Exercices sur la probabilité uniforme sur [a ; b]

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1 TS Exercices sur la probabilié uniforme sur [a ; b] 7 X es une variable aléaoire qui sui la loi uniforme sur l inervalle [0 ; ]. ) Déerminer E X. ) Inerpréer le résula du ) par une phrase. ) a) Quel es le rôle de l algorihme ci-dessous? n ire au hasard un réel dans l inervalle [ ; 7]. Quelle es la probabilié que ce réel soi soluion de l inéquaion x x 0? Dans un supermarché un jour de grande affluence, le emps d aene T à la caisse, en minues, sui la loi uniforme sur l inervalle [ ; 0]. ) Quelle es la probabilié pour que le emps d aene soi inférieur à un quar d heure? ) Quel es le emps d aene moyen à la caisse? Un éang de pêche es rès régulièremen empoissonné. Lorsqu un pêcheur me sa ligne à l eau, le emps d aene T en minue avan la première ouche sui la loi uniforme sur l inervalle [0 ; 5]. ) Quelle es la probabilié que ce emps d aene soi inférieur à 0 minues? ) Quelle es la probabilié pour que ce emps d aene soi supérieur à 0 secondes? ) Quel es le emps moyen d aene? 4 Soi a e b deux réels els que a b. La variable aléaoire X sui la loi uniforme sur a ; b. n sai que P X 0, e P Déerminer les réels a e b. X 4 0,4. 5 Soi BC un riangle recangle isocèle en el que B. n noe M un poin au hasard sur le segmen [B]. Calculer la probabilié pour que l aire du riangle MC soi inférieure ou égale à 0,5. 6 Un poin M es choisi au hasard sur un demi-cercle de cenre, de rayon e de diamère [B]. n noe la mesure en radians de l angle M. ) Exprimer l aire du riangle M en foncion de. ) Quelle es la probabilié pour que l aire de M soi inférieure ou égale à 0,5? Enrée : Saisir N Iniialisaion : S prend la valeur 0 Traiemen : Pour i allan de à N Faire x prend la valeur d un réel aléaoire dans 0 ; S prend la valeur S x FinPour T prend la valeur S N Sorie : fficher T Recopier ce algorihme dans un cadre bien cenré sur une même page. b) Peu-on prévoir approximaivemen le résula qui s affichera en sorie de l algorihme pour des valeurs de N de plus en plus grandes? c) Programmer ce algorihme sur calcularice, puis le faire foncionner pour différenes valeurs de N afin de vérifier le résula de la quesion b). n uilisera la commande de la calcularice permean d obenir un nombre au hasard dans l inervalle 0 ;. Pour les calcularice TI, appuyer sur la ouche mah puis aller dans PRB ou PRB e choisir : Nbrléa (ou : rand)..

2 8 lice e le Chapelier se son donné rendez-vous chez le Lapin pour prendre un hé enre 7 h e 8 h. Chacun d eux a promis d aendre l aure un quar d heure, pas plus, e en aucun cas après 8 h. n suppose que les heures d arrivée d lice e du Chapelier suiven des lois uniformes sur l inervalle [7 ; 8]. n veu rouver d abord une esimaion de la probabilié qu lice e le Chapelier se rerouven, puis sa valeur exace. ) n considère l algorihme suivan dans lequel les variables, C, D son des réels. Traiemen : prend la valeur d un réel aléaoire dans [0 ; ] C prend la valeur d un réel aléaoire dans [0 ; ] D prend la valeur C Sorie : Si D 4 4 lors afficher «le RDV a lieu» Sinon afficher «le RDV n a pas lieu» FinSi Vérifier que ce algorihme perme de simuler un rendez-vous (en abrégé : RDV). b) Modifier l algorihme en inroduisan une boucle pour effecuer d un seul coup un nombre N de simulaions e calculer la fréquence des RDV réussis. Réécrire complèemen l algorihme dans un cadre. c) Programmer ce algorihme sur calcularice. n uilisera la commande de la calcularice permean d obenir un nombre au hasard dans l inervalle 0 ;. a) Jusifier qu un RDV réussi correspond à un poin don les coordonnées de (x ; y) vérifien le sysème de condiions (S) : 7 x 8 ; 7 y 8 ; x 0, 5 y x 0,5. b) Représener l ensemble des poins du plan don les coordonnées son soluions de (S). (n pourra ramener [7 ; 8] à [0 ; ]). c) Déerminer son aire e en déduire la valeur exace de la probabilié que le RDV soi réussi. 9 Erreur d arrondi ) Soi x un nombre réel e soi y sa valeur arrondie à l unié (voir rappel de deux définiions donné à la fin des énoncés). n rappelle que l erreur d arrondi es alors e x y. Déerminer y e e pour chacune des valeurs suivanes de x : x 4, ; x,6 ; x 4,004 ; x,999 ; x 4,499 ; x,5. ) n noe X la variable aléaoire qui à ou réel iré au hasard associe son erreur d arrondi à l unié. n adme que X sui la loi uniforme sur l inervalle 0,5 ; 0,5 n admera que les résulas pour une variable aléaoire qui sui la loi uniforme sur un inervalle a ; b a b son les mêmes que ceux donnés dans le cours pour une variable aléaoire qui sui la loi uniforme sur l inervalle a ; b. Calculer les probabiliés suivanes : X 0 X 0 X 0, 5 ; 0,5 X 0, P X 0,0. P, P, P, P, ) Déerminer l espérance mahémaique E X. Donner une inerpréaion concrèe de 4 ) Déerminer la variance V X. E X e en déduire que la valeur de E X éai prévisible. Pour les calcularice TI, appuyer sur la ouche mah puis aller dans PRB ou PRB e choisir : Nbrléa (ou : rand).. d) Faire ourner le programme pour N 500, N 000, N 5000 e donner pour chacune de ces simulaions la valeur de la fréquence des RDV réussis. e) Esimer alors la probabilié pour qu lice e le Chapelier se renconren effecivemen. ) À l issue de l algorihme, on a fai représener les RDV réussis par un poin rouge de coordonnées (x ; y), où x es l heure d arrivée d lice, y celle du Chapelier. Les résulas obenus son donnés ci-dessous (graphique en nuage de poins). 0 n choisi un nombre au hasard dans l inervalle [ ; 5]. n donnera les résulas des probabiliés sous forme décimale. ) Quelle es la probabilié que le nombre choisi ai une parie enière égale à? ) Quelle es la probabilié que le nombre choisi ai un arrondi auomaique au dixième égal à,8? ) Quelle es la probabilié que,4 soi une valeur approchée à 0 près du nombre choisi (voir rappel de deux définiions donné à la fin des énoncés)? Les exercices à poren sur le hème de la «corde de Berrand» ; ils exploren «le racé au hasard d une corde sur un cercle». y jjjjjjjjjjjjjjjjjj C es dans son ouvrage Calcul des Probabiliés publié en 889, que Joseph Berrand (8-900) discue du problème suivan : «Une corde es racée au hasard sur un cercle. Quelle es la probabilié p qu elle soi plus longue que le côé du riangle équilaéral inscri dans le cercle?» n noe un cercle de cenre e de rayon R. La longueur du côé d un riangle équilaéral inscri dans le cercle es égale à R (démonsraion facile). Faire des figures assez grandes pour chacun de ces exercices. x

