Cours 6 : Principes de la représentation des nombres en

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1 Cours 6 : Principes de la représentation des nombres en mémoire 2013/2014

2 Introduction Représentation des données en mémoire naturels signés Nous décrivons les principes de la représentation des nombres en mémoire

3 Représentation des données en mémoire Représentation des données en mémoire En informatique toutes les données sont stockées dans la mémoire. Il existe plusieurs types de mémoires : 1. Les registres : situés à l intérieur du processeur. 2. La mémoire principale : située sur la carte mère. Elle est de deux sortes : 2.1 La mémoire morte (ou non-volatile) : ROM (Read Only Memory). Le contenu est conservé même lorsque l ordinateur est éteint. On ne peut pas la modifier (on peut la mettre à jour). elle contient le programme lancé au démarrage de l ordinateur, qui reconnaît les périphériques et lance ensuite le système d exploitation situé en général sur un disque interne. 2.2 La mémoire vive (ou volatile) : RAM (Random Access Memory). Le contenu est effacé à l extinction de l ordinateur. C est la mémoire utilisée pour le chargement des données et l exécution de tous les programmes. Elle doit être d accès rapide. 3. La mémoire de stockage (Disque, DVD, cartes, clés USB, etc...). Elle peut y lire, et souvent y écrire. Elle est conservée en l absence d alimentation électrique. En général de grande capacité et d accès beaucoup plus lent que la RAM. 3.1 La mémoire secondaire : située à l extérieur de la carte mère, mais à proximité, relié à l aide d un bus. Exemple un disque dur interne. 3.2 La mémoire tertiaire : située à l extérieur, accessible via un réseau informatique. Exemple : un disque externe, un disque dur réseau. Toutes reliées au microprocesseur par les bus de commande et de données.

4 Représentation des données en mémoire Représentation des données en mémoire L unité de mémoire en informatique est le bit (physiquement constitué d une unité électronique pouvant prendre deux états, par exemple un condensateur, déchargé ou chargé). En informatique toutes les données, quelles qu elles soient, sont stockées sous la forme abstraite d une suite de zéros et de uns. Afin d optimiser l accès à la mémoire, un ordinateur manipule des unités de stockage plus importantes. Traditionnellement, l unité de stockage est l octet, constitué d un groupement de 8 bits. Les premiers ordinateurs personnels (transportables) étant 8 bits, c est à dire que processeur, bus, et mémoires avaient pour unité de stockage l octet, soit 8 bits. 8 bits (fin 70, premiers ordinateurs personnels, performances limitées) 16 bits (mi 80, les premiers PC, Apple Macintosh, Atari st, jeux graphiques,...) 32 bits (90, internet, système d exploitation avec interface graphique, multimédia,...) 64 bits (00, tout connecté, multitâche multimédia)

5 Introduction Repre sentation normalise e des entiers Repre sentation normalise e des nombres a virgule flottante Repre sentation des donne es en me moire Repre sentation des donne es en me moire L unite de me moire en informatique est le bit (physiquement constitue d une unite e lectronique pouvant prendre deux e tats, par exemple un condensateur, de charge ou charge ). En informatique toutes les donne es, quelles qu elles soient, sont stocke es sous la forme abstraite d une suite de ze ros et de uns. Afin d optimiser l acce s a la me moire, un ordinateur manipule des unite s de stockage plus importantes. Traditionnellement, l unite de stockage est l octet, constitue d un groupement de 8 bits. Les premiers ordinateurs personnels (transportables) e tant 8 bits, c est a dire que processeur, bus, et me moires avaient pour unite de stockage l octet, soit 8 bits. 8 bits (fin 70, premiers ordinateurs personnels, performances limite es) 16 bits (mi 80, les premiers PC, Apple Macintosh, Atari st, jeux graphiques,...) 32 bits (90, internet, syste me d exploitation avec interface graphique, multime dia,...) 64 bits (00, tout connecte, multita che multime dia) MPSI1 - Lyce e Thiers Cours 6 : Principes de la repre sentation des nombres en me moire

