MATHS VUIBERT. Rappels de cours Conseils de méthode Exercices guidés Exercices d approfondissement Problèmes de synthèse Tous les corrigés détaillés

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1 VUIBERT MÉTHODES EXERCICES PROBLÈMES MATHS ECS 2 e année Tout le programme Rappels de cours Conseils de méthode Exercices guidés Exercices d approfondissement Problèmes de synthèse Tous les corrigés détaillés J.-P. Cortier F. Delaplace F. Fortain M. Rossillon

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3 Table des matières Retrouvez sur le site à la page du livre, des annexes (Lois usuelles et Scilab), des contenus numériques ainsi que des exercices complémentaires. Chapitre 1. Rappel de calculs algébriques Calcul matriciel 1 2. Sommes et produits 2 3. Séries 3 4. Limites 4 5. Calcul intégral 5 6. Représentations graphique de fonctions 7 Exercices 9 1. Calcul matriciel 9 2. Sommes et produits et séries Séries Limites Calcul intégral Représentations graphiques de fonctions 15 Corrigés 16 Chapitre 2. Compléments d algèbre Exercices Trace d une matrice, d un endomorphisme Sous-espaces stables Endomorphismes nilpotents, matrices nilpotentes Caractérisation des endomorphismes, des matrices diagonalisables Matrices stochastiques 50 Corrigés 52 Chapitre 3. Réduction des endomorphismes Éléments propres et réduction d un endomorphisme Éléments propres et réduction des matrices 66 Exercices 68 Corrigés 73 Chapitre 4. Algèbre bilinéaire Produit scalaire-espace euclidien Orthogonalité Espace euclidien 87 Exercices 89 Corrigés 94 Chapitre 5. Intégrales impropres Exercices 107 Corrigés 112 Chapitre 6. Fonctions de plusieurs variables (1) Fonction de plusieurs variables Dérivées partielles en un point et gradient 132 Exercices 134 Corrigés 138 Chapitre 7. Séries et compléments de probabilités Séries absolument convergentes Variables à densité 153 Exercices 155 Corrigés 161 Chapitre 8. Couples et vecteurs aléatoires Couples aléatoires Couples de variables à densité Vecteurs aléatoires 183 Exercices 185 Corrigés 188 Chapitre 9. Endomorphismes symétriques Espace vectoriel euclidien Endomorphismes symétriques 200 Exercices 201 Corrigés 205 Chapitre 10. Fonctions de plusieurs variables (2) Dérivées partielles d ordre Développement limité d ordre Extrema des fonctions de classe Exercices 218 Corrigés 222 III

4 Table des matières Chapitre 11. Extrema sur un fermé borné et extrema sous contrainte Extrema sur un fermé borné Extremum sous contrainte Extremum sous contraintes linéaires 249 Exercices 251 Corrigés 253 Chapitre 12. Convergences Convergence en probabilité (compléments) Convergence en loi (compléments) 267 Exercices 269 Corrigés 272 Chapitre 13. Estimateurs, estimations Estimateurs et estimations Suites d estimateurs 282 Exercices 283 Corrigés 288 IV

5 MÉTHODE 6Chapitre Fonctions de plusieurs variables (1) Dans tout ce chapitre, l espace vectoriel n est muni du produit scalaire canonique. On rappelle que pour ce produit scalaire, la base canonique (e 1, e 2,..., e n ) est orthonormée. 1. Fonction de plusieurs variables Définition 6.1. Fonctions partielles et lignes de niveaux Soit f une fonction définie sur une partie E de n. Pour tout entier k 1, n, f k : x k f (x 1,x 2,...,x n ) est appelée la k -ième fonction partielle. On appelle lignes de niveaux de la fonction f les ensembles des points x = (x 1,x 2,...,x n ) de E pour lesquelles f (x) est constante. Concrètement, la ligne L k de niveau k est définie par : L k = x E / f (x) = k Chemins sur un graphe Scilab : on pourra être amené à représenter graphiquement des chemins sur les surfaces représentatives des fonctions de deux variables. Définition 6.2. Soit f une fonction définie sur n. On considère les applications u 1, u 2,..., u n continues sur un intervalle I de telles que, pour tout réel t I, (u 1 (t ), u 2 (t ),..., u n (t )) Ω. L application γ qui à t I associe le couple (u 1 (t ), u 2 (t ),..., u n (t )) est appelé un chemin sur la surface représentative de f. La restriction de f à γ, notée f γ est une fonction d une variable réelle définie sur I. f γ : t f γ (t ) = f (u 1 (t ), u 2 (t ),..., u n (t )). Continuité Les projecteurs P k : (x 1,x 2,...,x n ) x k sont des fonctions continues sur n. Les fonctions polynômes sont continues sur n. 131

