Généralités sur les fonctions.

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1 Généralités sur les fonctions. 1. Qu est-ce qu une fonction en mathématiques? a. Imaginons le programme de calcul suivant : Etape n 1 : choisir un nombre. Etape n 2 : le multiplier par 2. Etape n 3 : puis ajouter 3. Commençons par choisir plusieurs nombres de départ et calculons les résultats. Etape n 1: nombre choisi. Etape n 2:son double. Etape n 3: 3 plus le double du nombre choisi En faisant ce travail, tu travailles sur une fonction : tu viens même de calculer les images dans la fonction en question de -3 ; de -2 ; de -1 ; de 0, de 1, de 2 et de 3. 9 est l image de 3, de même que 7 est l image de 2, etc. En gros, une fonction est un programme de calcul : ici, au double d un nombre, on ajoute 3. b. Tableur et fonction : Cherchons alors à programmer une feuille de calcul pour que les calculs soient automatiques. 1 A B C Etape n 1: nombre choisi. Etape n 3:le double du nombre choisi augmenté de 3. Etape n 2:son double. 2 3 =2*A3 =2*A3+3 4 =2*A4 =2*A4+3 5 =2*A5 =2*A5+3 6 =2*A6 =2*A6+3 7 =2*A7 =2*A7+3 c. Et si nous prenions le programme à l envers? Si l étape n 3 donne 21 ; quel est le nombre de l étape n 1? On cherche un nombre, notons le x, tel que :la somme de double de x et de 3 donne 21. Posons et résolvons l équation associée. 2x + 3 = 21 2x = 21 3 = x = = 9 2 Pour que le programme donne 21, le nombre de départ 9 doit être 9. On dit que 9 est l antécédent de 21.

2 d. Fonction et courbe représentative. Tu sais que pour construire un point dans un plan muni d un repère, il faut connaître deux nombres : l abscisse du point et l ordonnée du point. A chaque couple (antécédent ; image) est associé un point (abscisse, ordonnée) avec : (Abscisse = antécédent ; Ordonnée = image) Ainsi : pour notre fonction étudiée, le tableau de départ repris-ci-dessous nous Etape n 1: nombre Etape n 3:le double du nombre Etape n 2:son double. choisi = antécédent choisi augmenté de 3 = image permet de trouver 7 points correspondant à la fonction : abscisse= antécédent Ordonnée = Image Coordonnées des points -3-3 A :( -3 ; - 3) -2-1 B: (- 2 ; - 1 ) -1 1 C: ( - 1 ; 1 ) 0 3 D: ( 0 ; 3 ) 1 5 E : ( 1 ; 5 ) 2 7 F : ( 2 ; 7 ) 3 9 G : ( 3 ; 9 ) que nous plaçons maintenant dans le plan comme dans la figure ci-dessous. F G En calculant les images de beaucoup d antécédents, nous obtiendrions beaucoup de points. B C D J o E I En reliant ces points, nous obtenons une courbe : la courbe représentative de la fonction étudiée. Dans notre cas, la courbe obtenue est une droite. A

3 e. Définition algébrique d une fonction : Définir de manière algébrique une fonction correspond à lui faire sa carte d identité mathématique. Pour cela : il faut donner un nom à la fonction qui est, rappelons-le, un genre de programme de calcul qui à un nombre de départ, l antécédent, lui associe un nombre d arrivée, l image. La plupart du temps, une fonction a comme nom une simple lettre : f, g, h, etc... Appelons notre fonction la fonction f. Pour la définir d un point de vue mathématique, reportons-nous à la feuille de calcul sous tableur. 1 A B C Etape n 1: nombre choisi. Etape n 3:le double du nombre choisi augmenté de 3. Etape n 2:son double. 2 3 =2*A3 =2*A3+3 4 =2*A4 =2*A4+3 5 =2*A5 =2*A5+3 6 =2*A6 =2*A6+3 7 =2*A7 =2*A7+3 Notons par x le nombre de départ au lieu de le repérer par les références de la cellule qui le contient. A B C 1 2 Antécédent. Etape n 2:son double. Image. 3 =2*A3 =2*A3+3 4 x 2x 2x+3 Ainsi, notre fonction, notée f, associe à un nombre x son double augmenté de trois, qui se calcule en faisant 2x + 3. On résume le tout de la manière suivante : f : x 2x + 3 L image d un nombre x par la fonction f s écrit : f ( x ) qui se lit «f de x». Le programme permettant de calculer concrètement l image d un nombre dépend de la fonction. Ici, nous avons: f ( x) = 2x + 3. De même : l image de 2 se note f (2) et se lit «f de 2», avec f (2) = = = 7

