Exercices sur les théorèmes des réseaux électriques linéaires en alternatif sinusoïdal

Transcription

1 xrcics sur ls théorèms ds résaux élctriqus linéairs n altrnatif sinusoïdal documnt st un compilation ds xrcics posés n dvoirs survillés d élctricité au départmnt Géni lctriqu t Informatiqu Industrill d l IUT d Nants. s dvoirs s sont déroulés généralmnt sans documnts, sans calcultt t sans téléphon portabl s dvoirs d un duré d 80 min sont notés sur 0 points. Donc chaqu point proposé au barèm corrspond approximativmnt à un activité d 4 min. s xrcics corrspondnt aux chapitrs à 7 d la rssourc Baslcpro sur l sit IUTnlign. Un corrigé avc barèm d corrction st rmis aux étudiants n sorti du dvoir ( st souvnt l sul momnt où ils vont réfléchir à c qu ils ont su (ou pas su) fair dans c dvoir) Prsonnllmnt, m rfus à manipulr l barèm d un dvoir lors d la corrction dans l but d obtnir un moynn présntabl. (ni trop ni trop pu ) a moynn d un dvoir doit rflétr l adéquation ntr ls obctifs d l nsignant t ls résultats ds étudiants. s documnts proposés ici sont délivrés dans un format qui prmt tout assmblag/désassmblag ou modification à la convnanc d l utilisatur. s dssins t ls équations ont été réalisés avc Word97. Nos étudiants disposnt d un mass considérabl d informations sur intrnt. s nsignants sont maintnant souciux d lur apprndr à utilisr intlligmmnt ct immns champ d connaissanc. Ils lur apprnnnt notammnt à citr ls sourcs ssourc proposé sur l sit Intrnt opyright : droits t obligations ds utilisaturs autur n rnonc pas à sa qualité d'autur t aux droits moraux qui s'y rapportnt du fait d la publication d son documnt. s utilisaturs sont autorisés à fair un usag non commrcial, prsonnl ou collctif, d c documnt notammnt dans ls activités d'nsignmnt, d formation ou d loisirs. Tout ou parti d ctt rssourc n doit pas fair l'obt d'un vnt - n tout état d caus, un copi n put pas êtr facturé à un montant supériur à clui d son support. Pour tout xtrait d c documnt, l'utilisatur doit maintnir d façon lisibl l nom d l autur Michl Piou t la référnc au sit Intrnt IUT n lign. a diffusion d tout ou parti d ctt rssourc sur un sit intrnt autr qu l sit IUT n lign st intrdit. Un vrsion d Baslcpro st disponibl sous form d un livr aux éditions llipss dans la collction Tchnosup sous l titr ÉTIITÉ GÉNÉA s lois d l élctricité Michl PIOU - Agrégé d géni élctriqu IUT d Nants Franc

2 Tabl ds matièrs Qustions d cours... Théorèm d Thévnin (3 pts)... 3 ésau élctriqu linéair n régim altrnatif sinusoïdal - Suprposition (4,5 pts) ésau élctriqu linéair n régim altrnatif sinusoïdal - Suprposition (4,5 pts) Variant ésau élctriqu n régim altrnatif sinusoïdal. hoix d méthod (4 pts) ésau élctriqu linéair n régim altrnatif sinusoïdal - Suprposition (4,5 pts) ésau élctriqu linéair n régim altrnatif sinusoïdal - Suprposition (5 pts) égim altrnatif sinusoïdal court-circuit ( pts)... 9 égim altrnatif sinusoïdal. Dipôl équivalnt (3 pts)... 0 Théorèm d suprposition n continualtrnatif sinusoïdal. (5 pts)... 3 Théorèm d suprposition t altrnatif sinusoïdal sourcs (7 pts)... 5 ésau n D altrnatif sinusoïdal. Suprposition 3 sourcs ( pts) Dipôl linéair n altrnatif sinusoïdal. Msur d l impédanc intrn (6 pts) Filtrag d un lign d distribution d énrgi élctriqu... 5 chang d énrgi élctriqu t filtrag ds harmoniqus (3pts) Filtr d un ondulur MI (0 pts)... 30

3 Qustions d cours - - Un résau élctriqu linéair n régim altrnatif sinusoïdal st considéré ntr dux points A t B. noncr l théorèm Thévnin t l théorèm d Norton rlatifs à c résau. (Précisr ls xprssions d q, Z q t I q ). Qull rlation xist ntr la tnsion équivalnt d Thévnin, l impédanc équivalnt t l courant équivalnt d Norton? épons : voir Baslcpro :

