Racines. Arithmétique

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1 Exercices - Polynômes : énoncé Racines Exercice L1/Math Sup - Déterminer tous les polynômes P R[X] vérifiant P (0) = 0 et P (X 2 + 1) = ( P (X) ) Arithmétique Exercice 2 - Reste de la division euclidienne - L1/Math Sup - Quel est le reste de la division euclidienne de (X + 1) n X n 1 par X 2 + X + 1? Exercice 3 - Polynômes à valeurs rationnelles - L2/Math Spé/Oral Mines - Soit P C[X] tel que, pour tout q Q, on a P (q) Q Montrer que P Q[X] Exercice 4 - Equation de congruence - Math Spé/L2/L3 - Déterminer les polynômes P R 3 [X] tels que (X 1) 2 divise P (X) + 1 et (X + 1) 2 divise P (X) 1 Exercice 5 - Tout polynôme positif est somme de deux carrés - L1/Math Sup/Oral Centrale - Soit A un anneau commutatif On note S 2 (A) = {x A; x 1, x 2 A; x = x x 2 2} 1 Montrer que S 2 (A) est stable par produit 2 Soit P R[X] tel que P (x) 0 pour tout x R Montrer qu il existe A, B R[X] tels que P = A 2 + B 2 Exercice 6 - Pgcd de deux polynômes - Math Sup/Math Spé/L2 - Soit n, m 1 Déterminer le pgcd de X n 1 et X m 1 Exercice Math Sup/Oral Centrale - Déterminer les polynômes P de degré supérieur ou égal à 1 et tels que P P Exercice 8 - Résultant - Math Spé - Soient P et Q des polynômes de C[X] non constants a Montrer que P et Q ont un facteur commun si, et seulement si, il existe A, B C[X], A 0, B 0, tels que AP = BQ et deg(a) < deg(q), deg(b) < deg(p ) b En déduire une caractérisation de la primalité de P et Q par la non-nullité d un déterminant Applications Exercice 9 - Déterminant de Vandermonde - Math Sup - Calculer le déterminant suivant : α 1 α 2 α n V (α 1,, α n ) = α 1 2 α2 2 αn 2 α1 n 1 α2 n 1 αn n 1 1

2 Exercices - Polynômes : énoncé Familles de polynômes Exercice 10 - Polynômes de Legendre - Math Sup - On appelle polynômes de Legendre les polynômes P n = ( (X 2 1) n) (n) Calculer le degré de P n et son coefficient dominant Montrer que P n s annule exactement en n point deux à deux distincts de ] 1, 1[ Si vous trouvez une erreur, une faute de frappe, etc dans ces exercices, merci de la signaler à Venez poursuivre le dialogue sur notre forum : 2

3 Exercices - Polynômes : indications Racines Exercice L1/Math Sup - Calculer P (0), P (1), P (2), P (5), Arithmétique Exercice 2 - Reste de la division euclidienne - L1/Math Sup - Écrire a priori la division euclidienne, et tester la relation pour les racines du polynôme X 2 + X + 1 Exercice 3 - Polynômes à valeurs rationnelles - L2/Math Spé/Oral Mines - Choisir n + 1 valeurs pour q, et écrire les coefficients comme solutions d un système de n + 1 équations Inverser ce système (ah, Vandermonde) Exercice 4 - Equation de congruence - Math Spé/L2/L3 - Si on n avait pas des polynômes mais des entiers (remplacer P par un entier n, (X 1) 2 et (X + 1) 2 par des entiers a et b, on aurait un exercice classique de congruence simultanée C est pareil ici, mais avec des polynômes Exercice 5 Centrale Tout polynôme positif est somme de deux carrés - L1/Math Sup/Oral 2 Décomposer P en produit de facteurs irréductibles, et appliquer la question précédente On pourra, pour les polynômes de degré 2 intervenant dans la factorisation, utiliser la forme canonique Exercice 6 - Pgcd de deux polynômes - Math Sup/Math Spé/L2 - Effectuer la division euclidienne de X n 1 par X m 1 On pourra écrire n = mq + r Exercice Math Sup/Oral Centrale - Remarquer que P s écrit λ(x α)p, puis appliquer la formule de Taylor en α Exercice 8 - Résultant - Math Spé - a Utiliser le théorème de Gauss b Interpréter la condition précédente en terme de famille de vecteurs liée Applications Exercice 9 - Déterminant de Vandermonde - Math Sup - Procéder par récurrence sur n Lors du passage de n 1 à n, calculer V (α 1,, α n 1, x) qui est un polynôme Chercher son degré et ses racines pour le factoriser Familles de polynômes 1

