Arithmétique (3) Critères de divisibilité Nombres premiers. 1 ère L Option. 2 ) Exemples
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- Dorothée Perrot
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1 ère L Optio I. Critères de divisibilité Arithmétique () Critères de divisibilité Nombres premiers Les critères de divisibilité permettet de svoir, ss fire l divisio, si u ombre est divisible pr u utre. C'est prtique! Critère de divisibilité pr U ombre est divisible pr s'il est pir, c'est-à-dire s'il se termie pr 0,, 4, 6 ou 8. Critère de divisibilité pr U ombre est divisible pr si l somme de ses chiffres est divisible pr. Critère de divisibilité pr 4 U ombre etier est divisible pr 4 lorsque le ombre formé pr ses deux deriers chiffres (celui des dizies et celui des uités) est divisible pr 4. Critère de divisibilité pr 5 U ombre est divisible pr 5 s'il se termie pr 0 ou 5. Critère de divisibilité pr 6 U ombre etier est divisible pr 6 lorsqu'il est divisible à l fois pr et pr. Critère de divisibilité pr 9 U ombre etier est divisible pr 9 lorsque l somme des chiffres qui composet so écriture est divisible pr 9. Critère de divisibilité pr 0 U ombre est divisible pr 0 s'il se termie pr u 0. Critère de divisibilité pr U ombre etier est divisible pr si l différece des chiffres de rg pir et des chiffres de rg impir de so écriture est divisible pr. II. Nombres premiers ) Défiitio ) Exemples possède exctemet deux diviseurs, et, doc est u ombre premier. De même, 5 et 7 sot des ombres premiers. ) Cotre-exemples u seul diviseur () doc est ps u ombre premier. dmet plus de deux diviseurs doc est ps u ombre premier. 0 ue ifiité de diviseurs doc 0 est ps premier. 4 ) U lgorithme de recherche des ombres premiers : le crible d Ertosthèe Ertosthèe étit u mthémticie, stroome géogrphe et poète grec é e 84 vt J.-C.. Il est le premier à voir détermier de fço précise le périmètre de l Terre et à voir mis u poit u moye pour détermier les ombres premiers iférieurs à u etier doé. Explictios de l lgorithme : est ps u ombre premier doc o le rye. est u ombre premier : o l etoure (choisir u code de couleur). Les multiples de dmettt u mois pour diviseur ; et eux-mêmes possèdet plus de deux diviseurs doc e sot ps premiers. Pr exemple 4 est u multiple de. 4 dmet pour diviseurs, et 4 doc 4 est ps premier. O rye de l liste tous les ombres multiples de. est u ombre premier : o l etoure. Pour des risos logues à celles qui précèdet, tous les multiples de e sot ps premiers. O rye de l liste tous les ombres multiples de. O recommece vec le ombre premier suivt c est à dire 5 Liste des etiers turels premiers iférieurs à 00 : ; ; 5 ; 7 ; ; ; 7 ; 9 ; ; 9 ; ; 7 ; 4 ; 4 ; 47 ; 5 ; 59 ; 6 ; 67 ; 7 ; 7 ; 79 ; 8 ; 89 ; ) Propriété (dmise ss démostrtio) Il y ue ifiité de ombres premiers. O dit qu u etier turel est premier s il possède exctemet deux diviseurs : et lui-même. 6 ) Commet détermier si u ombre est premier Pour détermier si u ombre N est premier, o effectue l divisio de ce ombre pr les ombres premiers successifs,, 5 Si N est ps divisible pr ucu de ces ombres premiers, o recoîtr qu il est premier dès que le quotiet ser iférieur u diviseur. O ppelle cette méthode : «test d rrêt».
2 III. Décompositio e produit de fcteurs premiers ) Théorème (dmis) Tout etier turel supérieur ou égl à est premier ou peut se décomposer e produit de fcteurs premiers. ) Méthode pour décomposer u ombre e produit de fcteurs premiers O effectue des divisios euclidiees successives des quotiets pr les diviseurs premiers (,, 5 ) tt que le quotiet est différet de. Décomposer 68 e produit de fcteurs premiers : L décompositio de 68 e produit de fcteurs premiers est Décomposer e produit de fcteurs premiers L décompositio e produit de fcteurs premiers de 45 est : ) Remrque L décompositio e produit de fcteurs premiers est uique à l ordre des fcteurs près. 4 ) Applictios de l décompositio e produit de fcteurs premiers - Doer l liste des diviseurs d u ombre - Détermier le PGCD et le PPCM de deux ombres - Ecrire ue frctio sous forme irréductible IV. Liste des diviseurs d u etier ) Méthode - O utilise l décompositio e fcteurs premiers. - O utilise u rbre de possibilités. Pour cel, o effectue l décompositio de 6 e produit de fcteurs premiers L décompositio de 6 e produit de fcteurs premiers est : 6 = 7. p q Tous les diviseurs de 6 vot s écrire sous l forme : 7 vec 0, 0 p, et 0q. Pour détermier tous ces diviseurs, o fit u rbre de possibilités : Coclusio : 6 dmet diviseurs qui sot :,,, 6, 7, 9, 4, 8,, 4, 6, 6. Il y 8 diviseurs. ) Nombre de diviseurs d u etier O détermie l décompositio e fcteurs premiers puis o esquisse u rbre fi de détermier le ombre de possibilités. ) Exemple Doer l liste des diviseurs de 6. 4
