1. Intégrale d une fonction continue et positive

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Marc Lafontaine
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1 hpitre 6 : Intégrtion T-ES, Intégrle d une fonction continue et positive.. Unité d ire ssociée à un repère du pln Définition. Dns une repère orthogonl (O,I,J), on ppelle unité d ire (notée u..) l ire du rectngle OIKJ où K est le point de coordonnées (;).. 2. Intégrle et «ire sous l courbe» J u.. K 0 I Définition 2. Soit f une fonction continue et positive sur un intervlle [; b] et s courbe représenttive dns un repère orthogonl du pln. L intégrle de à b de f est l mesure, en unités d ire, de l ire du domine du pln situé entre l e des bscisses, l courbe et les droites d équtions = et = b. On l note f()d (lire :«intégrle de à b de f ou somme de à b de f»). J K u. 0 I b Remrque. Les réels et b sont ppelés les bornes de l intégrle Il résulte imméditement de l définition que un segment). f()d. f()d = 0 (cr le domine D f est lors réduit à Eemple. Soit f() = 2 sur R. Décrire le domine coloré pr une 2 intégrle, puis donner s vleur. 3 0 u Soit f() = 2 +4 sur R. On donne 6 f()d = 8, colorier 2 2 l ire correspondnt à cette intégrle 3 0 u Soit f() = 0, ,5 sur R. Décrire le domine 3 coloré pr une intégrle, puis donner un encdrement de l 2 vleur de celle-ci. 4 0 u /7

2 . 3. Propriétés immédites.3.. Reltion de hsles Propriété. Reltion de hsles f est une fonction continue et positive sur un intervlle[;b]. Soitcun nombres réel tel que c [;b], lors f()d = f()d+ f()d c 0 c b Eemple 2. L fonction f est continue sur [ 3;5] u. Pour chcun des cs suivnts, interpréter déterminer grphiquement s vleur. f()d et () = 3 et b = (b) = et b = 3 (c) = 3 et b = 5 2 lculer en u.. l ire entre l courbe représenttive de f, l e des bscisses et les droites d équtions = 3 et = Le repère est orthonormé et l unité grphique est 0,7 cm. Quelle est l ire en cm 2?.3..2 Invrince pr smétrie Propriété 2. Invrince pr smétrie Si f est continue et positive sur [ ;] et l courbe représentnt f est smétrique pr rpport à (OJ), lors 0 f()d = 0 f()d J 0 I Eemple 3. L fonction f, continue sur R, est représentée ci-dessous dns un repère orthonormé pr une courbe smétrique pr rpport à l e des ordonnées..0 et b mesurent les ires des domines en violet et en bleu, en unités d ire. Quelle intégrle est égle à? à b? 0.5 b = 0,75 = 0, En déduire 0,5 f()d 0 f()d; 0,5 f()d et 2/7

3 2. Intégrle et notion de primitives 2.. Théorème fondmentl Théorème 3. Soit f une fonction continue et positive sur [;b]. L fonction F définie pr F() = tout de [;b] est dérivble sur [;b] et pour dérivée f. f(t)dt pour Eemple 4. Soit f l fonction continue et positive sur [0;0], définie pr f(t) = 2t. On donne l representtion grphique de f ci-dessous : Donner l intégrle correspondnt à l ire A OB du tringle OB. 2 2 lculer en fonction de l ire A OB du tringle OB. B 0 t 3 Donner l vleur de l intégrle de l question. En déduire l epression de F Primitive d une fonction sur un intervlle Définition 3. Soit f est une fonction définie sur un intervlle I. Dire que F est une primitive de f sur I signifie que F est dérivble sur I et que F =f. Propriété 4. Une fonction continue sur un intervlle I dmet des primitives sur I. Si F est l une d elles, les utres sont les fonctions F()+k, ou k est une constnte réelle. Eemple 5. Soit f l fonction définie sur R pr f() = Vérifier que l fonction G définie R pr G() = Donner l epression des primitives de f sur R 3 Déterminer, si elle eiste, l primitive H de f sur R qui vérifie H() = est une primitive de f sur R 3/7

