Exercice 4 : Vrai/Faux. 2,5 points Pour chacune des propositions ci-dessous, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant avec soin.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Exercice 4 : Vrai/Faux. 2,5 points Pour chacune des propositions ci-dessous, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant avec soin."

Transcription

1 La durée du devoir est de 1h 50 mns.la machine à calculer est autorisée. La rédaction, la présentation et la rigueur des résultats proposés entreront dans l évaluation de la copie. Exercice 1 : ROC : Question de cours. 2 points On note f la fonction racine carrée qui à x associe f(x) =. Donner le sens de variation de f et le démontrer. Exercice 2 : 2,5 points Déterminer l ensemble de définition des fonctions suivantes : a) f(x) = (x1) b) g(x) = Exercice 3 : 3 points Résoudre dans R : a) = 3 b) > Exercice 4 : Vrai/Faux. 2,5 points Pour chacune des propositions cidessous, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant avec soin. a) Si 0 x 3, alors 0 9. b) Si 5 < x <3 alors < <. c) Si 1 x 2, alors 1 4. d) Si x 2 alors 4. e) Si 4 alors 2. Exercice 5 : 5 points On considère la suite ( ) définie par = 0 et pour tout entier naturel n, =. 1. Calculer et. 2. On considère les deux algorithmes suivants : 3. De ces deux algorithmes, lequel permet d afficher en sortie la valeur de, la valeur de l entier naturel n étant entrée par l utilisateur? 3.A l aide de l algorithme, on a obtenu le tableau et le nuage de points cidessous ou n figure en abscisse et en ordonnée. F.Roussot/C.Tibayrenc Page 1 sur 8

2 a) Quelle conjecture peuton faire quant au sens de variation de la suite ( )? Démontrer cette conjecture. b) Soit la suite ( ) définie pour tout entier naturel n par = n. Montrer que les suites ( ) et ( ) sont égales. 4. On définit, pour tout entier naturel n, la suite ( ) définie par : =. Donner pour tout entier naturel n, l expression de en fonction de n. 5. On définit pour tout entier naturel n, la suite ( ) par = =.. a) Calculer les 4 premiers termes de la suite ( ). b) Etudier le sens de variation de la suite ( ). Exercice 6 : 5 points On considère la fonction f définie par f(x) = 1) a) Déterminer l ensemble de définition de la fonction f. 2) b) Déterminer les réels a et b tels que pour réel x de, f(x) = a. f(x)? a) Ecrire un programme de calculs qui permet de passer pour tout réel x de de x à b) Conjecturer le sens de variation de f sur son ensemble de définition. c) On considère deux réels quelconques tels que 1 <. A l aide du programme précédent, comparer f( ) et f( ). En déduire le sens de variation de f sur ]1 ; [. 2) Prouver que pour tout réel x tel que x 2 on a 2,5 f(x) <3. F.Roussot/C.Tibayrenc Page 2 sur 8

3 Correction : Exercice 1 : cf cours! Exercice 2 : a) f(x) existe pour tous réels x tels que 12x 0 or, 12x 0 pour x 1/2 donc = ] ; ] b) g(x) existe pour tous les réels x tels que x 1 0 et x1 0. or x 1 est un trinôme du second degré de discriminant = 3. x. x 1 est toujours du signe de a = 1, soit strictement positif pour tout réel Donc g(x) existe pour tout réel x 1. =R\{1}. Exercice 3 : a) Valeurs interdites : x R 1 > 0, donc l équation est définie sur l ensemble R des nombres réels. x R = 3 2x = 3( 1) 3 2x 3= 0. Il s agit d une équation du second degré de discriminant = 32. donc l équation n admet pas de solution réelle. Ainsi, S = b) > Valeurs interdites : 0 et 0 1 et 2 x R\{2 ;1}, > > 0 > 0 > 0. F.Roussot/C.Tibayrenc Page 3 sur 8

4 Dressons un tableau de signes : Valeur qui annule le numérateur : = 0 x =. x 2 1 4x2 O O O O Ainsi, S = ] ; [ ] ; 1[ Exercice 4 : a) Si 0 x 3, alors 0 9. Vrai car la fonction carré est croissante sur [0 ; [. b) Faux car la fonction inverse est strictement décroissante sur ] ;0[. Donc, si 5 < x < 3 alors < <. (Ou bien, faux en remarquant simplement que <.) c) Si 1 x 2, alors 1 4. Faux,donnons un contreexemple si x = 0 alors et 0 [1 ;4] d) Si x 2 alors 4. Faux, si x = 4 (x 2) alors donc > 4. e) Si 4 alors 2. Vrai. En effet, si 4 alors 4 0 soit (x2)(x2) 0.Or, (x2)(x2) est un trinôme du second degré sous forme factorisée. Ses racines sont 2 et 2. Il est de signe négatif entre les racines donc sur l intervalle [2 ; 2]. Ainsi, si 4 alors 2 2, donc 2. (ou bien, la fonction racine carrée est croissante sur [0 ; [ et 4 et sont positifs, donc si 4 alors donc 2 donc 2 x soi 2.) Exercice 5 : 1) = = 2 ; = = 6. 2) Il s agit de l algorithme 2. En effet, faisons la trace de l algorithme 1. Par exemple, pour n = 2 entré par l utilisateur, on obtient : F.Roussot/C.Tibayrenc Page 4 sur 8

