ALGEBRE BILINEAIRE. Les espaces vectoriels considérés dans ce chapitre sont des espaces vectoriels sur. a) Bilinéaire, et.

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1 ALGBR BILINAIR Les espaces vecorels cosdérés das ce chapre so des espaces vecorels sur A. Produ scalare ) Défo So u espace vecorel sur O appelle produ scalare sur oue forme bléare smérque défe posve C es-à-dre oue applcao de vers elle que a) Bléare x,, z 3,, x, z x, z, z, e x,, z 3,, x, z x, x, z b) Smérque : x,,, x x, Remarque :,,, 0 c) Posve : x x x x, x, x 0 x 0 d) Défe : xes auss souve oé x, Aeo : o peu ulser les deux oaos smulaéme pour désger deux produs scalares dfféres sur u même - espace vecorel ) Théorème Ue applcao de vers es u produ scalare s e seuleme s x,, z 3,, x, z x, z, z x,,, x x, x, x, x 0 x x x x,, 0 0 Propréés mmédaes mporaes : x, x,0 0, x 0 effe x,, x, 0 x, x,0 doc x S l exse el que x x effe o a écessareme (e prea x,, 0 alors 0 ), 0doc 0,0 0

2 3) xemples usuels a) So u eer supéreur ou égal à L applcao : x,..., x,,..., x scalare caoque sur es u produ scalare appelé produ La smére, la bléaré e la posvé de so e gééral «facles» à raer La «défo» de es u po plus délca à éablr Das ce premer exemple : x,..., x, x,..., x ; x,..., x x 0,, x 0 x,..., x 0,...,0 Ue somme de réels posfs es ulle s e seuleme s chaque erme de cee somme es ul b) Soe deux réels a e b els que a b,, C a b C a b L applcao : b f, g f g d a des focos réelles coues sur l ervalle ab, L applcao s be défe : es u produ scalare sur, b f C a, b,, f, f f d 0 a, b, f 0 f 0 a C a b espace vecorel L égrale d ue foco coue e de sge cosa sur u segme de bores dsces vau 0 s e seuleme s la foco es ulle sur le segme c) Soe e p deux eers aurels o uls L applcao sur M p, : Mp, A, B Tr AB a a es u produ scalare appelé produ scalare caoque Cas parculer : s A M e B M, alors AB a b L applcao : AB, Smére : AB, Tr( AB) ab b b, M es le produ scalare caoque sur M, M, p M, p,, Car ue marce e sa rasposée o même race B, A Tr BA Tr BA Tr AB A, B

3 Bléaré : A B C M, p M, p M, p, Doc A, B C A, B A, C,,, A B C Tr A B C Tr AB AC Tr AB Tr AC Tr AB Tr AC Défe e posve : A ( a ), B b Remarquos que s alors e c a b,,,,, p p O a doc A ( a, ) M, p, A, A Tr AA p A a De plus, p AB c, p p avec p p a, a, ( a, ) 0 A, A 0, p, a 0, p,, a 0 A 0,, 4) Norme assocée à u produ scalare O appelle orme eucldee assocée au produ scalare du -espace vecorel l applcao qu à ou veceur xassoce le réel xx, Ce réel s appelle orme de x e es oé x, o a doc x, x x, x xemples usuels : La orme, assocée au produ scalare sur l applcao qu à ou veceur,...,, : x,..., x,,..., x es x x de assoce le réel x,..., x x La orme, assocée au produ scalare sur, C a b,,, C a b C a b : b f, g f g d a b l applcao qu à ou veceur f Ca, b assoce le réel f f d a es 3