6 Introduction Repre sentation normalise e des entiers Repre sentation normalise e des nombres a virgule flottante Repre sentation des donne es en me moire Repre sentation des donne es en me moire L unite de me moire en informatique est le bit (physiquement constitue d une unite e lectronique pouvant prendre deux e tats, par exemple un condensateur, de charge ou charge ). En informatique toutes les donne es, quelles qu elles soient, sont stocke es sous la forme abstraite d une suite de ze ros et de uns. Afin d optimiser l acce s a la me moire, un ordinateur manipule des unite s de stockage plus importantes. Traditionnellement, l unite de stockage est l octet, constitue d un groupement de 8 bits. Les premiers ordinateurs personnels (transportables) e tant 8 bits, c est a dire que processeur, bus, et me moires avaient pour unite de stockage l octet, soit 8 bits. 8 bits (fin 70, premiers ordinateurs personnels, performances limite es) 16 bits (mi 80, les premiers PC, Apple Macintosh, Atari st, jeux graphiques,...) 32 bits (90, internet, syste me d exploitation avec interface graphique, multime dia,...) 64 bits (00, tout connecte, multita che multime dia) MPSI1 - Lyce e Thiers Cours 6 : Principes de la repre sentation des nombres en me moire

7 Représentation des données en mémoire Représentation des données en mémoire L unité de mémoire en informatique est le bit (physiquement constitué d une unité électronique pouvant prendre deux états, par exemple un condensateur, déchargé ou chargé). En informatique toutes les données, quelles qu elles soient, sont stockées sous la forme abstraite d une suite de zéros et de uns. Afin d optimiser l accès à la mémoire, un ordinateur manipule des unités de stockage plus importantes. Traditionnellement, l unité de stockage est l octet, constitué d un groupement de 8 bits. Les premiers ordinateurs personnels (transportables) étant 8 bits, c est à dire que processeur, bus, et mémoires avaient pour unité de stockage l octet, soit 8 bits. 8 bits (fin 70, premiers ordinateurs personnels, performances limitées) 16 bits (mi 80, les premiers PC, Apple Macintosh, Atari st, jeux graphiques,...) 32 bits (90, internet, système d exploitation avec interface évoluée, multimédia,...) 64 bits (10, tout connecté, multitâche multimédia)

8 naturels signés naturels En informatique les entiers naturels se représentent naturellement à l aide de leur écriture en base 2. Pour se donner un entier naturel on se donne habituellement son écriture en base 10. Un nombre dont l écriture décimale est a na n 1 a 1a 0 (a i valant 0, 1,..., 9) désigne le nombre : a n10 n + a n 110 n 1 n + + a a 0 = a k 10 k k=0 De la même manière pour tout entier naturel N il existe une unique suite suite a n, a n 1, a 1, a 0 de nombres valant 0 ou 1, tels que : n N = a k 2 k k=0 avec a n /= 0 si N /= 0, et la suite (0) pour N = 0. Sur un octet, 8 bits, on peut représenter tous les entiers de : = 0 à = = 255. Sur 2 octets, soit 16 bits, on peut représenter tous les entiers de : = 0 à = = Sur 4 octets, soit 32 bits, on peut représenter tous les entiers de : 0 à = Sur 8 octets, soit 64 bits, on peut représenter tous les entiers de : 0 à = Nota : Remarquer que : n fois 1 n 1 = k=0 2 k = 1 2n 1 2 = 2n 1.

9 naturels signés Conversion entier binaire En python et scilab il existe une fonction de conversion d un nombre, vers une chaîne de caractère contenant son écriture en base 2. Il existe aussi les fonctions réciproques : Conversion python scilab décimal vers binaire bin dec2bin binaire vers décimal int(.,2) bin2dec A gauche en python. Il met le préfixe 0b en début d une écriture binaire (optionnel). Le deuxième argument de int spécifie la base, ici 2. A droite en scilab.

10 naturels signés Limitation de la représentation des nombres Lorsque les nombres sont représentés dans un espace alloué de taille fixé, on peut être confronté à des problèmes de dépassement dans les calculs. Exemple : Dans la représentation sur 8 bits des entiers naturels : = le résultat de l addition de deux nombres d un octet peut donner un résultat qui ne peut pas s écrire sur 8 bits. Si le résultat de l opération est représenté sur 8 bits, le résultat retourné sera erroné, ce sera 0! En scilab on dispose des fonctions de conversion au codage des entiers naturels : uint8 uint16 uint32 fonction de conversion au codage entier non signé sur 1 octet fonction de conversion au codage entier non signé sur 2 octets fonction de conversion au codage entier non signé sur 4 octets Il faut faire très attention à la façon dont sont codés les nombres lorsque l on effectue des calculs complexes. En fait on calcule dans Z/2 N Z (N = 8, 16, 32, 64).

