Fractals, multifractals

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1 A. BIAOU Ecole des Mines de Paris, Centre d informatique Géologique P. HUBERT Ecole des Mines de Paris, Centre d informatique Géologique D. SCHERTZER Metéo-France et LMM, Université Paris VI. Fractals, multifractals et prévisions des précipitations F. HENDRICKX EDF R&D, LNHE Chatou 1. TCHlGUlRlNSSKAlA UMR Sisyphe, LGA, Université Paris VI, H. BENDJOUDI UMR Sisyphe, LGA, Université Paris VI, Hocine.Bend jussieu.fr La notion de dimension fait penser à celle développée par Euclide depuis l an 300 sur les dimensions entières. Cependant, il existe une autre. notion de dimension développée dès 1919 par le mathématicien Hausdorff, il s agit de la notion de dimension non entière. Il faudra attendre le mathématicien Mandelbrot pour donner un sens physique à cette notion de dimension non entière ; les objets qui présentent une dimension non entière sont des objets dits fractals et la géométrie de ces objets est dite géométrie fractale. Ces objets présentent une caractéristique importante à savoir, leur invariance d échelle : observés sous différentes résolutions, ces objets présentent une propriété qui ne varie pas. La géométrie fractale connaît de plus en plus d applications dans diverses disciplines de la science et de la technique. Celle qui nous intéresse est celle des phénomènes de turbulence en géophysique. En effet, il a été établi que ces phénomènes présentent en leur sein une invariance d échelle qui leur confère les propriétés des champs multifractals. Les champs de précipitation étant des champs turbulents, on peut utiliser les techniques d analyse multifractale pour étudier les problèmes de leur passage d échelle tant spatiale que temporelle (désagrégation spatio-temporelle par cascades des champs) de la méso échelle à la micro échelle. L importance de cette désagrégation réside dans sa possibilité de contribuer à la prévision saisonnière des précipitations à l échelle de la plupart des modèles hydrologiques (micro-échelle), à partir des prévisions des Modèles de Circulation Générale (MCG) qui sont des prévisions à la méso-échelle. Dans cet article, nous appliquons les techniques d analyse multifractale aux séries pluviométriques de la France (fournies par Météo France dans le cadre du partenariat avec EDF, organisme commanditaire de cette étude) afin d en calculer les paramètres multifractales. Mais avant, nous faisons un bref aperçu sur les notions de fractal et de multifractals avant de passer à leur application dans le cadre concret de l hydrologie. Mots-clés : fractais, multifractals, transferts d échelles, modélisation, Météo France, prévisions, champs pluviométriques. Abstract The concept of dimension recalls the notion developed by Euclid since 300 A.D. about integer dimensions. However, there is another notion of dimension developed since 1919 by the mathematician Hausdorff about non-integer dimension. Mandelbrot was the first Who gave a physical sense to this notion; the objects which present a non-integer dimension are fractal objects and their geometry is fractal geometry. These objects present an important characteristic, their scale invariance: under various resolutions, the shape of these objects does not Vary when the scale of observation changes. Fractal geometry has more and more applications in different disciplines of science and technology. One of these applications which interests us is the turbulence phenomena in geophysics. Indeed, it was established that these phenomena present scale invariance which confers them the properties of multifracta1 fields. The techniques of multifractal analysis are used to study the problems of downscaling (disaggregation by cascade of these fields) of rain fields from the meso-scale to the micro-scale. The importance of this disaggregation lies on its possibility to contribute to the seasona1 forecast of precipitation at the scale of most of hydrological models (microscale), using the forecasts from General Circulation Models (GCM) at the mesoscale. In this paper, we applied the multifractal analysis techniques to the rainfall data of France (provided by Météo-France within the framework of the partnership with Electricité De France) to compute the multifractal parameters. We first outline briefly the concept of fractal and of multifractal then their application to hydrology field is presented. Key words : fractals, multifractals, dowscaling, modeling, Météo Franc, forecasting, rain fields.. SUD SCIENCES & TECHNOLOGIES Nol O - juin 2003