4 La orme, assocée au produ scalare sur l applcao qu à ou veceur M, p, : Mp, A, B Tr AB AMp, assoce le réel A Tr A A es 5) Iégalé de Cauch- Schwarz So u espace vecorel sur e u produ scalare sur Pour ou couple,,, veceurs de coléares Démosrao Soe x, deux veceurs de x x x, avec égalé s e seuleme s x e so deux, x ( x, x ) x, x x,, O obe doc :, x x, x P S 0, c'es à dre 0, P es u polôme du secod degré Comme ce polôme es de sge cosa, so dscrma es écessareme égaf 4( x, x ) 0 x, x Comme la foco race carrée es crossae sur l esemble des réels posfs, l ve : x, x S 0, l'égalé rese valable pusque 0 x 0 Cas de l égalé : S x e coléares, alors l exse u réel el que xou l exse u réel el que x Alors,, Récproque : x x x x x x x x s x(même démarche s x ) S 0, o a ue égalé pusque 0= x 0 x e so coléares S 0, x, x 0 S 0, l exse alors u réel el que x 0,c'es à dre el que x xemples usuels : x,..., x,,...,, x x b b b,,, f g C a b f g d f d g d M a a a p, A, B, Tr AB Tr A A Tr B B 6) Propréés d ue orme 4

5 La orme eucldee vérfe : x, x 0 x 0, x, x x x,, x x x,, x x x, x, x x Démosrao :,,,, x x x x x x x x,, x x x, x x O a doc x x x x Remarque : dvsa u veceur o ul par sa orme, o obe u veceur ormé x effe, x, x 0 x 7) Orhogoalé So u espace vecorel sur So u produ scalare sur a) Veceurs orhogoaux Deux veceurs x e so orhogoaux pour le produ scalare s x, 0 O oe alors x b) Théorème de Phagore Démosrao :,,,, 0 x x x x x x x x x x x c) Sous espaces orhogoaux Soe F e G deux sous espacés vecorels de O d que F e G so orhogoaux s x F G x O oe F G d) Orhogoal d ue pare de So A ue pare o vde de,,, 0 O appelle orhogoal de A l esemble A x a A x a Remarque : S A es ue pare o vde de alors AA 0 effe s xa A, alors e parculer x x, 0, 0 x 0 5

6 xemples :, e 0 0 Théorème Pour oue pare A o vde de, A es u sous espace vecorel de Démosrao : A A, pusque 0 A car a A 0, a 0 x A,,, a A, x, a x, a, a 0 x A Remarque : S A es u sous espace vecorel de alors AA 6 0 xa, A e) Famlles orhogoales, orhoormées Défo So m u eer aurel o ul Ue famlle fe e,..., em de veceurs de es de orhogoale pour le produ scalare s m e e,,,, 0 xemples usuels : * So La base caoque de es ue famlle orhogoale pour le produ scalare caoque de La base caoque de M, es ue famlle orhogoale pour le produ scalare caoque de M, Théorème : Toue famlle orhogoale e coea pas le veceur ul es lbre Démosrao : So e,..., e ue famlle orhogoale e coea pas le veceur ul Soe réels a,..., a els que ae 0 e 0,, e, a e a e, e a e a 0 Défo : So m u eer aurel o ul Ue famlle fe,..., m e e de veceurs de es de orhoormale (ou orhoormée) pour le produ scalare s elle es orhogoale e s chaque veceur de la famlle es ormé, c esà-dre :, m, e Toue famlle orhoormée es doc lbre xemples usuels : La base caoque de es ue famlle orhoormée pour le produ scalare caoque de La base caoque de M, es ue famlle orhoormée pour le produ scalare caoque de M,

7 B. spaces eucldes ) Défo U espace euclde es u -espace vecorel de dmeso fe mu d u produ scalare ) Orho ormalsao de Gram-Schmd Jørge Pederse Gram : mahémace daos (850-96) rhard Schmd : mahémace allemad ( ) So u eer aurel supéreur ou égal à So u espace euclde So B e,..., e ue famlle lbre de veceurs de e Posos f, e pour ou eer, e La famlle,..., f e e, f f e e, f f,, Vec e,..., e Vec f,..., f f f es orhoormée, e de plus Démosrao par récurrece fore sur :",..., P f f es ue famlle orhoormée e Vec f f Vec e e Ialsao : e 0 e 0 f exse e f e Vec f Vec Vec e e Hérédé : supposos la propréé vrae usqu au rag,...,,..., " e Vec e,..., e Vec f,..., f e e, f f 0 f exse f De plus par cosruco, ( e, f ) e, f ( f, f ) ( e, ), f e f,, f, f 0 e e, f f e e, f f La famlle f,..., f es doc orhoormée O a f Vec e,..., e Vec f,..., f Vec e,..., e Comme la famlle e,..., e es lbre, dm Vec e,..., e La famlle f,..., f es orhoormée doc lbre e Vec f f Vec f,..., f Vec e,..., e Vec f,..., f Vec e,..., e dm Vec f,..., f dm Vec e,..., e dm,..., 7