11 naturels signés Opérations binaires sur les entiers Puisque les entiers sont constitués d une suite 0 et de 1, on peut effectuer des opérations bit à bit comme des opérations logiques et, ou, non, ou exclusif. Exemple : Opération python scilab et bit à bit a & b bitand(a,b) ou bit à bit a b bitor(a,b) ou exclusif bit à bit aˆb bitxor(a,b) décalage à droite de a sur b bits a >> b décalage à gauche de a sur b bits a << b a*(2**b)

12 naturels signés Somme d entiers Un microprocesseur ne manipule que des données, suites de 0 et de 1, et des opérations logiques sur ces données. Comment réaliser une addition d entiers en n utilisant que des opérations binaires? L algorithme d addition d entiers binaires et similaire à l addition d entiers en base 10 : Exemple : Addition : = = et 7 = 111. retenue : 23 : :

13 naturels signés Somme d entiers Un microprocesseur ne manipule que des données, suites de 0 et de 1, et des opérations logiques sur ces données. Comment réaliser une addition d entiers en n utilisant que des opérations binaires? L algorithme d addition d entiers binaires et similaire à l addition d entiers en base 10 : Exemple : Addition : = = et 7 = 111. retenue : 1 23 : :

14 naturels signés Somme d entiers Un microprocesseur ne manipule que des données, suites de 0 et de 1, et des opérations logiques sur ces données. Comment réaliser une addition d entiers en n utilisant que des opérations binaires? L algorithme d addition d entiers binaires et similaire à l addition d entiers en base 10 : Exemple : Addition : = = et 7 = 111. retenue : : :

15 naturels signés Somme d entiers Un microprocesseur ne manipule que des données, suites de 0 et de 1, et des opérations logiques sur ces données. Comment réaliser une addition d entiers en n utilisant que des opérations binaires? L algorithme d addition d entiers binaires et similaire à l addition d entiers en base 10 : Exemple : Addition : = = et 7 = 111. retenue : : :

16 naturels signés Somme d entiers Un microprocesseur ne manipule que des données, suites de 0 et de 1, et des opérations logiques sur ces données. Comment réaliser une addition d entiers en n utilisant que des opérations binaires? L algorithme d addition d entiers binaires et similaire à l addition d entiers en base 10 : Exemple : Addition : = = et 7 = 111. retenue : : :

17 naturels signés Somme d entiers Un microprocesseur ne manipule que des données, suites de 0 et de 1, et des opérations logiques sur ces données. Comment réaliser une addition d entiers en n utilisant que des opérations binaires? L algorithme d addition d entiers binaires et similaire à l addition d entiers en base 10 : Exemple : Addition : = = et 7 = 111. retenue : : :

18 naturels signés Somme d entiers Un microprocesseur ne manipule que des données, suites de 0 et de 1, et des opérations logiques sur ces données. Comment réaliser une addition d entiers en n utilisant que des opérations binaires? L algorithme d addition d entiers binaires et similaire à l addition d entiers en base 10 : Exemple : Addition : = = et 7 = 111. retenue : : : Résultat : = = 30.

19 naturels signés Somme d entiers Remarquer que : Dans l addition de 2 bits a et b le résultat reporté est a ˆb, (a xor b) et la retenue a & b, (a et b). Ainsi dans l addition d entiers a,b : a+b= (aˆb) + ((a & b) << 1) = (aˆb) + (a & b)*2 On en déduit l algorithme suivant pour l addition d entier, ne faisant appel qu à des opérations binaires.

20 naturels signés Multiplication d entiers Pour la multiplication d entiers : N n k=0 b k 2 k = n k=0 N.b k.2 k. La multiplication d entiers est analogue à la multiplication décimale, mais en plus simple (plus nécessaire de connaître ses tables de multiplications). Exemple : = 90 = = On en déduit l algorithme de multiplication binaire : Pour récupérer le bit de poids i d un entier b il suffit de saisir b & 2**i, ou plutôt : b & (1 << i). C est sur ce modèle que le microprocesseur implémente une addition ou une multiplication d entiers non signés. Sur un ordinateur N bits le temps d exécution d une telle opération est majorée par une valeur constante (fonction de N).

