Exemples de problématique

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1 Expériences comparatives avec un facteur Problématique facteur à 2 modalités ( niveaux ) - Test d hypothèse - Test t de Student - Intervalle de confiance facteur à 3 modalités et plus - Modèle d analyse de variance - Décomposition variabilité : ANOVA - Test F de Fisher - Analyse des résidus - Comparaisons a posteriori - Nombre de répétitions Exemples de problématique Exemple 2.- procédé de gravure chimique («wet etching») enlèvement du silicium sur des «wafers» avant métallisation variable de réponse : taux d enlèvement du procédé comparaison efficacité de 2 solutions (facteur) données : taux d enlèvement sur 0 «wafers» chaque solution solution : solution 2 : différence significative? Exemple effet du flux du C 2 F 6 sur l uniformité gravure «wafer» variable de réponse : uniformité ( % ) tranches («wafer») de silicium facteur à 3 modalités: taux du C 2 F 6 - modalités (niveaux) : flux uniformité différences significatives? si oui, lesquelles? 2

2 Méthodes d analyse Ex 2. Test t de Student cadre pour des expériences de comparaison simple : facteur variant à 2 modalités utilisé dans tous les plans expérimentaux avec : plusieurs facteurs variant à 2 modalités Ex 2.2 ANOVA ANALSIS OF VARIANCE analyse de la variance - facteur avec k ( 3 et plus ) modalités - aussi avec plusieurs (2 et plus) facteurs - test t ne s applique pas directement - méthode d analyse : ANOVA - décomposition de la variabilité selon les sources - méthode d analyse fondamentale employée dans toutes les expériences industrielles / scientifiques 3 facteur à 2 niveaux : test t Student ( / 6 ) niveau facteur A niveau ~N (µ 0.2, σ 2 ) Hypothèse nulle H : µ = µ 2 ~N(µ 2, σ 2 ) Hyp. alternative 0.0 H : µ µ GAUSS σ GAUSS σ µ µ y U y 2 y n échantillon U y 2 y 22 y 2 n facteur A affecte t-il la variable de réponse? y = y i /n S 2 = ( y i y ) 2 /( n - ) moyennes variances y 2 = y 2i / n2 S 2 2 = ( y 2i y 2 ) 2 /( n2 - ) σ 2 =[(n ) s 2 + (n 2 ) s 2 2 ]/ (n + n 2-2) estimation erreur expérimentale σ décision basée sur écart y - y 2 4

3 facteur à 2 niveaux : test t Student (2 / 6 ) test de comparaison effet du facteur A t = différence des moyennes écart type (différences des moyennes ) Statistique t de Student t = loi Student avec y y 2 σ [ /n + /n 2 ] 0.5 df = n + n 2-2 degrés de liberté t t t t «près de zéro» supporte H 0 : pas de différence c-à-d facteur n affecte pas «très différente de zéro» supporte H : le facteur A affecte la moyenne de est un rapport signal / bruit distance entre les moyennes en unités d écart types 5 facteur à 2 niveaux : test t Student (3 / 6 ) procédure objective pour décider si t est «grand» En 908, W. S. Gosset ( pseudonyme Student ) obtient la distribution t appelé «Student» Tables logiciel statistique «p-value» distribution Student df >= 30 df =30 Student df =2 df = normale 6

4 facteur à 2 niveaux : test t Student (4 / 6 ) Ex 2. : analyse Boîte à moustaches: taux etch Sol 2 y S taux etch ty p e s o lu tio n Median 25% -75% Min-Max Tests t ; Classmt : type solution (Ex-2.-gravure.sta) Groupe: Groupe2: 2 Moyenne Moyenne Valeur t dl p N Actifs N Actifs Ecart- Type Ecart- Type Ratio F p taux etch p -value = risque rejeter faussement l hypothèse H 0 7 facteur à 2 niveaux : test t Student (5 / 6 ) vérification de la normalité des données 2.0 Droite de Henry Catégorisée : taux etch.5.0 Valeur Normale Théorique type solution: ty pe solution: 2 8

5 facteur à 2 niveaux : test t Student (6 / 6 ) Méthode intervalles de confiance Forme générale : intervalle de confiance pour θ L θ U avec P ( L θ U ) = - α Intervalle de confiance à 00(- α )% différence entre 2 moyennes µ - µ 2 : ( y - y 2 ) ± σ * t df, α/2 * ( /n + /n 2 ) 0.5 percentile distribution Student df = n + n 2-2 Ex 2. : Intervalle différence de moyenne µ - µ 2 ( à ) coefficient confiance de 95% 9 facteur à k niveaux : ANOVA (/3 ) Exemple 2.3 : optimisation «larger the better» recherche nouvelle composition de fibres synthétique tissus facteur : % coton varie entre 5 et 35 réponse : force de tension tissu à maximiser 5 modalités de fixées à: exécution : complètement aléatoire / n = 5 répétitions Données y ij tension 26 Boîtes à Moustaches Catég. : 24 i/j moyenne Median 25%-75% Min-Max 0

