) = f x)gx) fx)g x) g x) Donc la fonction k est constante et égale à k0) = f0) g0) = = = fx)gx) fx)gx) g x) = 0 Ainsi, pour tout x R, kx) = fx) = fx) = gx) donc f = g d où l unicité gx) DÉFINITION La fonction exponentielle est la fonction notée exp définie sur R par exp = exp et exp0) = Propriétés de la fonction exponentielle THÉORÈME : Relation fonctionnelle Pour tous réels x et y : expx+y) = expx) expy) Soit la fonction f : x expx+y) définie sur R et y réel expx) f est dérivable sur R comme quotient de fonctions dérivables sur R On a f expx+y) expx) expx+y) expx) x) = expx)) = 0 donc f est constante Ainsi, fx) = expx+y) = f0) = expy) = expy) d où expx+y) = expx) expy) expx) exp0) Un lemme est un résultat préinaire ou intermédiaire qui intervient parfois dans la preuve d un théorème lorsqu elle est un peu longue Chapitre A4 Fonction exponentielle 9

6 Pour tous réels x et y et pour tout entier relatif n : exp x) = expx y) = expx) expx) expy) expnx) = expx)) n = exp0) = expx+ x)) = expx) exp x) donc exp x) = expx) expx y) = expx+ y)) = expx) exp y) = expx) expy) = expx) expy) Pour p N, on démontre par récurrence Voici l initialisation et l hérédité : exp0x) = exp0) = etexpx)) 0 = puisque expx) = 0 Supposons que pour un certain entier p donné, on ait exppx) = expx)) p Alors : expp+)x) = exppx+x) = exppx) expx) = expx)) p expx) = expx)) p+ Et si p N, alors expx)) p = exp x)) p = exp p x)) = exppx) Exemple exp) exp )) = exp)) exp) exp )+exp )) = exp ) exp )+exp )=exp) exp0)+exp )=exp) +exp ) 3 Étude de la fonction exponentielle A Signe et variations Sur R, la fonction exponentielle est : continue strictement positive strictement croissante Par définition, la fonction exponentielle est dérivable sur R donc elle est continue sur R x Pour tout x R, exp + x x x = exp exp d après la relation fonctionnelle ) ) ) x )) Ainsi, expx) = exp et comme expx) = 0, alors expx) > 0 Pour tout x R,expx)) =expx)>0 Donc, x expx) est strictement croissante sur R B Limites en± expx) = + expx) = 0 x La fonction f : x expx) x est dérivable sur [0 ; + [ et f x) = expx) Or, la fonction exponentielle est strictement croissante sur R donc : x 0 expx) Ainsi, f x) 0 donc f est croissante et minorée par f0) = exp0) 0 = 0 D où, fx) 0 expx) x 0 expx) +x Or, +x) = + donc, d après le théorème de comparaison, En posant X = x, on a expx) = exp X) = x X + X + expx) = + expx) = 0 0 Chapitre A4 Fonction exponentielle

7 C Tableau de variation et courbe représentative x + 5 exp REMARQUES : La droite d équation y = 0 l axe des abscisses) est asymptote à la courbe représentative en La droite d équation y = x+ est tangente à la courbe représentative au point d abscisse 0 4 y = expx) 3 y = x+ D Une nouvelle notation DÉFINITION L image de par la fonction exp est notée e Ainsi exp) = e REMARQUES : e est appelé nombre d Euler ou constante de Néper Comme π, c est un nombre irrationnel et transcendant Sa valeur approchée est : e, Pour tout n Z, on a expn) = exp n) = exp)) n = e n On étend cette relation aux réels et on peut alors écrire, pour tout réel x : expx) = e x On peut ainsi réécrire avec une nouvelle notation tout ce qu on a vu précédemment La fonction exponentielle est la fonction x e x définie sur R e 0 = et, pour tout x R, e x > 0 De plus, ex = + et x ex = 0 Les autres propriétés écrites ci-après sont analogues aux propriétés des puissances Pour tous réels x et y et pour tout entier relatif n : e x+y = e x e y e x = e x e x y = ex e y e nx = e x ) n Exemple Le calcul donné dans l exemple précédent p 0) s effectue bien plus simplement : exp) exp )) = e e ) = e e e +e ) = e e + e = e +e E Équations et inéquations Pour tous réels x et y : e x = e y x = y e x < e y x < y Ces propriétés sont des conséquences directes de la continuité et de la stricte croissance de x e x Ainsi, e x = e y e x e y = e x y = x y = 0 x = y REMARQUE : On a les équivalences analogues en remplaçant le symbole<par >, ou Chapitre A4 Fonction exponentielle