5 i 1 2 u 0 = = 4 = = 10 Ainsi, le terme de rang 1 de la suite définie dans l algorithme 1 est 4, le terme de rang 2 est 10. Ce ne sont pas les valeurs trouvées en 1). Remarque : Dans l algorithme 1, est calculé et affiché le terme de rang n (n entré par l utilisateur) de la suite définie par et pour tout entier naturel n, = 2 (n1) 2. 3) a) On peut conjecturer que la suite ( ) est strictement croissante. Démontrons le : Pour tout entier naturel n, = 2n 2. Or, 2n 2 > 0 pour tout entier naturel n, donc > 0 donc la suite ( ) est strictement croissante. b) Soit la suite ( ) définie pour tout entier naturel n par = n. On calcule =. Donc =. Pour tout entier naturel n, = (n1) n = 2n 1 n 1 n Donc = 2n2. = 2n 2. Le premier terme des suites sont égaux ( = ) et leur terme général vérifie la même relation de récurrence. Donc, les suites ( ) et ( ) sont égales. 4. On définit, pour tout entier naturel n, la suite ( ) définie par : =. Pour tout entier naturel n, = 2n On définit pour tout entier naturel n, la suite ( ) par = =.. a) Calculons les 4 premiers termes de la suite ( ). = = = 2. = = = = 6. = = = = 12 = = = = 20. b) Etudions le sens de variation de la suite ( ). F.Roussot/C.Tibayrenc Page 5 sur 8

6 Pour tout entier naturel n, =. (. ) = = 2(n 1) 2 = 2n 4. Or, pour tout entier naturel n, 2n 4> 0 donc > 0. Donc, la suite ( ) est strictement croissante. Exercice 6 : On considère la fonction f définie par f(x) = 1) a) Déterminons l ensemble de définition de la fonction f. f(x) existe pour tout réel x tel que 0, soit pour x 1. Donc, =R\{1}. b) Déterminons les réels a et b tels que pour réel x de, f(x) = a. x = R \ { 1}, f(x) = a = a = Par identification des coefficients, on obtient le sysmème 2a b = 7 2a = 6 qui admet pour solutions a = 3 et b = 1. Donc x R\{1}, f(x) = 3. 2) a) Ecrivons un programme de calculs qui permet de passer pour tout réel x de de x à f(x) : x 3 = f(x) b) Conjecturons le sens de variation de f sur son ensemble de définition. A l aide de la calculatrice, on peut conjecturer que la fonction f est strictement croissante sur chacun des intervalles ] ;1[et ]1 ; [. c) On considère deux réels quelconques tels que 1 < : F.Roussot/C.Tibayrenc Page 6 sur 8

7 Comparons f( ) et f( ) : 1 < 2 > 0 > 2 (2) 2 < 3 < 3 Car la fonction inverse est strictement décroissante sur ] ;0[. 3 f( ) < f( ) Ainsi, pour deux réels quelconques tels que 1 <, f( ) < f( ). La fonction f est donc strictement croissante sur l intervalle ]1 ; [. 3) Prouvons que pour tout réel x tel que x 2 on a 2,5 f(x) < 3. Montrons d abord que pour tout réel x tel que x 2 on a f(x) < 3. Pour cela, étudions le signe de f(x) 3 et montrons que ce dernier est strictement négatif : x R\{1}, f(x) 3 = 3 3 =. De manière évidente, pour tout réel x tel que x 2 on a 22x < 0 et par conséquent < 0. Mais dressons un tableau de signes pour en être assurés : x x f(x)3= 0 D après le tableau cidessus, pour tout réel x tel que x 2 on a f(x) < 3. < 0 donc f(x)3< 0 soit Montrons que pour tout réel x tel que x 2 on a f(x) 2,5 : D après la question 2) c), la fonction f est croissante sur l intervalle ]1 ; [. Donc deux nombres reéls quelconques de cet intervalle sont rangés dans le même ordre que leurs images. Ainsi, pour tout réel x tel que x 2 (ce sont donc deux réels de l intervalle ]1 ; [) F.Roussot/C.Tibayrenc Page 7 sur 8

8 on a f(x) f(2). Or, f(2) =. Donc, pour tout réel x tel que x 2 on a f(x). Ainsi, pour tout réel x tel que x 2 on a 2,5 f(x) < 3. Remarque : On aurait aussi pu étudier x R\{1}, le signe de f(x) = 3 =. La démarche serait exacte mais plus calculatoire et plus longue. Fin du DS 3 F.Roussot/C.Tibayrenc Page 8 sur 8

Exercice N 1 : (5.5 points)

Exercice N 1 : (5.5 points) Le sujet est composé de quatre exercices indépendants sur trois pages dont une annexe à rendre avec la copie. La présentation, la qualité de la rédaction, la rigueur et la clarté des résultats entreront

Plus en détail

Exercices supplémentaires Second degré

Exercices supplémentaires Second degré Exercices supplémentaires Second degré Partie A : Forme canonique, équations, inéquations, factorisation Mettre sous forme canonique les trinômes suivants 8 ; 3 1 ; 5 ; 3 4 Exercice On considère : 5 6

Plus en détail

Correction Devoir Maison 4 : Fonctions de référence

Correction Devoir Maison 4 : Fonctions de référence Correction Devoir Maison : Fonctions de référence re S Correction Devoir Maison Première S Maths Maths Première S Exercice. Sans utiliser la calculatrice et en détaillant les étapes (on n énoncera pas

Plus en détail

TRINÔME DU SECOND DEGRÉ

TRINÔME DU SECOND DEGRÉ TRINÔME DU SECOND DEGRÉ Définition On appelle fonction trinôme du second degré, toute fonction f définie sur IR qui, à x associe f(x) = ax 2 + bx + c, a, b et c étant trois réels avec a 0. Exemple Les

Plus en détail

Intégration Encadrement d intégrale Exercices corrigés

Intégration Encadrement d intégrale Exercices corrigés Intégration Encadrement d intégrale Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : encadrer une intégrale Exercice 2 : donner un encadrement

Plus en détail

TRINÔME DU SECOND DEGRÉ

TRINÔME DU SECOND DEGRÉ TRINÔME DU SECOND DEGRÉ On appelle fonction polynôme, toute fonction f définie sur IR pour laquelle, il existe un entier naturel n et des réels a 0 ; a ; a 2 ;... ; a n avec a n 0 tels que : f(x) = a 0

Plus en détail

Fonction exponentielle Résolutions d équations Exercices corrigés

Fonction exponentielle Résolutions d équations Exercices corrigés Fonction exponentielle Résolutions d équations Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : résoudre une équation de la forme Exercice 2

Plus en détail

I Exercices I I I I I I I I I I I I I-4

I Exercices I I I I I I I I I I I I I-4 Chapitre 6 Logarithme TABLE DES MATIÈRES page -1 Chapitre 6 Logarithme Table des matières I Exercices I-1 1................................................ I-1 2................................................