21 naturels signés La représentation des entiers signés Pour représenter un entier signé (positif ou négatif) sur N bits (N = 8, 16, 32, 64), le bit de poids fort (le plus à gauche) est utilisé pour coder le signe : 0 pour positif, 1 pour négatif. On pourrait alors utiliser les N 1 bits les plus faibles pour coder la valeur absolue du nombre. Cela présenterait 2 désavantages : 1. Le zéro admettrait les deux représentations et (exemple sur 8 bits). Or la comparaison à zéro est une opération très souvent réalisée ; elle consisterait alors en 2 tests au niveau du processeur! 2. L algorithme d addition demeure correct entre entier positifs, mais est incorrect en général : = = = 3 ( 2) + ( 1) = = = = 3 ( 2) + 1 = = = 3 Pour y pallier on utilise la notation en complément à deux des entiers signés. En complément à deux : 1. Un nombre positif est codé normalement sur N bits. 2. Pour un nombre négatif. On part de l écriture binaire de sa valeur absolue sur N bits. On l inverse (changer 0 en 1 et 1 en 0, c est prendre le complément à 1), puis on ajoute Exemple : Pour coder sur 8 bits 9 en complément à deux : On part de 9 = On l inverse On ajoute 1 : 9 = L inverse de 0 est : inversé devient , +1 : = Zéro a une seule représentation sur N bits.

22 naturels signés Complément à deux Pour écrire 1 on prend le complément à deux de 1 = : complément à 1 = auquel on ajoute 1 : 1 s écrit tout comme 2 N 1 (ici N = 8). Avec la notation en complément à deux on peut représenter tous les entiers signés entre 2 N 1 et 2 N 1 1 (on peut représenter 2 N N 1 1 = 2 N N 1 = 2 N nombre différents sur N bits). La complémentation à 2 est une opération involutive : prendre le complément à deux du complément à deux d un nombre renvoie le nombre initial : Exemple : 9 = a pour complément à deux : = = 9. Le complément à deux de 1 = est En fait prendre le complément à deux de x consiste à représenter les N bits les plus faibles de 2 N x. En effet le complément à un consiste à représenter en binaire x = 2 N 1 x, et le complément à deux représente en binaire 2 N 1 x + 1 = 2 N x = x et n en garde que les N bits de poids faibles. Ainsi 2 N (2 N x) = 2 N 2 N + x = x (ici N = 8). L addition usuelle de nombres écrits en complément en deux est l écriture en complément à deux de leur somme. En effet : Si a > 0 et b < 0. a + b consiste à ajouter a et 2 N b qui donne 2 N + a b = 2 N + a + b qui s écrit comme a + b sur N bits par dépassement. De tête pour calculer un complément à 2 : 1. A partir de la valeur absolue du nombre. Par exemple 12 = Conserver tous les nombres à partir de la droite jusqu au premier 1 inclus : Inverser tous les autres : Complément à deux de 12 : = Exemple : ( 2) + ( 1) = = = = 3 correct ( 2) + 1 = = = 1 correct

23 naturels signés Compléments à deux L algorithme de multiplication fonctionne (sur un exemple) : (6) ( 5) * * * (-30)

24 naturels signés Représentation des nombres entiers en scilab Sous scilab on dispose des fonctions de conversion d un entier dans les divers types de codage : uint8 uint16 uint32 int8 int16 int32 fonction de conversion au codage entier non signé sur 1 octet fonction de conversion au codage entier non signé sur 2 octets fonction de conversion au codage entier non signé sur 4 octets fonction de conversion au codage entier signé sur 1 octet fonction de conversion au codage entier signé sur 2 octets fonction de conversion au codage entier signé sur 4 octets Attention sous scilab, les fonction dec2bin, bin2dec, bitand, bitor, bitxor ne fonctionnent qu avec des nombre positifs! On est confronté avec les entiers signés au mêmes problèmes de dépassement qu avec ceux non signés :

25 naturels signés Représentation des nombres entiers en scilab Sous scilab on dispose des fonctions de conversion d un entier dans les divers types de codage : uint8 uint16 uint32 int8 int16 int32 fonction de conversion au codage entier non signé sur 1 octet fonction de conversion au codage entier non signé sur 2 octets fonction de conversion au codage entier non signé sur 4 octets fonction de conversion au codage entier signé sur 1 octet fonction de conversion au codage entier signé sur 2 octets fonction de conversion au codage entier signé sur 4 octets Attention sous scilab, les fonction dec2bin, bin2dec, bitand, bitor, bitxor ne fonctionnent qu avec des nombre positifs! On est confronté avec les entiers signés au mêmes problèmes de dépassement qu avec ceux non signés :