4 Exercices - Polynômes : indications Exercice 10 - Polynômes de Legendre - Math Sup - Faire une récurrence sur le nombre de fois où on dérivé, et appliqer le théorème de Rolle Si vous trouvez une erreur, une faute de frappe, etc dans ces exercices, merci de la signaler à Venez poursuivre le dialogue sur notre forum : 2

5 Racines Exercice L1/Math Sup - Pour tout x R, on a P (x 2 +1) = ( P (x) ) 2 +1 Pour x = 0, on trouve P (1) = 1 Pour x = 1, on trouve P (2) = 2 Pour x = 2, on trouve P (5) = 5 Pour x = 5, on trouve P ( ) = Ceci nous incite à considérer la suite définie par u n+1 = u 2 n + 1 et u 0 = 0 Il est aisé de prouver que cette suite est strictement croissante De plus, on prouve par récurrence sur n que P (u n ) = u n En effet, la propriété est vraie pour n = 0, 1, 2, 3 Si elle est vraie au rang n, alors on a P (u n+1 ) = P (u 2 n + 1) = ( P (u n )) = u 2 n + 1 = u n+1 ce qui prouve l hérédité Posons alors Q(X) = P (X) X Q est un polynôme qui s annule en chaque u n Comme les u n sont tous différents, Q admet une infinité de racines Donc Q est identiquement nulle et on a P (X) = X Réciproquement, X convient Arithmétique Exercice 2 - Reste de la division euclidienne - L1/Math Sup - La méthode pour ce type d exercice est toujours la même On commence par écrire le résultat de la division euclidienne : (X + 1) n X n 1 = Q(X)(X 2 + X + 1) + ax + b, où a et b sont deux réels On évalue ensuite la relation en les racines du diviseur, qui sont ici j et j 2 Il suffit ici en réalité d utiliser l évaluation en j, sachant que tout nombre complexe s écrit de façon unique sous la forme x + jy, avec x, y R On trouve : (1 + j) n j n 1 = Q(j) 0 + aj + b On distingue ensuite suivant la valeur de n modulo 3, utilisant que (1 + j) n j n 1 = ( 1) n j 2n j n 1 Si n 0[3], alors j 2n = j n = 1, et donc on a ( 1) n 2 = aj + b de sorte que le reste est ( 1) n 2 Si n 1[3], alors j n = j et donc j 2n = j 2 = 1 j, j n = j, ce qui donne ( ( 1) n+1 1 ) j + ( ( 1) n+1 1 ) = aj + b Le reste est donc ( ( 1) n+1 1 ) (X + 1) Si n 2[3], alors j 2n = j et j n = j 2 = 1 j On trouve ( ( 1) n + 1 ) = aj + b Le reste est alors ( ( 1) n + 1 ) X 1