4 Théorèm d Thévnin (3 pts) kω B On a calculé l modèl équivalnt d Thévnin du dipôl A-B ci contr. 0 n choisissant la convntion ( t ) 0.cos( 000.t ) 0., on a trouvé 00 nf ( 0,56 TH 8,467. t Z 0,56 q 846 7,. - - ( t ) 0.cos ( 000.t ) A a) constitur l calcul (xprssion littéral puis xprssion numériqu) qui a prmis d obtnir. dvoir s déroulant sans calcultt, il st simplmnt TH dmandé d posr l calcul numériqu sans l ffctur. b) constitur l calcul (xprssion littéral puis xprssion numériqu) qui a prmis d obtnir Z q dvoir s déroulant sans calcultt, il st simplmnt dmandé d posr l calcul numériqu sans l ffctur. orrigé : a) a tnsion équivalnt d Thévnin st la tnsion aux borns du dipôl AB «à vid». On put donc l obtnir avc la formul du pont divisur d tnsion : ω ,467. 0,56 TH ω ,. ω. b) Z q st l impédanc vu ntr ls borns du dipôl AB lorsqu la sourc d tnsion indépndant ( st rmplacé par son impédanc intrn (un court-circui : ( ).0 7 ω ,7. 0, 56 Zq 000 Formul littéral d Formul littéral d Idntification d TH Z q pt pt ω 000. rad / s, d 000 Ω t d 0 7 F pt

5 - 3-3 ésau élctriqu linéair n régim altrnatif sinusoïdal - Suprposition (4,5 pts) v i obctif st d calculr v(. s valurs ont été choisis d façon qu ls calculs numériqus puissnt êtr faits sans calcultt. a) Illustrr par ds schémas la démarch du théorèm d suprposition appliqué au résau élctriqu ci-contr. b) Soint : ( 00.cos( ω. t i (.cosω. t Pour associr un complx à un fonction altrnativ sinusoïdal, on prndra comm convntion : ( t ) 00.cos ω.t ( ) 00 Sachant qu à la pulsation considéré,.ω 00 Ω, calculr V, t n déduir v(. orrigé : i i v v v. ω. ω V V V. I ω ω.. V. I. I V ( ) v ( 00. cosω. t ou v( 00. sin ω. (

6 4 ésau élctriqu linéair n régim altrnatif sinusoïdal - Suprposition (4,5 pts) Variant obctif st d calculr v(. s valurs ont été choisis d façon qu ls calculs numériqus puissnt êtr faits sans calcultt. v a) Illustrr par ds schémas la démarch du théorèm d suprposition appliqué au résau élctriqu ci-contr. b) Soint : ( t ) 00.cosω.t t i( t ).cos( ω.t ) Pour associr un complx à un fonction altrnativ sinusoïdal, on prndra comm convntion : 0 (.t ) I. i ( t ).cos ω. i Sachant qu à la pulsation considéré,.ω 00 Ω, calculr V, t n déduir v(. orrigé : i i v v v. ω. ω V V V. I ω ω.. V. I. I V.. v( t ) 00. cos ( ω.t ) ou v( t ) 00. sin ω.t 0 ( )

7 - 5-5 ésau élctriqu n régim altrnatif sinusoïdal. hoix d méthod (4 pts) i( t ).cos ( ω.t ) ( t ) 0.cosω.t On prndra comm convntion i( t ).cos( ω.t ) I. 0 Sachant qu à la pulsation considéré, calculr V, t n déduir v( t ).. ω 5 Ω, a méthod n'st pas imposé: on pourra utilisr l théorèm d suprposition, ls transformations Thévnin- Norton s valurs numériqus sont choisis pour qu ls calculs soint simpls (sans calcultt) orrigé : I 0., 0. 0, 5,. ω 5 Méthod du théorèm d suprposition : ω ω ω I I V V V.. ω. V ( // ω).i. I ω ω 443 ω V 443 V (. ω. I ) (.) ( 5.5.) ( 0. 5) V 0 ω donc v ( t ) 0 Méthod d Norton / Thévnin : 0 I cc I 0 ω 5 A B ; Z q ω th. th Zq. Icc 0 V 0 Z donc v (t ) 0 q th Zq A B V On put utilisr d autrs méthods

