Mathématique en Terminale S Fonction exponentielle et logarithme

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1 Mathématique en Fonction exponentielle et logarithme Table des matières 1 La fonction exponentielle Existence et unicité Relation fonctionnelle La notation e x Variations et limites Synthèse : La fonction logarithme Définition et propriétés Relation fonctionnelle Variations et limites Synthèse : Applications Echelle semi-logarithmique Logarithme décimal et ph d une solution aqueuse Croissance ou décroissance exponentielle

2 Section 1 La fonction exponentielle 1.1 Existence et unicité Théorème Il existe une unique fonction f dérivable sur R telle que f (x) = f(x) quelque soit le réel x et f(0) = 1 Cette fonction est appelée fonction exponentielle, notée exp. On distingue deux étapes dans la démonstration de ce théorème. D abord, on admet (hors programme) l existence d une telle fonction. Remarquons tout de même que la méthode d Euler permet de construire approximativement la courbe représentative d une telle fonction. Ensuite, on démontre l unicité d une telle fonction. Démonstration de l unicitéon suppose qu il existe une fonction g qui n est pas l exponentielle telle que g = g et g(0) = 1. On définit alors la fonction h définit pour tout réel x, par :h(x) = g(x). La fonction h est parfaitement définie car on démontrera un peu plus tard que exp(x) > 0, x R. La fonction est dérivable sur R et admet donc pour dérivée : exp(x) h (x) = g (x) exp(x) g(x) exp(x) (exp(x)) 2 = 0 car pour tout x,g (x) = g(x) Donc quelque soit le réel x, h (x) = 0; donc la fonction h est constante. Il existe donc k réel tel que,quelque soit le réel x, h(x) = k. Or h(x) = g(x) g(0), donc h(0) = = 1. Finalement, quelque soit le réel exp(x) exp(0) x,h(x) = 1 et finalement, g(x) = exp(x).impossible car g n est pas l exponentielle.donc la fonction est unique. 1.2 Relation fonctionnelle On considère deux réels x et y et n un nombre entier. exp(x+y) = exp(x) exp(y). Cette méthode repose sur une approximation affine sur des intervalles d autant plus petits que l approximation est bonne 2/12

3 Cette expression est appelée relation fonctionnelle. Elle est caractéristique des fonctions exponentielles. Exercice 1 Soit x un nombre réel (quelconque quoi...). 1.(a) Donnez deux expressions possibles pour exp( x 2 + x 2 ). (b) En déduire que exp(x) 0, x dans R. 2. On suppose qu il existe un réel α tel que exp(α) = 0. En déduire alors que pour tout réel x, exp(x) = Conclure. Quelque soit le réel x, exp(x) > 0 Autres conséquences. exp( x) = 1 exp(x) exp(x y) = exp(x) exp(y) exp(n x) = (exp(x)) n La démonstration est relativement simple.en effet exp(x) exp( x) = exp(x+( x)) = exp(0) = 1. Ce qui prouve la première. Le reste ne présente pas de difficultés. On verra plus tard dans l année le raisonnement par récurrence qui permettra la démonstration de la dernière relation. 1.3 La notation e x Considérons un entier n. Alors d après l une des formules précédentes, on peut écrire : exp(n) = exp(n 1) = exp(1) n = e n Le nombre exp(1) noté e admet une valeur approchée égale à 2, On généralise en écrivant pour tout réel x, exp(x) = e x Cette notation présente des avantages et des inconvénients. Son écriture sous forme de puissance permet de mobiliser des connaissances antérieures sur les puissances, mais attention par exemple exp(x + y) s écrit e x+y.. Si une fonction f vérifie f(x+y) = f(x) f(y) alors f est du type exponentielle 3/12

