Compléter la phrase : + IV. (6 points) On considère la fonction f : x 4x x et on note C sa courbe représentative dans le plan muni d un repère ( )

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1 1 ère S1 ontrôle du vendred 5 décembre 01 (0 mn) ) onner, sans ustfer, la mesure en radans de l angle orenté ( u ; v) (un seul résultat) qu appartent à l ntervalle [ 10 ; ] π π Prénom : Nom : Note : / 0 I ( ponts) n se place dans le plan orenté ans la fgure c-dessous, AB est un trangle équlatéral drect ; A et B sont des trangles rectangles et socèles drects onner, sans ustfer, une mesure en radans de cacun des angles orentés suvants : a) ( A ; A) b) ( ; A) c) ( ; ) d) ( B ; AB) III (1 pont) Queston de cours Sot f une foncton défne sur ntervalle I n note sa courbe représentatve dans un repère (,, ) Sot a un réel appartenant à I n suppose que f est dérvable en a n note T la tangente à au pont d abscsse a ompléter la prase : T a pour équaton + IV (6 ponts) n consdère la foncton f : et on note sa courbe représentatve dans le plan mun d un repère,, ( ) 1 ) alculer f f où un réel non nul n donnera le résultat sous forme smplfée A ; A = a) ( ) ; A = b) ( ) ; = c) ( ) B ; AB = d) ( ) Fare apparaître sur la fgure c-dessus, en utlsant le codage spécfque au angles orentés, les mesures données précédemment pour les tros premers angles orentés Ne pas tracer les vecteurs II (6 ponts) deu vecteurs non nuls du plan orenté tels que ( u ; v) Sot u et v 1 ) Recoper et compléter la prase : «Les mesures en radans de l angle orenté ( u ; v) = sont tous les nombres de la forme» ) onner, sans ustfer, la plus grande mesure en radans négatve de l angle orenté ( u ; v) émontrer que f est dérvable en et donner le nombre dérvé de f en (un seul résultat) ) Sot A le pont de d abscsse n note T la tangente à au pont A

2 Recoper et compléter la prase permettant de défnr T : «T est la drote passant par et de coeffcent drecteur» ) n donne la courbe sur le grapque c-dessous Placer le pont A et tracer la tangente T en A à en rouge Écrre le nom de cette tangente V ( ponts) n peut lre à l entrée d un magasn : «Auourd u, pour tout acat, nous vous offrons une remse de 0 euros t s le montant de vos acats attent 150 euros, nous vous offrons une remse de 50 euros!» Le but de l eercce est d écrre un algortme qu affce en sorte le pr à paer lorsque l on sast le pr avant la remse en entrée n se place dans le cas d un acat d un montant supéreur ou égal à 0 ans le premer encadré, on donne une rédacton de l algortme en «langage ntermédare» Écrre cet algortme en «langage naturel» dans le deuème encadré Il est demandé de respecter les règles abtuelles de rédacton d un algortme en «langage naturel» c est-à-dre en franças (pas de «langage calculatrce») Langage ntermédare (non formalsé) n demande le montant des acats en euros, noté m S m est supéreur ou égal à 150, alors on a 50 de remse ans le cas contrare, on a 0 de remse Sur ce deuème grapque, placer le pont A Tracer T en utlsant la représentaton conventonnelle sous la forme d une «double flèce» Ne pas écrre le nom de cette tangente Placer le sommet S de et tracer de même la tangente au pont S sous la forme d une double flèce Varables : ntrée : Tratement : Sorte : n rappelle la formulaton d une nstructon d affectaton : «a prend la valeur» n ne demande pas de programmer cet algortme sur calculatrce

