M3. Energie en mécanique du point matériel.

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1 M3.. TD : rechercher et consolider les bases 1. Looping dans une gouttière. y H g A h C l O I θ P x Un mobile P assimilé à un point matériel de masse m se déplace sur un rail situé dans le plan vertical et représenté sur la figure ci-dessus. Le rail comporte une partie IA constituée d un demi-cercle de centre C et de diamètre IA = 2l. On néglige tout frottement et la liaison entre le rail et le mobile est unilatérale, c est-à-dire que la réaction R exercée par le rail sur le mobile ne peut changer de sens. La position de P lorsque la trajectoire est à l intérieur du demi-cercle est repérée par l angle θ et on désigne par g le champ de pesanteur terrestre. A l instant t = 0, le mobile est libéré en H sans vitesse initiale à la hauteur h au-dessus de I point le plus bas du demi-cercle. Le problème est ici d analyser le mouvement du mobile P suivant la valeur de h. a. Proposer une analyse qualitative du problème posé. b. Exprimer en fonction de l, h, g et θ la norme v de la vitesse du point P lorsqu il est à l intérieur du demi-cercle. c. Exprimer en fonction de m, g, l, h et θ la norme R de la réaction exercée par le rail sur le point P lorsqu il est à l intérieur du demi-cercle. d. Représenter sur un même graphique les fonctions θ R (θ) et θ mv2 (θ). l e. Proposer une analyse quantitative du problème posé. 2. Positions d équilibre et stabilité. [CCP] On considère le dispositif de la figure ci-dessous où un objet assimilable à un point matériel M de masse m se déplace solidairement à une piste formée de deux parties circulaires de rayon R 1 et R 2, de centre C 1 et C 2 dans un plan vertical. On repère la position de M par l angle θ. Pour la partie (1), θ [ π, π] et pour la partie (2), 2 θ [ ] π, 5π 2. Il n y a pas de frottement et on note g le champ de pesanteur terrestre. 1

2 a. Exprimer l énergie potentielle de pesanteur E p (θ) du point M en supposant E p = 0 au point B (θ = π). On distinguera les cas (1) et (2). b. Tracer l allure de E p (θ). c. Déterminer graphiquement les positions angulaires d équilibre et leur stabilité. Exercices : rechercher en autonomie 1. Balle sur une glissière. [Moyen,classique] Une balle de masse m est assimilable à un point matériel. On l abandonne en haut d une glissière de longueur l inclinée d un angle α par rapport à l horizontale. Au bas de cette glissière, est fixée une deuxième glissière horizontale de longueur l. A son extrémité, est fixée une troisième glissière de longueur d et faisant un angle β avec l horizontale. a. On suppose dans cette question qu il n y a pas de frottements sur les glissières. α. Déterminer la position du point E où la balle revient en arrière. β. Décrire la suite du mouvement. b. La balle est maintenant soumise à une force de frottement sur la glissière horizontale. Il n y a pas de frottement sur les glissières inclinées et on note f le coefficient de frottement entre la glissière et la balle. α. Montrer que la force de frottement est constante. β. Déterminer la position du point F où la vitesse de la balle s annule. On distinguera deux cas et on précisera si la balle revient en arrière ou s arrête simplement en F. 2