Plus en détail

FONCTIONS DU SECOND DEGRÉ ET HOMOGRAPHIQUES

FONCTIONS DU SECOND DEGRÉ ET HOMOGRAPHIQUES FONCTIONS DU SECOND DEGRÉ ET HOMOGRAPHIQUES Ph DEPRESLE 6 juin 05 Table des matières Fonction carré. Fonction x x..................................... Fonction x ax, a 0...............................

Plus en détail

FONCTIONS POLYNÔMES et SECOND DEGRE

FONCTIONS POLYNÔMES et SECOND DEGRE FONCTIONS POLYNÔMES et SECOND DEGRE I/ Fonctions polynômes et rationnelles a- Fonctions polynômes Une fonction polynôme (ou plus simplement un polynôme) est une fonction définie sur R par: f (x) = a n

Plus en détail

Exercices supplémentaires : Etude de fonctions

Exercices supplémentaires : Etude de fonctions Exercices supplémentaires : Etude de fonctions Partie A : Avec les fonctions de référence Dans chacun des cas, comparer et sans utiliser la calculatrice ) =,40 et =,4 ) = 7 et = 4 ) = 0,5 et = 4) =,4 et

Plus en détail

Dérivation - Correction

Dérivation - Correction Dérivation - Correction Exercice 1 1. La fonction f(x) = 2x 3 est-elle dérivable en 0? f(x) f(0) x 0 = 2x 3 + 3 x Donc, la fonction f(x) = 2x 3 est dérivable en 0 et vaut 2. = 2x x = 2 2. La fonction g(x)

Plus en détail

Exemple : déterminer la dérivée f de la fonction f définie sur [1 ; + [ par : f(x) = 5x 2.

Exemple : déterminer la dérivée f de la fonction f définie sur [1 ; + [ par : f(x) = 5x 2. Chapitre III : Dérivées de fonctions composées et primitives I. Dérivées de fonctions composées a) Formule Propriété : g est une fonction dérivable sur un intervalle J. u est une fonction dérivable sur

Plus en détail

Tangente à une courbe. Dérivées. Etude du sens de variation d une fonction

Tangente à une courbe. Dérivées. Etude du sens de variation d une fonction Tangente à une courbe. Dérivées. Etude du sens de variation d une fonction On dit qu une fonction est dérivable sur un intervalle I si elle est définie sur I et admet en chaque point de I un nombre dérivé.

Plus en détail

ETUDES DE FONCTIONS. Méthode : Déterminer l expression d une fonction polynôme de degré 2

ETUDES DE FONCTIONS. Méthode : Déterminer l expression d une fonction polynôme de degré 2 ETUDES DE FONCTIONS I. Fonctions polynômes de degré 1. Définition Une fonction polynôme de degré f est définie sur IR par des nombres réels donnés et a 0. ax bx c, où a, b et c sont Exemples : - f x x

Plus en détail

Exercices supplémentaires Dérivation

Exercices supplémentaires Dérivation Exercices supplémentaires Dérivation Partie A : Lecture graphique et tracé de tangente Exercice Lire graphiquement le coefficient directeur s il existe de chacune des droites représentées ci-dessous. -

Plus en détail

Chapitre 1 : Les suites

Chapitre 1 : Les suites Chapitre : Les suites I. Exercices supplémentaires Partie A : Récurrence Exercice La suite est définie par et +2+ pour tout entier naturel. Démontrer par récurrence que pour tout. La suite est définie

Plus en détail

Seconde 3 DS4 fonctions de référence Sujet

Seconde 3 DS4 fonctions de référence Sujet Seconde 3 DS4 fonctions de référence Sujet 1 29-21 Exercice 1 : fonction carré (3 points) On considère trois carrés de côtés respectifs x ; 2x et 3x. 1) Pour chacun d un, exprimer en fonction de x, le

Plus en détail

9 6 - x. On définit la suite (u n ) par u 0 = -3 et pour tout entier naturel n, u n+1 = f(u n ).

9 6 - x. On définit la suite (u n ) par u 0 = -3 et pour tout entier naturel n, u n+1 = f(u n ). Exercice 75 p 55 exercices sur les suites Symbole Belin 0 On s intéresse aux suites définies sur V et vérifiant la relation de récurrence u n+ = + u n². Une telle suite sera déterminée par son premier

Plus en détail

Exercices supplémentaires : Suites

Exercices supplémentaires : Suites Exercices supplémentaires : Suites Partie A : Calculs de termes et représentation graphique Exercice On considère la suite définie par 4 3 pour tout N. Calculer,, et Exercice On considère la suite définie

Plus en détail

Chapitre 5. Généralités sur les fonctions numériques. 5.1 Généralités

Chapitre 5. Généralités sur les fonctions numériques. 5.1 Généralités Chapitre 5 Généralités sur les fonctions numériques 5.1 Généralités Définition 5.1 Une fonction numérique permet d associer à chaque nombre x d un ensemble D un autre nombre que l on note f(x). On note

Plus en détail

EXERCICES VARIATIONS DE FONCTION

EXERCICES VARIATIONS DE FONCTION EXERCICES VARIATIONS DE FONCTION I ) Racine carré Exercice 1 : On a représenté graphiquement dans un repère les fonctions f, g, h et k définies par : f (x)= x+ 2 g (x)= 2 x h(x)= x 2 k(x)= x 2 + 1 Associer

Plus en détail

Chapitre 3 - Fonctions exponentielles

Chapitre 3 - Fonctions exponentielles Chapitre 3 - Fonctions exponentielles I Fonctions exponentielles de base q TD1 : Du discret au continu On étudie la croissance d une population de bactéries dans une culture. Le nombre de bactéries (exprimé

Plus en détail

Fonction continue en un point Continuité Exercices corrigés

Fonction continue en un point Continuité Exercices corrigés Fonction continue en un point Continuité Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : montrer qu une fonction est continue en un point Exercice

Plus en détail

Polynésie juin 2005 On considère la fonction définie sur ] 0; + [ par =+. On nomme sa courbe représentative dans un repère orthogonal ; ; du plan.

