5. Prouver que la courbe représentative de la fonction h définie sur ]0 ;1[ ]1 ;+ [ par. admet une asymptote verticale.

Transcription

1 Trmial S- ABC DS5 ldi 6 javir 7 La préstatio, la rédactio t la rigr ds résltats trrot por part sigificativ das l évalatio d la copi. L sjt st composé d 4 rcics idépdats. La calclatric st atorisé. La dré d dvoir st d h. Ercic : sr 6 poits Ds qstios idépdats. Résodr das l éqatio : l(3 4). Résodr das l iéqatio : Détrmir la dérivé g d la foctio g défii sr par étdir l sig d g. g( ) t 4. Détrmir la dérivé f d la foctio f défii sr par f ( ) l( ) t étdir l sig d f. 5. Provr q la corb rpréstativ d la foctio h défii sr ] ;[ ] ;+ [ par h ( ) l( ) admt asymptot vrtical. 6. O cosidèr la sit ( )défii par 3 t por tot tir par ( ). Démotrr par récrrc q por tot tir, <. Ercic : sr 5 poits l( ). ROC : o rappll q lim.démotrr q lim l. O cosidèr la foctio f défii sr [ ; + [ par f ( ) t o ot C sa corb rpréstativ das rpèr. a. Soit g la foctio défii sr [ ; + [ par g( ) ² l( ). Motrr q g st positiv sr [ ;+ [. b. Motrr q, por tot d [ ; + [, g ( ) f '( ). ² c. Drssr l tabla d variatios d f sr [ ; + [ ( avc la limit).

2 d. Etdir la positio rlativ d la corb C par rapport à la droit D d'éqatio y = sr [ ; + [. Ercic 3 : sr 7 poits Parti A Soit g la foctio défii por tot rél d ] ; + [ par g( ) l( ). Détrmir ls limits d la foctio g t +.. Motrr q g '( ) l( ). 3. Drssr l tabla d variatio d la foctio g. Parti B Soit ( ) la sit défii por tot tir atrl o l par. Cojctrr à l aid d la calclatric : a. L ss d variatio d la sit ( ). b. La limit évtll d la sit ( ). Soit ( v ) la sit défii por tot tir atrl o l par v = l( ) a. Motrr q por tot tir atrl o l, v = g(). b. Détrmir l ss d variatio d la sit ( v ) pis cli d ( ). 3. Motrr q la sit ( ) st boré. 4. Détrmir la limit d la sit ( ). Ercic 4 : sr poits pris d iitiativ Détrmir sivat ls valrs d rél a, l ombr d soltios d l éqatio : a

3 Corrigé : Ercic :. L éqatio : l(3 4) st défii sr ]-4/3 ; + [ 4 l(3 4) 3 4 Or 3. L iéqatio : 3 9 st défii sr 4 4. ; 3 3 doc 4 S 3 l(3) l(3) l(3) Doc 3. g st défii sr par g( ) g '( ) ( ) ( ) Comm 4 por tot rél, g '( ) st d sig d (- ) d où l(3) S ; - + Sig d g () + 4. La foctio f défii sr par f ( ) l( ) st d typ l() d dérivé Doc f '( ). Por tot rél, doc t Doc, por tot rél, f '( ) 5. La foctio h st défii sr ] ;[ ] ;+ [ par 6. lim t liml( ) D après l tabla d sigs d l ( ) + Sig d l() + h ( ) l( ) ' lim doc lim l( ) l( ) Et d faço aalog lim l( ) Doc la droit d éqatio «=» st asymptot vrtical à la corb d h 7. O cosidèr la sit ( )défii par 3 t por tot tir par ( ). Démotros par récrrc por tot tir, la propriété < Iitialisatio : = 3 t 3 < doc la propriété st vrai por = Hérédité : Soit k tir atrl. Spposos q k < t démotros q, sos ctt hypothès, k+ <. k k k < doc appliqat la foctio potill croissat sr, soit cor. E mltipliat ls d mmbrs d l iégalité par k k ( ) c'st à dir k Coclsio : La propriété st : «<» st vrai por tot tir atrl. k ( ombr strictmt positif) o obtit

