La fonction Logarithme Népérien

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1 Terminale S, Cours La fonction Logarithme Népérien Eistence Théorème: (admis) Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I de R, strictement monotone sur I à valeurs dans J. Alors il eiste une fonction appelée fonction réciproque de la fonction f dérivable sur J à valeurs dans I, notée f - telle que pour tout réel I, f - f () = et pour tout réel J, f f - () =. Remarque: On peut remarquer que les fonctions f et f - sont continues respectivement sur I et J. La fonction eponentielle vérifie les conditions d application du théorème. Définition: On appelle logarithme népérien, la fonction définie sur 0; + [ à valeurs dans ] - ; + [ définie comme la fonction réciproque de la fonction eponentielle. On note ln cette fonction. Conséquences: Le domaine de définition de la fonction logarithme népérien est 0; + [. La fonction ln, réciproque de la fonction ep est définie sur l ensemble des images par ep et à valeurs dans le domaine de ep. On a donc: - ln = Im ep et Im ln = - ep Réciprocité: Pour tout réel, ln(e ) = ou encore ln ep() =. Pour tout réel > 0, e ln() = ou encore ep ln() =. L unique antécédent de e par ep est d où le résultat. De même pour > 0, ln() est l unique antécédent du nombre par ep donc l image de ln() par ep est bien. Propriété (valeurs particulières): ln() = 0 ln(e)= En effet, comme e 0 = alors l unique antécédent de par ep est 0 d où ln = 0 et de même comme e = e alors l unique antécédent de e par ep est d où ln(e) =.

2 2 Terminale S, Cours Propriétés fonctionnelles Théorème (dérivée de ln): La fonction ln est dérivable sur R +* =] 0; + [ et pour tout réel > 0, ln () =. On admet la dérivabilité de ln comme fonction réciproque d une fonction dérivable. Pour tout réel > 0, e ln() =. La fonction φ : e ln() est donc dérivable par composition. On a φ () = ln () e ln() = ln (). D autre part comme φ() = pour tout > 0, alors φ () =. On obtient donc l égalité ln () = pour tout > 0. Comme > 0, on peut donc en déduire ln () = pour tout réel > 0. Propriété (variation de ln): La fonction ln est strictement croissante sur R +* =] 0; + [. Pour tout réel > 0, ln () = > 0 d où le résultat. Propriété (signe de ln()): ln() = 0 si et seulement si = ln() > 0 pour > et ln() < 0 pour 0 < <. On sait que ln = 0. La fonction ln est strictement croissante sur 0; + [. Par suite pour tout réel >, ln() > ln d où ln() > 0 pour > 0. De même pour tout réel 0 < <, ln() < ln d où ln() < 0. On en conclut que ln() = 0 si et seulement si = ainsi que le signe de ln. Propriété (équation et inéquation): ln(a) = ln b si et seulement si a > 0 et b > 0 et a = b. ln(a) < ln b si et seulement si 0 < a < b. Les conditions a > 0 et b > 0 sont nécessaires pour l eistence de ln(a) et ln b. Ensuite, s il eiste a b, a < b par eemple tel que ln(a) = ln b alors la fonction ln n est pas strictement croissante. Absurde. Donc ln(a) = ln b si et seulement si a = b. Pour la 2 e assertion, il suffit d appliquer la stricte monotonie pour le sens 0 < a < b ln(a) < ln b. Pour le sens réciproque, on raisonne comme précédemment par l absurde.

3 Terminale S, Cours 3 Propriétés Algébriques Propriété fondamentale: Pour tous réels et y strictement positifs, ln y = ln() + ln y. Soit y un réel strictement positif. On définit la fonction ψ sur 0; + [, par ψ() = ln y - ln() - ln y. La fonction ψ est bien définie puisque > 0 et y > 0 d où y > 0. De plus la fonction y est dérivable sur 0; + [ à valeurs dans 0; + [ pour > 0 puisque y > 0. Alors par composition ln y est dérivable sur 0; + [. Enfin par somme comme ln y est une constante, ψ est dérivable sur 0; + [. Pour tout réel > 0, on obtient ψ () = y y = - = 0. La fonction ψ est donc constante sur 0; + [. Or ψ = ln y - ln - ln y = ln y - ln y = 0 donc ψ() = 0 pour tout réel > 0. On a donc obtenu ln y - ln() - ln y = 0 d où ln y = ln() + ln y pour tout réel > 0, pour tout réel y > 0. Propriétés (Corollaire): ln ln y = -ln() pour tout réel > 0 = ln() - ln y pour tous réels et y strictement positifs. ln( n ) = n ln() pour tout réel > 0 et tout entier naturel n. En particulier ln(e n ) = n pour tout entier naturel n. ln = ln() pour tout réel > 0. 2 On a ln = ln = 0 et d après la propriété précédente, ln = ln() + ln. On en déduit donc ln() + ln = 0 d où ln = -ln(). On a ln y = ln y = ln() + ln y = ln() - ln y en utilisant les 2 propriétés précédemment démontrées. Soit > 0. On raisonne par récurrence sur n N. Pour n = 0, on a ln 0 = ln = 0 et 0 ln() = 0 d où ln 0 = 0 ln(). La propriété est vraie pour n = 0. Soit n N. On fait l hypothèse de récurrence ln( n ) = n ln() est vraie. Or on a ln n+ = ln( n ) = ln( n ) + ln() (propriété fondamentale). D après l hypothèse de récurrence, ln( n ) = n ln() donc on obtient ln n+ = n ln() + ln() = n + ln() : la propriété est vraie au rang n +. La propriété est donc héréditaire. La propriété est vraie au rang n = 0 et est héréditaire pour n 0. D après le principe de récurrence, elle est donc vraie pour tout entier naturel n. On a donc en particulier pour = e, ln(e n ) = n ln(e) = n = n. On a ln() = ln 2 = 2 ln pour tout réel > 0 d où le résultat.