2 INTRODUCTION Les objets fractals et la géométrie fractale La figure 1 représente des objets fractals : l étoile de David et la branche de Barnsley. Nous pouvons constater sur la figure lb qu une petite branche a approximativement une même forme que la branche la plus grande immédiatement au-dessus, elle aussi ayant la même forme que l objet entier. On pourrait dire que la forme des branches ne dépend pas de l échelle à laquelle on les considère, d où une définition d un objet fractal : c est un objet dont la forme ne dépend pas de l échelle 5 laquelle on l observe. Les images fractales sont attractives du point de vue de leur esthétique ; les constructeurs d objets fracials laissent court 5 leur imagination et créent de triis belle4 irnageu Mais on peut se povx ia question de savoir si ces objets fractais présentent une utilité dans la \ie courante ou dans le., doniaines d utilité publique. Outre de servir de fond pour certains jeux (utilisation des fractals dans les jeux vidéos pour la création d objets virtuels réalistes : arbres, montagnes, forêts, etc.), on peut remarquer certaines utilisations des fractals dans plusieurs domaines scientifiques et techniques : - Les fractals ont un lien très étroit avec le hasard, et permettent donc de modéliser des expériences aléatoires complexes, d où une utilisation en finance, pour modéliser les variations des cours de la bourse. - Utilisation de la géométrie fractale en biologie, en pharniacologie et en médecine, pour la simulation des réseaux sanguins et neuronaux, la détection des maladies de l ail, du cancer du sein, et l étude des poumons. - Utilisation de la géométrie fractale dans 1,i compression des images et iiu son. - Application de la gcométïie fractale ii l étude des rnouvements chaotiques et!i;rbuleiits. cominc czitx par e~einp~ê d une particule très légère à la surface d un liquide (mouvement Brownien), ou ceux des masses atmosphériques, pour les prévisions météorologiques... On peut aussi modéliser le relief terrestre, mesurer la longueur et étudier la forme des côtes (Exemple classique de la côte de Bretagne, qui paraît aussi complexe vu d un satellite, ou vu de l observateur qui se promène sur la côte). Dimension fractale et codimension Les objets fractals sont caractérisés par leur dimension fractale, qui peut être non entière. Cette dimension fractale est calculée à l aide de la méthode dite de comptage de boîtes (équation 1): p(c) est le nombre de boules. de dirnension E, nécessaires pour paver sans recouvrement un objet.j SUD SCIENCES & TECHNOLOGIES N I0 - juin 2003

3 fractal de dimension initiale r,. La dimension euclidienne obéit à cette définition de la dimension fractale, aussi, la dimension fractale possède les propriétés d une dimension géométrique (Hubert et Carbonnel, 1989). On peut introduire, en outre, pour un objet fractal, la notion de codimension, qui est en fait la dimension de l espace supplémentaire, par rapport au support de l objet fractal. Si C représente la codimension, alors on a C = D - D,, D, étant la dimension fractale de l objet fractal et D la dimension de son support. La pluie en un lieu donné, présente un caractère intermittent (une succession d états secs et pluvieux au cours du temps). Hubert et Carbonnel, (1989) ont utilisé ce caractère intermittent pour calculer la dimension fractale de l occurrence de la pluie i~ Ouagadougou et à Dédougou. Mais pour une étude objective des pluies, on ne peut se limiter au cas simple de l intermittence de la pluie, il faut prendre en compte aussi l intensité de celleci, puisqu on gagne beaucoup plus d information en mesurant non seulement l occurrence de la pluie, mais aussi son intensité. Des études ont été conduites dans ce sens, notamment, sur I établissement des équations formelles des courbes Intensité-Durée- Fréquence (IDF) à l aide des propriétés multifractales d invariance d échelle (Bendjoudi et al., 1997), sur l étude multifractale des longues séries pluviométriques (Karambiri et al., 2000), et bien d autres encore qui sont citées dans les parties suivantes. Vers les multifractals : Cas des champs de précipitations Les champs de précipitations appartiennent à l ensemble des phénomènes de turbulence en géophysique et il a été montré (Kolmogorov, 1962; Novikov et Stewart, 1964; Yaglom, 1966; Mandelbrot, 1974) que, pour ces phénomènes, les transferts d énergie ou d intensité des plus grosses structures aux plus petites structures s effectuent de façon multiplicative : un facteur aléatoire détermine la fraction de flux transmis d un gros tourbillon à un plus petit. En itérant indéfiniment ce processus, le rapport d échelle : A = Wi tendant vers l infini, L étant l échelle externe et i étant l échelle la plus fine, on observe l apparition de singularités: en certains points le champ prend des valeurs de plus en plus extrêmes, la plupart du temps il devient de plus en plus faible. Cela correspond au fait que l on concentre l activité du champ sur une fraction de plus en plus faible de l espace tout en voulant habituellement respecter certaines lois de conservation (par exemple l énergie dans le cas de la turbulence). Le modèle le plus simple de cascade est le a-modèle, (Schertzer et Lovejoy, 1984 ; Levitch et Tzvetkov, 1985; Bialas et Peschanski, 1986; Levitch et Shtilman, 1991) ; il est obtenu à partir d un facteur multiplicatif à deux états, la loi de conservation devant être respectée en moyenne d ensemble. Si E,~ est la valeur du champ (par exemple la densité du flux d énergie vers les petites échelles), après y1 itérations E,, =,LL&. E ~ où ~ - ~,ue est le facteur aléatoire à deux états, on obtient l équation (2) y+, y et C sont contraints à respecter [p&] = 1 (la natation [.] signifie la moyenne d ensemble). Le cas (monofractal) du P-modèle (Frisch et al., 1978) est obtenu quand y- = - 00, y = C. Les sous tourbillons sont morts ou vifs et C est l unique codimension de l unique support de la turbulence de dimension fractale DF = D - C. Les singularités pures y +, y créent, étape après étape, une hiérarchie infinie de singularités mixtes (y- 5 y< y ) ; ainsi à la nisrne étape, on aboutit à l équation (3). La probabilité que la divergence du champ E,, s effectue plus rapidement qu avec la singularité yest donnée par l équation (4) SUD SCIENCES & TECHNOLOGIES NoIo - juin 2003