6 Mathématiques ECS 2 e année Opérations sur les fonctions continues Toute combinaison linéaire de fonctions continues sur n est une fonction continue sur n. Le produit de deux fonctions continues sur n est continu sur n. L inverse d une fonction continue et ne s annulant pas sur n est continu sur n. Si f est une fonction continue sur n à valeurs dans un intervalle I et si g est continue sur I à valeurs dans, alors g f est continue sur n. 2. Dérivées partielles en un point et gradient Soit f une fonction définie sur n ; on dit que f admet une dérivée partielle par rapport à x k en a si la fonction de la variable réelle h définie par : h f (a + he k ) f (a ) h a une limite lorsque h tend vers 0. Cette limite se note habituellement k f (a ) ou parfois f k (a ). Soit f une fonction ayant des dérivées partielles premières en un point a ; on appelle gradient de f en a, le vecteur f (a ) = 1 f (a ), 2 f (a ),..., n f (a ) de n. Définition 6.3. Fonction de classe 1 sur n Une fonction f définie sur n est de classe 1 sur n si elle admet des dérivées partielles continues sur n. Si f est de classe 1 sur n alors f est continue sur n. Développement limité d ordre 1 Soit f une fonction de classe 1 sur n et soit a un élément de n. Alors f possède au voisinage de a un développement limité d ordre 1, s il existe une fonction ɛ définie au voisinage de 0 et si pour tout h 2 f (a + h) = f (a ) + f (a ), h + h ɛ(h) 0 où ɛ = 0, ɛ continue en 0. Point critique Soit f une fonction de classe C 1 sur n ; on dit qu un point a est un point critique de f si son gradient en a est nul, c est-à-dire, si les dérivées partielles premières de f en a sont nulles : a point critique de f f (a ) = 0 Définition 6.4. Dérivée directionnelle Soit f une fonction définie sur un ouvert Ω de n et u un vecteur unitaire ; on appelle nombre dérivée dans la direction du vecteur u de f en a = (a 1, a 2,..., a n ) et on note f u (a ), le nombre, s il existe f (a + hu ) f (a ) lim. h 0 h On a : f u (a ) = f (a ), u. 132

7 MÉTHODE Chapitre 6 Fonctions de plusieurs variables (1) Définitions 6.5. Extrema locaux, extrema globaux Soit f une fonction définie sur n ; on dit que f présente un extremum local en un point a de n si f (a ) est un maximum (ou un minimum) local, c est-à-dire si : r > 0 x (a, r ), f (x) f (a ) ou f (x) f (a ). On dit que f présente un extremum global en (a,b) si f (a,b) est un maximum (ou un minimum), c est-à-dire si : x n, f (x) f (a ) ou f (x) f (a ). Condition nécessaire d extremum local. Point col ou point selle Soit f une fonction de classe 1 sur n ; si f admet un extremum local en a Ω alors a est un point critique de f. Par contraposition on en déduit que si un point a de n n est pas un point critique, alors f (a ) n est pas un extremum. Un point critique a pour lequel f (a ) n est pas un extremum est appelé un point col ou un point selle. 133

8 Exercices Fonctions de plusieurs variables (1) Méthode Scilab Pour représenter des fonctions implicites f x, y = k, pour (x, y ) [a, b] 2 on peut utiliser la syntaxe suivante : clf (); deff ( z=f(x,y), z =... ) x=a :0.1: b ; y=x; contour (x,y,f,[c;k], flag =[2,0,4]) La valeur de c doit être une valeur pour laquelle l équation f x, y = c solution. Dans flag=[2,0,4], la valeur 2 est impérative ; les autres sont arbitraires. Modifier les paramètres des axes dans Édition > Propriétés des axes. n a pas de Exercices guidés Exercice A Représentation graphique d ensembles de points du plan (10 min.) Représenter graphiquement les ensembles de points du plan définies par 1) A = x, y 2 /2 x y = 1 2) B = x, y 2 /x 0, y 0, 2x 3y + 1 = 0 En déduire graphiquement l ensemble B + = x, y 2 /x 0, y 0, 2x 3y Exercice B Dérivées partielles (5 min.) Effectuer les instructions suivantes : function v=f( u) v=(u(1) -2* u (2))./(4+ u (1).^2 - u (2).^2).^(1/2) // on peut aussi utiliser sqrt (... ) endfunction u =[1; -1] grad = numderivative (F, u) disp ([u ; grad ]) Qu est-ce qui est affiché sur la console? À quoi sert ce programme? Exercice C Représentations graphiques utilisant Scilab (10 min.) 1) Recopier le programme suivant et l exécuter 134