4 4 Terminale S, Cours Limites Définition (limite en + ): Soit f une fonction définie sur ] 0 ; + [ avec 0 R. Alors on dit que f admet pour limite + quand tend vers + et on note Lim f () = + si et seulement si pour tout réel + Α, il eiste un réel a avec a > 0 tel que si > a, alors f () > Α. Théorème: Lim ln() = - (la courbe représentative de ln admet la droite d équation = 0 comme asymptote verticale). 0 + Lim ln() = + + Limite en +. Soit A R. On pose a = e A 0; + [. Comme la fonction ln est strictement croissante sur 0; + [, alors ln() > ln(a) d où ln() > ln e A c est à dire ln() > A pour tout réel > a. Par définition de la limite + en +, comme pour tout réel A, il eiste un réel a > 0 tel que si > a alors ln() > A, on a donc ln() = +. Lim + Limite en 0 + : On a pour tout réel > 0, > 0 et ln() = -ln. Or Lim = + et Lim ln X = + donc par composition, Lim ln 0 + X = +. Finalement comme Lim 0 + ln() = -Lim 0 + ln, on obtient Lim 0 + ln() = -.

5 Terminale S, Cours 5 Courbe Tangente en = : L équation de la tangente à en = est y = -. L équation de la tangente à la courbe de ln en = est donnée par y = ln - + ln = = -. Propriété (position de C ln par rapport à sa tangente en = ): Pour tout réel > 0, ln() - et l égalité n a lieu que pour = Conséquence: pour tout réel > 0, ln() <. On pose ψ la fonction définie sur 0; + [ par ψ() = - - ln(). La fonction ψ est définie et dérivable sur 0; + [ et pour tout réel > 0, ψ () = - = -. Comme > 0, ψ () est du signe de - sur 0; + [ d où ψ () > 0 pour > et ψ () < 0 pour 0 < <. La fonction ψ est donc strictement décroissante sur 0; et ainsi ψ() > ψ pour 0 <. La fonction ψ est strictement croissante sur ; + [ donc ψ() > ψ pour >. Finalement ψ() > ψ pour tout réel > 0 et. Or ψ = - - ln = 0 donc ψ() > 0 pour > 0 et et ψ = 0. On a donc - - ln() > 0 pour > 0 et d où - > ln() pour > 0 et et - ln() pour =. Pour le deuième résultat, il suffit de remarquer que > - pour tout réel. La courbe de ln est toujours en dessous de sa tangente en =. Tangente en = e. L équation de la tangente à en = e est y = : cette tangente passe par l origine du repère. e L équation de la tangente à la courbe de ln en = est donnée par y = ln (e) ( - e) + ln(e) = ( e - e) + =. e Son ordonnée à l origine est nulle donc cette tangente passe par l origine du repère. Représentation graphique:

6 6 Terminale S, Cours e

7 Terminale S, Cours 7 Croissances comparées Théorème: ln() Lim = 0 + Lim ln() = ln() Lim + n = 0, n N * Lim n ln() = 0, n N * 0 + On pose φ() = 2 - ln() pour tout réel > 0. La fonction φ est dérivable sur 0; + [ comme somme de deu fonctions dérivables sur 0; + [. Pour tout réel > 0, on a φ () = 2 2 Comme > 0, φ () est du signe de - = - sur 0; + [. - = -. Ainsi comme est strictement croissante sur 0; + [, on sait que - > 0 pour > et - < 0 pour 0 < < d où φ () > 0 pour > et φ () < 0 pour 0 < <. La fonction φ est donc strictement décroissante sur 0; et strictement croissante sur ; + [. Par suite φ() > φ pour > et φ() > φ pour 0 < <. Or φ = 2 - ln = 2 > 0. Donc φ() > 0 pour tout réel > 0. On en déduit donc que ln() < 2 pour tout réel > 0. ln() Déterminons Lim +. On a montré que pour tout réel > 0, ln() < 2 donc pour tout réel > 0, ln() Remarquons de plus que pour >, ln() > 0 et > 0 donc on a 0 < ln() < 2. < 2, c est à dire ln() < 2. Or Lim + = + donc Lim + 2 = 0. ln() D après le théorème des gendarmes, on obtient donc Lim = 0. + Déterminons Lim 0 + ln(). -ln Pour tout réel > 0, ln() =. ln X Or Lim = + et Lim 0 + X + X Il y a plusieurs méthodes. Pour tout entier naturel n > 0, ln() ln() Lim + n = n Lim ln( n ) + n = 0. = 0 donc par composition, Lim 0 + n = n n ln() n = n On peut aussi remarquer pour n > 0, ln() ln() n = n- résultat annoncé. Pour la deuième limite, on peut raisonner de même: n ln() = n n ln( n ) ou ln = 0 d où Lim ln() = ln( n ) n et comme Lim n ln X = + et Lim = 0, par composition + X + X et comme Lim + 0 si n 2 = alors par produit, on obtient le n- si n =

8 8 Terminale S, Cours n ln() = n- ln() ou par composition, n ln() = -ln n.