3 Une exrémié es fixée Une exrémié de la corde es fixée sur e l aure exrémié M es choisie «au hasard» sur (c es-à-dire selon la loi uniforme sur ). Consruire le riangle équilaéral BC inscri dans Démonrer que la probabilié p que la corde M ai une longueur supérieure ou égale au côé du riangle équilaéral inscri dans es égale à. Rappel : dans la loi uniforme sur un cercle, la probabilié d un arc de cercle es proporionnelle à la longueur de l arc. vec le milieu de la corde Soi I un poin inérieur à, disinc du cenre. ) Démonrer qu il exise une unique corde de admean I comme milieu. Noe : on peu donc convenir que ou proocole de choix «au hasard» du poin I dans le disque es un proocole de choix «au hasard» de l unique corde de milieu I : c es pari ) La corde es racée «au hasard» par le choix de son milieu I dans le disque selon la loi uniforme du disque aire de [pour laquelle la probabilié d une parie (convenable ) du disque es : ]. aire du disque n rappelle que p désigne la probabilié la probabilié que la longueur de la corde soi supérieure ou égale à la longueur du côé d un riangle équilaéral inscri dans. Démonrer que p. 4 ) Le milieu I de la corde es choisi au hasard de façon que la disance I suive la loi uniforme sur [0 ; R]. Démonrer que p. Remarque : dans les deux cas (quesions ) e )), la probabilié de choisir I es nulle, ce qui réfue d avance les doues sur la jusesse des calculs effecués, à la suie de la resricion imposée au poin I à la première quesion ( I ). Loi uniforme sur un carré Parie : préliminaires géomériques Le plan es oriené e muni d un repère orhonormé direc, u, v. Soi x e y deux réels de l inervalle [0 ; π] e M e N les poins de d affixes respecives i R e x i e R e y. Parie : les probabiliés n considère le proocole suivan : () Choisir au hasard dans 0 ; (donc selon la loi uniforme) deux réels x e y, indépendammen l un de l aure. () Tracer la corde de ayan pour exrémiés les poins M e N d affixes respecives Démonrer que, selon ce proocole, on a Paradoxe? p. i R e x i e R e y. Ce grand classique des probabiliés coninues fai carrière sous le nom de «paradoxe de Berrand», car en son emps il paru paradoxal : on ne comprenai pas, en effe, que des condiions expérimenales différenes, pour le choix «au hasard» de la corde dans les divers procédés décris, conduisaien à des probabiliés différenes pour un même événemen. Signalons ouefois que, si l on réfère le choix au hasard d une corde à celui d un choix au hasard de chacune de ses exrémiés (selon la loi uniforme sur le cercle), indépendammen l une de l aure, c es le proocole précéden (exercice ) qui es à reenir. 4 n considère deux variables aléaoires X e Y indépendanes qui suiven oues les deux la loi uniforme sur l inervalle [0 ; ]. n considère la variable aléaoire S définie par S X Y. X e Y prennen leurs valeurs dans [0 ; ], donc S X Y prend ses valeurs dans [0 ; ]. Le bu de l exercice es de déerminer la loi de probabilié de la variable S. Il s agi donc de déerminer P S s pour ou réel s de [0 ; ]. n se place dans le plan muni d un repère orhonormé (, I, J). n noe K le poin de coordonnées ( ; ). n appelle «carré unié» le carré IKJ. n le noe C. Sur les deux graphiques ci-dessous, on a représené l événemen S s dans le carré unié C en disinguan deux cas : 0 s e s (on observera que «S s» équivau à «Y s X»). Reproduire ces deux graphiques en hachuran dans chaque cas la parie du carré qui représene l événemen (S s). n prendra cenimère ou «gros» carreau pour unié de longueur. x y ) Démonrer que MN R sin. ) Déerminer l ensemble des soluions dans l inervalle ; de l inéquaion ) Représener sur un graphique assez grand l ensemble des couples ; 0 x ; 0 y ; Quelle es l aire de ce domaine? x y sin. sin. x y de réels els que :

4 er cas : 0 s e cas : s ) Loi du minimum s J K s J K n se propose de déerminer la loi de la variable aléaoire T qui indique le plus pei des deux nombres. n T min X ; Y. T prend ses valeurs dans [0 ; 0]. écri : n noe G la foncion de répariion de Z. n rappelle que G es définie pour ou réel 0 ;0, par G P T. a) Jusifier que l événemen «T» n es aure que l événemen «X» «Y». b) Calculer P T en foncion de puis c) n noe g la densié de probabilié de la loi de T. Déduire du b) l expression de g. G en foncion de. ) Reprendre les quesions géomériquemen. s I I s 6 Les méhodes de Mone-Carlo ) Pour la loi indiquée, la probabilié de l événemen S s a) Dans chacun des deux cas, exprimer en foncion de s l aire de la parie hachurée ; en déduire PS s foncion de s. b) n noe F la foncion de répariion de S. Définir clairemen F. correspond à l aire de cee parie hachurée. ) Déerminer la foncion de densié f de la variable aléaoire S. Tracer la représenaion graphique de f dans le plan muni d un repère orhonormé, i, j cenimère ou un «gros» carreau). (prendre un en n appelle méhode de Mone-Carlo oue méhode qui vise à calculer une valeur numérique en uilisan des procédés probabilises. n se propose de calculer une valeur approchée de l inégrale I f d, où f es une foncion coninue sur 0 [0 ; ], à valeurs dans [0 ; ]. y f x 5 Loi du maximum e loi du minimum n choisi au hasard deux nombres dans l inervalle [0 ; 0]. n modélise ce choix par le couple (X ; Y) où les variables aléaoires X e Y son indépendanes e suiven la loi uniforme sur [0 ; 0]. ) Loi du maximum j D n se propose de déerminer la loi de la variable aléaoire Z qui indique le plus grand des deux nombres. n Z max X ; Y. Z prend ses valeurs dans [0 ; 0]. n noe F la foncion de répariion de Z. n rappelle écri : que F es définie pour ou réel 0 ;0, par F P Z. a) Jusifier que l événemen «Z» n es aure que l événemen «X» «Y». b) Calculer alors F en foncion de. c) n noe f la densié de probabilié de la loi de Z. Déduire du b) l expression de f. i n appelle méhodes de Mone-Carlo un ensemble de méhodes uilisan le hasard pour calculer des aires e des volumes. Ces méhodes se classen en deux grandes caégories : la méhode du reje ; la méhode de l espérance. Ces méhodes on éé invenées dans les années 945 par le mahémaicien américain Ulam ( ). Elles on pris de l imporance en mahémaiques avec le développemen de l informaique dans la seconde moiié du XX e siècle. Elles iren leur nom de celui de la ville de Mone-Carlo, célèbre pour ses jeux d argen. Les méhodes de Mone-Carlo inerviennen aussi bien en finance qu en physique des paricules.