9 Chapitre 6 Fonctions de plusieurs variables (1) clear ; clf (); deff ( z=f(x,y), z=x.^2 -y.^2 ) x = -1.5:0.1:1.5 ; y=x; // Repr é sentation des plans z=0, z=1 et z=-1 t = -1.5:0.1:1.5; x0=t; y0=t; z0= zeros ( length (t), length (t )); z1=z0 +1 ; z2=z0-1; plot3d (x0,y0,z0) e= gce () // Propri étés graphique du plan z=0 e. color_mode =5 // couleur du plan : rouge e. hiddencolor =5 plot3d (x0,y0,z1) e= gce () // Propri étés graphique du plan z=1 e. color_mode =7 // couleur du plan jaune e. hiddencolor =7 plot3d (x0,y0,z2) e= gce () // Propri étés graphique du plan z=-1 e. color_mode =12 // Couleur du plan : bleu azur e. hiddencolor =12 // Repr é sentation graphique de la fonction f fplot3d (x,y, f) e= gce () // Propri étés graphiques de la surface repr é sentative de f e. color_mode =3 // couleur de la surface : vert clair e. hiddencolor =3 2) Questions sur le bloc d instructions a) Quelle fonction a été représentée? Quelles instructions a-t-on utilisé? b) Avec quelles instructions a-t-on représenté les plans d équation z = c où c est une constante? c) Supprimer ou masquer chacune des instructions e.hiddencolor =... ; que fait cette instruction? 3) Que représente chacune des courbes, intersections des plans avec la surface définie par la fonction f? La fonction admet-elle un extremum local en (0, 0)? Exercices Exercice 1 (10 min.) Représenter graphiquement les ensembles suivants. 1) A = x, y 2 /2 x + 3 y = 1 2) B = x, y 2 / max( x, y ) = 2 3) C = x, y 2 / x 4 2y 2 + x 2 y = 0 Exercice 2 (15 min.) 1) Représenter graphiquement en utilisant Scilab les lignes de niveau k pour chacune des surfaces suivantes a) x, y [ 1.5; 1.5] 2, f x, y = 2 x y 2 et L 1 b) x, y [ 1.5; 1.5] 2, f x, y = 3 x + 2y et L EXERCICES

10 Mathématiques ECS 2 e année c) x, y [ 1.5; 1.5] 2, f x, y = 3x 4 4x 2 y + y 2 e t L 0 2) En déduire les ensembles suivants : a) A = x, y [ 1.5; 1.5] 2 /2 x y 2 1 b) B = x, y [ 1.5; 1.5] 2 /3 x + 2y 1 c) C = x, y [ 1.5; 1.5] 2 /3x 4 4x 2 y + y 2 0 Exercice 3 (12 min.) Représenter graphiquement dans une fenêtre Scilab, les fonctions f ainsi que les plans d équation z = k. 1) f x, y = x 2 + y 2 x y et z = 0 Justifier graphiquement que la fonction f admet un extremum local en (0, 0)? 2) f x, y = ln 1 + x 2 + y 2 et z = 1 3) f x, y x y = et z = x 2 + y 2 Exercice 4 (15 min.) Pour chacune des fonctions suivantes, justifier leur continuité et l existence de leurs dérivées partielles ; calculer les fonctions dérivées partielles et préciser les gradients des fonctions aux points x 0, y 0 ou x0, y 0, z 0. 1) f x, y = 2x 3 5x 2 y + 3y 2 5 et x0, y 0 = ( 1, 2) 2) f x, y x y = et x0, y 0 = (0, 0) 1 + x 2 + 2y 2 Pour l existence des dérivées partielles en (0, 0), on utilisera la définition. 3) f x, y = x 3 et x0, y 1 + y 2 0 = (2, 1) 4) f x, y, z x y z = et x0, y 1 + x 2 + y 2 0, z 0 = (1, 1, 2) Exercice 5 (20 min.) Donner le développement limité d ordre 1 au point x 0, y 0 et, en utilisant Scilab, représenter graphiquement sa surface. Représenter graphiquement le plan P dont l équation est donnée par : z = 1 f x 0, y 0 (x x0 ) + 2 f x 0, y 0 y y0 + f x0, y 0. On remarquera (et admettra) que ce plan est un plan tangent à la surface représentative de f, au point x 0, y 0. 1) x, y [ 2; 2] 2, f x, y = (x 2y )(1 + ln 1 + x 2 + y 2 ) et x0, y 0 = ( 1, 1) Quelle est l écriture de son développement limité au point ( 1, 1)? 2) x, y [ 1.5; 2.5] 2, f x, y 1 2x + y = 1 + ln 1 + x 2 + y 2 et x0, y 0 = ( 0.5, 1.7) 3) x, y [ 2; 2] 2, f x, y = x 2y 3 x 2 + y 2 2 et x0, y 0 = ( 0.75, 0.5) 4) x, y [ 2; 2] 2, f x, y = x 2y x 2 y 2 et x0, y 0 = (0, 0) 136

11 Chapitre 6 Fonctions de plusieurs variables (1) Exercice 6 (30 min.) 1) Question de cours : Montrer que la fonction x tanx est une bijection de les propriétés de sa fonction réciproque arctan. 2) Montrer que pour tout réel x ]0, + [, arctanx + arctan 1 x = π 2. 3) Soit (a 1, a 2,..., a n ) n. Montrer que la fonction f définie sur n par n arctan a i x i f (x 1,x 2,...,x n ) = possède un maximum et un minimum. 1 + i =1 n i =1 a i 2 π 2, π dans ; en déduire EXERCICES