8 6 ésau élctriqu linéair n régim altrnatif sinusoïdal - Suprposition (4,5 pts) i 3. A l aid d dux schémas t d un court commntair, décrir la méthod du théorèm d suprposition appliqué au montag cicontr pour calculr v( t ). v 3. Sachant qu i( I$.cos (. ω t ( t ) ˆ.cos( ω., calculr V, t n déduir v( t ). On prndra comm convntion $. On considèrra par hypothès qu $. I $. orrigé : ω ω ω I V V V V Sachant qu $. I $ t qu i( I$.cos (. t t. ω ω ( // ω).i. I ω ) t ( ) $.cos(. V. ω ω, on n déduit Ê. 0.Î. 0. I Sachant qu. ω t. I : V V V ω ω..i ω. ω ω.. ω ω ω V.. ω ω ω Donc v( t ) Ê.cos( ω.t )

9 Autr méthod : Modèl équivalnt d Norton Modèl équivalnt d Thévnin Théorèm d Millman : V.I ω ω.i. ω. ω ( ω) ( ω) ω.i. ω Sachant qu ω.. ω. I : V. ω ω Donc v( t ) Ê.cos( ω.t ) Autr méthod :

10 - 8 - Sachant qu. I, a tnsion aux borns du dipôl ω. st null (loi ds maills), donc l courant dans la maill st nul, donc V 0.. ω 7 ésau élctriqu linéair n régim altrnatif sinusoïdal - Suprposition (5 pts) i Sachant qu 00Ω t 50Ω, calculr, pour l schéma cicontr, l xprssion d v( t ) sous la form v ( Vˆ.cos( ω. t ϕ).. ω v (Sachant qu l dvoir s déroul sans calcultt, on put gardr ds résultats avc ds xprssions n ). orrigé : On appliqu l théorèm d suprposition : 4.cos( t i ( 0,04.sin( ω. t ) ( ω. Attntion aux sinus t cosinus! I ω I V V V ω ω Sachant qu ( 4.cos( ω., on pos 4. 0 ω, on pos I 0,04. t sachant qu i( t ) 0,04.sin(.t ) 0,04.cos ω.t. Impédancs n parallèl : V ω ω //. I. I. I. I ω ω ω ω ω

11 Pont divisur d tnsion : // ω... ω V ω. ω ω // ω.. ω ω ( ) ( ) ω 0. I 00.0, V 0 V. I. ω ω ω Donc v( t ).cos( ω.t )

12 - 0 - Autr méthod : V ω I ω I V I. I. I.. I. // V ω ω ω ω ω ω ω ,04. 0, V Donc ( ).t.cos ) ( t v ω

13 8 égim altrnatif sinusoïdal court-circuit ( pts) Z A ( ) ( 0.cos ω. t ( t Z ) 0.sinω.t B alculr l courant d court-circuit i cc ( t ) du dipôl AB (avc i cc ( t ) orinté d A vrs B dans l court-circui. orrigé : Sachant qu ( 0.cos ( ω., on pos 0. t sachant qu ( t ) 0.sinω.t 0.cos( ω., on pos Icc 4. donc i Z cc ( t ) 4.cos ω.t

14 - - 9 égim altrnatif sinusoïdal. Dipôl équivalnt (3 pts) On pourra utilisr ls vcturs d Frsnl ou ls complxs. Pour ls complxs, on prndra la convntion :. 0 ( t ) 0.cos( ω.t ) 0. A Z ( t ) 0.cos( ω.t ) B ( t ) 0.cosω.t Z 5. 4 alculr la tnsion équivalnt d Thévnin TH ( t ) t l courant d court-circuit i cc ( t ) du dipôl AB (avc i cc ( t ) orinté d A vrs B dans l court-circui. dvoir s déroulant sans calcultt, on pourra consrvr ds xprssions tlls qu ou 3 orrigé : 0.5 pt a tnsion équivalnt d Thévnin st la tnsion aux borns du dipôl à vid, donc : ( t ) ( t ) ( t ) TH TH (cf diagramm d Bod ci-contr) TH ( t ) 0..cosω.t 4,5 pt courant équivalnt d Norton st l courant d court-circuit :. TH Icc. Z ( ω.t ) i cc ( t )..cos pt

15 0 Théorèm d suprposition n continualtrnatif sinusoïdal. (5 pts) kω nf i( Dans l but d détrminr la tnsion u( du schéma cicontr, réalisr ls opérations suivants : 5 V kω u( v( a) présntr ls dux schémas rlatifs au théorèm d suprposition. b) Détrminr la composant U d u( créé par la tnsion continu d 5 V. c) Détrminr la composant u( d u( créé par la tnsion altrnativ sinusoïdal v( 0.cos( (s valurs ont été choisis d façon qu l calcul puiss s fair à la main) (On admt dans l résultat ds xprssions tlls qu ou 3 ). d) n utilisant l théorèm d suprposition, détrminr t rprésntr u(. (N pas oublir d gradur ls axs).