4 f. Equation de la courbe représentative d une fonction. Rappelons-nous que tout point de la courbe représentative d une fonction a un couple de coordonnées de la forme : (Abscisse = antécédent ; Ordonnée = image) Pour notre fonction f, on peut donc dire que tout point de la courbe a un couple de coordonnées de ( ) la forme : x; f ( x ) =( x;2x + 3) Mais tu sais que l axe des abscisses est «l axe des x» et que l axe des ordonnées est «l axe des y». Conclusion : tout point M de la courbe représentative de la fonction f est tel que son ordonnée y est égale à l image de son abscisse x, soit y = f ( x). Cette relation y f ( x) = est l équation de la courbe représentative de la fonction f. Pour notre fonction f, nous avons donc : y = 2x + 3 Nous l écrirons dans le repère où la courbe est tracée, à une de ses extrémités.

5 g. Appartenence d un point M ( x; y) à la courbe représentative de la fonction f. Pour qu un point M ( x, y ) appartienne à C, la courbe représentative de la fonction f, il faut que son ordonnée y soit l image de son abscisse x. M ( x, y) C y = f ( x). Exemple 1 : Le point P(6,5;18) est-il un point de C, courbe représentative de la fonction f? P(6, 5;18) C 18 = f (6,5). Il n y a donc qu à vérifier si f (6,5) = 18. f : x 2x + 3 f (6, 5) = 2 6, = = 16 Comme : P(6,5;18) C. Exemple 2 : 2 5 M ; 3 3 est-il un point de la courbe représentative de notre fonction f? f = = + 3 = + = = Comme l image de l abscisse de M est égale à l ordonnée de M, M est un point de la courbe. Une jolie courbe dite «courbe de Lissajous». o

6 h. Lecture graphique : Tu auras comme travail de trouver l image de tel nombre ou alors de trouver l antécédent (voire les antécédents) de tel nombre. C est très simple! Pour trouver graphiquement l image d un nombre : Si tu dois trouver l image d un nombre, c est que celui-ci est obligatoirement l antécédent, donc il joue le rôle d abscisse. 1 ) Tu dois donc commencer par repérer cette valeur sur l axe des abscisses. 2) Tu te déplaces alors parallèlement à l axe des ordonnées jusqu à chercher le point d intersection avec la courbe. 3) Tu te déplaces alors parallèlement à l axe des abscisses pour aller à l intersection avec l axe des ordonnées et tu lis l ordonnée : cette ordonnée est la valeur attendue. Exemple : Retrouvons graphiquement l image de 0,5 par la fonction f. ordonnées L image de 0,5 par la fonction f est égale à 4.

7 Pour retrouver graphiquement l antécédent d un point : Si tu dois trouver l antécédent d un nombre, c est que celui-ci est obligatoirement l image, donc il joue le rôle d ordonnée. 1) Tu dois donc commencer par repérer cette valeur sur l axe des ordonnées. 2) Tu te déplaces alors parallèlement à l axe des abscisses jusqu à chercher le point d intersection avec la courbe. 3) Tu te déplaces alors parallèlement à l axe des ordonnées pour aller à l intersection avec l axe des abscisses et tu lis l abscisse : cette abscisse est la valeur attendue. Exemple : Retrouvons graphiquement l antécédent de -2 dans la fonction f. L antécédent de -2 dans la fonction f est égal à -2,5.

8 i. Fonction et résolution d équation. Te voilà armé(e) pour aborder sereinement les fonctions. Juste un dernier point Reprenons le travail précédent, à savoir retrouver des images et des antécédents. Nous venons de voir qu il est possible de le faire graphiquement. Mais voir n est pas synonyme de démontrer, et seul un raisonnement permet d affirmer sans aucun doute un résultat. Le travail graphique se trouve confirmé par les activités numériques suivantes : Trouver une image correspond à calculer f ( x) connaissant x. Ainsi, trouver l image de 0,5 correspond à calculer f (0,5). f (0, 5) = 2 0, = 1+ 3 = 4 On retrouve bien la valeur 4 déterminée graphiquement. Trouver un antécédent correspond à résoudre une équation! Trouver l antécédent de -2, c est trouver le nombre dont l image vaut 2. Puisque les antécédents sont les variables x, le problème est de trouver x tel que : f ( x ) = 2 Comme notre fonction f est la suivante : f : x 2x + 3, le problème se résume à résoudre l équation : 2x + 3 = 2 2x = 2 3 2x = 5 5 x = = 2,5 2 Nous retrouvons bien la même valeur que par détermination graphique.