6 facteur à k niveaux : ANOVA (2/3 ) ANOVA : analyse de la variabilité Tableau des données niveau i observations y i j moyennes y y 2 y 3 y n y. facteur contrôlé 2 y 2 y 22 y n y 2 i y i y 2 y i3. y i n y i.. a y a y a2 y a3. y a n y a. a niveaux du facteur - a traitements à comparer n répétitions dans un ordre complètement aléatoire nombre total d essais (observations) : a n objectif : comparer les traitements (effet de sur ) hypothèse nulle = pas de différences n influence pas facteur à k niveaux : ANOVA (3/3 ) Modèle de classification simple ij = µ + τ i + ε ij i =, 2,,a j =, 2,..,n a : nombre de modalité du facteur j : nombre de répétitions µ : effet général τ i : effet différentiel i-ième traitement ε ij : erreur expérimentale ~ N ( 0, σ 2 ) autres modélisations si le facteur quantitatif : modèle polynomial exemple = β 0 + β + β ε 2

7 facteur à k niveaux : ANOVA (4/3 ) Décomposition de la variabilité SS T variabilité totale équation de décomposition a n SS = ( y y ) T i= j= a n a n 2 2 ( yij y.. ) = [( yi. y.. ) + ( yij yi.)] i= j= i= j= a a n 2 2 (...) i ( ij i. ) i= i= j= = n y y + y y SS = SS + SS T Treatments E ij.. 2 inter variabilité intra variabilité 3 facteur à k niveaux : ANOVA (5/3 ) Tableau d analyse de la variance Source Somme carrés Deg. lib. Carré moyen F Traitements SS trait =n ( y i. y.. ) 2 a MS trait F 0 = MS trait /MS E Résiduelle SS E = SS T -SS trait a(n-) MS E Totale SS T = (y ij y.. ) 2 an distribution de référence pour F 0 : distribution F de Fisher avec df = a degrés de liberté au numérateur et df 2 = a(n-) degrés de liberté au dénominateur Test de H 0 : µ = µ 2 =. = µ a F0 > F α, a, a( n ) Rejeter l hypothèse nulle au seuil α si 4

8 facteur à k niveaux : ANOVA (6/3 ) Distribution F de Fisher si suit une loi Khi-deux avec df ddl 2 suit une loi Khi-deux avec df2 ddl et 2 sont indépendantes alors ( / df ) / ( 2 / df2 ) suit une loi F( df,df2 ) t 2 df = F (, df ) : carré Student = Fisher F( df =, df2 = df ) distribution F est employée dans toutes les analyses de plans d expériences 5 facteur à k niveaux : ANOVA (7/3 ) Ex. 2.3 : analyse avec STATISTICA ord. origine SC Degr. De liberté 4 MC F p différences significatives Erreur lesquelles? {} {2} {3} {4} {5} Test de Tukey: compare toutes les paires

9 facteur à k niveaux : ANOVA (8/3 ) analyse des résidus important de faire une vérification a posteriori quand on ajuste un modèle statistique hypothèses de base - distribution normale? - variance constante? - indépendance observations? - modèle OK? Si hypothèses de base violées - quoi faire? - réponse : transformer transformation de Box-Cox λ - 2 < λ < 2 les plus importantes 7 facteur à k niveaux : ANOVA (9/3) Analyse des résidus Residual Plots for Normal Probability Plot of the Residuals Residuals Versus the Fitted Values Percent Residual Residual Fitted Value Histogram of the Residuals 5.0 Residuals Versus the Order of the Data Frequency Residual Residual Observation Order

10 facteur à k niveaux : ANOVA (0/3 ) Modèle de régression si facteur quantitatif Tracé des Moyennes & Intervalle de Confiance (95.00%) Valeurs = x x** x**3 0 S R-Sq 69.4% R-Sq(adj) 65.0% facteur à k niveaux : ANOVA (/3) nombre de répétitions : n =? n dépend de alpha (α ) : taux de fausse détection risque de rejeter une hypothèse vraie beta (β ) : taux de manque de détection risque d accepter une hypothèse fausse σ : erreur expérimentale = λσ: écart de moyenne à détecter λ = /σ : facteur de proportionnalité k : nombre de modalités (groupes) à comparer n : nombre de répétitions de chaque sous groupe (modalité) n = fonction (α, β, σ, λ, k ) Cas des expériences avec plusieurs facteurs : n entre 2 et 5 est généralement suffisant consulter l annexe

11 facteur à k niveaux : ANOVA (2/3 ) nombre de répétitions : n =? k = 2 n alpha beta λ * * * *: > 00 k = 3 n alpha beta λ * * * * * *: > 00 2 facteur à k niveaux : ANOVA (3/3 ) nombre de répétitions : n =? k = 4 n alpha beta λ * * * *: > 00 k = 5 n alpha beta λ * * * * * *: > 00 k = 6, 7, 8, 9 consulter le site 22