16 orrigé : kω nfi( V kω u( v( 5 V kω kω 500 Ω U 0 00 nf kω kω 500 Ω u( 00 nfi( v( b) n courant continu, l condnsatur s comport comm un circuit ouvrt On put utilisr la formul du pont divisur d tnsion : U 7,5 V continu c) n courant altrnatif sinusoïdal, on put utilisr ls nombrs complxs : v ( t ) 0.cos( 0000.t ) V 0. 0 t 0 3. ω ω n utilisant la formul du pont divisur d tnsion : U' 500 U V ( ) V U' 4 5. ( ) n utilisant à nouvau la formul du pont divisur d tnsion : U'. 500 U' 5 U. 4 u( t ) cos0000.t 4 5 d) Donc u( t ) U u( t ) 7,5 cos0000.t 4 Instruction sous Scilab : t0:3-5:-3; v7.5(5/sqrt())*cos(0000*t%pi/4) ; plot(t,v)

17 Théorèm d suprposition t altrnatif sinusoïdal sourcs (7 pts) v ( t ) 0.cos ( ω.t ) a) Sachant qu 00Ω t ω 50Ω, calculr, pour l schéma cicontr, l xprssion d v ( t ). On prndra pour convntion : ( ) 0 ( t ) 0.cos ω.t 0., ( ) i v i( t ) 0,.sin ( ω.t ) b) Sachant qu 00Ω t ω 50Ω, calculr, pour l schéma cicontr, l xprssion d v ( t ). i v ( t i( t ) 0.cos ) 0,.sin ( ω.t ) ( ω.t ) c) Sachant qu 00Ω t ω 50Ω, calculr, pour l schéma cicontr, l xprssion d v( t ). (On s aidra ds résultats ds dux qustions précédnts). ( ) On rappll qu cos sin 4 4

18 orrigé : a) n appliquant l modèl équivalnt d Thévnin puis la formul du pont divisur d tnsion: ω V ω V V. ω ω V ( t v b) Trois impédancs n parallèls parcourus par l courant I (attntion au sinus!): i V. I ω V.0, V.0,.. v ( t ).cos ω.t 4. 4 v 00 ) 0.cosω.t 4.0, ,.. 4 c) n appliquant l théorèm d suprposition : v( t ) v ( t ) v( t ) i V V V v 0 V.. 0 v( t ) 0.cos ω.t ( ) Donc

19 ésau n D altrnatif sinusoïdal. Suprposition 3 sourcs ( pts) s qustions a), b) t c) sont indépndants. I o a) Dans l montag ci-contr, V o st un sourc d tnsion continu, t I o st un sourc d courant continu. I o xprimr V o t I o n fonction d, V o t I o. V o v o b) xprimr la rlation général ntr la tnsion v ( aux borns d un inductanc t l courant i ( qui la travrs lorsqu ils sont orintés n convntion récptur. xprimr la rlation général ntr la tnsion v ( aux borns d un condnsatur t l courant i ( qui l travrs lorsqu ils sont orintés n convntion récptur V o I o v o i o I o V o Dans l montag ci-contr, V o st un sourc d tnsion continu, t I o st un sourc d courant continu. n régim prmannt (suffisammnt longtmps après la mis sous tnsion du montag), touts ls tnsions t tous ls courants sont continus. n déduir ls valurs d v o t i o n régim prmannt. n déduir V o t I o n fonction ds élémnts du montag, n régim prmannt. i c) Dans l montag ci-contr, v st un tnsion ( t ) Vˆ.cos.t altrnativ sinusoïdal : ( ) v ω v v c) xprimr ls complxs I t V n fonction d V,,, t ω. c) On suppos qu << ω t ω >>. Simplifir ls xprssions d I t V déduir ls xprssions approchés d i ( t ) t v ( t ). n conséqunc puis n V o i I o v d) xprimr l théorèm d suprposition puis l illustrr par ds schémas dans l cas du montag cicontr. V o st un tnsion continu, t I o st un courant continu. v ( v st un tnsion altrnativ sinusoïdal : ( t ) Vˆ.cos.t ( ) v ω On suppos qu << ω t ω >>. n utilisant ls résultats ds qustions b) t c), xprimr i ( t ) t v ( t ) n fonction d Vo, I o.,,,, Vˆ t ω n régim prmannt.