5 Pour les deux méhodes, on se place dans le plan muni d un repère orhogonal, i, j. Parie. Méhode die «du reje» Principe de la méhode du reje n adme que, lors d un irage au hasard d un poin du carré unié, la probabilié de irer un poin du domaine p aire D S. D siué sous la courbe de f es : n ire au hasard un grand nombre N de poins dans le carré unié. D après la loi des grands nombres, la fréquence probabilié p donc de l inégrale I. nombre de poins dans D f es une valeur approchée de la nombre oal de poins L algorihme suivan, qui s appuie sur cee méhode, perme le calcul d une valeur approchée de I. Dans ce algorihme, la variable f es une foncion, les variables N, k, d son des eniers naurels, les variables x, y, S son des réels. Enrées : Saisir une foncion f Saisir un enier naurel N Iniialisaion : d prend la valeur 0 Traiemen : Pour k allan de à N Faire x prend la valeur d un nombre aléaoire dans l inervalle y prend la valeur d un nombre aléaoire dans l inervalle Si FinSi FinPour S prend la valeur N d Sorie : fficher S y f x alors d prend la valeur d Recopier ce algorihme dans un cadre bien au cenre de la page sans rien écrire ni à droie ni à gauche. ) Le choix d un poin du carré unié es défini par les valeurs indépendanes de ses coordonnées X e Y. a) Quelle loi suiven les variables aléaoires X e Y? b) À quelles lignes correspond ce choix? ) Quelle variable de l algorihme conien la fréquence des poins siués dans le domaine D? ) Programmer l algorihme sur calcularice. 0 ; 0 ; n pourra concevoir un programme simple qui soi la reranscripion fidèle de l algorihme ou bien concevoir un programme un peu plus élaboré qui affiche les poins de coordonnées x ; y (x e y désignan les réels choisis au hasard dans 0 ; ) siués dans le domaine D. 4) a) Déerminer grâce au programme une valeur approchée de x dx pour N b) Calculer la valeur exace de e comparer cee valeur avec la valeur approchée obenue avec le programme. Remarque : n adme que la précision de l approximaion avec cee méhode es de l ordre de Parie. Méhode de l espérance Principe de la méhode de l espérance n choisi au hasard N valeurs de l abscisse X du poin M dans [0 ; ]. n calcule la somme S des N valeurs prises par la variable aléaoire f X. n adme que la moyenne des N valeurs de f X es une valeur approchée de l espérance de X valeur exace es donnée par I. N. f don la L algorihme suivan, qui s appuie sur cee méhode, perme le calcul d une valeur approchée de I. Dans ce algorihme, la variable f es une foncion, les variables N e k son des eniers naurels, les variables a, x, S son des réels. Enrées : Saisir une foncion f Saisir un enier naurel N Iniialisaion : a prend la valeur 0 Traiemen : Pour k allan de à N Faire x prend la valeur d un nombre aléaoire dans l inervalle [0 ; ] a prend la valeur a f x FinPour S prend la valeur N a Sorie : fficher S Recopier ce algorihme dans un cadre bien au cenre de la page sans rien écrire ni à droie ni à gauche.

6 ) Programmer ce algorihme sur calcularice. ) Déerminer une valeur approchée de l inégrale N 000. Comparer cee valeur avec la valeur exace de. en faisan ourner le programme pour 0 x dx ) De même, déerminer une valeur approchée de B x dx pour N Comparer cee valeur avec la valeur de B obenue à l aide de la commande de calcul d une inégrale de la calcularice (il n es pas possible de calculer «à la main» la valeur exace de B). 7 L espace es muni d un repère orhonormé (, I, J, K). n appelle «cube unié» le cube noé C consrui sur les poins, I( ; 0 ; 0), J(0 ; ; 0), K(0 ; 0 ; ). n choisi au hasard un poin du cube C. Ce choix es modélisé par le riple (X ; Y ; Z) de ses coordonnées, indépendanes enre elles e de même loi uniforme sur [0 ; ]. Un événemen es alors représené par une parie du cube unié e on adme que la loi de probabilié es volume de définie par P volume de. volume de C L objecif de ce exercice es de déerminer la loi de probabilié de la variable aléaoire S X Y Z. X, Y, Z prennen leurs valeurs dans [0 ; ], donc S prend ses valeurs dans [0 ; ]. er cas : 0 Le solide représenan l événemen «S» es un éraèdre rirecangle. z y x e cas : Le solide représenan l événemen «S» es un éraèdre rirecangle privé de rois «coins». Le bu de l exercice es de déerminer la loi de probabilié de la variable S. Il s agi donc de déerminer P S pour ou réel de [0 ; ]. z z y x y x ) L événemen «S» es représené dans le cube C par la parie en dessous du plan d équaion x y z. Dans chaque cas, reproduire le graphique e hachurer la secion du cube C par le plan d équaion x y z. n fera rois graphiques séparés e non un seul.

