3.1 Théorème de Gauss Nous avons abordé le théorème de Gauss exprimé sous sa forme intégrale : ρ( r ) dτ

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1 3 ELATIONS LOCALES 3.1 Théorème de Gauss Nous avons abordé le théorème de Gauss eprimé sous sa forme intégrale : O E ( r ).ds = 1 ε V ρ( r ) dτ Cette formulation peut être réécrite sous une forme locale grâce au théorème de Green-Ostrogradski (théorème de flu divergence) : Le théorème de Green-Ostrogradski stipule que : Le flu d un champ de vecteurs à travers une surface fermée est égal à l intégrale de la divergence de ce champ sur le volume défini par la surface : O E ( r ).ds = V div(e ) dτ avec, en coordonnées cartésiennes : div(e ) = E = E + E y y + E z z on arrive donc à l égalité suivante : 1 ρ( r ) dτ = div(e ) dτ ε V V Cours LP Chapitre 3 elations Locales 1/9

2 d où l epression du théorème de Gauss sous sa forme locale : div(e ) = ρ ε Équation de Mawell Gauss Signification physique : Il ne faut pas s attacher au sens premier de "divergence". Ce qui compte est la présence ou non de charges à l intérieur du volume considéré : div(e ) > + + div(e ) > div(e ) < div(e ) = 3. Équation de Poisson ( ) On peut réécrire cette epression locale du théorème de Gauss en introduisant l opérateur différentiel laplacien : E = grad V Cours LP Chapitre 3 elations Locales /9

3 E = grad V = div(grad V) = V avec V = V + V y + V z en coord. cartésiennes L équation de Mawell Gauss peut donc être eprimée sous la forme : V = ρ ε Équation de Poisson Signification physique : Le laplacien du potentiel calculé en un point P est relié au variations de V autour du point P. V(P) mesure la différence entre la valeur de V(P) et la valeur moyenne V(P) autour du point P. On peut aussi relier cette notion à celle de courbure d une courbe : f() f"() < f"() > Cours LP Chapitre 3 elations Locales 3/9

4 Le laplacien non-nul du potentiel traduit l eistence d un etremum du potentiel. On prend l eemple du potentiel V(,y) créé par deu charges de signes opposés : V > ρ ε < V < ρ ε > V(,y) Au contraire, si V(r) varie de manière régulière ( V, r) = C te, alors on sait que le champ électrique E est constant. Dans ce cas : V = Équation de Laplace pas de charges Le potentiel n admet pas d etremum en dehors de l endroit où sont localisées les charges Cours LP Chapitre 3 elations Locales 4/9

5 3.3 otationnel de E Nous cherchons à calculer rot (E) rot (E) = E z y E y z e + E z E z e y + E y E y e z avec E = grad V E = V e V y e y V z e z en coord. cartésiennes rot (E) = y D où finalement : rot (E) = V z z V y V e V z z e y V y V y e z Le rotationnel d un gradient est toujours nul! Dans le domaine de l électrostatique : rot (E) = Cette équation se généralise à l électromagnétisme : B rot (E) = t Équation de Mawell Faraday : Cours LP Chapitre 3 elations Locales 5/9

6 3.4 Densité d énergie électrostatique ρ( r ) τ Pour une distribution volumique de charges, l énergie potentielle est : E p = 1 ρ( r ) V( r ) dτ τ Cette intégrale peut se calculer sur un volume défini par une surface entourant très largement le volume τ de départ : En effet, en dehors de τ, la densité de charges est nulle, τ le calcul de E p n est pas affecté par ce choi de domaine d intégration Le calcul de l énergie potentielle dans ce cas devient : E p = 1 T ρ( r ) V( r ) dτ avec ρ = ε E (équation de Mawell Gauss) E p = ε Τ T div(e ) V( r ) dτ Cours LP Chapitre 3 elations Locales 6/9

7 En tenant compte de l identité vectorielle suivante : On arrive à : div(ve ) = (grad V ) E + V div(e) E p = ε div(ve ) dτ ε T Or, d après le théorème d Ostrogradski : div(ve ) dτ = O (VE ) ds T De plus, par définition : E = grad V (grad V ) E dτ T Donc, E p = ε O (VE ) ds + ε T E E dτ Quand on fait varier la taille du volume (Τ) et de la surface ( ) d intégration jusqu à l infini, la distribution de charge est assimilable à une charge ponctuelle. Dans ces conditions, à grande distance sur : - V( r ) diminue en 1/r - E( r ) diminue en 1/r - ds augmente en r (VE ) ds quand r Cours LP Chapitre 3 elations Locales 7/9

8 O (VE ) ds quand r L epression de l énergie potentielle se résume à : E p = ε T E dτ La quantité ε E (M) est assimilable à une énergie volumique ou à une densité d énergie. [ε ] = M 1 L 3 T 4 I [E] = M L T 3 I 1 ε E = M L 1 T = (M L T ) L 3 énergie / volume Application : Connaissant l epression du champ électrique rayonné par une distribution de charges, il est possible de calculer l énergie potentielle électrostatique de cette distribution de charges. ρ( r ) M dτ E (M) de p = ε E dτ Cours LP Chapitre 3 elations Locales 8/9

9 Eemple d application : Calcul de l énergie potentielle d une sphère de rayon uniformément chargée en volume avec la densité de charge ρ. Les epressions des potentiels et champs électriques à l intérieur et à l etérieur de la sphère ont été établies dans le chapitre théorème de Gauss. Plusieurs méthodes sont possibles pour calculer l énergie potentielle de la sphère chargée : On calcule simplement E p = 1 V ρ(r) V int (r) d 3 r = ρ V int (r) 4πr dr = πρ ε r r4 6 = dr 4 π ρ 5 15 ε On peut aussi calculer E p = E p = Espace ε E dv ε ρr 3ε = 4πr dr ε E int dv + ε + ρ 3 3ε r ε E et dv 4πr dr = 4 π ρ 5 15 ε On calcule le travail effectué pour amener les charges depuis l infini en O : r À chaque étape, on amène une couche d épaisseur dr correspondant à la quantité de charge dq. Le travail nécessaire pour amener cette couche de charges d épaisseur dr depuis l infini sur la petite sphère de rayon r est donnée par : dw = dq [V(r) V( )] = ρ 4π r dr ρ r 3 ε où V(r) est le potentiel à la surface de la sphère de rayon r uniformément chargée en volume E p = dw = 4π ρ 3 ε r 4 dr = 4 π ρ 5 15 ε Cours LP Chapitre 3 elations Locales 9/9