Polynésie juin 2005 On considère la fonction définie sur ] 0; + [ par =+. On nomme sa courbe représentative dans un repère orthogonal ; ; du plan. Polynésie juin 005 On considère la fonction définie sur ] 0; + [ par =+. On nomme sa courbe représentative dans un repère orthogonal ; ; du plan. 1 a) Déterminer les limites de la fonction aux bornes de

Plus en détail

CHAPITRE 1 : Raisonnement par récurrence, suites et fonctions

CHAPITRE 1 : Raisonnement par récurrence, suites et fonctions CHAPITRE 1 : Raisonnement par récurrence, suites et fonctions 1 Les suites numériques (rappel de première)... 4 1.1 Généralités... 4 1.2 Plusieurs méthodes pour générer une suite... 4 2 Exemples d algorithmes

Plus en détail

1 S DEVOIR DE MATHEMATIQUES N 4 SUJET A 5/04/ H

1 S DEVOIR DE MATHEMATIQUES N 4 SUJET A 5/04/ H S DEVOIR DE MATHEMATIQUES N SUJET A 5/0/0 H Nom prénom Exercice : Soit q un réel différent de,prouver l égalité : points + q + q + q 3 +...q n = qn+ q Exercice :. Calculer la somme des 00 premiers multiples

Plus en détail

Les suites numériques

Les suites numériques Les suites numériques chapitre 4 I Premier regard Définition : suite numérique Une suite numérique est une liste de nombres réels, numérotés généralement par des indices, entiers naturels consécutifs 0,

Plus en détail

1 e S - programme 2011 mathématiques ch.3 cahier élève Page 1 sur 30 Ch.2 : Fonctions de référence Partir d'un bon pied. sur IR.

1 e S - programme 2011 mathématiques ch.3 cahier élève Page 1 sur 30 Ch.2 : Fonctions de référence Partir d'un bon pied. sur IR. 1 e S - programme 011 mathématiques ch3 cahier élève Page 1 sur 30 Ch : Fonctions de référence Partir d'un bon pied Exercice n A page 46 : Maîtriser le vocabulaire de base relatif aux fonctions Vrai ou

Plus en détail

Exercices d entrainement pour le chapitre 02 (récurrence et suites)

Exercices d entrainement pour le chapitre 02 (récurrence et suites) Exercices d entrainement pour le chapitre 0 récurrence et suites 0. Énoncés Exercice. Démontrer l inégalité n > n pour tout entier naturel n. Exercice. On définit, pour tout entier n, le n ième nombre

Plus en détail

Terre. Mer. c) 1 a 2 < 1 b 2.

Terre. Mer. c) 1 a 2 < 1 b 2. FONCTIONS : VARIATION Exercice 1 : Etant données deux fonctions u et v, que peut-on dire des variations de u + v et u v. On rappelle que la fonction u + v est définie par x u(x) + v(x) et uv par x v(x)

Plus en détail

Chapitre 2 : Fonctions QCM Pour bien commencer (cf. p. 58 du manuel)

Chapitre 2 : Fonctions QCM Pour bien commencer (cf. p. 58 du manuel) Chapitre 2 : Fonctions QCM Pour bien commencer (cf. p. 58 du manuel) Pour chaque question, il y a une ou plusieurs bonnes réponses. Exercice n 1 On considère la figure ci-dessous où cinq droites sont tracées.

Plus en détail

Baccalauréat STMG Polynésie 11 septembre 2015 Correction

Baccalauréat STMG Polynésie 11 septembre 2015 Correction Baccalauréat TMG Polynésie 11 septembre 015 Correction Durée : 3 heures EXERCICE 1 4 points Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chacune des quatre questions, une seule réponse

Plus en détail

FONCTIONS POLYNOMES DU SECOND DEGRE

FONCTIONS POLYNOMES DU SECOND DEGRE FONCTIONS POLYNOMES DU SECOND DEGRE I- Comparaison de deux nombres réels Exemple On veut comparer les nombres a et a 2 pour a nombre réel positif on nul quelconque. Si a = 0, 5, alors a 2 = 0, 25 et on

Plus en détail

Limites de suites. Révisions

Limites de suites. Révisions Limites de suites Révisions Soit ( ) une suite définie pour tout n N par = n 2 + n Exprimer en fonction de n : a b + c + 2 La suite ( ) est-elle arithmétique? 3 Quel est le sens de variation de ( )? 2

Plus en détail

Commun à tous les candidats. Le graphique de l annexe sera complété et remis avec la copie. Soit la fonction f définie sur l intervalle [0; 2] par

Commun à tous les candidats. Le graphique de l annexe sera complété et remis avec la copie. Soit la fonction f définie sur l intervalle [0; 2] par EXERCICE (6 points ) Commun à tous les candidats Le graphique de l annexe sera complété et remis avec la copie Soit la fonction f définie sur l intervalle [0; ] par f(x) x + x + ) Etudier les variations

Plus en détail

x² - 6x = (x - )² - x² + 4x = (x + )² - x² + 8x = ( )² - x² + 3x = ( )² -

x² - 6x = (x - )² - x² + 4x = (x + )² - x² + 8x = ( )² - x² + 3x = ( )² - 1 ère ES1 Le second degré Introduction à la factorisation feuille n 1 Partie 1 : correction 1) Factoriser les expressions suivantes : x² - 8x + 16 x² + 6x + 9 16x² - 81 ( 4x 1 )² - 9 ( 2x 1 )² - ( x +