4 Ercic :.ROC : O sait q lim l( ). Bt : o chrch lim Méthod : Méthod : Posos = l() Alors lim t Posos = Alors lim t l( ) l( ) lim lim lim lim lim l( ) l( ) D' où lim Atttio! N pas écrir q l( ) qi st icohért. a). Motros q g st positiv sr I=[; + [. g st défii sr [ ; + [ par g( ) ² l( ). Méthod : ² g '( ). Or [ ; [ doc > t por tot rél, ²+ >. O dédit q g'() > por tot rél d [;+ [. Doc g st croissat sr [; + [. Por tot, o a g() g(). Or g()=² +l()= doc g(). g st doc positiv sr [ ;+ [ Méthod ( pls rapid) Si [ ; + [ doc, (la foctio carré état croissat sr [ ; + [), ² doc ². D pls, l() Et doc la somm ² + g() st positiv. l b) f ( ) por tot d [ ; + [, l( ) l( ) ² l( ) ( ) Doc '( ) g f Coclsio :o a bi ² ² ² c) Comm ² > sr [ ; + [, g ( ) a l sig d g(). f '( )qist égalà Or o a motré a q g positiv sr [ ; + [ doc f ' () ² f g ( ) '( ). ² D atr part, f()= t o sait (limit d référc rdémotré à la qstio ) q l( ) lim. O pt doc drssr l tabla sr [ ; + [: l( ) lim Doc + variatios d f d.) Por étdir la positio rlativ d la corb C par rapport à la droit D d'éqatio y= sr [ ; +[, o étdi l sig d f() : l( ) l( ) f ( ) Ctt prssio a l sig d l() sr [ ; + [ car >. Or, si >, l() > t doc l() <. Et si =, o a l()= O dédit q D t C ot l poit d'absciss comm t q si >, C st a dssos d D. + sig d f () +

5 Ercic 3 : sr 7 poits Parti A.. g st la foctio défii por tot rél d ] ; + [ par g( ) l( ) soit limg( ) lim t lim l( ) ( limit d référc)doc lim l( ) g( ) l( ) ( l( )) Or. g( ) l( ) lim l( ) doc lim l( ) doc lim ( l( )) lim soit lim g( ) doc g '( ) ( l( ) ) (l( ) ) l( ). O coait l sig d l() sr ] ; + [ ; doc o dédit : Parti B. Soit ( ) la sit défii por tot tir atrl o l par + sig d + g () variatios d g. A l aid d la calclatric : la sit ( ) smbl décroissat t smbl covrgr vrs. Soit ( v ) la sit défii por tot tir atrl o l par v l( ) a) Por tot tir atrl o l, v l( ) l( ) l( ) l( ) l( ) l( ) l( ) g( ) b) O a démotré parti A q la foctio g st décroissat sr [ ; + [. Or v =g() t la sit ( v ) st défii por tot tir, doc la sit ( v ) st décroissat. v D pls, = l( ) doc = v v ) décroissat doc por tot tir atrl o l, v v. D où appliqat la foctio ( potill qi st croissat sr, o dédit q v v c'st à dir q. Coclsio : la sit ( ) st décroissat

6 3. D part, ( ) st mioré par E fft, la sit ( ) st défii por tot tir atrl o l par doc D atr part, la sit ( ) état décroissat ll st majoré par so prmir trm La sit ( ) st doc boré par t. 4. O a v q v =g() t o a démotré q lim g ( ) doc lim v. Or, v t lim v doc, par compositio, o dédit q lim. La sit ( ) st doc covrgt vrs. > Ercic 4 : sr poits pris d iitiativ L'éqatio a éqivat à a.soit f la foctio défii sr par f ( ). Alors, f '( ) t lim Doc lim Por, f ( ) ( ) Comm lim - + sig d f () variatios d f o dédit q lim ( ) L tabla d variatio d f t l corollair d théorèm ds valrs itrmédiairs prmttt d dédir q Si a < l éqatio f()= a a ac soltio Si a = l éqatio f()= a a sl soltio Si a > l éqatio f()= a a d soltios Rmarq : o porrait assi visalisr aisémt l résltat avc la corb d la foctio potill sa tagt a poit d absciss d éqatio : y=+, t pls gééralmt, tots ls droits parallèls à ctt tagt, d éqatios rspctivs y= + a,avc a paramètr rél : y 5 4 y=p() y=+ y=