26 naturels signés Représentation des nombres en programmation Dans les langages de programmation les plus courants les nombres entiers sont représentés sous cette forme, habituellement signés (en complément à deux), ou lorsque le type existe en entiers non signés. La plupart des langages de programmation proposent 2 formats d entiers signés : 1. Le type entier court, int ou encore short int : les entiers sont codés signés sur N bits (log 2 (N) octets), habituellement N = 32 ou 64 sur des équipements plus récents. On peut représenter efficacement tous les entiers signés sur la plage de valeurs de 2 31 = à = (N = 32, 4 octets). 2. Le type entier long, long ou encore long int : les entiers sont codés signés sur 2N bits. Lorsque N = 32 on peut représenter tous les entiers signés entre 2 63 = à = Certains admettent aussi un type unsigned ou uint, unint pour coder des entiers non signés ; la limite de dépassement est doublée quand le nombre de bits augmente de 1 : = =

27 naturels signés En python on dispose de deux formats d entiers, courts et long. Mais : 1. python pratiquant le typage dynamique, c est l interpréteur qui bascule automatiquement en cas de dépassement d un format à l autre. Pour l utilisateur tout est transparent, et corresponds au seul type int... Un L placé en fin de nombre témoigne du format utilisé. 2. en format court, le nombre est codé signé sur 32 bits (voire 64 bits) (en complément à deux). 3. en format long, le nombre d octet alloué est fixé par l interpréteur selon le besoin et n a pas de limité prédéfinie : dans la pratique aucun calcul raisonnable ne devrait aboutir à une erreur de dépassement de capacité. Cependant il existe toujours un capacité limitée par les capacités de stockage de l ordinateur. On peut forcer un format long en concaténant au nombre le suffixe L, pour Long. Exemple : mon interpréteur python code les entiers courts signés sur 64 bits. Expliquer les différents suffixes L apparaissant ou non. Sans typage dynamique un dépassement aurait eu lieu. Mon interpréteur stocke en format court tous les entiers signés de à

28 Représentation des réels Dans la plupart des langages informatiques les nombres réels sont représentés par des nombres à virgule flottante. La représentation des nombres à virgule flottante est normalisée par la norme IEEE 754. La plupart des langages proposent deux formats de nombres à virgule flottante : les nombres en précisions simple, habituellement codés sur N = 32 bits (ou 64), et les nombres en double précisions codés sur 2N = 64 ou 128 bits. Un nombre x en virgule flottante est constitué de trois éléments : 1. son signe (ɛ), 2. son exposant (e), 3. sa mantisse (m) avec 1 m < 2, sauf pour 0 auquel cas m = 0 et pour l exception des écritures dénormalisées. tels que x = ɛ.m.2 e. 1. un bit est réservé pour le signe, 0 : positif, 1 :négatif bits (11 bits en double précision) sont réservés pour l exposant : code un exposant entre 127 et 128. On ne code pas e en complément à deux, mais e en binaire, c est à dire décalé de 2 N 1 1 = 127 (en simple précision) bits (52 bits en double précision) sont réservés pour la mantisse.

29 Nombres à virgule flottante Exemple : Avec x = 125, 75, on a : x = 125, 75 = = , 11 = 1, Le signe est positif : 0, la mantisse est 1, mais sera représenté , sans le préfixe 1,. Les nombres sont derrière la virgule, et le nombre devra être aligné à gauche. L exposant est 6, ce qui donne = 133 = = Ainsi en simple précision, 125,75 est représenté : signe exposant mantisse Réciproquement, cherchons le nombre flottant dont l écriture binaire est : Le signe est négatif 1, et l exposant est = = 134 donne = 7. L exposant est 7. La mantisse est est égale à : = 1, Le nombre est 1, = 219, 6875.

30 Nombres à virgule flottante Il y a 4 exceptions à l écriture normalisée (écritures démoralisées) : 1. Si exposant décalé et mantisse sont tous deux nuls : le nombre est 0. Attention il y a deux zéros : = 0 + signe exposant mantisse = 0 signe exposant mantisse 2. Si l exposant décalé est 0 et la mantisse est non nulle on n ajoute non plus 1 mais 0 à la mantisse et on prend l exposant e = 126 plutôt que e = Si l exposant décalé est 2 N 1 = et la mantisse est nulle : on obtient les 2 infinis selon le signe : = + signe exposant mantisse = signe exposant mantisse 4. Si l exposant décalé est 2 N 1 = et la mantisse est non nulle on obtient un NaN : Not a Number.

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