12 Corrigés Fonctions de plusieurs variables (1) Corrigés des exercices guidés Exercice A Cet exercice est destiné à représenter des lignes de niveaux, mais aussi des ensembles de définition de fonctions ou de leurs frontières. 1) Méthode Si une fonction de deux variables f définie sur 2 vérifie x, y 2, f x, y = f x, y alors sa courbe est symétrique par rapport à l axe des ordonnées x, y 2, f x, y = f x, y alors sa courbe est symétrique par rapport à l axe des abscisses x, y 2, f x, y = f x, y alors sa courbe est symétrique par rapport à l origine. Remarque Si une courbe est symétrique par rapport à l axe des abscisses et par rapport à l axe des ordonnées, elle est symétrique par rapport à l origine. Si on note ϕ la fonction définie sur 2 par ϕ x, y = 2 x y, on remarque que ϕ x, y = ϕ x, y ; il s ensuit que la courbe représentative de ϕ est symétrique par rapport à l axe des ordonnées. De même, pour tout x, y 2, ϕ x, y = ϕ x, y donc la courbe d est symétrique par rapport à l axe des abscisses. Par composition elle est symétrique par rapport à O(0, 0). Il suffit donc de tracer la courbe de la fonction définie implicitement par ϕ x, y = 2 pour x 0 et y 0 ; on effectue ensuite les symétries par rapport à l axe des abscisses et par rapport à l axe des ordonnées. On veut donc d abord représenter graphiquement x, y + +, 2x y = 1. 1 On reconnaît une demi-droite d extrémité 2, 0 et de pente égale à 2. D où la représentation graphique de A par symétrie : 138

13 Chapitre 6 Fonctions de plusieurs variables (1) ) Méthode La courbe d une fonction continue définie sur une région du plan par ϕ x, y = 0 partage cette région du plan en deux parties ; l une dans laquelle, pour tout couple, x, y, ϕ x, y > 0 une autre dans laquelle pour tout couple. x, y, ϕ x, y < 0 Si dans l une des régions du plan, il existe un point p (a, b) our lequel ( ϕ (a, b) > 0 resp. :) ϕ (a, b) < 0 alors pour tous les points d x, y e cette région on a ( ϕ x, y > 0 resp. :). ϕ x, y < 0. 2x 3y + 1 = 0 est l équation d une droite dans le plan. En se limitant aux couples, x, y + + on obtient la représentation d une demi-droite. Pour déterminer l ensemble, B on prend un point du quart de plan n appartenant pas à B, par exemple ; (0, 0) on constate que ce point n appartient pas à B puisque = 1 > 0 ; il s ensuit que l ensemble B est la partie du quart de plan limité par B et ne contenant pas ; (0, 0) c est donc la partie non hachurée au dessus de la demi-droite B. 139 CORRIGÉS

14 Mathématiques ECS 2 e année Exercice B Méthode Pour montrer qu une fonction f admet des dérivées partielles en x 0, y 0, on montre que c est la composée de fonctions dérivables d une variable, et de fonctions polynômes ou rationnelles. On rappelle que les deux projecteurs x, y x et x, y y sont des fonctions polynômes (et même affine, c est-à-dire de la forme x, y a x + by + c ). Pour déterminer les dérivées partielles d une fonction f en un point, x 0, y 0 on calcule les dérivées des fonctions partielles f 1 : x f (x, y 0 ) et f 2 : y f (x 0, y ) respectivement en x 0 et en y 0. On a : 1 f x 0, y 0 = f 1 (x 0 ) et 2 f x 0, y 0 = f 2 (x 0 ). On commence d abord par définir une fonction, la fonction F : x, y x 2y 4 + x 2 y 2. 1 On donne ensuite un vecteur colonne ; u = on calcule un vecteur ligne grad (de 1 même taille que t u ) et on affiche en première ligne les coordonnées de u, en deuxième ligne, les coordonnées de grad. On peut lire sur la console On peut se douter (vu le nom) que ce vecteur est le gradient de F au point (1, 1). Vérifionsle. Montrons d abord que F admet des dérivées partielles en (1, 1). Les fonctions x, y x 2y et x, y 4 + x 2 y 2 sont des fonctions polynômes et F est le quotient de la première par la racine carrée de la seconde ; elle admet donc des dérivées partielles en tout point où elle est définie, c est-à-dire où x 0, y x0 2 y 0 2 > 0, donc la fonction F admet des dérivées partielles en (1, 1). La fonction F 1 : x F (x, 1) = 3 x x 2 On a : F 1 (x) = 3 2x 3 + x x 2 est dérivable en tout point donc, en particulier, en x = 1. En particulier, 1 F (1, 1) = F 1 (1) = 1 8 = La fonction F 2 : y F 1, y = 5 1 2y est dérivable pour y 2 tout y tel que y < 5. Elle l est donc au point y = 1 ; on a : F y 10 2 y = 5 y 2 5. y 2 140