3 V. PGCD et PPCM de deux etiers ) Rppel PGCD de deux etiers : plus grd commu diviseur. PPCM de deux etiers : plus petit commu multiple o ul. Exemple : Regrdos les multiples de 6 et de 4. Les multiples de 6 sot 0, 6,, 8, 4, 0, 6 Les multiples de 4 sot 0, 4, 8,, 6, 0, 4 Les ombres 4 et 6 ot des multiples e commu : 0,, 4 Le plus petit commu multiple commu o ul est. O écrit PPCM(4 ; 6) =. Utilistio : clculs de sommes ou de différeces de frctios. Détermitio du PPCM de deux etiers turels Il y ps d lgorithme comme l lgorithme d Euclide pour le PGCD. ) Méthodes à l ide des ombres premiers O décompose les deux ombres e produits de fcteurs premiers. L décompositio e produit de fcteurs premiers de 84 est : 84= 7. L décompositio e produit de fcteurs premiers de 50 est : 50=5. PGCD(84 ; 50)==6 PPCM(84 ; 50)= 5 7 Propriété (dmise ss démostrtio) Les multiples commus à deux etiers turels sot les multiples commus de leur PPCM. V. Autres pplictios des ombres premiers ) Recoître u crré ou u cube prfit Voir exercices. ) Simplifier des rcies crrées Rppel Pour simplifier des rcies crrées, o fit pprître des crrés prfits sous le rdicl. Si le ombre est grd, o peut utiliser l décompositio e produit de fcteurs premiers (voir exercices). ) Simplifier des frctios 4 ) Doer tous les diviseurs commus à deux etiers Pour détermier le PGCD de deux ombres, o pred tous les fcteurs COMMUNS recotrés ds les deux décompositios ffectés de leur plus PETIT expost Pour détermier le PPCM de deux ombres, o pred tous les fcteurs PRESENTS recotrés ds les deux décompositios ffectés de leur plus GRAND expost. N.B. : L itérêt de cette méthode est qu elle peut être géérlisée à l détermitio du PGCD ou du PPCM de plus de deux etiers turels. ) Exemple Détermier le PGCD de 84 et 50 e effectut l décompositio e produit de fcteurs premiers de chcu des deux ombres
4 VI. Rppels sur les puissces Défiitios et propriétés représete u réel quelcoque et u ombre etier supérieur ou égl à. représete le produit de fcteurs égux à.... fcteurs représete l iverse de. et b représetet des réels quelcoques m et représetet des etiers reltifs. m m m m m m b b 0 Exemples 8 0 0, ère L Optio Exercices sur les critères de divisibilité et les ombres premiers Décomposer e produit de fcteurs premiers chcu des ombres suivts : A 880 ; B 705 ; C 4 4 ; D 48 7 E utilist l décompositio e produit de fcteurs premiers, détermier le PGCD et le PPCM de 400 et Crrés et cubes prfits ) Ss clcultrice, motrer que 4 est u crré prfit. ) Ss clcultrice, motrer que 6 est u cube prfit. ) Quel est le plus petit etier turel : ) qui, multiplié pr 000, est u crré prfit? b) qui, multiplié pr 00, est u cube prfit? 4 Nombre premiers d Euler ) Vérifier que pour tous les etiers de 0 à 40, ²++4 est u ombre premier. ) Vérifier que pour = 4, le ombre ²++4 est ps premier. 5 Ecrire chcu des ombres suivts sous l forme b où et b sot des etiers turels, b le plus petit possible. A 400 B ) Doer l décompositio e produit de fcteurs premiers de 84 et ; ) Simplifier l frctio E utilist l décompositio e fcteurs premiers, écrire chcue des frctios suivtes sous forme de frctio irréductible ² ( 8)² ( 5) A ; B ; C ; D E utilist l décompositio e fcteurs premiers et u rbre de possibilités, détermier l liste des diviseurs de
5 9 ) Décomposer 8 e produit de fcteurs premiers. 8 ) Ecrire 8 sous l forme b où et b sot des etiers turels, b le plus petit possible. 0 «Le ombre cché» Je suis u ombre etier compris etre 00 et 400. Je suis pir. Je suis divisible pr. J i ussi et 5 comme diviseurs. Qui suis-je?» Expliquer ue démrche permettt de trouver le ombre cché, et doer s vleur. O cosidère deux ombres A et B formés de 4 chiffres qui s écrivet de l fço suivte : A = 745 et B = 87. ) Détermier le chiffre mqut ds le ombre A fi qu il soit divisible pr 9. ) Détermier le chiffre mqut ds le ombre B fi qu il soit divisible pr et. Doer toutes les possibilités. ) Simplifier lors l frctio A. Doer tous les cs possibles. B Correctio des exercices sur les critères de divisibilité et les ombres premiers 0 Le ombre cherché est pir, doc divisible pr. Il est ussi divisible pr, 5 et. Il est doc divisible pr 5, doc pr 0. Il est compris etre 00 et 400 : le seul ombre multiple de 0 compris etre 00 et 400 est 0, doc le ombre cherché est 0. D utres risoemets sot bie sûrs possibles. 9
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