Plus en détail

Fonctions de référence

Fonctions de référence Chapitre 2 Fonctions de référence Sommaire I Fonction racine carrée....................................... 1 I.1 Définition & propriétés...................................... 1 I.2 Tableau de variations

Plus en détail

Sujets de bac : Exponentielle

Sujets de bac : Exponentielle Sujets de bac : Exponentielle Sujet : Polynésie septembre 2002 On considère la fonction définie sur par ) Etudier la parité de. 2) Montrer que pour tout,. 3) Déterminer les ites de en et en. Donner l interprétation

Plus en détail

Fonctions polynômes Définition et factorisation Exercices corrigés

Fonctions polynômes Définition et factorisation Exercices corrigés Fonctions polynômes Définition et factorisation Exercices corrigés Exercice 1 (1 question) Niveau : facile Les fonctions numériques suivantes sont-elles des fonctions polynômes? Correction de l exercice

Plus en détail

Chapitre 7 Fonction du second degré, algèbre, équations

Chapitre 7 Fonction du second degré, algèbre, équations Chapitre 7 Fonction du second degré, algèbre, équations TABLE DES MATIÈRES page -1 Chapitre 7 Fonction du second degré, algèbre, équations Table des matières I Exercices I-1 1................................................

Plus en détail

COURS N 2 : POLYNÔMES. par ², est appelée polynôme du second degré (ou encore trinôme du second degré).

COURS N 2 : POLYNÔMES. par ², est appelée polynôme du second degré (ou encore trinôme du second degré). II- POLYNÔME DU SECOND DEGRÉ 1) Introduction Exemple : 2) Définition Définition : pour tous réels a, b et c avec a différent de 0. La fonction P définie sur par ², est appelée polynôme du second degré

Plus en détail

Continuité d une fonction et équation

Continuité d une fonction et équation Continuité d une fonction et équation I) Notion de continuité 1) Définition On dit qu une fonction est continue sur un intervalle I lorsque le tracé de sa courbe représentative sur l intervalle I se fait

Plus en détail

Taux (ti) [45 ; 47[ [47 ; 49[ [49 ; 51[ [51 ; 53[ [53 ; 55[ Effectif (ni)

Taux (ti) [45 ; 47[ [47 ; 49[ [49 ; 51[ [51 ; 53[ [53 ; 55[ Effectif (ni) 1 ère S4 Devoir de mathématiques Le 10-1-004 Durée : heures Exercice 1 : Vrai-faux 6 points Pour chacune des affirmations proposées, indiquer clairement sur la copie si elles sont vraies ou fausses, en

Plus en détail

Fonction continue sur un intervalle Continuité Exercices corrigés

Fonction continue sur un intervalle Continuité Exercices corrigés Fonction continue sur un intervalle Continuité Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : montrer qu une fonction est continue en un point

Plus en détail

Second degré (1ESL) Page 1/9

Second degré (1ESL) Page 1/9 TRINÔME DU SECOND DEGRÉ Activité de recherche : Résoudre un problème démographique A l issue d une étude, des démographes font des projections concernant la population de deux villages A et B de la campagne

Plus en détail

Résoudre dans IR les équations et inéquations suivantes : B : = 1 C : x 3 9x x 2x

Résoudre dans IR les équations et inéquations suivantes : B : = 1 C : x 3 9x x 2x Octobre 2003(1 ère S 4 ) Les calculatrices sont autorisées. Lisez l énoncé en entier avant de commencer et répondez bien au questions qui vous sont posées. Vous pouvez faire les eercices dans l ordre que

Plus en détail

DS 9 Correction EXERCICE Etude d'une fonction auxiliaire.

DS 9 Correction EXERCICE Etude d'une fonction auxiliaire. DS 9 Correction EXERCICE On considère la fonction déterminée sur 0, par : ln On se propose dans cet exercice d'étudier la fonction et de la représenter relativement à un repère orthonormal,,, l'unité choisie

Plus en détail

DST 3 Corrigé. b) B : «les 2e et 3e sondages sont négatifs». et d après l énoncé ; D où :

DST 3 Corrigé. b) B : «les 2e et 3e sondages sont négatifs». et d après l énoncé ; D où : DST 3 Corrigé Exercice 1 (4 points) Avant le début des travaux de construction d une autoroute, une équipe d archéologie préventive procède à des sondages successifs en des points régulièrement espacés

Plus en détail

0.2.3 Polynômes Monômes Opérations entre monômes... 4

0.2.3 Polynômes Monômes Opérations entre monômes... 4 Table des matières 0 Rappels sur les polynômes et fractions algébriques 1 0.1 Puissances............................................... 1 0.1.1 Puissance d un nombre réel.................................

Plus en détail

TS - Maths - D.S.4 - Correction Spécialités : SVT - Physique

TS - Maths - D.S.4 - Correction Spécialités : SVT - Physique TS - Maths - D.S. - Correction Spécialités : SVT - Physique Samedi 05 Décembre 05 - h Exercice ( points) Commun à tous les candidats Une usine produit de l eau minérale en bouteilles. Lorsque le taux de

Plus en détail

I - Équations à une inconnue

I - Équations à une inconnue 1/ Définition I - Équations à une inconnue Une équation à une inconnue est une égalité dans laquelle figure une lettre représentant une valeur inconnue que l on cherche à déterminer. s : (E 1 ) : x + 1

Plus en détail

Fonctions polynômes du second degré

Fonctions polynômes du second degré Fonctions polynômes du second degré Classes de première ES - Lycée Saint-Charles Patrice Jacquet - www.mathxy.fr - 2013/2014 Objectifs : Connaître les différentes formes d une fonction polynôme du second