15 Chapitre 6 Fonctions de plusieurs variables (1) En particulier, 2 F (1, 1) = F 2 ( 1) = 11 = 1,375. Ainsi l instruction grad=numderivative(f,u) renvoie le gradient de F au vecteur u (vecteur 8 ligne). Méthode (Scilab] Pour vérifier avec Scilab nos calculs de dérivées partielles en un point, on peut utiliser le bloc d instructions suivant : function v=f( u) v= < é criture de la fonction F en fonction des coordonn ées u (1) et u (2) de u > endfunction u=[u (1); u (2)] grad = numderivative (F, u) disp ([ u ; grad ]," point et gradient en ce point ") Exercice C 1) On peut masquer la représentation de certains plans pour mieux voir les intersections de chacun des plans avec la surface représentative de f. 2) a) La fonction représentée est la fonction f : x, y x 2 y 2 donnée par les instructions deff( z=f(x,y), z=x.^2-y.^2 ) pour définir la fonction x=-1.5 :0.1 :1.5 ; y=x pour le rectangle de définition fplot3d(x,y,f ) pour la figure. Sa surface représentative est en vert (instructions e=gce() puis e.color_mode=3 ) 141 CORRIGÉS

16 Mathématiques ECS 2 e année b) Les plans ont respectivement pour équation z = 0, z = 1 et z = 1. Les instructions donnant le plan d équation z = 0 sont t=-1.5 :0.1 :1.5 ; x0=t ; y0=t ; pour le rectangle de définition z0=zeros(length(t),length(t)) pour la matrice des valeurs de z ; c est une matrice nulle dont la taille est taille de x0 taille de y0. Sa représentation graphique est donnée par plot3d(x0,y0,z0) ; il est en rouge (instructions e=gce() puis e.color_mode=5 ) Pour obtenir les deux autres plans, avec le même rectangle de définition, on a respectivement considéré les matrices des valeurs de z : z1=z0+1 et z1=z0-1. c) En supprimant (ou en masquant) les instructions e.hiddencolor=... on voit que le dessous des surfaces représentées sont en bleu clair ; en d autre termes, cette instruction colorise le dessous des surfaces représentées. 3) Méthode Soit f une fonction de deux variables définies sur un ouvert Ω. 1. Une ligne de niveau k, est l ensemble des solutions de l équation f x, y = k ; graphiquement, c est l intersection de la surface représentative de f et du plan d équation z = k. 2. Pour montrer qu un plan d équation z = k est un plan tangent à la surface représentative de f en (a, b), on montre que f (a, b) = k et f (a, b) = (0, 0) que (a, b). 3. Pour que f admette un extremum local en (a, b), il faut que le plan tangent à la surface représentative de f en soit horizontal (d équation z = k ) et qu au voisinage de ce point, la surface soit toujours au-dessus ou en dessous du plan tangent. L intersection de la surface représentative de f et d un plan d équation z = c est une courbe appelée, courbe de niveau de f. Ici, on a trois courbes de niveau, les courbes de niveau 1, 0 et 1. On pourra remarquer en particulier, que la courbe de niveau 0 est l intersection de deux droites ; on le voit immédiatement par le calcul ; en désignant L 0 par la ligne de niveau 0, elle se définit par : L 0 = x, y R 2 /x 2 y 2 = 0 = x, y R 2 / x y. On remarque que la fonction f admet des dérivées partielles en tout point (voir exercice B) et de plus : x, y R 2, 1 f x, y = 2x, 2 f x, y = 2y. Le plan rouge (plan horizontal d équation z = 0) coupe la surface en (0, 0); Le gradient de f en (0, 0) est 1 f (0, 0), 2 f (0, 0) = (0, 0). Localement la surface n est pas toujours au-dessus ou en dessous de ce plan. Donc f (0, 0) n est pas un extremum. 142

17 Chapitre 6 Fonctions de plusieurs variables (1) Corrigés des exercices Exercice 1 Les représentations graphiques sont en fin d exercice. 1) Si on note ϕ la fonction définie sur 2 par ϕ x, y = 2 x + 3 y, on remarque que pour tout x, y 2 ϕ x, y = ϕ x, y = ϕ x, y = ϕ x, y ; il s ensuit que la courbe représentative de est symétrique par rapport aux axes de coordonnées et par rapport à l origine. Il suffit donc de tracer la courbe de la fonction définie implicitement par 2x + 3y = 1 pour x 0 et y 0 et d effectuer ensuite les symétries. D où la représentation graphique. 2) La fonction est ϕ : x, y max( x, y ) définie sur 2 et possède les propriétés suivantes : x, y 2, ϕ x, y = ϕ x, y = ϕ x, y = ϕ x, y. Il suffit donc de tracer la courbe définie par x = 2 si x y 0 y = 2 si 0 x y c est-à-dire x = 2 si 0 y 2 y = 2 si 0 x 2 et de procéder par symétrie. D où la représentation graphique. 3) On remarque que x 4 2y 2 + x 2 y = (x 2 y )(x 2 + 2y ) ; donc C est la réunion des deux courbes d équation respective y = x 2 et y = 1 2 x 2 ; d où la représentation graphique : Exercice 2 1) Les représentations graphiques sont données à la fin de la question 1 ; on a utilisé la syntaxe donnée dans l exercice A. a) On a, pour tout x, y [ 1.5; 1.5] 2, f x, y = f x, y = f x, y = f ( x, y ) ; la courbe est symétrique par rapport aux axes de coordonnées et à l origine ; b) On a, pour tout x, y [ 1.5; 1.5] 2, f x, y = f x, y ; la courbe est symétrique par rapport à l axe des ordonnées. c) On a, pour tout x, y [ 1.5; 1.5] 2, f x, y = f x, y ; la courbe est symétrique par rapport à l axe des ordonnées. D autre part, on a f x, y = (3x 2 y )(x 2 y ) ; la courbe de f est donc la réunion des courbes des fonctions x 3x 2 et x x 2. Représentations graphiques : 143 CORRIGÉS