3 γ. On suppose que la balle revient en arrière. Déterminer la condition sur l angle α pour que la balle s arrête sur la glissière horizontale lors du retour. On appellera G le point d arrêt. (Réponse : a) z E = z A, b) si f l sin α BF = l sin α ; si l f f < l sin α z l F = l sin α l f ; f l < sin α 2f l ) l l 2. Interaction entre particules chargées. [Cours] Une particule fixe, de charge électrique q 1, est placée à l origine O d un axe (Ox). Tout le problème se déroule le long de cet axe (Ox) et on néglige l effet du poids. La force de Coulomb qu exerce cette particule fixe sur une particule mobile de charge q 2 placée à droite de O est : 1 q 1 q 2 f = ux 4πɛ 0 x 2 avec x l abscisse positive de la particule mobile. a. Déterminer l énergie potentielle dont dérive la force f. b. On suppose que q 1 = q 2 = q. On lance à une distance a de O la particule mobile de masse m en direction de la particule fixe avec une vitesse v 0. Calculer la distance minimale d approche b. Indication : que vaut la vitesse de la particule mobile à la distance minimale d approche? c. On suppose que q 1 = q 2 = q. On lance à une distance a de O la particule mobile de masse m dans la direction opposée à la particule fixe. Quelle vitesse initiale v 0 doit-on lui communiquer pour qu elle échappe à l attraction de la particule fixe? Indication : pour échapper à l attraction de la particule fixe, il faut atteindre x = + avec une vitesse nulle. (Réponse : E p = 1 4πɛ 0 q 1 q 2 x + cte, b = 1 1 a + 2πɛ 0 mv2 0, v 0 = q 2 q 2 2πɛ 0 ma ) 3. Energie potentielle en coordonnées polaires. [Moyen] Un point matériel M se déplace dans le plan (Oxy) sous l action d une force centrale f = k OM et d une force uniforme f0 = f 0 ux. Déterminer à une constante près l énergie potentielle E p du point matériel en fonction des variables r et θ. (Réponse : E p = 1 2 kr2 f 0 r cos θ + cte) 3

4 4. Mouvement d une perle sur une hélice. [Moyen] Soit une hélice de coordonnées polaires : r = a et z = hθ. Un petit anneau enfilé sur l hélice est abandonné sans vitesse initiale au point de cote H = 2πh. a. En assimilant cet anneau à un point matériel mobile sans frottement le long de l hélice et en utilisant la conservation de l énergie mécanique, montrer que la dérivée seconde de θ par rapport au temps est constante. b. En déduire la relation entre θ et t. c. Calculer le temps mis par l anneau pour atteindre sous l action de son poids le plan horizontal de base (z = 0). (Réponse : θ = gh 4π(a, T = 2 +h 2 ) ) a 2 +h 2 gh Problème : préparer le DS Circuit d une fête foraine On considère le jeu d enfants suivant composé d un petit chariot mobile sur une piste de fête foraine miniature dans lequel reposent deux passagers miniatures. L ensemble de masse m = 200 g et de dimension négligeable est mobile sans frottement (hors portion GH) sur cette piste située dans le plan vertical. On prendra g = 10 m.s 2. La piste est formée de plusieurs parties comme le montre la figure ci-dessous : AB : piste circulaire de centre O 1, de rayon R = 40 cm et d angle α = 30 BC : piste rectiligne inclinée de longueur 2R se raccordant tangentiellement à AB et CD CD : piste circulaire de centre O 2, de rayon R et d angle α DE : piste rectiligne se raccordant tangentiellement à CD et EF EF : piste circulaire de centre O 3, de rayon 2R et d angle α 4

5 La piste est interrompue entre F et G. Le chariot décrit alors une portion de parabole qui se raccorde à la piste en G (sommet de la parabole). Puis il arrive sur la piste GH recouverte d un revêtement rugueux et on veut qu il s arrête en H afin de garantir des sensations fortes mais aussi l intégrité physique des passagers. 1. Le chariot est abandonné sans vitesse en A. Déterminer, en utilisant le théorème de l énergie cinétique, sa vitesse v B en B en fonction de g, R et α. 2. Exprimer la norme de la réaction du support R N en un point de la portion AB repéré par un angle θ quelconque (en B, on a θ = α). On exprimera R N en fonction de m, g, R, θ et v la vitesse du chariot. 3. En déduire que la réaction du support a pour norme en B : Le chariot quitte-t-il la piste entre A et B? R N B = mg (3 cos α 2) 4. Montrer que v F = 4gR sin α. 5. Justifier que v G = v F cos(α). Faire l application numérique. 6. Sur la partie GH, il s exerce une force de frottement solide R T obéissant aux lois de Coulomb. En notant f le coefficient de frottement, exprimer d abord R T en fonction de f, m et g. En utilisant le théorème de l énergie cinétique, montrer que la distance d = GH à choisir pour que le chariot s arrête en H est donnée par d = 2R sin α cos2 α f Le coefficient de frottement valant 0.60, en déduire la distance d minimale pour que le chariot ne tombe pas dans le vide. *** 5