4 où cn(y) désigne la codimension de la singularité observée à la nlème étape. Lorsque n >> 1 ; cn(y) =: c(y) est une fonction indépendante de n. De façon plus générale, la distribution de probabilité d un champ multifractal EL (champ E à l échelle A ) respecte (Schertzer et Lovejoy, 1987) la loi d invariance d échelle suivante : c(y) correspond alors à la codimension de l occurrence de singularité y, mais comme elle dépend (sauf cas exceptionnel du P-modèle) de la valeur de y, on obtient donc une hiérarchie infinie de codiinensions (Parisi et Frisch. 1985). De façon générale, lin champ inultifractal :i la résolution E~~ est caractérisé par une infinité de singularités d ordre y et varie comme une fonction algébrique de y : riance multiple ( multiple sca- Zing ) des moments statistiques du champ E au rapport d échelle A (Schertzer et Lovejoy, 1987) : (7) K(q) est appelée fonction d échelle ou fonction de scaling des moments d ordre q. Elle dépend d une infinité de paramètres, mais Schertzer et Lovejoy, (1987) ont montré que deux de ces paramètres pertinents suffisent (dans le cas des champs conservatifs, sinon un troisième paramètre s impose : H) pour décrire cette fonction. On obtient dans ce cas, un modèle universel qui correspond à une loi stable de Lévy. Dans le cadre de cette universalité, la fonction de scaling des moments s écrit (Schertzer et Lovejoy, 1989) : où Cl est la codimension de la singularité moyenne - a, l indice de Lévy, est le degré de multifractalité du champ étudié. La détermination de ces paramètres (analyse multifractale du champ) se fait grâce à la méthode du double trace moment DTM (Lavallée, 1991). Détermination de aet Cl : la méthode du << Double Trace Moment n DTM Elle consiste à introduire le champ E~ J, partir du champ EL, comme les puissances normalisées (pour différentes valeurs de q) du champ EL : (9) Les moyennes d ensemble des moments d ordre q du nouveau chainp obtenu, pour chaque valeur de q s écrivent alors (équation 10) : où le symbole - correspond à une égalité au premier ordre en loi de puissance de A. Chaque singularité y est caractérisée par la dimension fractale D(y) associée au support de y (d où l appellation multifractal du champ EL). A cette hiérarchie correspond (par le biais d une transformée de Legendre (Parisi et Frisch, 1985)) une loi d inva- SUD SCIENCES & TECHNOLOGIES q fixé I I I I IA 4,s =$ Courbe de K (q) par rapport $q Détermination de a et ( NO10 - juin 2003 l