6 Exercice 3 - Polynômes à valeurs rationnelles - L2/Math Spé/Oral Mines - Écrivons P = a n X n + + a 0 Choisissons q 0,, q n des entiers tous distincts, et posons b i = P (q i ) Q Alors, si on pose 1 q 0 q n 0 1 q 1 q n 1 A =, X = 1 q n qn n a 0 a 1 a n b 0, Y = b 1, b n X est solution du système AX = B Or, la matrice A est inversible : c est une matrice de Vandermonde avec des q i tous distincts On a donc X = A 1 B De plus, les formules de Cramer montrent que A 1 M n+1 (Q) Les coefficients de X sont donc des rationnels, ce qui prouve le résultat voulu Exercice 4 - Equation de congruence - Math Spé/L2/L3 - On commence par remarquer que les polynômes (X 1) 2 et (X + 1) 2 sont premiers entre eux, une relation de Bezout entre eux étant obtenue par la formule ( X ) (X 1) 2 + ( X ) (X + 1) 2 = 1 On doit résoudre le système de "congruence" suivant : { P (X) 1 [(X 1) 2 ] P (X) 1 [(X + 1) 2 ] La première équation donne P (X) = 1 + U(X)(X 1) 2, et, en reportant dans la deuxième équation, on trouve U(X)(X 1) 2 2 [(X + 1) 2 ] On multiplie alors les deux membres par (X/4 + 1/2), qui est tel que (X/4 + 1/2)(X 1) 2 1 [(X + 1) 2 ] On en déduit U(X) (X/2 + 1) [(X + 1) 2 ] = U(X) = (X/2 + 1) + V (X)(X + 1) 2 Les solutions du système de congruence sont donc les polynômes de la forme P (X) = 1 + (X/2 + 1)(X 1) 2 + V (X)(X 1) 2 (X + 1) 2, où V est un polynôme quelconque La seule solution dans R 3 [X] est P (X) = X3 2 3X 2 Exercice 5 Centrale - - Tout polynôme positif est somme de deux carrés - L1/Math Sup/Oral 1 Cela suit directement de l identité suivante, très simple à vérifier (mais moins à trouver!) : (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) = (ac + bd) 2 + (ad bc) 2 2

7 2 Décomposons P en produits de facteurs irréductibles : m p P (X) = λ (X a i ) m i (X 2 + α j X + β j ) i=1 j=1 où chaque polynôme X 2 + α j X + β j est de discriminant négatif Puis P est toujours positif, il est clair que λ 0 et que chaque m i est pair D après la question précédente, il suffit de vérifier que chaque terme intervenant dans la décomposition précédente est une somme de deux carrés Écrivant λ = µ 2, on obtient λ = µ D autre part, posons m i = 2n i et A i = (X a i ) n i Alors (X a i ) m i = A 2 i + 02 Reste à traiter les polynômes du type X 2 αx + β, de discriminant négatif L idée est d utiliser la forme canonique de ces polynômes En effet, on a X 2 + αx + β = ( X + α ) Puisque le discriminant est négatif, on peut poser 4β α λ = 2 4 et on a alors X 2 + αx + β = Ce terme est aussi somme de deux carrés 4β α2 4 ( X + α 2 ) 2 + λ 2 Exercice 6 - Pgcd de deux polynômes - Math Sup/Math Spé/L2 - Une idée possible est d appliquer l algorithme d Euclide pour calculer le pgcd de ces deux polynômes On suppose par exemple n > m, et on écrit n = mq + r, avec 0 r < m Alors on a : X n 1 = X mp+r 1 = X r (X mp 1) + X r 1 Le point crucial est que X mp 1 est divisible par X m 1 En effet, X mp 1 = (X m 1)(X m(p 1) + X m(p 1) + + X m + 1) Ainsi, pgcd(x n 1, X m 1) = pgcd(x m 1, X r 1) Mais puisque pgcd(n, m) = pgcd(m, r), on en déduit finalement que pgcd(x n 1, X m 1) = X pgcd(n,m) 1 Exercice Math Sup/Oral Centrale - Puisque P P, P = QP, et les considérations de degré font que Q est de degré 1 On peut donc écrire : P = λ(x α)p On applique ensuite la formule de Taylor à P en α : P (X) = n k=0 P (k) (α) (X α) k, k! 3