7 e cas : Le solide représenan l événemen «S» es le cube privé d un «coin». z Rappel de deux définiions Définiion de l approximaion décimale par arrondi auomaique : Soi x un réel e y un nombre décimal d ordre p. L approximaion décimale d ordre p, par arrondi auomaique, du réel x es égale à y si y x y 0,50 p ; à y 0 p si 0,5 0 p p y x y 0. Cas pariculier où p 0 (valeur arrondie à l unié) : Soi x un réel e y un enier. y L approximaion décimale à l unié, par arrondi auomaique, du réel x es égale à y si y x y 0,5 ; à y si y 0,5 x y. x ) Exprimer en foncion de le volume du solide représenan l événemen «S foncion de. ) Déerminer la foncion de densié f de la variable aléaoire S.» ; en déduire P S en Définiion d une valeur approchée : Soi x un réel e un réel sricemen posiif fixés. n di qu un réel a es une valeur approchée de x à près pour exprimer que x a.

8 n choisi au hasard un réel dans [ ; 7] Corrigé Calculons la probabilié que ce réel soi soluion de l inéquaion x Considérons le polynôme x x. Ses racines son (racine évidene) e. x 0. x x 0 x (on peu évenuellemen faire un ableau de signes mais ce n es pas nécessaire) Noons P la probabilié uniforme sur [ ; 7] (d après le cours, le choix d un nombre au hasard dans un inervalle [a ; b] es modélisé par la loi de probabilié uniforme sur l inervalle [a ; b]). P ; P ; Remarque : D après le cours, P ; c es la même chose que [ ; ] P. T : emps d aene du pêcheur, en minues, avan qu un poisson morde l hameçon T sui la loi U ([0 ; 5]). ) Calculons la probabilié que le emps d aene soi inférieur à 0 minues. P T 0 P 0 T P T PT 0 ) Calculons la probabilié que le emps d aene soi supérieur à 0 secondes. P T P T 5 5 P T 5 9 P T 0 ) Calculons le emps moyen d aene. Le emps moyen d aene es égal à l espérance mahémaique de T. T : emps d aene en minues T sui la loi U ([ ; 0]) E T Le emps moyen d aene es de 7,5 minues ou 7 minues 0 secondes. ) Calculons la probabilié que le emps d aene soi inférieur à un quar d heure. 5 PT [ ;5] 0 8 ) Calculons le emps moyen d aene. Le emps moyen d aene es égal à l espérance mahémaique de T. 0 ET Le emps moyen d aene es de min.

9 4 X sui la loi U([a ; b]) ( a b ) P X 0, () P X 4 0,4 () Déerminons les réels a e b. n uilise la foncion de répariion de X. n connaî l expression de cee foncion grâce à une propriéé au cours donnan la foncion de répariion d une variable aléaoire coninue qui sui une loi uniforme. P a a 0, b a X 0, (') P a 4 a 0, 4 b a X 4 0,4 () (') (') a 0,b a 0,8a 0,b 8a b 0 '' 4a b 5 D où a. n reprend alors l égalié ('). n a : 4 0, 4. b n obien 0,4 b 5 d où b 5 soi b 7. BC : riangle recangle isocèle en B M [B] au hasard Calculons la probabilié pour que l aire du riangle MC soi inférieure ou égale à 0,5. C M B (') 4 a 0,4b a 0,6a 0,4b 4 6a 4b 40 a b 0 '' En résolvan le sysème linéaire formé par '' e '', on rouve : a e b 7. n pose X M. M [B] donc 0 M. Refaire la figure [résoluion possible par subsiuion : b 5 4a reporé dans la deuxième équaion] Le choix du poin M au hasard sur le segmen [B] se radui par X sui la loi uniforme sur [0 ; ]. ure méhode de résoluion : En muliplian les deux membres de (') par, on obien : 6 a 0,4. b a ure façon de dire : M es choisi au hasard sur [B] d où X sui la loi uniforme sur [0 ; ]. vec ('), on peu alors écrire 4 a 6 a. b a b a Par conséquen, 4 a 6 a.

10 MC MC MC M C X X ) Exprimons l aire du riangle M en foncion de. M M sin M (formule de l aire d un riangle quelconque) M sin MC X 4 4 X P MC P 0 X 4 6 M es choisi au hasard sur un demi-cercle de cenre, de rayon e de diamère [B]. M rad M B ) Calculons la probabilié pour que l aire du riangle M soi inférieure ou égale à 4. M sin 4 4 sin 0 ou 5 (résoluion à l aide du cercle rigonomérique) 6 6 P 5 M P 0 ; ; (il s agi d une union disjoine) P P M 5 P 0 ; P ; M 4 0 (formule de la probabilié d un inervalle pour la loi uniforme sur [0 ; ]) 0 P P P M M M Refaire la figure ure méhode : [0 ; ] Pour la figure, prendre (B) horizonale, à gauche de B. Je devrais refaire la figure pour respecer cee consigne e prendre un angle aigu. 5 P M P 0 ; ; P M P ; P M... 4 n admera que le choix de M au hasard sur le demi-cercle peu se raduire par le fai que sui la loi uniforme sur [0 ; ].

11 Pour aller plus loin : n pourrai reprendre l exercice en remplaçan l aire du riangle M par l aire du seceur circulaire M. 7 X sui la loi uniforme sur l inervalle [0 ; ]. ) Déerminons E(X). 0 E X ) Inerpréons le résula du ) par une phrase. L espérance de la variable aléaoire X vau. n sai que l espérance d une variable aléaoire correspond à la moyenne. Si on ire un rès grand nombre de fois un nombre au hasard dans l inervalle [0 ; ], la moyenne des nombres es environ égale à (avec flucuaion d échanillonnage). ure explicaion possible : Si on choisi un rès grand nombre de réels au hasard dans l inervalle [0 ; ], la moyenne de ces réels es environ égale à. ) a) Quel es le rôle de l algorihme ci-dessous? Recopier ce algorihme. L algorihme perme de simuler N irages au hasard d un nombre compris enre 0 e. L algorihme perme de simuler N irages au hasard d un nombre de l inervalle 0 ;. L algorihme affiche en sorie la valeur de la variable T c es-à-dire la moyenne des nombres obenus (moyenne empirique). (ure façon de dire : «À la fin, il donne la moyenne des résulas»). b) Peu-on prévoir approximaivemen le résula qui s affichera en sorie de l algorihme? n peu prévoir que le résula sera proche de E X soi de. n peu prévoir que le résula se rapproche de E X soi de. c) Programmons ce algorihme sur la calcularice. : Promp N : 0 S : For (I,, N) : Nbrléa X : S + X S : End : S/N T : Disp T Enrée : Saisir N Iniialisaion : S prend la valeur 0 Traiemen : Pour i allan de à N Faire x prend une valeur aléaoire dans 0 ; S prend la valeur S x FinPour 8 lice e le Chapelier se son donné rendez-vous enre 7 h e 8 h. Ils aenden l aure un quar d heure maximum e pas après 8 h. Les heures d arrivée suiven la loi uniforme sur l inervalle [7 ; 8]. T prend la valeur S N Sorie : fficher T