Plus en détail

1) Existe-t-il une position de M telle que l aire de la surface rose pale soit

1) Existe-t-il une position de M telle que l aire de la surface rose pale soit Exercice 1 : On considère un demi-cercle de diamètre AB = 5. M est un point du segment [AB]. On construit les demi-cercles de diamètres [AM] et [MB] comme l indique la figure ci-dessous. 1) Existe-t-il

Plus en détail

POLYNOMES. Table des matières. Fonction polynôme. I.1 Fonction polynôme de degré n

POLYNOMES. Table des matières. Fonction polynôme. I.1 Fonction polynôme de degré n POLYNOMES Table des matières I Fonction polynôme 1 I.1 Fonction polynôme de degré n.................................. 1 I.2 Egalité de deux polynômes................................... 1 I.3 Racine d un

Plus en détail

Raisonnement par récurrence. Limite d une suite

Raisonnement par récurrence. Limite d une suite Exercices 2 octobre 2014 Raisonnement par récurrence. Limite d une suite Raisonnement par récurrence Exercice 1 Prouver que pour tout entier n, 4 n + 5 est un multiple de 3. Exercice 2 Prouver que pour

Plus en détail

CORRECTION DU DEVOIR N 2 DE MATHEMATIQUES

CORRECTION DU DEVOIR N 2 DE MATHEMATIQUES EXERCICE N 1 (5 points) QCM CORRECTION DU DEVOIR N 2 DE MATHEMATIQUES =2 1) La suite définie par = vérifie : = = = 2) La suite définie pour tout entier par =6 1 est : arithmétique géométrique arithmétique

Plus en détail

PRATIQUE DES FONCTIONS NUMÉRIQUES

PRATIQUE DES FONCTIONS NUMÉRIQUES UNIVERSITÉ DE CERGY U.F.R. Economie et Gestion Licence d Économie et Gestion L1 - S1 PRATIQUE DES FONCTIONS NUMÉRIQUES EXAMEN PREMIÈRE SESSION - Janvier 01 - heures Les exercices sont indépendants et peuvent

Plus en détail

Correction du Contrôle commun de Mathématiques - Sujet A - TS. 2 1 n. n ) n

Correction du Contrôle commun de Mathématiques - Sujet A - TS. 2 1 n. n ) n Correction du Contrôle commun de Mathématiques - Sujet A - TS Exercice 5 points. n N, u n = n n( n + = n ) n( + = n ) n + n Or par somme, on a lim n = et lim + n =. Ainsi par quotient, lim u n = réponse

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat STMG Polynésie 15 juin 2015

Corrigé du baccalauréat STMG Polynésie 15 juin 2015 Corrigé du baccalauréat STG Polynésie 15 juin 2015 Durée : 3 heures EXERCICE 1 6 points Une entreprise, qui fabrique et vend des ordinateurs sur commande, modélise le bénéfice en euros pour x ordinateurs

Plus en détail

Continuité d une fonction, Théorème des valeurs intermédiaires

Continuité d une fonction, Théorème des valeurs intermédiaires Continuité d une fonction, Théorème des valeurs intermédiaires I) Notion de continuité 1) Définition On dit qu une fonction est continue sur un intervalle I lorsque le tracé de sa courbe représentative

Plus en détail

Trinôme. Table des matières

Trinôme. Table des matières Trinôme Table des matières I. Fonctions polynômes... II. Fonctions polynômes du second degré (trinôme)... III. Forme canonique du trinôme... 3 IV. Résolution de l équation ax² + bx + c = 0 et factorisation....

Plus en détail

Fonctions trigonométriques - Corrigé. 2 2 cos 1

Fonctions trigonométriques - Corrigé. 2 2 cos 1 Exercice 1 : Fonctions trigonométriques - Corrigé 1. a. est dérivable sur comme somme de fonctions dérivables sur et =1 cos On sait que, pour tout réel et donc en particulier pour tout, cos 1 donc 0 et

Plus en détail

BAC TECHNOLOGIQUE SCIENCES ET TECHNOLOGIES INDUSTRIELLES - GÉNIE

BAC TECHNOLOGIQUE SCIENCES ET TECHNOLOGIES INDUSTRIELLES - GÉNIE 1 sur 8 http://www.ilemaths.net/maths_t-sujet-bac-05-sti-electro-optique-co... BAC TECHNOLOGIQUE 2005 - SCIENCES ET TECHNOLOGIES INDUSTRIELLES - GÉNIE ÉLECTRONIQUE - GÉNIE ÉLECTROTECHNIQUE - GÉNIE OPTIQUE

Plus en détail

Chapitre 9 : fonctions du second degré descriptives. P : y = x 2. On dit que la courbe représentative de la fonction carré est une... de... O.

Chapitre 9 : fonctions du second degré descriptives. P : y = x 2. On dit que la courbe représentative de la fonction carré est une... de... O. Chapitre 9 : fonctions du second degré descriptives I. La fonction carré I. 1 Définition Définition La fonction carré est la fonction qui, à tout nombre réel x, associe son carré x. Si on note f la fonction

Plus en détail

Exercices supplémentaires : Suites

Exercices supplémentaires : Suites Exercices supplémentaires : Suites Partie A : Calculs de termes et représentation graphique Exercice On considère la suite définie par 4 pour tout N. Calculer,, et Exercice On considère la suite définie

Plus en détail

Devoir de mathématiques n 2

Devoir de mathématiques n 2 Page Prénom :. Jeudi 3 décembre 05 Devoir de mathématiques n Calculatrice autorisée. Le sujet contient 3 pages. Rendre le sujet avec la copie. Le détail des calculs doit figurer pour l attribution des

Plus en détail

Fonction exponentielle

Fonction exponentielle Fonction exponentielle 1 Fonction exponentielle Définition et variation Théorème Définition Il existe une unique fonction définie et dérivable sur telle que et Cette fonction est appelée fonction exponentielle