4 1.4 Variations et limites Théorème La fonction exponentielle est strictement croissante sur R Démonstration : La dérivée de la fonction exponentielle est la fonction exponentielle que l on sait strictement positive sur R. Or si la dérivée f d une fonction f est strictement positive sur un intervalle alors la fonction f est croissante sur cet intervalle.donc la fonction exponentielle est croissante sur R. Exercice 2 On considère la fonction f définie sur R par : f(x) = xe x 1 1. Déterminer la dérivée f de la fonction f puis déterminer son signe. 2. En déduire les variations de f sur R. Conséquences du théorème : x < y e x < e y et x = y e x = e y La croissance se traduit par une conservation de l ordre.ces relations sont utiles dans la résolution des équations ou inéquations. Exercice 3 Résoudre les équations suivantes : 1. e x = e 2 2. e 1 x2 = 1 3. e x2 5x+7 = 0 lim x + ex = + On désigne par cette limite, le comportement des valeurs de e x lorsque x devient très grand. Démonstration : On considère la fonction h définie pour tout x positif, par h(x) = e x x. Cette fonction est dérivable et h (x) = e x 1. Or pour tout x 0, e x 1 donc h (x) 0 et h est croissante sur [0;+ [. Or h(0) = 1 donc quelque soit x 0, h(x) 0 ce qui s écrit encore e x x. Donc quand x augmente même considérablement,e x aussi. lim x ex = 0 Plus les valeurs de x diminuent plus les valeurs correspondantes de l exponentielle se rapproche de 0. La démonstration repose sur l expression e x = 1 vraie pour tout x et du résultat précédent. e x 4/12

5 1.5 Synthèse : La fonction exponentielle est donc croissante, strictement positive et égale à sa dérivée pour tout nombre x. Elle vérifie de plus les relations algébriques précisées dans les propriétés suivantes : s algébriques de la fonction exponentielle Pour tous réels x et y et tout entier n, e x+y = e x e y, e x y = ex e y, e x = 1 e x et (ex ) n = e x n 5/12

6 Section 2 La fonction logarithme On sait que la fonction exponentielle est strictement croissante de ] ; + [ dans ]0; + [. Conséquence directe et importante : l équation e x = a admet : une solution unique si a > 0; aucune solution si a 0. Dans le cas où la solution existe, on l appelle logarithme népérien de a et on la note ln(a) ou lna s il n y a pas d ambigüité. 2.1 Définition et propriétés Définition La fonction qui à tout réel x strictement positif associe le nombre ln(x) est la fonction logarithme népérien. On note f(x) = ln(x). Les fonctions exponentielle et logarithme népérien sont réciproques l une de l autre, l effet de l un annulant l effet de l autre.leurs courbes représentatives sont alors symétriques par rapport à la droite d équation y = x /12

7 Soit x un réel quelconque et y un réel positif. Alors : e x = y x = ln(y) Conséquences : ln(1) = 0 et ln(e) = 1 ln(x) = 0 x = 1 et ln(x) = 1 x = e; relations très utiles dans la résolution d équations. 2.2 Relation fonctionnelle Pour tous réels x et y strictement positifs, on a : ln(x y) = ln(x)+ln(y) C est la relation caractéristique des fonctions logarithmes.elles transforment des produits en somme. Conséquences : Pour tous réels x et y strictement positifs et n entier, on a : ln( 1 x ) = ln(x);ln(x y ) = ln(x) ln(y);ln(xn ) = n ln(x) Remarque : Pour x > 0, 1 x s écrit aussi x2. En appliquant la dernière règle, on obtient une nouvelle formule : ln( x) = 1 2 ln(x) 2.3 Variations et limites On admet le résultat suivant : 7/12

8 La fonction ln(x) est dérivable sur ]0;+ [ et ln (x) = 1 x. Conséquence immédiate : La fonction ln(x) est strictement croissante sur ]0; + [. En effet sa dérivée est strictement positive sur ]0; + [.Cette stricte croissance induit le résultat suivant : ln(x) = ln(y) x = y Cette proposition qui reste valable avec n importe quel signe d égalité, est importante dans la résolution d équations ou d inéquations. Enfin, on démontrera dans un autre chapitre les résultats suivants : Définition lim ln(x) = + et limln(x) = x + x 0 Plus les valeurs de x se rapprochent de 0, plus la valeur de son logarithme tend vers. Les valeurs de ln(x) augmentent en même temps que celles de x; en revanche, contrairement à l exponentielle, la progression est très lente. Par exemple, ln(x) > 20 dès que x dépasse 485 millions( à peu près...). 2.4 Synthèse : La fonction logarithme népérien n est définie que sur l intervalle I =]0; + [.Elle est croissante sur cet intervalle et s annule en x = 1. Elle vérifie de plus les relations algébriques précisées dans les propriétés suivantes :. Par comparaison, e x > 20 dès que x 3! 8/12