12 ) Simulaion a) Vérifions que l algorihme suivan perme de simuler un RDV. Traiemen : prend la valeur d un réel aléaoire dans [0 ; ] C prend la valeur d un réel aléaoire dans [0 ; ] D prend la valeur C Sorie : Si D 4 4 lors afficher «le RDV a lieu» Sinon afficher «le RDV n a pas lieu» FinSi : heure d arrivée d lice C : heure d arrivée du Chapelier D : différence enre les heures d arrivée d lice e du Chapelier (dans un sens ou dans l aure, peu impore, la condiion es symérique par rappor à 0) La condiion D peu se raduire 4 4 D. 4 La renconre a lieu si e seulemen si cee condiion es réalisée. b) Modifions l algorihme en inroduisan une boucle pour effecuer d un seul coup un nombre N de simulaions e calculer la fréquence des RDV réussis. n demande en enrée la valeur de N e on inrodui une boucle «Pour». n a égalemen besoin d une variable de compage e d une variable qui calcule la fréquence. Enrée : Saisir N (nombre d essais) Iniialisaion : S prend la valeur 0 Traiemen : Pour i allan de à N Faire prend la valeur d un réel aléaoire dans [0 ; ] C prend la valeur d un réel aléaoire dans [0 ; ] D prend la valeur C Si D 4 4 FinSi FinPour T prend la valeur S N Sorie : fficher T lors S prend la valeur S c) Programme sur calcularice : Inpu "N ", N : 0 S : For(I,,N) : Nbrléa : Nbrléa C : C D : If / 4 D and D / 4 : Then : S S : End : End : (S/N) T : Disp T : Promp N : 0 S : For(I,,N) : Nbrléa : Nbrléa C : C D : If absd 0.5 : Then : S S : P-ff(,C) : End : End : (S/N) T : Disp T

13 Quand on programme l algorihme sur calcularice, on radui la condiion D en deux condiions (avec 4 4 un «e») ou avec une valeur absolue. Surou ne pas écrire la condiion en double inégalié. Le programme ne foncionnerai pas correcemen. Cee condiion se radui par y x 0, 5 que l on peu égalemen écrire x 0,5 y x + 0,5. b) Représenons l ensemble des poins du plan don les coordonnées son soluions de (S). (n pourra ramener [7 ; 8] à [0 ; ]). La commande P-ff ou P-n s obien dans «Dessin». Elle perme d afficher le poin de coordonnées ( ; C). d) Déerminons la fréquence des RDV réussis, pour N = 500, puis N = 000, puis N = Esimons alors la probabilié pour qu lice e le Chapelier se renconre effecivemen. Quesion à reformuler y x 0,5 y x 0, 5 Exemple de résulas obenus (chaque élève aura des résulas différens) : Il fau noer que plus N es grand plus c es long (la calcularice ourne environ pendan 5 minues pour N 5000 ) : N 500 f 0,468 N 000 f 0,45 N 5000 f 0,448 Ces résulas son proches de celui de la probabilié que l on va calculer dans la quesion suivane. n peu donc penser que la probabilié qu il y ai une renconre es environ égale à 0,44. n pourrai à l aide de ces résulas (par exemple celui avec 5000 lancers) un inervalle de confiance au niveau 95 % de la probabilié qu il y ai une renconre. ) Calcul de probabiliés x : heure d arrivée d lice y : heure d arrivée du Chapelier. Les résulas obenus son donnés ci-dessous. n évie d écrire les équaions y x 0, 5 e y x 0,5 de manière penchée. c) Déerminons l aire du domaine e déduisons-en la probabilié que le RDV soi réussi. n ravaille direcemen avec les aires (on n uilise pas les inégrales). R carré , 475 u. a. rianglebc Donc P "le rendez-vous es réussi" 0, 475. L événemen R : «le rendez-vous es réussi» a une probabilié de 0,475. Graphique en nuage de poins. a) Jusifions qu un RDV réussi correspond à un poin don les coordonnées de (x ; y) vérifien le sysème de condiions (S) : 7 x 8 ; 7 y 8 ; x 0,5 y x + 0,5. x : heure d arrivée d lice y : heure d arrivée du Chapelier Le rendez-vous es prévu enre 7h e 8h donc 7 x 8 e 7 y 8. De plus, on a la condiion «ils ne s aenden pas plus d un quar d heure».

14 9 Erreur d arrondi Rappels de définiion : pproximaion décimale par arrondi auomaique Soi x un réel e y un nombre décimal d ordre p. L approximaion décimale d ordre p, par arrondi auomaique, du réel x es égale à y si y x y 0,5 0 p Déerminons y e e pour chacune des valeurs suivanes de x : x 4, donc y 4 e 4, 4 0, x,6 donc y 4 e,6 4 0,4 x 4,004 donc y 4 e 4, ,004 x,999 donc y 4 e, ,00 à y 0 p si y 0,50 p x y 0 p x 4,499 donc y 4 e 4, ,499 n peu déerminer la valeur arrondie d un enier à l aide de la calcularice. mah, choisir NUM puis : rrondi Exemple : Si on ape arrondir(4.68,), cela donne la valeur arrondie au millième de n obien 4,64. Cas pariculier où p 0: ) x Soi x un réel e y un enier. L approximaion décimale à l unié, par arrondi auomaique, du réel x es égale à y si y x y 0,5 ; à y si y 0,5 x y. y : valeur arrondie de x à l unié e x y n donne beaucoup de nombres pour comprendre la noion. x,5 donc y 4 e,5 4 0,5 n remarque que ous les nombres on une valeur arrondie à l unié égale à 4. n peu donner les réponses dans un ableau : x 4,,6 4,004,999 4,499,5 y e 0, 0,4 0,004 0,00 0,499 0,5 ) X : variable aléaoire qui à ou réel iré au hasard associe l erreur d arrondi à l unié n adme que X sui la loi U([ 0,5 ; 0,5[). Calculons les probabiliés suivanes : P X 0 0 P X 0 P 0,5 X 0 0 0,5 0, 5 0,5 0,5 0,5