9 2. Exemple N 2. Dans cet exemple, nous ne donnons pas maintenant la définition algébrique de la fonction mais uniquement son nom et sa courbe représentative. Cette fonction s appelle g. Sa courbe représentative est celle figurant ci-dessous. a. Recherche d images et d antécédents. J o I Quelle est l image de -2? Combien 3 a-t-il d antécédents? Quels sont les antécédents de 0?

10 g ( 2) = 4

11 Pour avoir les antécédents de 0 : on procède comme pour les antécédents de trois : on fait «descendre» le point A, qui au départ était sur l ordonnée y = 3 jusqu à ce qu il soit à l ordonnée y = 0. On constate alors que la droite en pointillés bleus est confondue avec l axe des abscisses. Les antécédents de 0 sont -4 ; 0 et 2. g ( 4) = 0 g ( 0) = 0 ( ) g 2 = 0

12 b. Si tu tiens à le savoir, la fonction g est la suivante : x x g : x x On peut ainsi vérifier que l image de -2 est bien égale à g( 2) = = 2 ( 1+ 2) ( 1 1) = 2 1 ( 2) = On peut aussi contrôler que -4 ; 0 et 2 sont bien des antécédents de 0, c'est-à-dire que les images de -4 ; de 0 et de 2 sont bien égales à g( 4) = = 4 ( 2 + 2) ( 2 1) = 4 0 ( 3) = g(0) = = 0 2 ( 1) = g(2) = = 2 ( 1+ 2) ( 1 1) = = Pour être sûr que les antécédents de 0 sont bien ceux-ci et qu il n en manque aucun, il faudrait résoudre l équation : x x x = Or : pour annuler un produit, il faut annuler chacun de ses facteurs. Comme il y a trois facteurs, nous avons trois étapes dans la résolution de notre équation : 1 ) x = 0. Solution simple à trouver. x x 2) + 2 = 0 = 2 x = 2 2 = x x 3) 1 = 0 = 1 x = 1 2 = On a bien retrouvé par le calcul les trois valeurs telles que g( x ) = 0, c'est-à-dire les antécédents de 0.

13 3. Exemple n 3 : un petit tour en cuisine et en physique-chimie. a. Sais-tu pourquoi les aliments cuisent plus vite dans une cocotte-minute? Parce que l eau y entre en ébullition non-pas à 100 C mais à une température plus grande. Et comme la durée de cuisson diminue quand la T augmente, le temps de cuisson diminue. Pourtant, tu as vu en cours de 5 ème que l eau entre en ébullition à une T de 100 C, et qu une fois cette T atteinte, elle n augmentait plus. Pour mémoire, voici le type de courbe que tu as certainement tracée Lien avec les généralités sur les fonctions : Quelle est la T de l eau au bout de 100 s? Elle est de 60 C Tu as cherché graphiquement l image de 60 s dans la fonction mathématique qui modélise le phénomène physique de l augmentation de la T de l eau en fonction du temps. Que ce passe-t-il au bout de 170 s? La température atteint un pallier et vaut toujours 100 C. Tu as appris en 5 ème que tant qu il y a de l eau liquide à évaporer, la T reste égale à 100 C. En terme de vocabulaire image / antécédent : o Les valeurs supérieures à 100 C n ont pas d antécédents. o Toutes les valeurs de temps supérieures ou égales à 170 s sont des antécédents de 100 C. Mais comment l eau peut-elle alors entrer en ébullition à une T supérieure à 100 C?

14 b. Et la pression dans tout cela! Elle joue un rôle très important. La courbe qui donne l évolution de la T d ébullition de l eau en fonction de la pression atmosphérique. La T d ébullition augmente avec la pression. Une pression atmosphèrique de 1 bar est une pression atmosphèrique normale. Comme le couvercle de la cocotte empêche la vapeur d eau de s évacuer, la pression dans la cocotte augmente et la T d ébullition en fait autant, les aliments cuisent alors plus vite. ( La valve de sécurité empêche d atteindre des pressions trop importantes. On a déjà vu des cocottes-minute exloser!) La T d ébullition dans une cocotte-minute est d environ 120 C. Quelle est la pression dans la cocotte-minute? Il s agit de trouver l antécédent de 120 C. La pression baisse avec l altitude : elle n est plus que de 0,5 bar au sommet du mont- Blanc. A quelle T l eau entre-t-elle en ébullition au sommet du mont-blanc? Il s agit de trouver l image de 0,5 bar. Et au sommet de l Everest, elle entrerait en ébullition à 72 C. Quelle est la pression atmosphèrique sur le toit du monde? Pour les curieux qui veulent la fonction : f : x 100x 0,26.