L ANALYSE EN COMPOSANTES PRINCIPALES

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1 L ANALYSE EN COMPOSANTES PRINCIPALES A.C.P. Remarque: Les aspects mathématiques et les démostratios serot développés e cours Pierre-Louis Gozalez

2 INTRODUCTION Doées : idividus observés sur p variables quatitatives. L A.C.P. permet d explorer les liaisos etre variables et les ressemblaces etre idividus. Résultats : Visualisatio des idividus (Notio de distaces etre idividus) Visualisatio des variables (e foctio de leurs corrélatios)

3 INTERPRÉTATION DES RÉSULTATS Mesurer la qualité des représetatios obteues : critère global critères idividuels «Doer des oms aux axes» Expliquer la positio des idividus Utilisatio évetuelle de variables supplémetaires (illustratives) 3

4 I. L ANALYSE EN COMPOSANTES PRINCIPALES LE PROBLÈME. LES DONNÉES p variables quatitatives observées sur idividus. X X X j X p x x j x p x x j x p X (,p) x x i j x i p idividu e' i x x j x p Variable X j p INDIVIDU = Élémet de R p VARIABLE = Élémet de R 4

5 O cherche à représeter le uage des idividus. A chaque idividu oté e i, o peut associer u poit das R p = espace des idividus. X 3 x i 3 e i x i X x i X A chaque variable du tableau X est associé u axe de R p. Impossible à visualiser dès que p > 3. 5

6 . PRINCIPE DE L A.C.P. O cherche ue représetatio des idividus e, e... e, das u sous-espace F k de R p de dimesio k (k petit ; 3...) (par exemple u pla) Autremet dit, o cherche à défiir k ouvelles variables combiaisos liéaires des p variables iitiales qui ferot perdre le mois d iformatio possible. Ces variables serot appelées «composates pricipales», les axes qu elles détermiet : «axes pricipaux» les formes liéaires associées : «facteurs pricipaux» 6

7 «Perdre le mois d iformatio possible» F k devra être «ajusté» le mieux possible au uage des e i : la somme des carrés des distaces des e i à F k doit être miimale. F k est le sous-espace tel que le uage projeté ait ue iertie (dispersio) maximale. et sot basés sur les otios de : distace projectio orthogoale 7

8 e i e j β j β i Δ f i f j α i α j Δ La distace etre f i et f j est iférieure à la distace etre e i et e j 8

9 3. LE CHOIX DE LA DISTANCE ENTRE INDIVIDUS y B y A A B Das le pla : (, ) = ( ) + ( ) d A B x x y y B A B A x A x B Das l espace R p à p dimesios, o gééralise cette otio : la distace euclidiee etre deux idividus s écrit : e e ( x p x... x) ( x p x... x) i = i i i j = j j j p p ( i, j) = ( i j) + ( i j) +... ( i j ) d e e x x x x x x p k k ( i, j) = ( i j ) d e e x x k=! Le problème des uités? 9

10 Pour résoudre ce problème, o choisit de trasformer les doées e doées cetrées-réduites. L observatio x i k est alors remplacée par : xx k i UNITÉS D ÉCART TYPE : s k k où : x k = moyee de la variable X k Δ k = écart-type de la variable X k Exemple : Puissace moyee de 30 voitures Ecart-type Reault TXI : 40 ch = 9 ch = 4 ch La Reault TXI a ue puissace qui est de : 40 9 = écarts-type au-dessus de la moyee. 4 0

11 4. INERTIE TOTALE I g = d i ( ei, g) = somme podérée des carrés des distaces des idividus au cetre de gravité g. L iertie mesure la dispersio totale du uage de poits. L iertie est doc aussi égale à la somme des variaces des variables étudiées. E otat V la matrice de variaces-covariaces : V = s... s p s s... s p s p... I g I = g = p s i i= ( ) Tr V Remarque : Das le cas où les variables sot cetrées réduites, la variace de chaque variable vaut. L iertie totale est alors égale à p (ombre de variables).

12 Remarque : Equivalece des deux critères cocerat la «perte d iformatio» Projectio orthogoale du uage sur u sous-espace e i F g f i Soit F u sous-esemble de R p f i la projectio orthogoale de e i sur F O va chercher F tel que : i= p e f i i i soit miimal théorème de Pythagore à maximiser :, ce qui reviet d après le i= p f g i i, car o a : i i i i e g = e f + f g i=... Doc : pi ei g pi ei f i = pi f i g i = i = i = quatité fixe miimiser cette quatité (carrés des distaces etre poits idividus et leurs projectios maximiser l iertie du uage projeté

13 II. LA SOLUTION DU PROBLÈME POSÉ La recherche d axes portat le maximum d iertie équivaut à la costructio de ouvelles variables (auxquelles sot associées ces axes) de variace maximale. E d autres termes, o effectue u chagemet de repère das R p de faço à se placer das u ouveau système de représetatio où le premier axe apporte le plus possible de l iertie totale du uage, le deuxième axe le plus possible de l iertie o prise e compte par le premier axe, et aisi de suite. Cette réorgaisatio s appuie sur la diagoalisatio de la matrice de variaces-covariaces. 3