20 - 8 - orrigé : a) Vo Vo. Io (loi ds maills) avc I o Io b) V o ( i ( t )) d v ( t ). d t i ( t ). dt v o I o i o I o ( v ( t )) dt V o Si l courant dans l inductanc st «continu» (c'st-à-dir «constant») : d( i ( t )) 0 vo( t ) 0. inductanc s dt comport comm un court-circuit. Si la tnsion aux borns du condnsatur st «continu» (c'st-à-dir «constant») : d( v ( t )) 0 io( t ) 0. condnsatur s dt comport comm un circuit ouvrt. montag s comport alors comm l prmir montag (voir a)) : V' o Vo. Io t I ' o Io c) c) n utilisant la notion d impédanc : I V ω ω V. ω n utilisant la notion d pont divisur d tnsion : V ω ω V ω ω V V V V c) I ω ω ω ω ω ω ω 0 V Vˆ. Vˆ Vˆ I. i ( t ).cosω.t ω ω ω. ω. V ω V.. ω V ω ω. ω ω V V ω ω ω ω V 0 V V V V Vˆ. V ω ω ω. ω ω ω. Vˆ v ( t ).cos ω ( ω. t ) ( ω) ω. ( ω)

21 Autr solution : Vˆ v ( t ). i ( t ). dt..cosω.t. dt ω sinω.t Vˆ ω ω Vˆ ω cos ( ω. t ) d) Dans un résau élctriqu linéair, l courant (ou la tnsion) dans un branch qulconqu st égal la somm algébriqu ds courants (ou ds tnsions) obtnus dans ctt branch sous l fft d chacun ds sourcs indépndants pris isolémnt, touts ls autrs sourcs indépndants ayant été rmplacés par lur impédanc intrn. i V o I o v v ( v ( V o I o V o I o v ( montag du d) st donc la somm ds montags ds paragraphs b) t c). Donc Vˆ i ( t ) I Vˆ o.cosω.t v ( t ) V.I o o.cos ω. t ω ω t ( ) t xrcic fait référnc à l étud du filtr d un alimntation à découpag par l approximation au prmir harmoniqu. Voir PowrlcPro chapitr xrcic t chapitr 7 xrcic sur l sit IUTnlign

22 3 Dipôl linéair n altrnatif sinusoïdal. Msur d l impédanc intrn (6 pts) ϕ On choisit la convntion suivant : f F.cos( ω. t ϕ) F F. ( max max Soit un dipôl linéair «A-B». A vid : A vid on a msuré à ss borns un tnsion v ( t ). n charg avc un impédanc «Z», on a msuré à ss borns un tnsion v ( ) avc un courant i (. t (Touts ls msurs ont été ffctués n concordanc ds tmps) A V v v 00 V Dipôl linéair i A B v t (ms) t (ms) n charg : A Dipôl linéair B i Z v a) Détrminr (avc la convntion ci-dssus) ls xprssions complxs V, V t V V associés rspctivmnt à v ( t ), v ( t v v ( ). ( ) ( t b) Détrminr la valur complx d l impédanc «Z» mis aux borns du dipôl A-B lors d l ssai n charg (Sans ustification) c)détrminr l xprssion complx Th d la tnsion équivalnt d Thévnin du dipôl A-B. d) Détrminr la valur d l impédanc équivalnt du dipôl linéair A-B : «Z q» (On pourra utilisr la formul du pont divisur d tnsion ou la loi d ohm généralisé). ( ) On rappll qu cos sin 4 4

23 orrigé : - - V V V V a) ( p V ; V ; V V Vmax Imax I, V 00 0 b) ( p Z. ( ) c) ( p a tnsion équivalnt d Thévnin st la tnsion aux borns du dipôl «à vid». Donc Th V d) ( p Th Th A I Th. Z Z V Z.V Z. ( V ) B Z V Zq Z q V V Zq Z. V 0. Th V ou : Z 6 q 0. I Th Th V Zq Z. V 0. 6

24 - - 4 Filtrag d un lign d distribution d énrgi élctriqu Un sourc d tnsion ( 00.cos( cos( 00.. i alimnt un charg qui consomm un courant i( non sinusoïdal : i ( 0.cos( cos( v harg a liaison ntr la sourc d tnsion t la charg s fait au moyn d un lign bifilair (l inductanc d ctt lign st modélisé par sur l schéma ci-contr.) Pour évitr qu l courant i( n ngndr ds prturbations dans la sourc (, on a aouté un «filtr» constitué d t. obctif d ct xrcic st d détrminr l xprssion d la tnsion v( appliqué à la charg n utilisant l calcul complx. Baucoup ds qustions suivants sont indépndants. A l aid d un tablur, on a ffctué ls calculs suivants (tous n sont pas utils pour la suit) f 50 Hz 50 Hz.ω 4,7 4,37.ω 4,45 43,354.ω 8,4 4,8. ω. ω. ω. ω. ω. ω *. ω. ω. ω *. ω. ω. ω. ω -3,949 0,554-09,37 4,69-536,98 7,83. ω. ω. ω 4,95 0,500. ω. ω. ω. ω. ω. ω. ω. ω. ω,043 0,0377 4,953 0,5000 0,034,8758 a) ( cos( 00. ( 00.cos.. Soit la tnsion complx associé à (. Détrminr la tnsion complx V v associé à v ( t ) ci-dssus (indiqur ls calculs litéraux puis ls résultats numériqus (obtnus à partir ds valurs calculés dans l tablau ci-contr). n déduir l xprssion numériqu d la tnsion v (. A B