9 s algébriques de la fonction logarithme Pour tous réels x et y et tout entier n, ln(x y) = ln(x)+ln(y), ln( x y ) = ln(x) ln(y), ln(1 x ) = ln(x) et ln(xn ) = n ln(x) Exercice 4 Résoudre les équations ou inéquations suivantes : 1. e x = 3 2. ln(2x) = 5 3. ln(x 2 x) = 1 4. ln(x+2) = 0 5. (x+3)e x = 0 6. xln(x 2) = 0 7. e x2 = 4 Gardons tout de même à l esprit que ces équations gardent un caractère particulier; elles sont résolvables par des procédés algébriques. On pourra se rendre compte que ce n est pas le cas de toutes les équations. L équation e x = x a par exemple une solution mais qui ne peut pas s exprimer de façon exacte... 9/12

10 Section 3 Applications 3.1 Echelle semi-logarithmique On considère la suite (U n ) définie pour tout entier n par : u n = 2 3 n. 1. Rappeler la nature de la suite (U n ). 2. A la calculatrice, déterminer les neufs premiers termes de la suites. 3. Pourquoi ne peut-on pas représenter le nuage de points (n,u n ) dans une échelle linéaire? 4. On définit pour tout entier n,la suite (V n ) par : V n = ln(u n ). (a) Déterminer la nature de la suite (V n ). (b) Quel serait l allure du nuage de points (n,v n ) dans un repère à échelle linéaire? 5. Pour représenter sur un même graphique,des petites et grandes données, on peut utiliser un papier semi-logarithmique. L échelle en ordonnée n est pas linéaire mais logarithmique. Par exemple l écart entre 10 et 20 est le même qu entre 1 et 2 car : ln(20) ln(10) = ln( ) = ln(2 1 ) = ln(2) ln(1) /12

11 3.2 Logarithme décimal et ph d une solution aqueuse En chimie, le ph d une solution permet de mesurer son caractère acide, neutre ou basique.le ph est un nombre compris entre 1,0 et 13,0 pour des solutions diluées de concentration inférieure à 10 1 mol.l 1. A 25 C : si ph < 7 alors la solution est acide si ph > 7 alors la solution est basique si ph = 7, la solution est neutre. Définition On appelle logarithme décimal (log) du réel x strictement positif, le nombre : log(x) = ln(x) ln(10) Le logarithme décimal présente les mêmes caractéristiques algébriques que le logarithme népérien.néanmoins, on a : log(10) = 1;log(100) = 2;...;log(10 n ) = n Enfin, pour toute solution aqueuse diluée, on a : ph = log[h 3 O + ] où [H 3 O + ] est la concentration en ions H 3 O +. 1.(a) Une solution possède une concentration en ions H 3 O + égale à mol.l 1. Quel est son ph? (b) L étiquette d une bouteille de coca cola indique ph = 2, 3. Quelle est la concentration en ions H 3 O + de cette eau gazeuse? (c) Que peut-on dire d une solution dont la concentration en ions H 3 O + est égale à 0,10mol.L 1? (d) Quelle est la concentration en ions H 3 O + d une solution neutre à 25 C? 2. Quelle est l évolution du ph lorsque la concentration en ions H 3 O + est divisée par 10? par 100? 3. Si on multiplie par 10 la concentration d ions H 3 O + dans une solution, diminue-t-on ou augmente t-on le ph de cette solution? 4. Donnez la formule qui donne la concentration en ions H 3 O + en fonction du ph.. mathematiques.ac-bordeaux.fr 11/12

12 3.3 Croissance ou décroissance exponentielle Une quantité suit une décroissance exponentielle si elle diminue selon un taux proportionnel à sa valeur. En termes mathématiques, cela se traduit par l existence d un réel k tel que : Q(t+h) Q(t) h = k Q(t) L oeil averti reconnaîtra le taux instantané de la fonction Q en t dont la limite quant h tend vers 0 est Q (t). D où la recherche d une fonction qui vérifie l équation : Q (t) = k Q(t) La fonction f définie par : f(t) = exp( k t) = e k t est une solution du problème recherché La pente de la tangente en A(a, Q(a)) est proportionnelle à Q(a), quelque soit le réel A a dite équation différentielle 12/12