8 3) xsece de bases orhoormées Tou espace euclde adme ue base orhoormée Démosrao : So u espace euclde L espace vecorel es doc de dmeso fe, l adme doc ue base B Le procédé d orho ormalsao de Gram-Schmd perme d ober ue famlle orhoormée ' Vec B Vec B' CommeVec B orhoormée de B elle que, la famlle B' es doc lbre e géérarce de : c es ue base 4) Compléo d ue famlle orhoormée Toue famlle orhoormée d u espace euclde peu êre compléée e ue base orhoormée de Démosrao : So u espace euclde de dmeso So L l,.., l ue famlle orhoormée, cee famlle es lbre O peu la compléer e ue base C l,.., l,..., l de l espace vecorel Le procédé d orho ormalsao de Gram-Schmd perme d ober ue famlle C' l,..., l, m,..., m Vec C Vec C' orhoormée elle que La famlle C ' es doc ue base orhoormée de 5) Coordoées e orme d u veceur das ue base orhoormée So u espace euclde So B e,..., e ue base orhoormée Pour ou veceur x de, x, Démosrao : x e e e x x, e es ue base orhoormée de, doc!,..., B e,..., e,, x, e x e, e x e, e x x x x el que De plus x x, x xe, x e x e, x e x x e, e Faleme, x x x e e x x xe 8

9 6) xpresso marcelle du produ scalare e de la orme eucldee e base orhoormée e base orhoormée So u espace euclde So B e,..., e ue base orhoormée Soe x xe e x Posos X MaB x x e e deux veceurs de Y MaB O a,, e x X Y x X X Démosrao : x XY x x x x x x e e x e e x,,, 7) Chageme de base orhoormée Soe B e B deux bases orhoormées d u espace euclde S P désge la marce de passage de la base B vers la base B, o a P P Défo : O appelle marce orhogoale oue marce carrée A elle que A A I I Ue marce orhogoale A es doc versble, e o a A A La marce de passage de la base B vers la base B,es doc ue marce orhogoale Démosrao : Soe B e B deux bases orhoormées d u espace euclde de dmeso So P p, O a la marce de passage de la base B e e à la base B f f P, f f f,,,, p, p es la ème coordoée du veceur D après le héorème 4), e e,...,,,, p, f, e e, f f das la base B e e,...,,..., 9

10 S o oe P p', avec, Noos C PP c,,,,, ',, p p, o a alors 0,,, c p' p p p,,,,, Faleme, e ulsa le héorème précède : 0 s,,, c, e, f e, f f, f, doc C PP I s 8) Supplémeare orhogoal So F u sous espace vecorel de l espace euclde Les sous espaces vecorels F e F so supplémeares Le sous espace F s appelle le supplémeare orhogoal de F O a doc dmf dmf dm Démosrao : So xf F,o a alors x, x x 0 x 0 doc FF 0 O a be sûr 0 F F, pusque F e F so des espaces vecorels Doc, par double cluso, F 0 alors F F F 0 De plus s doc F F So so ( e,..., e ) ue base orhoormée de F, compléos cee base e ue base orhoormée ( e,..., e ) de Théorème ule : * So S F Vec e e,..., alors, pour ou x, xf,, x, e 0 effe Supposos x F So,, comme e F, o a xe, 0 Récproqueme Supposos que,, x, e 0 So F,,...,, x, x, e x, e 0 x F Reour à la démosrao,,,, e, e 0,, e F e, pusque F Vec e e x,! a,..., a el que 0 FF F F F F, doc F F x a e a e a e F F,...,

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