18 Mathématiques ECS 2 e année 2) a) Le point (0, 0) n appartient pas à l ensemble A ; donc l ensemble A est la partie du plan non comprise entre les arcs de courbes, c est-à dire au-dessus des arcs des régions 1 et 2 du plan, et en dessous des arcs des régions 3 et 4 du plan. b) Le point (0, 0) n appartient pas à l ensemble B ; donc l ensemble B est la partie du plan non comprise entre les arcs de courbes, c est-à dire au-dessus de chacune des demi-droites. c) Les deux arcs partagent le plan en 4 régions. On vérifie que la partie du plan au-dessus ou en dessous des deux paraboles sont des parties de C tandis que la partie du plan entre les deux paraboles n en est pas une. Donc C est partie du plan au-dessus de la parabole d équation et y = 3x 2 endessous de la parabole d équation y = x 2. Exercice 3 On constate que la surface représentative de f est toujours au-dessus du plan d équation z = 0 (plan horizontal) ; de plus, ce plan semble être tangent à la surface (faire pivoter la figure). On peut donc conjecturer que la fonction f admet un minimum local égal à 0 en (0, 0). On utilise la syntaxe de l exercice C et on obtient respectivement les représentations graphiques suivantes : Exercice 4 1) La fonction f est une fonction polynôme, donc elle est continue et admet des dérivées partielles en tout point de 2. On a : 1 f x, y = 6x 2 10x y donc 1 f ( 1, 2) = 26 2 f x, y = 5x 2 + 6y donc 2 f ( 1, 2) = 7. Ainsi f ( 1, 2) = (26, 7). On peut vérifier le gradient de f avec Scilab, en utilisant les instructions données dans l exercice C : function v=f( u) v =2* u (1).^3-5*( u (1).^2).* u (2)+3* u (2).^2-5 endfunction 144

19 Chapitre 6 Fonctions de plusieurs variables (1) Sur la console : u =[ -1;2] grad = numderivative (F, u) disp ([ u ; grad ]," point et gradient en ce point ") point et gradient en ce point ) La fonction f est le quotient de la fonction polynôme x, y x y par la somme d une fonction constante x, y 1 et de la racine carrée d une fonction polynôme x, y x 2 + y 2 ; elle est donc continue pour toute valeur où elle est définie, c est-à-dire sur 2 et admet des dérivées en tout point où x 2 + y 2 est strictement positif, c est-à-dire en tout point sauf, peut-être, en (0, 0). Existence des dérivées partielles en. On a (0, 0) : et f (h, 0) f (0, 0) = 0 0 h h = 0 0 donc 1 f (0, 0) = 0 h 0 f (0, k ) f (0, 0) k = 0 0 k = 0 0 donc 2 f (0, 0) = 0. k 0 Il en résulte que f admet des dérivées partielles en (0, 0) et que f (0, 0) = (0, 0). Nous laissons le soin au lecteur de vérifier ce résultat avec Scilab. 3) La fonction f est une fonction rationnelle dont le dénominateur ne s annule pas ; elle est donc continue et admet des dérivées partielles en tout point de 2 ; on a : 1 f x, y = 3x 2 2 f x, y = 1 + y 2 donc 1 f (2, 1) = 6 2x 3 y 1 + y 2 2 donc 2 f (2, 1) = 4. Ainsi f (2, 1) = (6, 4). La vérification avec Scilab est laissée au soin du lecteur. 4) La fonction est une fonction rationnelle dont le dénominateur ne s annule pas. Elle est donc continue et admet des dérivées partielles en tout point de R 2 ; on a : 1 f x, y = 2 f x, y = Donc f (1, 1, 2) = y z 1 + x 2 + y 2y x 2 z x 2 + y 2 donc 2 1 f (1, 1, 2) = 2 9 x z 1 + x 2 + y 2y 2 x z x 2 + y 2 2 donc 1 f (1, 1, 2) = f x, y y x = donc 1 + x 2 + y 2 3 f (1, 1, 2) = , 2 9, 1 3. On peut vérifier ce résultat sur Scilab : function v=f( u) v=u (1)* u (2)* u (3)/(1+ u (1)^2+ u (2)^2) endfunction u =[1; -1;2] grad = numderivative (F, u) disp ([ u ; grad ]," point et gradient en ce point ") 145 CORRIGÉS