15 P X 0,5 ; 0,5 P X 0, 5 ; 0,5 P P P P 0, 5 0, 5 0,5 0, 5 X 0, P 0, X 0, X 0, 0, X 0,0 P 0, 0 X 0, 0 X 0,0 0,0 ) Déerminons l espérance mahémaique E(X). X sui la loi uniforme sur l inervalle [ 0,5 ; 0,5]. Donc d après la formule du cours donnan l espérance d une variable aléaoire qui sui une loi uniforme 0, 5 0,5 E X 0 Donnons une inerpréaion concrèe de E(X) e déduisons-en que la valeur de E(X) éai prévisible. Sur un rès grand nombre de irages de réels au hasard, la valeur moyenne de l erreur d arrondi à l unié es environ égale à 0. Si on choisi n réels au hasard, la moyenne des erreurs d arrondi à l unié (différence : réel arrondi auomaique à l unié) sera d auan plus proche de 0 que n es grand. n peu dire que la moyenne de e es 0. 0 n choisi un nombre au hasard dans l inervalle [ ; 5]. X : variable aléaoire qui sui la loi uniforme sur l inervalle [ ; 5] n donne des noms à chacun des événemens. ) Calculons la probabilié que le nombre choisi ai une parie enière égale à. E : «le nombre choisi a une parie enière égale à» 4 P E P( X 4) 0, La probabilié que le nombre choisi ai une parie enière égale à es égale à 0,5. ) Calculons la probabilié que le nombre choisi ai un arrondi auomaique au dixième égale à,8. F : «le nombre choisi a un arrondi auomaique au dixième égale à,8»,85,75 0, PF P, 75 X,85 0, La probabilié que le nombre choisi ai un arrondi auomaique au dixième égale à,8 es égale à 0,05. 4 ) Déerminons la variance V(X). Il serai inéressan de réaliser une simulaion à l aide de la calcularice. X sui la loi uniforme sur l inervalle [ 0,5 ; 0,5]. Donc d après la formule du cours donnan la variance d une variable aléaoire qui sui une loi uniforme V X V X 0,5 0,5 ) Calculons la probabilié que,4 soi une valeur approchée à G : «,4 soi une valeur approchée à 0 près du nombre choisi» 0 près du nombre choisi.,5, 0, P G P X, 4 0, P, 4 0, X, 4 0, P, X,5 0, La probabilié que,4 soi une valeur approchée à 0 près du nombre choisi es égale à 0,05.

16 Corde de Berrand ex. à Il semblerai qu il y ai peu de rues poran le nom de Joseph Berrand en France, a priori seulemen dans cinq villes : Viroflay, Perpignan, Bain-de-Breagne, La Verpillière, Le Plessis-Robinson. Corde de Berrand () Déerminons la probabilié p que la corde M soi plus longue que l un des côés d un riangle équilaéral inscri dans. n peu démonrer rès facilemen qu un riangle équilaéral inscri dans un cercle de rayon R a pour rayon R. L une des méhodes consise à uiliser la rigonomérie dans un riangle recangle. R R B 0 H C BC BH B cos 0 R R n pourrai aussi uiliser la formule du côé (l Kashi) dans le riangle BC en uilisan l angle BC qui mesure 0. n race le cercle puis on place un poin sur. n consrui ensuie les poins B e C sur de elle sore que BC soi équilaéral (problème de consrucion élémenaire : on repore 6 fois le rayon du cercle à parir du poin comme pour une rosace e on sélecionne un poin sur ).

17 C n en dédui que la probabilié cherchée es égale à. R R B Remarques concernan la figure : n peu placer où on veu sur le cercle. n peu coder les segmens [B], [BC], [C]. Les poins M de els que la corde [M] ai une longueur supérieure au côé du riangle équilaéral son siués sur l arc BC. La longueur de l arc BC es égale au iers du périmère de. Chaque arc de cercle B, BC, C a la même longueur (à savoir la longueur du cercle divisée par ). C M longueur de l'arc BC p périmère du cercle B longueur de l'arc BC périmère du cercle p

18 vec le milieu de la corde I : poin inérieur à, disinc de Synhèse : n a un poin I inérieur à disinc de. n race la droie passan par I, perpendiculaire à (I). Cee droie coupe le cercle en deux poins M e N. N B C C I ) Démonrons qu il exise une unique corde de admean I comme milieu. n peu raier cee quesion comme un problème de consrucion en raisonnan par analyse-synhèse. M C I M I nalyse : Soi M e N deux poins du cercle els que I soi le milieu de [MN]. Comme M e N appariennen à, on a : M N R. Donc apparien à la médiarice du segmen [MN]. Par suie, comme I es le milieu de [MN] e que I, la droie (I) es la médiarice du segmen [MN]. Par suie, on a : (I) (MN). N

19 n démonre aisémen que I es bien le milieu de [MN]. n a donc démonré l exisence e l unicié d une corde admean pour milieu I. C ) La corde es racée «au hasard» par le choix de son milieu I dans le disque selon la loi uniforme du disque aire de [pour laquelle la probabilié d une parie (convenable ) du disque es : ]. aire du disque R R n rappelle que p désigne la probabilié que la corde ai une longueur supérieure à la longueur du côé d un riangle équilaéral. Démonrons que p. 4 n va chercher la zone dans laquelle doi se siuer I pour que la longueur de la corde ayan pour milieu I ai une longueur sricemen supérieure à R. Il fau expliquer pourquoi la longueur du côé d un riangle équilaéral inscri dans un cercle de rayon R a pour longueur R. D après le héorème de Pyhagore dans le riangle IM, recangle en I, on a : IM MN R IM R 4IM R 4R I R R 4I R I 4 R I R I. aire du disque de cenre e de rayon R R R R aire du disque de cenre e de rayon R R aire du disque de cenre e de rayon 4 R aire du disque de cenre e de rayon p aire du disque de cenre e de rayon R p 4 ure méhode (sans calcul) : L aire du disque de cenre e de rayon R es égale au quar de l aire du disque de cenre e de rayon R. Donc la probabilié p cherchée es égale à 4. Pour que la corde ai une longueur sricemen supérieure à R, on doi choisir I dans le disque ouver de cenre e de rayon R.