25 v i b) Sachant qu i ( 0.cos( 00.., (schéma ci-contr), détrminr la valur complx V associé à v ( (indiqur ls calculs litéraux puis ls résultats numériqus complxs). n déduir l xprssion numériqu d v ( c) Sachant qu i ( 4.cos( t, (schéma ci-contr), détrminr la valur complx V3 associé à v 3 ( (indiqur ls calculs litéraux puis ls 3 ) v3 i3 résultats numériqus complxs). n déduir l xprssion numériqu d v 3 ( v i i3 d) Sachant qu ( 00.cos( 00.., i ( 0.cos( 00.. i ( 4.cos( 300.., (schéma ci-contr), détrminr 3 l xprssion numériqu d v(. t orrigé : A a) ( 00.cos( cos( v B Pont divisur d tnsion : V.. ω. ω. ω. ω. ω... ω. ω.. ω. ω. ω ( 00. V, v ( 04.cos.

26 b) Sachant qu 0.cos( 00.. I 0 i (, v i V Zq. I (à la fréqunc 50 Hz) avc : Z. q. ω.. ω. ω. ω. ω ω Z q.. 4,953. ω. ω. ω V 4,953.. I 4, ,53. v( t ) 49,53.cos00..t Donc c) calcul st idntiqu pour v3( avc I 3 4 t Z q. 0, 5 (à la fréqunc 50 Hz). On trouv donc V 0,5.. I 0, v3( t ).cos300..t d) Avc ( 00.cos( 00.., i ( 0.cos( 00.. t i ( 4.cos( v i i3 3, on put appliqur l théorèm 3 v ( v ( v ( v3( t d suprposition : ) v( 04.cos ( 00...cos300.. t 49,53.cos00.. t ( t ) rprésnt l alimntation d un lign n énrgi élctriqu. i ( t ) i3( t ) rprésnt l courant consommé par l étag d ntré d un convrtissur d puissanc. mêm problèm traité par ls diagramms d Bod s trouv dans IUT n lign/baslcpro/cours du chapitr 8/xrcic 5.

27 - 5-5 chang d énrgi élctriqu t filtrag ds harmoniqus (3pts) A - ign inductiv vo( Un sourc d tnsion ( 30..cos( 00.. VAMP o 35 V IAMP 5.9m 35.cos( A I FQ FQ alimnt un charg qui s 50 Hz ( v( 50 Hz comport comm un sourc Sourc d tnsion d alimntation n énrgi élctriqu 0 a) Sachant qu o Ω, n déduir v o ( harg consommatric d énrgi élctriqu d courant : i ( 5.cos( a liaison ntr la sourc d tnsion t la charg s fait au moyn d un lign inductiv (modélisé par l inductanc o sur l schéma ci-contr.) a) n s appuyant sur un diagramm d Frsnl (à main lvé), proposr un stimation d v(. B - harg non sinusoïdal a charg st maintnant un convrtissur d puissanc. Il consomm un courant périodiqu impulsionnl. On admttra qu c courant put êtr rconstitué par un somm d fonctions altrnativs sinusoïdals d fréquncs multipls d 50 Hz (applé «séri d Fourir») ( cos( 300..,5.cos( cos( i( 5.cos comm l montr ls graphs cidssous: ( 00..t ) 5.cos ( 00.. t ) 4.cos( 300..t ) 5.cos ms t 0 t 0 5.cos,5.cos ( cos( ( cos,5.cos ( cos( ( cos( t ) 0 t 0M ic t