5 données manquantes possibles (< 0.5 %), dans la période allant de 1997 à 2001 qui est la période commune présentant le moins d anomalies possibles. Ceci a servi à constituer des séries de six minutes ainsi que des séries journalières qui ont servi à conduire les analyses temporelles multifractales. A Pour les multifractals universels, pour lesquels la fonction de sca- Zing K(q) est définie par l équation (8), l équation (11) permet d écrire simplement K(q, q) sous la forme : Puissance r) de chaque pixei. d anomalies, notamment celles relatives aux données manquantes. En effet, au niveau de certaines stations, le pourcentage en temps de données manquantes, par rapport à la durée totale de la période d enregistrement, est assez élevé. Nous avons donc extrait, à partir de cette base, 105 stations qui présentent le moins de METHODOLOGIE Pour l application de la méthode du DTM, nous utilisons des résolutions multiples des puissances de 2. La notion de résolution ici est identique à celle des cartes ou des images. Pour fixer les idées, on dit qu une image est à la plus grande résolution lorsqu on arrive à voir les plus petits détails de cette image après un zoom convenable. Dans notre cas, pour les séries journalières, la plus grande résolution correspond à il = 1 jour (détail le plus fin observable L équation (12) montre qu on peut déterminer directement l indice a de Lévy en représentant dans un diagramme Log-Log la courbe K(q, q) = f(q) pour une valeur de q fixée. 51 T Stations pluviométries I ~ - _ ~.Base de donnees PRECIP l 105 Stations retenues ~ 1 DONNEES Les données utilisées pour cette étude proviennent de la base PRECIP de météo France constituée par 243 stations échantillonnées (fg.4) au pas de six ininutes dans la période allant du ier janvier 1990 au 31 juillet faut préciser que cette base présente un certain nombre Longitude ( 1 O 0 0 O b SUD SCIENCES & TECHNOLOGIES

6 pour une série journalière). On dégrade le signal en passant successivement par des résolutions d = 2 jours, d = 4 jours, A = 8 jours, d = 16 jours... De même, pour les séries de six minutes, la plus grande résolution correspond à d = 6 m inutes (détail le plus fin observable pour une série de six minutes). Les dégradations du signal correspondent aux résolutions successives il = 6 x 2I = 12 minutes, il = 6 x 2 minutes, d = 6 x 2 minutes... LOG(DTM: an Station 1 JO P O 69) R2 = O O 3 11 Késoluhon 1 Ji agiki4=1 5 Tu y = 06213~ -O 6629 OG(DTM: 1 an Résoluho O Station 1JO ) J53094O01 aikh 7 5 li y = O 682x - O 6574 R =à I I Pour les séries journalières, nous constituons un échantillon de 2 = 1024 valeurs journalières de pluie (4 années de données journalières correspond approximativement jours). Pour les séries de 6 minutes, nous constituons 40 échantillons consécutifs de (= 2 ) hauteurs de pluies de six minutes soit valeurs (une 5érie de six miriu:es sur 3 dniiées correspond 5 environ valeurs de pluie de six minutes). Les valeurs des paramètres correspondant à chaque série sont obtenues en prenant la moyenne des résultats sur les 40 échantillons constitués pour chaque série. L application de la méthode du DTM consiste à considérer un échantillon à sa plus grande résolution et à prendre la moyenne d ensemble des puissances q (q étant fixé) de chaque pixel. On dégrade le signal (il s agit de prendre la valeur moyenne de deux pixels adjacents qu on attribue à un pixel pour obtenir la série, mais à une résolution plus faible, 2 jours), puis on prend les puissances q (niême valeur de q que dans le cas de la plus grands résoliitionj de la nouvelle série obtenue. Or; r6pkte cette oph-ation jusqu a la plus petitlr résolution (A = 2 = 1024 joui-s dans le cas des séries journalières et il = 2 = 8192 dms le cas des série de six minutes). Ch trace dans un diagramme logarithmique, la courbe des valeurs moyennes en fonction de la résolution, pour la valeur de q utilisée, et pour une valeur de q fixée une fois pour toutes. Pour cette valeur de q, la pente de la partie linéaire de cette courbe donne la quantité K(q,q). Il faut signaler que cette partie linéaire est la portée sur laquelle on obtient une invariance d échelle pour cette série. On répète cette opération sur diverses valeurs de q et on trace la courbe K(q,q) en fonction de q en diagramme I O 05 1 LOOlrii logarithmique. La pente de la partie linéaire de cette courbe donne la valeur de l index de Lévy a de la série étudiée. L ensemble des calculs s est déroulé à l aide de codes développés en langage FORTRAN. RESULTATS ET DISCUSSION Cette méthode, appliquée à chacune des 105 séries journalières, montre que l invariance d échelle (partie linéaire du DTM en fonction de la résolution) ou encore «scazing» s observe entre 1 jour et globalement 2 semaines ( g.5). Les pentes de ces parties linéaires sont relevées pour chacune des 30 valeurs de q utilisées et ont permis de tracer pour chacune de ces séries les courbes K(q,q) en fonction de q, également en diagramme logarithmique (voir quelques exemples fig.6). Les valeurs de l index de II faut préciser que le choix de q n a d effet que sur la zone observable de la courbe, inais pas d influence sur les paramètres à déterminer. Le plus important est donc de choisir judicieusement une valeur de q qui permet de bien apprécier la zone de scaling pour toutes les valeurs de q SUD SCIENCES & TECHNOLOGIES NO10 - juin 2003