20 ) Le milieu I de la corde es choisi au hasard de façon que la disance I suive la loi uniforme sur [0 ; R]. Démonrons que p. n a vu que pour que la corde ai une longueur sricemen supérieure ou égale à R, il fau e il suffi que R I. ) Déerminons l ensemble des soluions dans ; n uilise le cercle rigonomérique. de l inéquaion sin. + Remarque : dans les deux cas (quesions ) e )), la probabilié de choisir I es nulle, ce qui réfue d avance les doues sur la jusesse des calculs effecués, à la suie de la resricion imposée au poin I à la première quesion ( I ). Loi uniforme sur un carré B Parie : préliminaires géomériques Le plan (supposé oriené) es muni d un repère orhonormé direc d origine. Soi x e y deux réels de l inervalle [0 ; π] e M e N les poins de d affixes respecives i R e x e i R e y. ' x y ) Démonrons que MN R sin. MN z z M ix N MN R e R e iy B' ix MN R e e ix iy iy MN R e e (car R 0 ) Les images des soluions de l inéquaion arcs violes. sin sur le cercle rigonomérique son représenées par les MN R x y x y x y i i i e e e x y x y x y i i i MN R e e e x y MN R isin (car x y MN R sin (asuce de la mise en faceur de l argumen moiié) i e e i i e e sin d après la formule d Euler) L ensemble des réels soluions de l inéquaion S ; ;. sin dans l inervalle ; es ) Représenons sur un graphique l ensemble des couples (x ; y) de réels els que : x y 0 x ; 0 y ; sin. (0 x e 0 y ) x y x y

21 x y sin x y x y ou Parie : les probabiliés n considère le proocole suivan : y x ou y x () Choisir au hasard dans 0 ; (donc selon la loi uniforme) deux réels x e y, indépendammen l un de l aure. 4 y x ou y x 4 () Tracer la corde de ayan pour exrémiés les poins M e N d affixes respecives i R e x i e R e y. 4 4 x y x ou x y x M N 4 v u R 0 4 Démonrons que, selon ce proocole, p. En choisissan M e N d affixes respecives i R e x e i R e y x y, on a : MN R sin. domaine à hachurer ou colorier Calculons l aire du domaine. 4 x y MN R R sin R x y sin R E x ; y 0 ; / sin. n a représené graphiquemen dans la parie l ensemble x y n peu déerminer son aire immédiaemen par voie géomérique (sans passer par une inégrale). 4 E P MN R carré 4 Voir aricle Wikipedia sur la corde de Berrand.

22 4 X e Y : variables aléaoires indépendanes qui suiven la loi uniforme sur 0 ; S X Y ) L énoncé nous di que P S s n n a pas à chercher pourquoi il en es ainsi. es l aire du domaine hachuré sur les graphiques. n uilise les formules d aires des figures usuelles : carrés e riangles (nul besoin d avoir recours à des inégrales). er cas : 0 s J K s PS s e cas : s carré unié ère façon : P s s S (carré) s (riangle) e façon : P S s s Déerminons P S s. I ) À la quesion précédene, on a déerminé la foncion de répariion F de S. F s P S s J er cas : 0 s e cas : s s K J K s Fs si 0 s s Fs si s Pour obenir la densié de S, on dérive F. s er cas : 0 s f s s e cas : s f s s s I I s 0 x Sur chacun de ces graphiques on a représené l ensemble des poins M x ; y els que 0 y. x y s

23 Représenaion graphique de f (à faire) : b) Calculons F en foncion de. j i 0 ;0 F P Z 0 ;0 F P X Y 0 ;0 F P X P Y 0 ;0 F 0 ;0 F c) Calculons f en foncion de. Dans cee quesion, on cherche la foncion de répariion de Z. (car les variables X e Y son indépendanes) La foncion f es représenée par un «riangle» (on parle de «disribuion riangulaire»). 5 choix au hasard de deux nombres dans l inervalle 0 ;0 n modélise ce choix par le couple X ; Y où X e Y son deux variables aléaoires indépendanes qui suiven la loi uniforme sur 0 ;0. ) Loi du maximum Z max X ; Y Z indique le plus grand des deux nombres X e Y. Z es à valeurs dans 0 ;0. 0 ;0 F P Z a) Jusifions que l événemen «Z» n es aure que l événemen «X» «Y». Pour que le maximum de X e Y soi inférieur ou égal à, il fau e il suffi que X e Y soien inférieurs ou égaux à. Z X e Y Il s agi bien d une équivalence que l on peu démonrer dans les deux sens : Si Z, alors X e Y. Si X e Y, alors Z. Pour obenir la densié f de Z, on dérive la foncion de répariion F déerminée auparavan. 0 ;0 f F ' ) Loi du minimum T min X ; Y T indique le plus pei des deux nombres X e Y. T es à valeurs dans 0 ;0. 0 ;0 G P T a) Jusifions que l événemen «T» n es aure que l événemen «X» «Y». Pour que le minimum de X e Y soi sricemen supérieur à, il fau e il suffi que X e Y soien sricemen supérieurs à. T X e Y n peu écrire l égalié d ensembles : T X Y b) T X Y T P X P Y P P. P (car les variables X e Y son indépendanes) 0 0 PT (car les variables X e Y son indépendanes) n peu écrire l égalié d ensembles : Z X Y.

24 c) 0 ;0 G P T 0 ;0 G P T 0 0 ;0 G (inuile de développer) 00 d) Pour obenir la densié de T, on dérive la foncion de répariion G : 0 ;0 g G ' Les méhodes de Mone-Carlo Livre Symbole TS programme 0 page 45 La méhode d inégraion de Mone-Carlo, publiée en 949, dans un aricle de Nicolas Meropolis e Sanislas Ulam, doi son nom aux jeux de hasard praiqués à Mone-Carlo. Le développemen de ces méhodes a eu un rôle sraégique majeur lors des recherches sur la bombe aomique dans le laboraoire naional de Los lamos (Éas-unis). Livre Symbole TS page 7 Conrairemen aux méhodes, la précision de la méhode de Mone-Carlo dépendan du généraeur de nombres aléaoires uilisé. Parie. Méhode die «du reje» La méhode du reje peu facilemen êre illusrée par des boules que l on envoie dans un lac. En prenan la foncion f : x x don la courbe es un quar de cercle, on peu déerminer des valeurs approchées de. La convergence es cependan rès lene (cf. simulaion sur le sie de Thérèse Eveilleau). ussi cee méhode n es-elle pas employée pour déerminer des valeurs approchées de. Les variables son f, N, x, y, k, d, S. Enrées : Saisir la foncion f Saisir un enier naurel N Iniialisaion : d prend la valeur 0 Traiemen : Pour k allan de à N Faire x prend la valeur d un nombre aléaoire dans l inervalle y prend la valeur d un nombre aléaoire dans l inervalle Si FinSi FinPour S prend la valeur N d y f x alors d prend la valeur d 0 ; 0 ; Sorie : fficher S