28 VAMP 35 V FQ 50 vo( o i( 5.9m 47.7mH ( µF v( IAMP 5 A FQ 50 Hz I IAMP 4 A FQ 50 Hz I IAMP.5 A FQ 50 Hz a somm i ( 5.cos( cos( 300..,5.cos( I3-6 - courant non sinusoïdal st sourc d prturbations dans la lign d alimntation n énrgi élctriqu. Pour réduir cs prturbations, on équip l montag d un «filtr» (. ) D façon à simplifir l étud, on négligra l trm.cos( 700..t ) par rapport aux autrs trms d la somm. st rprésnté sur l schéma ci-dssus par trois sourcs d courant n parallèl. s différnts sourcs n sont pas d mêm fréqunc (l courant i( n st pas altrnatif sinusoïdal). Il n st donc pas possibl d utilisr dirctmnt ls complxs pour calculr l état du montag. On put cpndant utilisr l théorèm d suprposition. b) Dans l but d détrminr v ( t i (, rprésntr ls 4 schémas illustrant la mis n œuvr du théorèm d suprposition. hacun ds 4 schémas décrit un fonctionnmnt n régim altrnatif sinusoïdal. On put donc l étudir à l aid ds complxs. ω o.ω 5 Ω 5 Ω 5 Ω.ω 5 Ω 45 Ω 75 Ω 35 Ω 45 Ω Ω.ω b) onnaissant ls valurs ci-contr, rconstitur ls calculs qui ont prmis d obtnir ls résultats suivants : 7 v ( 339.cos( ,.cos00.. t 4.cos500.. t i (,8.cos 00.. t 5,.cos( 00..,64.cos( dvoir s déroulant sans calcultt, il n st pas dmandé d ffctur d calculs numériqus au dlà d un addition ou d un soustraction. Mais on s srvira ds résultats donnés ci-dssus pour proposr ls résultats ds calculs n complx. 400V v( 0A i( 0V 0A -400V -0A 0 0ms 40ms 0 0ms ésultats d simulation du comportmnt du montag étudié. 40ms

29 orrigé : ( i ( t )) d a -V ( t ) o. o dt a - v( t ) ( t ) v o o. ( t ) V V. Î. cosω.t V o ( t ) ω ( 5. 5).cos 00.t 5.cos 00.t o I V Vo On voit graphiqumnt qu Vˆ Ê 35 V t qu l déphasag d V par rapport à st d nviron -4. D après c diagramm d Frsnl : v( t ) 35.cos( ω.t 0.) Par un calcul avc l logicil Scilab : Vo35-5*%i > Vo i modulabs(vo) > modul argumntatan(-5,35) > argumnt rad *80/%pi donc v( t ) cos ω. t ( ) b - On appliqu l théorèm d suprposition aux fonctions du tmps (t non pas aux complxs car ls régims sinusoïdaux n sont pas d mêm fréqunc) : vo( VAMP 35 V FQ 50 Hz o i( mH ( v( IAMP 5 A FQ 50 Hz I IAMP 4 A FQ 50 Hz I IAMP.5 A FQ 50 Hz I3 3.58µF 0 vo( vo( VAMP 35 V FQ 50 Hz o i( mH ( 3.58µF v( i( o mH 3.58µF v( IAMP 5 A FQ 50 Hz I 0 0

30 vo3( vo4( i3( o mH 3.58µF v3( IAMP 4 A FQ 50 Hz I o I3( mH 3.58µF v4( IAMP.5 A FQ 50 Hz I3 0 0 haqu sous schéma issu d l application du théorèm d suprposition st n régim altrnatif sinusoïdal. On put donc détrminr son état élctriqu à l aid ds complxs. On rtrouv ainsi ls valurs proposés dans ls équations tmporlls d l xrcic : I 5 Pont divisur d tnsion : Hz V 0. ( 5 35 ) ( ) ( 0 ) ( 5 ) V I Hz 5 oi d ohm généralisé (Attntion au sns ds flèchs!) V V V ( 5 ) ( 5 35 ) ) , 6, I V 3 0 : tnsion aux borns d un impédanc null Hz I Hz,5 V 4 oi d ohm généralisé V4 ( 5 ) ( 75 7 ) ) 48 5 V ,5., , ,5. 4 4

31 oi d ohm généralisé : I, Pont divisur d courant : ( 5 35 ) 5.( 0 ) I 5, I 3 0 (n parallèl avc un court-circui Pont divisur d courant : ( 75 7 ),5.( 48 ). 0,5. I 4, Bin qu l courant consommé par la charg soit très éloigné d un sinusoïd, l courant prélvé dans la sourc st assz proch d un sinusoïd, c qui prmt d réduir ls prturbations dans la lign