8 P (X) = n k=1 λ(x α)p (X) = kp (k) (α) (X α) k 1, k! n k=1 λkp (k) (α) (X α) k k! Par identification, on obtient, pour tout k dans {0,, n} : kp (k) (α) (λk 1) = 0 k! Maintenant, P (n) (α) 0, et donc λ = 1/n Ceci entraîne par suite que, pour tout k dans {0,, n 1}, on a : P (k) (α) = 0 Ainsi, P (X) = P (n) (α) (X α) n, n! ce qui prouve que P (X) = K(X α) n, ù K est une constante La réciproque se vérifie aisément Exercice 8 - Résultant - Math Spé - a Supposons que P et Q ont un facteur commun D On factorise P = DB et Q = DA, A et B vérifient les conditions voulues Réciproquement, si P Q = 1 et AP = BQ, alors P BQ et par le théorème de Gauss P B Ceci contredit les contraintes imposées à B b On note n = deg(p ), m = deg(q) On a : P Q = 1 (A, B) C[X] 2, A 0, B 0, AP = BQ, deg(a) < m, deg(b) < n la famille (P, XP,, X m 1 P, Q, XQ,, X n 1 Q) est liée det(p, XP,, X m 1 P, Q, XQ,, X n 1 Q) = 0 Si P = a 0 + a 1 X + + a n X n et Q = b b m X m, ce déterminant s écrit : a 0 0 b 0 0 a 1 a 0 0 b 0 R(P, Q) = a n b m 0 a n a n b m C est le résultant de P et Q Applications Exercice 9 - Déterminant de Vandermonde - Math Sup - Nous allons procéder par récurrence sur n On commence par remarquer que, pour n = 2, on a V (α 1, α 2 ) = α 2 α 1 Nous allons donc prouver que : V (α 1,, α n ) = (α j α i ) 1 i<j n 4

9 Cette formule est vraie pour n = 2, et supposons là vraie au rang n 1 Si deux des α i sont égaux, la formule est trivialement vraie, les deux termes étant égaux à 0 On suppose donc que les α i sont tous distincts, et on considère P (x) = V (α 1,, α n 1, x) Le développement de ce déterminant par rapport à la dernière colonne prouve que P est un polynôme de degré exactement n 1, et de coefficient dominant V (α 1,, α n 1 ) Or, si x = α i, avec i n 1, le déterminant possède deux colonnes identiques et est donc nul Ces valeurs sont donc les racines de P (il y en a exactement n 1), et P se factorise sous la forme : P (x) = V (α 1,, α n 1 )(x α 1 ) (x α n 1 ) Il suffit de choisir x = α n pour obtenir le résultat Familles de polynômes Exercice 10 - Polynômes de Legendre - Math Sup - Le terme de plus haut degré de P n est obtenu en dérivant n fois X 2n Il vaut donc 2n! n! Xn On note ensuite Q p (X) = ( (X 2 1) n) (p) (de sorte que Pn = Q n ) Prouvons par récurrence finie sur p dans {1,, n} que Q p admet exactement p racines distinctes dans ] 1, 1[ Pour p = 1, on sait que Q 0 ( 1) = Q 0 (1) = 0, et le théorème de Rolle donne l existence d une racine dans ] 1, 1[ Supposons le résultat prouvé au rang p, et prouvons-le au rang p + 1 avec p + 1 n On note 1 < α 1 < < α p < 1 les p racines de Q p dont l existence est donnée dans ] 1, 1[ Remarquons en outre que, puisque 1 et 1 sont racines d ordre n de Q 0, et que p n 1, ces deux nombres sont encore racines de Q p Il suffit alors d appliquer le théorème de Rolle p + 1 fois : une fois entre 1 et α 1, p 1 fois entre α i et α i+1 et une fois entre α p et 1 Enfin, puisque P n a au plus n racines, on vient de toutes les trouver Si vous trouvez une erreur, une faute de frappe, etc dans ces exercices, merci de la signaler à Venez poursuivre le dialogue sur notre forum : 5

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