8 MÉTHODE Résoudre une équation ou une inéquation avec exponentielles Ex 3 p 5 Pour résoudre une équation d inconnue x réel comportant des exponentielles : ) On détermine l ensemble des valeurs qu on peut donner à x ) On essaye selon le cas de se ramener à : Une équation de la forme e ux) = e vx) où u et v sont deux fonctions Alors, e ux) = e vx) ux) = vx) et, éventuellement, ux) = vx) ux) vx) = 0 Une équation qu on sait résoudre après avoir effectué un changement de variable La méthode est analogue pour résoudre une inéquation Exercice d application Déterminer l ensembles des solutions des équations et inéquations ) e x +x 3 = ) e x e x = 0 3) e 3x 5 < e 4) ex+ e x 4 ex Correction Dans les cas, et 4, x peut prendre toute valeur réelle, donc on résout dans R ) e x +x 3 = e x +x 3 = e 0 x + x 3 = 0 x+ 3)x ) = 0 Donc, S = { 3 ; } ) e x e x = 0 e x ) e x = 0 X X = 0 en posant X = e x X X = 0 pour X = ou X = D où, ex = impossible) ou ex = x = 0 Finalement, l équation e x e x = 0 n a que 0 pour solution Donc, S = {0} 3) Il faut que x soit tel que 3x 5 0 x 5 [ 5 [ 3 donc on résout dans 3 ; + e 3x 5 < e 3x 5 < 0 3x 5 < 5 [ [ 5 3 x < Donc, S = 3 ; 4) ex+ e x 4 ex e x+ x+4 e x e x+5 e x x+ 5 x x x 6 0 Or, x x 6 = x+ )x 3) Ainsi, x x 6 0 si x 3 Donc, S = [ ; 3] F D autres ites e x x = + x x ex = 0 e x = x 0 x ) Soit la fonction f : x e x x sur [0 ; + [ On a f x) = e x x et f x) = e x Or, x 0 e x e 0 e x e x 0 donc f x) 0 Ainsi, f est croissante et minorée par f 0) = Donc, f x) 0 Ainsi, f est croissante et minorée par f0) = Donc, fx) 0 soit e x x 0 D où, pour x > 0, ex x x Or, x e = x + donc, par comparaison, x = + x ) Par inverse de la ite précédente, e x = 0 Donc, x x ex = x e x = x = 0 d après ce qui précède ex e x e 0 3) x 0 x 0 = e x est égale au nombre dérivée de x e x en 0 soit e 0 = x 0 x REMARQUE : On généralise pour tout n N : e x x n = + x xn e x = 0 Chapitre A4 Fonction exponentielle

9 MÉTHODE Déterminer une ite de fonction avec exponentielles Ex 9 p 5 Lorsque une ite de fonction comportant des exponentielles est a priori indéterminée formes «0 0»,, «+ )+ )» ou «0»), on essaye, selon le cas, de transformer l écriture ou de changer de variable Exercice d application Déterminer les ites suivantes : ) e x x e x) ) e x + x 0 x<0 e x + 3) e x + x 0 x>0 e x + Correction ) ex = + et x ex = + Ainsi, par différence, la ite est indéterminée Le terme e x étant prépondérant, on le met en facteur : e x x e x = e x x ) e x e x Or, = + Donc, par inverse, x x = 0 Ainsi, ex x ) e x = Finalement, par produit, ex x ) e x = + ) Posons X = Alors X = = Ainsi, e x + e x x 0 x 0 x x 0 x<0 x<0 x<0 e = X ) + X e x + X + e Or, X ex = X ) + 0 donc, par quotient, X e X = + 3) Posons X = Alors X = = + Ainsi, e x + e x x 0 x 0 x x 0 x>0 x>0 x>0 e = X ) + X + e x + X + Or, X + ex = + donc, par quotient, la ite est indéterminée Le terme e X étant prépondérant, on multiplie par e X numérateur et dénominateur : e X + e X + + e X = Or, +e X + e X) X + e X = 0 donc, par quotient, X + +e X = 4 Fonction composée e u admise) Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I La fonction e u, composée de u suivie de x e x, est dérivable sur I et on a e u ) = u e u Exemple Soit la fonction f : x e x définie sur R + La fonction racine carrée est dérivable sur ]0 ; + [ donc la fonction f, composée de racine carrée suivie d exponentielle, est dérivable sur ]0 ; + [ et on a f x) = x e x = e x x REMARQUE : e u varie comme u Par exemple, si u est strictement décroissante sur I, alors pour tous a et b dans I : a < b ua) > ub) Or, exponentielle est strictement croissante sur R donc ua) > ub) e ua) > e ub) Ainsi, e u est strictement décroissante sur I Exemple x x est strictement décroissante sur R donc x e x aussi Chapitre A4 Fonction exponentielle 3