32 6 Filtr d un ondulur MI (0 pts) dvoir s déroulant sans calculatric, ls valurs numériqus ont été choisis d façon qu ls calculs soint simpls ( 3 ). Baucoup d qustions sont indépndants. a) xprimr sous form xponntill ( 4 ) l complx On pourra s aidr du crcl trigonométriqu ci-contr. 3 b) Soit Z l impédanc du dipôl // ci-contr. Sachant qu 5 Ω t qu à la fréqunc 50 Hz : Ω ω 00, xprimr, sous form algébriqu ( 5 ), la valur numériqu du complx Z puis d Z à la fréqunc 50 Hz. Sachant qu Z sous form xponntill. (s inspirr du a)) 00 5, n déduir ls valurs numériqus d 3 c) dipôl A-B ci-contr st alimnté n régim altrnatif sinusoïdal d pulsation ω. Donnr l xprssion littéral d l impédanc Z d c dipôl n fonction d,, t ω. AB A B d) dipôl A-B précédnt constitu la charg d un ondulur MI qui lui appliqu un tnsion v( t ). tt tnsion put êtr approximé par un somm d dux sinusoïds v ( t ) d fréqunc 50 Hz t v ( t ) d fréqunc 0000 Hz. On souhait calculr v ( t ), mais l calcul à l aid ds complxs n st pas dirctmnt utilisabl car v ( t ) t v ( t ) n sont pas d mêm fréqunc. On put néanmoins utilisr l théorèm d suprposition car l résau élctriqu st linéair. Uniqumnt par ds schémas élctriqus, illustrr l théorèm d suprposition appliqué au montag ci-contr dans l but d calculr v ( t ). ( obctif st d préparr ls qustions ) t f) ) A v v v v B 50 Hz 0000 Hz ) Pour chaqu sous-schéma ci-dssus, l régim st altrnatif sinusoïdal. On put donc calculr à l aid ds complxs. On donn ( t ) 35. sin(. 50. t ( t ) 40. sin( v v ( 3 ) On rappll ls valurs suivants : 3, 73 ; 3 0, 866 ; rad 30 6 ( 4 ) Nombr complx sous form xponntill : ( 5 ) Nombr complx sous form algébriqu : i modul. parti réll argumnt. parti imaginair

33 - 3 - Z Grand modul Z ptit modul Z Grand modul orsqu on fait la somm d dux complxs dont l un a un grand modul t l autr un ptit modul, ctt somm st approximativmnt égal au complx d grand modul (put import ls argumnts). Z Grand modul Z ptit modul Z ptit modul On put appliqur ctt rmarqu aux impédancs n séri. Pour ls impédancs n parallèl, il faut raisonnr sur la somm ds invrss ds impédancs Modul ds impédancs f 50 Hz 0 khz ω 0,6 Ω 0 Ω ω 00 Ω Ω 5 Ω 5 Ω Z 00 Ω n utilisant ls simplifications ci-dssus concrnant ls impédancs grands t ptits, n séri ou n parallèl. omplétr la drnièr cas du tablau ci-contr. Pas d ustification dmandé. (On admttra qu on put simplifir lorsqu l rapport ds moduls st supériur à 00) Z v ( t ) ngndr aux borns d Z un tnsion v ( t ) alculr v ( t ) n ustifiant la démarch utilisé. (omm ci-dssus, on pourra simplifir ls somms d complxs lorsqu ls moduls sont très différnts) v ( t ) ngndr aux borns d Z un tnsion v ( t ) alculr v ( t ) moduls sont très différnts) n déduir qu Précisr son xprssion. n ustifiant la démarch utilisé. (On pourra simplifir ls somms d complxs lorsqu ls v ( t ) st quasimnt altrnatif sinusoïdal.

34 orrigé : 3 a). 6 pt b) A la fréqunc 50 Hz : Z ω ( ) ,5 0, Z ,5 A B c) ( ) Z AB ω ω ou Z AB ω ω pt d) théorèm d suprposition : v v v A B A B A B v v v v v 50 Hz 0000 Hz 50 Hz 0000 Hz pt Modul ds impédancs f 50 Hz 0 khz ω 0,6 Ω 0 Ω ω 00 Ω Ω 5 Ω 5 Ω Z 00 Ω ) Pour un montag n parallèl, c st la plus ptit impédanc qui l mport : 0 ( // Z ) A khz : ω. Donc Z pt A 50 Hz : V V. Z V. Z V ω Z Z v ( t ) v( t ) 35. sin ( ,5 0,5 0,5

35 A 0 khz : V V. Z V. Z ω Z ω 0,5 V v 40.. ( ) 40 pt ( t ). cos t. sin t ( ) 0,5 D après l théorèm d suprposition : v( t ) v ( t ) v ( t ) 35. sin ( sin( ,5 ( t v ) 35. sin ( ,5 filtr - prmt d transmttr la composant bass fréqunc à la charg t d éliminr la composant haut fréqunc ngndré par l ondulur MI.