9 Terminale S, Cours 9 Compléments. dérivée de ln(u): dérivée logarithmique. Propriété: Soit u une fonction dérivable sur I R telle que de plus u() > 0 pour tout réel I. Alors la fonction ln u = ln(u) est dérivable sur I et pour tout réel I, ln(u) () = u (). On retient (ln(u)) = u u. Il suffit d appliquer le théorème de dérivation des fonctions composées à ln u. Comme u est à valeurs dans 0; + = D ln, ln u est définie et dérivable sur I et on a ln u = u ln (u) = u u. 2. Un autre cas de forme indéterminée. Théorème: Lim ln() - =. ln() - ln La fonction ln est dérivable en = donc Lim = ln ln() c est à dire Lim - - =. Remarque: C est une méthode classique pour lever des indéterminations en un point fini. On a de la même manière Lim e - = Quelques points à retenir. u() 3.. Le domaine de définition de ln(u) : Eemple: Déterminons le domaine de définition de ln - + Le nombre ln est défini si > 0 donc si < - et >. + et celui de ln - - ln +. Le nombre ln - est défini pour > et le nombre ln + pour > - donc le nombre ln - - ln + est défini pour >. Théoriquement pourtant ln - = ln - - ln + partout où chacun des nombres est bien défini en fait. + Il faut donc prendre des précautions quand on transforme des epressions avec des logarithmes. On peut ou ajouter ou enlever une partie des domaines de définition Les équations avec des logarithmes: Pour les raisons précédemment évoquées de domaines de définition, il faut avant de résoudre une équation avec des logarithmes se poser la question des domaines de définition. Eemple: Résolvons l équation ln 2 - = ln(). On est tenté d écrire directement, alors il faut 2 - = d où = 0 et on détermine les solutions = et

10 0 Terminale S, Cours 2 = Donc l équation admet 2 solutions!! Et c est FAUX!! En effet la solution n appartient pas au domaine de définition de l équation ln 2 - = ln(). Dans ce cas, on voit facilement l erreur, il peut arriver que l impossibilité soit plus délicate à détecter. La bonne méthode est de commencer par étudier le domaine de définition de l équation de départ. Ici en l occurrence, c est 0; + [. donc l équation ln 2 - = ln() équivaut à l équation 2 - = et > 0.

11 Terminale S, Cours 4. Primitives Définition: On appelle primitive sur I d une fonction f définie sur I, toute fonction F dérivable sur I et telle que F = f sur I. Eemples: 2 2 est une primitive de sur R e est une primitive de e sur R + est une primitive de - sur R* 2 Théorème (admis): Toute fonction continue sur I admet une primitive sur I. Ce théorème sera démontré dans la cadre du chapitre sur l intégration. Propriété: Soit F et G deu primitives d une même fonction f sur I. Alors F et G diffèrent d une constante, autrment dit il eiste un réel K tel que G() = F() + K pour tout réel I. On a clairement G - F () = G () - F () = f () - f () = 0 donc G - F est constante sur I. Il eiste donc une constante K R telle que G() - F() = K d où G() = F() + K pour tout I. Propriété: Soit f une fonction définie sur I, admettant une primitive sur I. Alors f admet une infinité de primitives sur I. Pour tout couple 0 ; y 0 avec 0 I, il eiste une unique primitive de f qui prend la valeur y 0 en 0. On appelle un tel couple 0 ; y 0 une condition initiale. S il en eiste une F, alors toutes les fonctions G = F + K pour K R sont aussi des primitives de f d où l infinité. Soit F une primitive de f. Alors la fonction G définie par G() = F() + y 0 - F( 0 ) est une primitive de f (évident) telle que de plus G( 0 ) = y 0. Montrons qu elle est unique. Soit H une autre primitive de f telle que H( 0 ) = y 0. Alors comme on sait qu il eiste une constante K telle que H() = G() + K alors H( 0 ) = G( 0 ) + K d où y 0 = y 0 + K et donc K = 0. Par suite H = G: G est unique. Théorème: La fonction logarithme népérien est l unique primitive de la fonction inverse sur 0; + [ qui s annule en. Remarque: Cette propriété de ln la caractérise complètement. C est à dire que l on peut définir la fonction ln comme l unique primitive de la fonction inverse sur 0; + [ et retrouver toutes ces propriétés, en particulier qu elle est la fonction réciproque de la fonction eponentielle.