Si les indiens utilisaient cette méthode, c'est parce que le son se propage beaucoup plus vite dans un métal que dans l'air.

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2 Si l on en croit Lucky Luke, les indiens du far west américain collaient leurs oreilles sur les rails de chemins de fer pour vérifier si un train était bien sur le point d'arriver. Si les indiens utilisaient cette méthode, c'est parce que le son se propage beaucoup plus vite dans un métal que dans l'air. En effet, dans un métal, la vitesse du son est de l ordre de m.s -1 alors qu elle est de l ordre de 340 m.s -1 dans l air. Quand un solide est déformé par un choc ou une compression, la déformation gagne les atomes voisins qui, se mettant à vibrer autour de leur position d'équilibre, agissent à leur tour de proche en proche, propageant finalement la déformation dans tout le milieu.

3 k Afin de mieu comprendre cette propagation de la déformation, prenons l eemple simple d un solide cristallin, dont la maille élémentaire est un cube d arête a dont les atomes occupent les sommets. Les atomes ponctuels, de masse m, sont reliés entre eu par des ressorts horizontau, de constante de raideur k et distants de la longueur a, correspondant à la distance inter-atome à l équilibre.

4 Chaîne infinie d oscillateurs : k n-1 k n k n+1 m m m Isolons une chaîne horizontale d atomes : ces atomes, couplés élastiquement par des ressorts, constituent une modélisation simple pour décrire la propagation de petits mouvements vibratoires, c'est-à-dire la propagation du son dans un solide. Les forces rappelant un atome vers sa position d'équilibre peuvent être modélisées, à l'ordre linéaire, par un rappel élastique, dans la mesure où les amplitudes des vibrations des atomes sont faibles par rapport à a.

5 k n-1 k n k n+1 m m m (n-1)a na (n+1)a Le mouvement de l ensemble se fait sans frottements le long de l ae (O). Les atomes se déplacent légèrement autour de leurs positions d équilibre respectives, que l on peut paramétrer sous la forme éq,n = na pour l atome de rang n. On repère la position de cet atome hors équilibre par son abscisse : (t) = na+ u(t) n A dire : n égale à na + un déplacement u n qui reste faible vis-à-vis de a. n

6 k n-1 k n k n+1 m m f n+ 1(t) m (n-1)a (t) na (t) (n+1)a n+ 1(t) n 1 n u n 1(t) u(t) n La force eercée par l atome n + 1 sur l atome n est la force élastique du ressort, proportionnelle à son allongement : f (t) = k( (t) (t) a) = k(u (t) u(t)) n+ 1 n n+ 1 n n+ 1 n

7 Approimation des milieu continus : u( t, ) u ( ) n t u( t, ) ( n 1) a na ( n+ 1) a La distance inter-atome a est de l ordre de m : c est une distance très inférieure à la période spatiale du déplacement longitudinal, c est à dire la longueur d'onde de la vibration, de l ordre de 25 cm à 20 khz, pour une vitesse de m.s -1. Par conséquent, l élongation u n (t) varie très peu sur la distance a.

8 L approimation des milieu continus consiste alors à définir une fonction u continue, représentant le déplacement longitudinal à l abscisse et à l instant t, de la manière suivante : u ( ) (, ) n t = u nat Dans le cadre de cette approimation, la force elle aussi devient une fonction continue et peut s écrire, en considérant a comme un infiniment petit du 1er ordre, en fonction de la dérivée de l élongation u par rapport à l abscisse : u(,t) f(,t) = k(u(+ a,t) u(,t)) = k a = ka u(,t)

9 La loi de Hooke et le module d Young : S F(,t) Revenons maintenant à notre modèle de solide et plaçons nous dans le cadre de l approimation des milieu continus : Le nombre d atomes sur une section transverse S de solide est S / a 2. La force F eercée par la partie de solide située à droite de la surface sur la partie située à gauche vaut simplement la force précédente fois le nombre d atomes : S k u(,t) F(,t) = f(,t) S 2 = a a

10 F(,t) F(,t) = YS u(,t) Cette force est proportionnelle à l allongement relatif du solide : c est la loi de Hooke Et Y = k a est le module d Young, homogène à une pression.

11 d F ( t, ) u( t, ) + d F( + dt, ) Surface S Afin d obtenir l équation de d Alembert par une étude mésoscopique, on écrit le principe fondamental de la dynamique à une tranche de solide d épaisseur au repos d, de surface transverse S et de masse µsd, oùµest la masse volumique du solide : 2 u( t, ) ( F( t, )) µ Sd = F( + dt, ) F( t, ) = d 2 t En utilisant la loi de Hooke, cette équation devient : 2 2 u( t, ) u( t, ) µ Sd = YS d 2 2 t

12 Soit : u(,t) 1 u(,t) = 0 avec c= c t µ Y C est l équation d onde de d Alembert, déjà obtenue dans les vidéos de la collection «Physique animée» sur les ondes sonores dans les fluides et les ondes dans les cordes. On sait qu elle est associée à un phénomène ondulatoire de vitesse ou célérité c. Cette vitesse ne doit pas être confondue avec la vitesse de déplacement longitudinal des atomes, u( t, ) / t. Les ondes sont ici longitudinales car le mouvement des atomes se fait dans la direction de propagation. On a constaté, dans l epérience, que la vitesse du son est d autant plus grande que le milieu est rigide (module d Young important) et peu inerte (masse volumique faible).

13 Application à la géophysique : Nous devons la découverte des différentes couches de la terre à la sismographie. Lors d un tremblement de terre, les sismographes répartis sur la planète enregistrent les profils de vitesse des ondes transmises. Les vitesses sont modifiées en fonction de la profondeur et mesurées lors de leur traversée de la planète. Les géophysiciens ont découvert que les vitesses des ondes présentent une série de discontinuités qui sont dues en particulier à des transformations cristallographiques des minérau qui composent la Terre. Le manteau colorié en vert est principalement composé de péridotite (silicate de Fer et de Magnésium), le noyau eterne, en jaune, de fer liquide et le cœur, en rouge, de fer solide.

14 V P : vitesse des ondes de compression A l aide de ces éléments, les géophysiciens ont pu déterminer les tailles des différentes couches qui composent la Terre et remonter au profil de densité. On retrouve bien une vitesse de propagation plus faible dans le noyau eterne qui est un liquide.