3 I ( ponts) orrgé du contrôle du n se place dans le plan orenté ans la fgure c-dessous, AB est un trangle équlatéral drect ; A et B sont des trangles rectangles et socèles drects onner, sans ustfer, une mesure en radans de cacun des angles orentés suvants : a) ( A ; A) b) ( ; A) c) ( ; ) d) ( B ; AB) 1 π 7π + d) n déplace le vecteur AB ; on le représente en prenant B pour orgne Autrement dt, on «crée» le pont F tel que BF= AB Fgure avec codages (codages des segments de même longueur) : Les trangles présentent des partculartés (ls sont équlatérau ou socèle rectangles) donc les angles sont connus ans un trangle équlatéral, les angles mesurent 60 ou π radans ans un trangle socèle rectangle, les angles à la base mesurent 5 ou π radans II (6 ponts) deu vecteurs non nuls du plan orenté tels que ( u ; v) Sot u et v = et eercce n a pas été très ben réuss et eercce n a pas été réuss du tout π = π 6 a) ( A ; A) d) ( B ; AB) 7π 11π B ; AB = 6 b) ( ; A) ou ( ) 1 c) ( ; ) 11π = ou ( ; ) Les sgnes dovent être très apparents dans les réponses ; ls dovent auss être ben postonnés par rapport à la barre de fracton Fare apparaître sur la fgure c-dessus, en utlsant le codage spécfque au angles orentés, les mesures données précédemment pour les tros premers angles orentés Ne pas tracer les vecteurs 1 ) Recoper et compléter la prase : «Les mesures en radans de l angle orenté ( u ; v) Les mesures en radans de l angle orenté ( u ; v) sont tous les nombres de la forme» π sont tous les nombres de la forme + k π avec k Z ) onner, sans ustfer, la plus grande mesure en radans négatve de l angle orenté ( u ; v) 5π (un seul résultat) Pour trouver ce résultat, on représente les mesures trouvées à la queston précédente sur la drote réelle La mesure cercée est celle stuée mmédatement «à gauce» de 0

4 ) onner, sans ustfer, la mesure en radans de l angle orenté ( u ; v) (un seul résultat) qu appartent à l ntervalle [ 10 ; ] π π Le résultat de cette lmte est fn donc f est dérvable en et le nombre dérvé de f en est n peut écrre f '( ) n vérfe ce résultat sur la calculatrce (avec la commande spécale permettant de calculer un nombre dérvé) 0 π 10π + 10π π 10π π + 10π ) Sot A le pont de d abscsse n note T la tangente à au pont A Recoper et compléter la prase permettant de défnr T : «T est la drote passant par et de coeffcent drecteur» T est la drote passant par A et de coeffcent drecteur ) n donne la courbe sur le grapque c-dessous Placer le pont A et tracer la tangente T en A à en rouge Écrre le nom de cette tangente III (1 pont) Queston de cours Sot f une foncton défne sur ntervalle I n note sa courbe représentatve dans un repère (,, ) Sot a un réel appartenant à I n suppose que f est dérvable en a n note T la tangente à au pont d abscsse a n marque les lgnes de cote du pont A n écrt les valeurs de ses coordonnées T ompléter la prase : ans cette équaton, l ne faut pas oubler le = T a pour équaton f '( a)( a) f ( a) + A IV (6 ponts) n consdère la foncton f : et on note sa courbe représentatve dans le plan mun d un repère,, ( ) 1 ) alculer f f alculons f ( ) = où un réel non nul n donnera le résultat sous forme smplfée Sur ce deuème grapque, placer le pont A Tracer T en utlsant la représentaton conventonnelle sous la forme d une «double flèce» Ne pas écrre le nom de cette tangente Placer le sommet S de et tracer de même la tangente au pont S sous la forme d une double flèce alculons ( ) ( ) ( ) f + = où : ( ) ( ) f + f + = = ( ) le présent au dénomnateur «s évanout» émontrer que f est dérvable en et donner le nombre dérvé de f en Lorsque tend vers 0, f f tend vers

5 S A Varable : m, un réel supéreur ou égal à 0 (montant des acats avant remse) ntrée : Sasr m Tratement : S m 150 Alors m prend la valeur m 50 (montant après remse) Snon m prend la valeur m 0 (montant après remse) FnS V ( ponts) Sorte : Affcer m n peut lre à l entrée d un magasn : «Auourd u, pour tout acat, nous vous offrons une remse de 0 euros t s le montant de vos acats attent 150 euros, nous vous offrons une remse de 50 euros!» Le but de l eercce est d écrre un algortme qu affce en sorte le pr à paer lorsque l on sast le pr avant la remse en entrée n se place dans le cas d un acat d un montant supéreur ou égal à 0 ans le premer encadré, on donne une rédacton de l algortme en «langage ntermédare» Écrre cet algortme en «langage naturel» dans le deuème encadré Il est demandé de respecter les règles abtuelles de rédacton d un algortme en «langage naturel» c est-à-dre en franças (pas de «langage calculatrce») Langage ntermédare (non formalsé) n demande le montant des acats en euros, noté m S m est supéreur ou égal à 150, alors on a 50 de remse ans le cas contrare, on a 0 de remse Varables : m, un réel supéreur ou égal à 0, un réel ntrée : Sasr m Tratement : S m 150 Alors prend la valeur m 50 Snon prend la valeur m 0 FnS Sorte : Affcer n rappelle la formulaton d une nstructon d affectaton : «a prend la valeur» n ne demande pas de programmer cet algortme sur calculatrce

1 2 i. ; z10 = 1 + i + i 2 + i 3 + i 4 + i 5 + i 6.

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