25 Recopier ce algorihme. ) a) Quelle loi suiven les variables aléaoires X e Y? X e Y suiven la loi uniforme sur 0 ;. b) À quelles lignes correspond ce choix? Il s agi des lignes comporan les insrucions : «x prend la valeur d un nombre aléaoire dans l inervalle 0 ;» e «y prend la valeur d un nombre aléaoire dans l inervalle 0 ;» ) Quelle variable de l algorihme conien la fréquence des poins siués dans le domaine D? n peu répondre de deux manières. La variable de l algorihme qui conien la fréquence des poins siués dans le domaine D es la variable S. La valeur de la variable S donne la fréquence des poins siués dans D. ) Programme sur calcularice Précisions concernan les deux programmes : n noera que, pour renrer une foncion dans une calcularice TI, on doi aper l insrucion : Inpu " Y = ", Y. Pour aper Y dans le programme, appuyer sur la ouche var puis faire les choix suivan : Y-VRS, funcion, Y. Pour l exécuion du programme, on ape Y = ". " (mere les guillemes). Précisions concernan le programme plus élaboré : La commande EffDessin se rouve dans nde prgm (dessin) ( ère enrée). Lorsque l on fai ourner ce programme, on voi d abord les poins qui s affichen à l écran avan que ne s affiche la valeur de S. 4 ) a) Déerminons grâce au programme une valeur approchée de x dx pour N n renre la foncion f : x x en Y. En faisan ourner le programme pour N 000, on obien en sorie 0,674 (chaque élève obiendra une valeur différene éan donné que le hasard inervien dans le programme). Donc 0,674. : Inpu «N», N : Inpu «Y», Y : 0 D : For K,,N : Nbrléa X : Nbrléa Y : If Y Y Programme simple (ou Y Y X : Then D D : End : End : D/N S : Disp S plus logique) Programme plus élaboré : Inpu «N», N : Inpu «Y», Y : EffDessin : 0 D : For K,,N : Nbrléa X : Nbrléa Y : If Y Y : Then D D P-ff X,Y : : End : End : D/N S : Disp S b) Calculons la valeur exace de. x 0 Comparons avec la valeur approchée déerminée avec le programme. n consae que la valeur approchée de obenue par le programme a seulemen la première décimale juse. Remarque : n adme que la précision de l approximaion es de l ordre de Pour N 0 000, ça peu êre rop long. En faisan ourner le programme pour N 0 000, on obien en sorie 0,6849 (chaque élève obiendra une valeur différene éan donné que le hasard inervien dans le programme). Donc 0, N.

26 Parie. Méhode de l espérance Enrées : Saisir une foncion f Saisir un enier naurel N Iniialisaion : a prend la valeur 0 Traiemen : Pour k allan de à N Faire x prend la valeur d un nombre aléaoire dans l inervalle [0 ; ] a prend la valeur a f x FinPour S prend la valeur N a En faisan ourner le programme pour N 0 000, on obien en sorie 0,66476 (chaque élève obiendra une valeur différene éan donné que le hasard inervien dans le programme). Donc 0, ) Déerminons une valeur approchée de B x dx à l aide du programme pour N En faisan ourner le programme pour N 0 000, on obien en sorie 0,84067 (chaque élève obiendra une valeur différene éan donné que le hasard inervien dans le programme). Donc B 0, Il n es pas possible de calculer B «à la main». Néanmoins, avec la calcularice, on obien : B 0, Sorie : fficher S Recopier ce algorihme. ) Programme sur calcularice : Inpu «N», N : Inpu «Y», Y : 0 : For K,,N : Nbrléa X : Y : End : /N S : Disp S ) Déerminons une valeur approchée de l inégrale N 000. à l aide du programme pour 0 x dx En faisan ourner le programme pour N 000, on obien en sorie 0,67 (chaque élève obiendra une valeur différene éan donné que le hasard inervien dans le programme). Donc 0,67. La valeur approchée de es assez proche de celle obenue par la méhode du reje dans la parie.

27 7 ) z Exprimons en foncion de le volume du solide représenan l événemen «S». er cas : 0 cube unié V 6 x y e cas : < V 6 V 6 n choisi au hasard un poin du cube unié C. Ce choix es modélisé par le riple X ; Y ; Z de variables aléaoires deux à deux indépendanes suivan la loi uniforme sur 0 ;. n pose S X Y Z. n veu déerminer la loi de probabilié de S. S es à valeurs dans 0 ;. n cherche donc P S en foncion de. ) L événemen «S» es représené dans le cube C par la parie en dessous du plan d équaion x y z. Il es imporan de noer que le plan d équaion x y z es orhogonal à la grande diagonale du cube paran de e allan au somme opposé qui vien vers nous (il a pour veceur normal le veceur de coordonnées ( ; ; )). Il es demandé de refaire les graphiques (e non de les coller). e cas : V V 6 X Y Z n cherche l inersecion X. Y Z Coordonnées ; ; Disance Si 0, alors le plan d équaion X Y Z coupe les faces du cube. Si 0, alors le plan d équaion X Y Z ne coupe pas les faces du cube. Si, alors le plan d équaion X Y Z ne coupe pas les faces du cube. Si X, Y, Z suiven la loi uniforme sur l inervalle [0 ; ], il n y a pas de propriéé dans le cours pour la somme.

28 n passe par les volumes. Vincen Jacob m a écri que «la loi uniforme es avec le poin». Déduisons-en P S en foncion de. er cas : 0 PS 6 e cas : P S e cas : P S 6 6 ) Déerminons la foncion de densié f de la variable aléaoire S. Pour obenir la densié, on dérive F sur chaque inervalle. er cas : 0 f F' 6 e cas : f F' (on pourrai évenuellemen développer e arranger) e cas : f F' 6 Grâce aux résulas précédens, on a obenu la foncion de répariion F de la variable S. er cas : 0 F 6 e cas : F 6 e cas : < F 6

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