7 Fr? 7 Y E Log$) 3 d ++++ LÉ T sont déterminées à l aide de ces courbes, puis, en remarquant que K(q,l) = K(q), on détermine aisément, sur la partie linéaire, la valeur de la codimension moyenne C,. -0g (DTW h 1 1 O SM p083) + 0 y = O 261 7x ; R2 = O O / SM~II 570m 1 2 Log$) 3 ++ I Sur l ensemble des 105 séries journalières étudiées, on obtient, pour ces paramètres, les valeurs moyennes suivantes : a = f 0.1 Cl = k 0.1 On procède de la même façon pour les séries de six minutes et on peut voir, à travers la figure 7, que le scaling pour les séries de six minutes se situe entre, 4 quelques heures (environ trois heures) à globalement deux semaines. Pour l ensemble des 105 séries de six minutes étudiées, les résultats obtenus se présentent comme suit : a = k 0.2 et Cl = tr 0.07 Ces différents résultats obtenus sont bien en accord avec ceux trouvés par d autres études : a f 0.05 et C1=0.60 k 0.02 pour des séries temporelles de précipitation à Nîmes-Courbessac (Ladoy et al., 1993), a =: 0.5 et Cl = 0.6 pour des données d accumulation journalière sur un réseau Résolution global (Tessier et az., 1993), a =: 6 mn 0.5 et C, =: 0.2 pour des données de résolution de 6 minutes enregistrées à l Île de la Réunion (Hubert et al., 1993). Les résultats des paramètres étudiés pour les séries de six minutes sont voisins de ceux des séries journalières, ce qui n est pas surprenant, puisque les séries journalières ont été reconstituées à partir de la même base que celles des séries de six minutes et pour les mêmes stations. Il est cependant important d attirer l attention sur le fait que la méthode utilisée ne dépend pas du pas de temps des séries étudiées. Ceci constitue l un des avantages de l utilisation (simultanément) de ces deux séries de données. L autre avantage réside dans le fait que ces séries sont complémentaires dans la détermination de la zone d invariance d échelle (surtout dans sa partie inférieure). En effet, les séries journalières ne permettent de détecter la borne inférieure de l invariance d échelle qu à sa plus grande résolution (1 jour). En revanche, les séries de six minutes (donc ayant pour plus grande résolution 6 minutes) permettent de situer la borne à globalement 3 heures. Cette zone d invariance d échelle est en accord avec celle trouvée pour des séries temporelles de précipitation à Nîmes-Courbessac et qui se situe entre 12 heures et 16 jours (Ladoy et al., 1993) CONCLUSION Pour l ensemble des séries utilisées, on se rend compte que l invariance d échelle qui réside dans SUD SCIENCES & TECHNOLOGIES Nol O - juin 2003

8 le phénomène de précipitation étudié se situe globalement entre quelques heures à quelques semaines. Ceci est très réconfortant dans la mesure où l objectif visé par ces analyses est de pouvoir utiliser la technique multifractale (donc d invariance d échelle) pour effectuer la désagrégation des champs de pluie, à partir des valeurs des modèles de circulation générale (MCG). En effet, à partir des paramètres obtenus, on construit le modèle de cascade multifractale dont le principe est de partir de la plus grande échelle et à l aide d un générateur aléatoire de cascades, arriver à la plus petite échelle. Les variables aléatoires du générateur suivent une loi stable de Lévy dont un paramètre important est le coefficient de Lévy précédemment déterminé. Les modèles de circulation gsnérale sont des modèles de pré\.- sion de i atmosphère sur de grandes mailles. Les prévisions à plus courte échéance sont réalisées à l aide des moaèles de désagrégation. Ainsi, en partant de ces prévisions à grandes échelles, et en effectuant une désagrégation temporelle et multifractale, on arrive à faire des prévision à courtes échéances, en mettant à profit l invariance d échelle ci-dessus évoquée. En perspectives, on pourra envisager un modèle de désagrégation spatiale, voire même spatiotemporelle, puis étudier la possibilité de conditionner ces modèles aux conditions orographiques spécifiques des milieux particuliers H SUD SCIENCES & TECHNOLOGIES NoIo - juin 2003

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