4 2. 3. lcul d une intégrle Définition 4. Pour toute fonction f continue sur un intervlle contennt les réels et b, l intégrle de à b de f est définie pr Remrque 2. f()d = F(b) F() où F est l une des primitives de f sur I. L différence F(b) F() se note [ ] b F() ; insi f()d = [ ] b F() = F(b) F(). Le choi de l primitive F n influe ps sur l vleur de l intégrle. En effet, si G est une utre primitive de f sur I, il eiste un réel k tel que G() = F()+k d où G(b) G() = (F(b)+k) (F()+k) = F(b) F() Eemple 6. Reprendre l fonction f de l eemple 5. et clculer 3 f()d. Eemple 7. On considère les fonctions F et f l fonction définie sur ]0;+ [ pr F() = et f() = Montrer que F est une primitive de f sur R. 2 lculer l intégrle I = 8 f()d. 3 Interpréter grphiquement l vleur de I. 4/7

5 3. lculs de primitives 3.. Fonctions continue et primitives Théorème 5. Toute fonction continue sur un intervlle I dmet des primitives sur I. Remrque 3. L fonction e ( 2) est continue sur R, donc elle dmet des primitives sur R, mis on ne connît pr de primitive «eplicite» Primitives des fonctions de référence es formules s obtiennent pr lecture inverse des formules de dérivées. Ici k est un nombre réel. L fonction f est définie sur I pr : Les primitives de f sur I sont : L intervlle I = f() = 0 F() = k R f() = où R F() = +k R f() = F() = 2 2 +k R f() = 2 F() = 3 3 +k R f() = n où n N F() = n+ n+ +k R +k R f() = F() = 2 f() = F() = 2 +k ]0; + [ f() = e F() = e +k R Eemple 8. Déterminer les primitives des fonctions suivntes : f() = 7 2 f() = 2 3 f() = 3 4 f() = Opértions sur les primitives Propriété 6. Si F et G sont des primitives respectives des fonctions f et g sur un intervlle I, lors F + G est une primitive de f +g sur I. Si F est une primitive de l fonction f sur un intervlle I et α un réel, lors αf est une primitive de αf sur I. Eemple 9. Déterminer les primitives sur I des fonctions suivntes : f() = 5+8 I = R 2 f() = I = R 3 f() = I = R 4 f() = I = R Propriété 7. Soit u une fonction dérivble sur un intervlle I. L fonction f définie sur I pr f() = u () e u() dmet pour primitives sur I les fonctions de l forme F() = e u() +k vec k une constnte. Eemple 0. Déterminer les primitives sur R des fonctions suivntes : f() = 4e 2 f() = 6e 3 3 f() = 5e f() = e + 5/7

6 4. Propriétés de l intégrle 4.. Propriétés lgébriques Propriété 8. Linérité Si les fonctions f et g sont continues sur un intervlle [,b], et c R : (f()+g())d = f()d+ b cf()d = c f()d g()d Eemple. f est une fonction continue sur l intervlle [;3] telle que 3 En déduire I = ( 32 ) f() d. 3 f()d = 2. Propriété 9. Reltion de hsles Soit f une fonction continue sur un intervlle [,b], et c R : f()d+ b f()d = f()d Démonstrtion. On note F une primitive de f sur [,b]. f()d+ b f()d = Intégrles et inéglités Propriété 0. Positivité Soit f une fonction continue sur un intervlle [,b]. Alors : si f() 0 pour tout [,b] lors si f() 0 pour tout [,b] lors b f()d 0. f()d 0. Eemple 2. Sns clculer, déterminer le signe de l intégrle 0 2 (e +e )d Propriété. Reltion d ordre Soient f et g deu fonctions continues sur un intervlle [,b]. Alors : Si f() g() pour tout [;b], lors f()d g()d. 6/7

7 4. 3. Aire entre deu courbes Propriété 2. Soient f et g deu fonctions continues et positives sur un intervlle [, b] telles que f() g(). L ire, en unités d ire, du domine délimité pr les courbes représenttives de f et g sur l intervlle [,b] est égle à c est-à-dire à g() f()d g()d f()d = = 2 0 Eemple 3. Soient les fonctions f et g définies sur [0;] pr f() = 2 et g() =. lculer, en unité d ire, le domine délimité pr les courbes représenttives de f et g sur [0;]. 5. Vleur moenne Définition 5. Si f est une fonction continue sur [; b] vec b, on ppelle vleur moenne de f sur [;b], le réel µ = f()d b µ b Eemple 4. Suite à un début de mldie infectieuse, on constté que le nombre de personnes nt contrcté l mldie, t jours près l pprition des premiers cs, est donné pr f(t) = 45t 2 t 3 pour t pprtennt à l intervlle [;25]. Déterminer le nombre moen de personnes mldes durnt l première semine. T-ES hpitre 6 : Intégrtion 7/7

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