20 Mathématiques ECS 2 e année Sur la console : point et gradient en ce point Exercice 5 1) La fonction f est le produit d une fonction polynôme (et même affine : x, y x 2y ) par la différence de la fonction constante x, y 1 et du logarithme d une fonction polynôme strictement positive x, y ln 1 + x 2 + y 2 ; c est donc une fonction de la classe C 1 sur R 2. On a : donc De même, donc Le plan P a a pour équation : 1 f x, y = 1 x 2 + y 2 + 4x y 1 + x 2 + y 2 ln(1 + x 2 + y 2 ) 1 f ( 1, 1) = ln 3 = 1 ln 3. 2 f x, y = x 2 y 2 + x y 1 + x 2 + y ln(1 + x 2 + y 2 ) 2 f ( 1, 1) = ln 3 = 2 ln 3. z = ( 1 ln 3)(x + 1) + 2 ln 3 y ln 3. Laissons le soin au lecteur de vérifier ses calculs de dérivées partielles sur Scilab ; nous donnons ci-dessous un bloc d instructions qui a été utilisé pour la représentation graphique : clear ; clf (); deff ( z=f(x,y), z=(x -2* y ).*(1 - log (1+ x.^2+ y.^2)) ) x = -2:0.1:2 ; y=x; // Repr é sentation du plan z=a(x- x0 )+b(y- y0) [a, b]= numderivative (f, ( x0; y0 ))) deff ( w=p(u,v), w=( -1 - log (3))*( u +1)+2* log (3)*(v -1) -3+3* log (3) ) u=x; v=u; fplot3d (u,v, p) e= gce () // Propri étés graphique du plan z=a(x- x0 )+b(y- y0) e. color_mode =12 // Couleur du plan : bleu azur e. hiddencolor =12 // Repr é sentation graphique de la fonction f fplot3d (x,y, f) e= gce () // Propri étés graphiques de la surface repr é sentative de f e. color_mode =3 // couleur de la surface : vert clair e. hiddencolor =3 146

21 Chapitre 6 Fonctions de plusieurs variables (1) En faisant tourner la figure, on peut remarquer que le plan est tangent à la surface au point ( 1, 1) et qu au voisinage de ce point, il est toujours en dessous de la surface. Attention ce plan n est pas horizontal ; on ne peut donc pas en déduire que la fonction présente un minimum au point ( 1, 1). La fonction f a un développement limité s écrira au point ( 1, 1) puisque la fonction est de classe 1 sur son ensemble de définition (la démonstration est la même que pour la dérivabilité ou la continuité) ; d autre part : f ( 1 + h, 1 + k ) = ln 3 + ( 1 ln 3)h + (2 ln 3) k + h 2 + k 2 ε(h, k ) où ε est une fonction au voisinage de (0, 0) et ε(0, 0) = 0. Donnons les résultats pour les autres fonctions : 2) La fonction f a des dérivées partielles en tout point de son ensemble de définition, et pour tout x, y on a : et aussi 1 f x, y 2x 2 x x y = x 2 + y 2. (1 + ln 1 + x 2 + y 2 ) ln 1 + x 2 + y 2 2 f x, y = 2y 2 2y + 4x y 1 + x 2 + y 2. (1 + ln 1 + x 2 + y 2 ) ln 1 + x 2 + y 2 donc, avec Scilab 1 f ( 0.5, 1.7) , 2 f ( 0.5, 1.7) De plus f ( 0.5, 1.7) , donc l équation du plan P b est : z = (x + 0.5) y CORRIGÉS

22 Mathématiques ECS 2 e année En faisant tourner la figure, on peut remarquer que le plan est tangent à la surface au point et qu au ( 0.5, 1.7) voisinage de ce point, il est toujours en dessous de la surface. 3) La fonction f a des dérivées partielles en tout point de son ensemble de définition, et pour tout x, y on a : 1 f x, y = (4x 2 + y 2 6x y ) x 2 + y 2 et aussi 2 f x, y = ( 2x 2 8y 2 + 3x y ) x 2 + y 2 donc, avec Scilab 1 f ( 075, 0.5) f ( 0.75, 0.5) De plus, f ( 0.75, 0.5) , donc l équation du plan P c est : z = (x ) y En faisant tourner la figure, on peut remarquer que le plan est tangent à la surface au point ( 0.75, 0.5) et qu au voisinage de ce point, il est toujours en dessous de la surface. 4) La fonction f a des dérivées partielles en tout point de son ensemble de définition, et pour tout x, y on a : 1 f x, y = 3x 2 y 2 4x y et aussi : 2 f x, y = 2x 2 + 6y 2 2x y donc, avec Scilab : 1 f (0, 0) = 0 2 f (0, 0) = 0. De plus f (0, 0) = 0, donc l équation du plan P d est z =