Plus en détail

FONCTIONS. représente une fonction. ne représente pas une fonction

FONCTIONS. représente une fonction. ne représente pas une fonction FONCTIONS Activité de recherche : Stratégie d entreprise Une entreprise fabrique des ballons de rugby. Sa production quotidienne peut varier de à 000 ballons. Le coût total, en centaines d euros, pour

Plus en détail

LIMITES DE FONCTIONS

LIMITES DE FONCTIONS LIMITES DE FONCTIONS I- Limites à l infini. Limites infinies Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle ]A; + [. On dit que f a pour ite + quand x tend vers + lorsque pour tout réel M, fx)

Plus en détail

Suites Raisonnement par récurrence Exercices corrigés

Suites Raisonnement par récurrence Exercices corrigés Suites Raisonnement par récurrence Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : expression du terme général d une suite Exercice 2 : majoration

Plus en détail

Chapitre II : Limites de fonctions et continuité

Chapitre II : Limites de fonctions et continuité Chapitre II : Limites de fonctions et continuité Cité Scolaire Gambetta Année scolaire 0-03 I Limite à l infini : ) Limite finie en Définition : Dire qu une fonction f a pour limite le réel l en signifie

Plus en détail

Seconde. Eric Leduc 2014/2015

Seconde. Eric Leduc 2014/2015 Seconde Lycée Jacquard 2014/2015 Rappel du plan 1 2 3 Trinôme Définition n o 1: Fonction polynôme de 2 Soit a, b, c trois nombres réels avec a 0. On appelle polynôme de 2 toute P définie sur R pouvant

Plus en détail

2de Variations de fonctions Cours

2de Variations de fonctions Cours 2de Variations de fonctions Cours I. Fonction croissante, fonction décroissante Transmath : Activité 1 page 23 1. Définitions ( la courbe «monte» de gauche à droite, plus La courbe «descend» de gauche

Plus en détail

Chapitre 4 : Fonctions exponentielles

Chapitre 4 : Fonctions exponentielles Chapitre 4 : Fonctions exponentielles I. Activité : Construction de la fonction : avec > 0 Soit > 0 un réel strictement positif, ( ) est la suite géométrique définie pour tout entier par =. Comme ( ) est

Plus en détail

Université Denis Diderot Paris 7 ( ) Devoir maison 2

Université Denis Diderot Paris 7 ( ) Devoir maison 2 Université Denis Diderot Paris 7 (03-04) Maths, Agro & Véto Devoir maison Exercice [Sujet Analyse 03] Soit la fonction d une variable réelle f définie sur D = [0,+ [ par f(x) = xe x +x. On appelle Cf la

Plus en détail

Correction du bac blanc mars 2012 Terminales S- Exercice I (6 points) Commun à tous les candidats

Correction du bac blanc mars 2012 Terminales S- Exercice I (6 points) Commun à tous les candidats Correction du bac blanc mars 202 Terminales S- Exercice I (6 points) Commun à tous les candidats Partie A La fonction f est définie sur l intervalle [0 ; + [ par f x = 20x 0 e 2 x On note C la courbe représentative

Plus en détail

Chapitre 5. Applications

Chapitre 5. Applications Chapitre 5 Applications 1. Définitions et exemples Définition 5.1 Soient E et F deux ensembles. Une application f de E dans F est un procédé qui permet d associer à chaque élément x de E un unique élément

Plus en détail

Sujets de bac : Ln. Partie C Dans le plan rapporté à un repère orthonormé ; ;, on note : Γ la courbe représentative de la fonction ;

Sujets de bac : Ln. Partie C Dans le plan rapporté à un repère orthonormé ; ;, on note : Γ la courbe représentative de la fonction ; Sujets de bac : Ln Sujet n 1 : extrait de Liban juin 2004 Partie A Soit la fonction définie sur 0; par 2 ln. 1) Etudier les variations de sur 0; et préciser ses ites en 0 et en. a. Montrer que l équation

Plus en détail

TS - Maths - D.S.3 - CORRECTION

TS - Maths - D.S.3 - CORRECTION TS - Maths - DS3 - CORRECTION Samedi 4 Novembre 20-2h Exercice Les parties A et B sont indépendantes Un site internet propose des jeux en ligne On donnera une valeur approchée à 0 2 près des résultats

Plus en détail

Factorisation et études de signes

Factorisation et études de signes MS_F4_chapitrecomplet 4/3/4 :45 page # Factorisation et études de signes FONCTIONS Connaissances du collège nécessaires à ce chapitre Résoudre une équation de type ab = une équation produit une inéquation

Plus en détail

TRINÔME DU SECOND DEGRE

TRINÔME DU SECOND DEGRE I. Le trinôme du second degré? ) Définition TRINÔME DU SECOND DEGRE Soit a, b et c trois réels tels que a 0. On appelle fonction trinôme du second degré, ou plus simplement trinôme du second degré, la

Plus en détail

TS Nombres complexes Cours

TS Nombres complexes Cours TS Nombres complexes Cours I. Le plan complexe 1. Définitions générales Théorème( admis ) Il existe un ensemble noté, appelé ensemble des nombres complexes qui possède les propriétés suivantes : contient

Plus en détail

F 3 Reproduire cet arbre et placer les probabilités F 2 sur les branches.

F 3 Reproduire cet arbre et placer les probabilités F 2 sur les branches. Sujet Centres Étrangers 203 EXERCICE. [6 pts] Lois continues Un industriel fabrique des vannes électroniques destinées à des circuits hydrauliques. Les quatre parties A, B, C, D sont indépendantes. Partie

Plus en détail

Exercice 5 Démontrer que pour tout entier naturel n, le nombre 3n² + 3n + 6 est un multiple de 6.