14 . SOLUTION Axes pricipaux O appelle axes pricipaux d iertie les axes de directio des vecteurs propres de V ormés à. Il y e a p. Le premier axe est celui associé à la plus grade valeur propre λ. O le ote u. Le deuxième axe est celui associé à la deuxième valeur propre λ. O le ote u. Composates pricipales A chaque axe est associé ue variable appelée composate pricipale. La composate c est le vecteur refermat les cordoées des projectios des idividus sur l axe. La composate c est le vecteur refermat les cordoées des projectios des idividus sur l axe. Pour obteir ces coordoées, o écrit que chaque composate pricipale est ue combiaiso liéaire des variables iitiales. Exemple : c = u x + u x +... u x p p 4

15 . PROPRIÉTÉS DES COMPOSANTES PRINCIPALES La variace d ue composate pricipale est égale à l iertie apportée par l axe pricipal qui lui est associé. ère composate c variace : λ ème composate c variace : λ 3 ème composate c 3 variace : λ 3 Les composates pricipales sot o corrélées deux à deux. E effet, les axes associés sot orthogoaux. 5

16 3. REPRÉSENTATION DES INDIVIDUS La j ème composate pricipale c j j c j c = c... j fourit les coordoées des idividus sur le j ème axe pricipal. Si o désire ue représetatio plae des idividus, la meilleure sera celle réalisée grâce aux deux premières composates pricipales. e i c i g c i! e j Attetio à la qualité de représetatio de chaque idividu. 6

17 4. REPRÉSENTATION DES VARIABLES Les «proximités» etre les composates pricipales et les variables iitiales sot mesurées par les covariaces, et surtout les corrélatios. j i ( ) rc, x est le coefficiet de corrélatio liéaire etre c j et x i. c (, x i ) r c x i (, x i ) r c c CERCLE DES CORRÉLATIONS 7

18 5. INTERPRETATION DES «PROXIMITÉS» ENTRE VARIABLES O utilise u produit scalaire etre variables permettat d associer aux paramètres courats : écart-type, coefficiet de corrélatio liéaire des représetatios géométriques. i j ( x x ), = k= O suppose les variables cetrées. x i k x j k ( x i, x j ) = Cov ( x i, x j ) i i j i x = ( x x ) = ( xk) x i, k= = s = variace de x i i x i = écart-type de x i Coefficiet de corrélatio liéaire i j i j Cos ( X i, X j ) ( X, X ) Cov ( X, X ) = = = i j X X si s j i j (, ) r X X 8

19 X 3 X X X et X ot ue corrélatio proche de. X et X 3 ot ue corrélatio proche de 0. 9

20 III. VALIDITÉ DES REPRÉSENTATIONS. CRITÈRE GLOBAL λi λ + λ +... λ p mesure la part d iertie expliquée par l axe i. Exemple : λ+ λ est la part d iertie expliquée par le p λ premier pla pricipal. i i= Ce critère (souvet exprimé e pourcetage) mesure le degré de recostitutio des carrés des distaces. La réductio de dimesio est d autat plus forte que les variables de départ sot plus corrélées. 0

21 Combie d axes? Différetes procédures : Pourcetage d iertie souhaité : a priori Diviser l iertie totale par le ombre de variables iitiales iertie moyee par variable : I.M. Coserver tous les axes apportat ue iertie supérieure à cette valeur I.M. (iertie > si variables cetrées réduites). Histogramme λ.... λ λ 3 = 4,5 = 3,8 =,9 λ λ λ 3 λ 4 λ 5 λ 6 λ 7 cassure

22 . CRITÈRES INDIVIDUELS Pour chaque idividu e i, la qualité de sa représetatio est défiie par le carré du cosius de l agle etre l axe de projectio et le vecteur e i. e i axe θ θ θ f i y axe cos θ= cos θ + cos θ E gééral, les qualités de représetatio sot doées axe par axe. Pour avoir la qualité de représetatio das u pla, o additioe les critères correspodat aux axes étudiés.! Ce critère a pas de sigificatio pour les idividus proches de g. regarder les distaces des idividus au cetre de gravité g utiliser le critère de cos pour les idividus suffisammet éloigés de g.

23 CONTRIBUTIONS Il est très utile aussi de calculer pour chaque axe la cotributio apportée par les divers idividus à cet axe. Cosidéros la k ème composate pricipale c k, soit c i k composate pour le i ème idividu. la valeur de la ( k i ) c =λ i= k La cotributio de l idividu e i à la composate k est défiie par : ( c k i ) λ k Remarque : Il est pas souhaitable qu u idividu ait ue cotributio excessive (car facteur d istabilité) élimier les idividus dot la cotributio est trop importate. Problème des equêtes par sodage 3

24 3. REPRÉSENTATION DES VARIABLES Le cercle des corrélatios est la projectio du uage des variables sur le pla des composates pricipales. corrélatio = cosius c c Les variables bie représetées sot celles qui sot proches du cercle : celles qui sot proches de l origie sot mal représetées. 4

25 4. INTERPRÉTATION EXTERNE : VARIABLES ET INDIVIDUS SUPPLÉMENTAIRES (ILLUSTRATIFS) Variables Variable quatitative : O calcule le coefficiet de corrélatio etre la variable supplémetaire et les composates pricipales. Ceci permet sa représetatio sur le cercle des corrélatios. Variable qualitative : Idetificatio des idividus de chaque catégorie de la variable 5

26 Représetatio de chaque catégorie par so cetre de gravité. Calcul du rapport de corrélatio etre la variable qualitative supplémetaire et chaque composate pricipale (test de Fischer- Sedecor) ou valeur-test das SPAD. Idividus Idividu de poids ul e participat pas à l aalyse (fichier test). Appliquer aux coordoées de l idividu les expressios défiissat les composates pricipales. 6

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