23 Chapitre 6 Fonctions de plusieurs variables (1) En faisant tourner la figure, on peut remarquer que le plan est horizontale et tangent à la surface au point (0, 0). Ce plan coupe la surface en ce point : il n est pas localement au dessus ou en dessous de la surface ; donc f (0, 0) n est pas un extremum. Exercice 6 1) La fonction tangente réalise une bijection de π 2, π à valeurs dans. 2 x,!y, tanx = y x = arctan y or, arctanx x. x 0 La fonction arctan est deux fois dérivables sur, et x, arctan (x) = 1 et arctan 1 + x 2 2) Soit ϕ la fonction définie sur ]0, + [ par ϕ (x) = arctanx + arctan 1 x. Cette fonction est dérivable sur ]0, + [ et 1 ϕ (x) = x + x x 2 2x (x)= 1 + x 2 2 donc ϕ (x) = 0 ; il en résulte que ϕ est constante sur ]0, + [. On a ϕ (1) = 2 arctan 1 = π 2, donc, pour tout réel x > 0, arctanx + arctan 1 x = π 2. 3) Deux cas. 1 er cas : si a 1 = a 2 =... = a n = 0, alors, pour tous réels x 1,x 2,...,x n, f (x 1,x 2,...,x n ) = 0 ; la fonction f admet donc un minimum et un maximum. 2 e cas : s il existe au moins un i tel que a i = 0. Posons a = (a 1, a 2,..., a n ) et x = (x 1,x 2,...,x n ) ; on a : n a i x i = a, x e t a, x a x. i =1 149 CORRIGÉS

24 Mathématiques ECS 2 e année La fonction arctan est une fonction impaire et positive sur R, donc Par ailleurs, En posant α = a et t = x, on a : arctan a, x = arctan < a, x > arctan( a x ). n x 2 i = x 2. i =1 f (x 1,x 2,...,x n ) g (t ) o g (t ) = arctan(αt ) 1 + t 2. On a lim g (t ) = 0 et lim g (t ) = 0 ; comme la fonction g est positive et non nulle sur ]0, + [, t 0 t + il existe t 1 ]0, + [ tel que g (t 1 ) > 0 ; il existe donc un réel A tel que t > a, g (t ) < g (t 1 ) pour tout réel. On notera que nécessairement A > t 1. Par ailleurs, sur le segment [0, A] la fonction g est continue ; elle admet donc un maximum g (t 2 ) g (t 1 ). Il en résulte que la fonction g admet un maximum M sur et M = g (t 2 ) ; donc f est une fonction continue R n de dans [ M, M ]. Reste à montrer qu il existe (u 1, u 2,..., u n ) tel que f (u 1, u 2,..., u n ) = M et (v 1, v 2,..., v n ) tel que f (v 1, v 2,..., v n ) = M. Pour tout réel λ, x = λa est un vecteur colinéaire à a ; on a donc a, x = a x. Posons d abord λ = t 2 α et u = λa ; on a f (u ) = g (t 2) = M. Posons en suite µ = t 2 α et v = µa ; on a f (v ) = g ( t 2 ) = M. La fonction f admet donc un maximum et un minimum sur. 150

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26 VUIBERT MATHS ECS 2 e année MÉTHODES EXERCICES PROBLÈMES Des ouvrages pour faire la différence : des synthèses de cours et de méthode pour acquérir les connaissances indispensables et réviser efficacement, de nombreux exercices intégralement corrigés pour s entraîner et se mettre en situation d épreuve : exercices guidés, exercices d application et problèmes de synthèse, en ligne ( à la page du livre) : des annexes pour maîtriser la simulation sur Scilab et des exercices complémentaires. SOMMAIRE 1. Rappels de calculs algébriques 2. Compléments d algèbre 3. Réduction des endomorphismes 4. Algèbre bilinéaire 5. Intégrales impropres 6. Fonctions de plusieurs variables (1) 7. Séries et compléments de probabilités 8. Couples et vecteurs aléatoires 9. Endomorphismes symétriques 10. Fonctions de plusieurs variables (2) 11. Extrema sur un fermé borné et extrema sous contrainte 12. Convergences 13. Estimateurs, estimations En ligne : Annexes : A. Lois usuelles B. Scilab Exercices complémentaires Les auteurs : Jean-Philippe Cortier est professeur de chaire supérieure de mathématiques. François Delaplace est professeur en classes préparatoires économiques et commerciales au lycée Notre-Dame du Grandchamp à Versailles. Fabrice Fortain dit Fortin est professeur en classes préparatoires économiques et commerciales au lycée Notre-Dame du Grandchamp à Versailles. Marguerite Rossillon est professeur de mathématiques à ParisTech Shanghaï Jiao Tong. ISBN :