Exercice 5 Démontrer que pour tout entier naturel n, le nombre 3n² + 3n + 6 est un multiple de 6. Exercice 1 : Dire en justifiant si les suites (u n ) définies ci-dessous sont arithmétiques, géométriques ou ni l'un ni l'autre. Dans le cas où elles sont arithmétiques ou géométriques, préciser le premier

Plus en détail

Dérivation et fonctions trigonométriques

Dérivation et fonctions trigonométriques Dérivation et fonctions trigonométriques 1. Compléments sur la dérivation Théorème. Soit une fonction à valeurs positives dérivable sur un intervalle. Alors est dérivable sur et. Soit. La fonction est

Plus en détail

FONCTIONS AFFINES. Un antécédent ne peut avoir qu une image (elle est unique), mais une image peut avoir plusieurs antécédents.

FONCTIONS AFFINES. Un antécédent ne peut avoir qu une image (elle est unique), mais une image peut avoir plusieurs antécédents. FONCTIONS AFFINES 1. Vocabulaire Soit D une partie de l ensemble des nombres réels R. Une fonction f définie sur D associe à tout nombre réel x de D un unique nombre réel noté f(x). D est appelé ensemble

Plus en détail

LA MÉTHODE DE CARDAN

LA MÉTHODE DE CARDAN Auteur : Christian Vassard LA MÉTHODE DE CARDAN TI-8 Premium CE Fichiers associés : formule de Cardan_eleve.pdf, CARDAN.8xp, CARDAN2.8xp, CARDAN.8xp 1. Objectifs Comprendre les problèmes calculatoires

Plus en détail

Mathématiques. Pour faciliter le travail personnel de révisions en fin de vacances, ce fichier contient

Mathématiques. Pour faciliter le travail personnel de révisions en fin de vacances, ce fichier contient Mathématiques Préparation à la 1 ère ES - L - STMG Le programme de 1 ère s appuie sur les notions étudiées en 2 nde. L acquisition de ces bases est donc essentielle à la réussite en 1 ère. Pour faciliter

Plus en détail

7 LES FONCTIONS DE REFERENCE

7 LES FONCTIONS DE REFERENCE 7 LES FONCTIONS DE REFERENCE I Fonctions affines et fonctions linéaires 1 Définitions Une fonction affine f est définie sur IR par f () x ax b, où a et b sont deux nombres réels Lorsque b = 0, la fonction

Plus en détail

Chapitre 2. Compléments sur les fonctions : limites, continuité, dérivabilité

Chapitre 2. Compléments sur les fonctions : limites, continuité, dérivabilité Chapitre. Compléments sur les fonctions : ites, continuité, dérivabilité I. Rappels de cours. Limites d une fonction Soit l R. (i) Limites en + et en On dit que f() tend vers l lorsque tend vers + quand

Plus en détail

Limite d une suite - Terminale S Exercices corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris.com. v n. lim. lim

Limite d une suite - Terminale S Exercices corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris.com. v n. lim. lim Limite d une suite - Terminale S Exercices corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompriscom Reconnaitre les formes indéterminées Dans chaque cas, on donne la ite de u n et v n Déterminer si possible,

Plus en détail

T ES A-B Devoir n 4 mardi 7 décembre 2016

T ES A-B Devoir n 4 mardi 7 décembre 2016 T ES A-B Devoir n 4 mardi 7 décembre 2016 Exercice 1 : (7 points) Pour chaque question, dire si la proposition est vraie ou fausse, en justifiant soigneusement la réponse. 1. Proposition 1 : L ensemble

Plus en détail

EABJM Bac Blanc Novembre 2009 MATHÉMATIQUES

EABJM Bac Blanc Novembre 2009 MATHÉMATIQUES EABJM Bac Blanc Novembre 2009 MATHÉMATIQUES Terminales S - S2 N. Chiffot S. Coursaget J. Giovendo Durée : 4 heures. Nombre de pages : 7. L utilisation de la calculatrice est autorisée. Corrigé TS - TS2

Plus en détail

Rappels sur les fonctions. Fonctions polynômes du second degré

Rappels sur les fonctions. Fonctions polynômes du second degré Semaine 4 Rappels sur les fonctions. Fonctions polynômes du second degré 1. Rappels : étude de fonctions Généralités Fonctions de référence Études. 2. Fonction polynôme du second degré. Tableau de variation.

Plus en détail

Exercice corrigé application de la dérivée. 1 er décembre 2010

Exercice corrigé application de la dérivée. 1 er décembre 2010 application de la dérivée 1 er décembre 2010 Enoncé On considère la fonction f définie sur R par : f : x 6x 3 3x 2 + 1 2 x + 24 1 Étudier les variations de f. 2 Justifier que l équation f(x) = 0 admet

Plus en détail

Généralités sur les fonctions

Généralités sur les fonctions Chapitre A Sommaire I) Vocabulaire................................................. II) Courbe représentative........................................... III) Variation d une fonction..........................................

Plus en détail

DS 6 DE RATTRAPAGE 18 AVRIL 2016

DS 6 DE RATTRAPAGE 18 AVRIL 2016 Durée : 2h DS 6 DE RATTRAPAGE 18 AVRIL 2016 Avec Calculatrice La notation tiendra compte de la présentation, ainsi que de la précision de la rédaction et de l argumentation. Aucun prêt n est autorisé entre

Plus en détail

Second degré et polynômes Résolution d équation, inéquations et problèmes du second

Second degré et polynômes Résolution d équation, inéquations et problèmes du second Second degré et polynômes Résolution d équation, inéquations et problèmes du second degré Y. Morel Table des matières 1 Trinôme du second degré 1 1.1 Equations du second degré...............................

Plus en détail

Chapitre 3 Exponentielles. Table des matières. Chapitre 3 Exponentielles TABLE DES MATIÈRES page -1

Chapitre 3 Exponentielles. Table des matières. Chapitre 3 Exponentielles TABLE DES MATIÈRES page -1 Chapitre 3 Exponentielles TABLE DES MATIÈRES page - Chapitre 3 Exponentielles Table des matières I Exercices I-................................................ I- 2................................................

Plus en détail