Chapitre 14. Les espaces vectoriels. Cours de mathématiques de BCPST Première année.

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1 Chapitre 14 Les espaces vectoriels Cours de mathématiques de BCPST Première année.

2 Table des matières 1 Etude de K n 2 2 Notion de sous-espaces vectoriels de K n Définition Sous-espace engendré par une famille Base d un espace vectoriel Famille génératrice Famille libre Base Dimension d un espace vectoriel Définition Dimension et Famille libre Dimension et Famille génératrice Dimension et Base Inclusion de sous-espaces vectoriels Coordonnées Bases et coordonnées Représentation matricielle Notion de Rang Rang d une famille Rang d une matrice Matrices échelonnées Algorithme du pivot de Gauss

3 Chapitre 14: Les espaces vectoriels Etude de K n Dans tout ce chapitre, K désigne R ou C et n et p deux entiers naturels non nuls. 1 Etude de K n On rappelle que K n est l ensemble des n-uplets d éléments de K. On a : Définition 1 K n = K K = {(x 1,, x n ) tel que i 1, n, x i K } Les éléments de K sont appelés les scalaires. Les éléments de K n sont appelés les vecteurs. (0,, 0) est le vecteur nul, il est noté 0 K n. On définit les opérations suivantes sur K n : Définition 2 Soit a un scalaire. Soient x = (x 1,, x n ) et y = (y 1,, y n ) deux vecteurs de K n. On définit l égalité de deux vecteurs par : x = y x 1 = y 1, x 2 = y 2,, x n = y n On définit l addition de deux vecteurs par : x + y = (x 1 + y 1,, x n + y n ) On définit le produit d un vecteur par un scalaire par : a x = (a x 1,, a x n ) 1. (1, 2, 3, 4) + (5, 6, 7, 8) = (1 + 5, 2 + 6, 3 + 7, 4 + 8) = (6, 8, 10, 12). 2. (1, 2 + i, 3 + 5i, 4i) + (5 + 3i, 6i, 7 + i, 8) = ( i, 2 + i + 6i, 3 + 5i i, 4i + 8) = (6 + 3i, 2 + 7i, i, 8 + 4i) = (6, 2, 10, 8) + i (3, 7, 6, 4) (1, 2+i, 3, 4i) = (8 1, 8 (2+i), 8 3, 8 4i) = (8, 16+8i, 24, 32i) = (8, 16, 24, 0)+i (0, 8, 0, 32). 4. (8 + 3i) (1, 2 + i, 3, 4i) = ((8 + 3i) 1, (8 + 3i) (2 + i), (8 + 3i) 3, (8 + 3i) 4i) = (8 + 3i, i, i, 32i 12) = (8, 13, 24, 12) + i (3, 11, 9, 32). Dessin dans R 2 ou R 3 de la somme de deux vecteurs et de la multiplication par un scalaire. Lycée Pierre-Gilles de Gennes/ ENCPB /2015

4 Chapitre 14: Les espaces vectoriels Etude de K n Mise en garde : Pas de produit sur K n! On peut multiplier les scalaires, pas les vecteurs! Proposition 3 Ces deux opérations vérifient les propriétés suivantes pour tout éléments (u, v, w) de (K n ) 3 et pour tout (a, b) de K 2 : 1. u + (v + w) = (u + v) + w (Associativité de l addition) 2. u + v = v + u (Commutativité de l addition) 3. u + 0 K n = u (0 K n élément neutre de l addition) 4. Il existe un élément de K n noté u tel que : u + ( u) = 0 K n (Existence du symétrique) 5. 1 u = u 6. (a + b) u = a u + b u (Distributivité ) 7. a (v + w) = a v + a w (Distributivité ) 8. a (b u) = (a b) u 9. a 0 K n = 0 K n et 0 u = 0 K n 10. a u = 0 K n u = 0 K n ou a = ( a) u = a ( u) = (a u) 12. a u = a v u = v ou a = a u = b u u = 0 K n ou a = b Nous verrons en deuxième année que K n muni de ces deux opérations est un cas particulier d espace vectoriel. La plupart des notions que l on verra dans ce chapitre dans le cas particulier de K n sera en fait valable pour tout espace vectoriel. Quelques exemples d espaces vectoriels : C n (comme C-espace vectoriel). C n (comme R-espace vectoriel). R n (comme R-espace vectoriel... par contre, ce n est pas un C-espace vectoriel). C N (comme C-espace vectoriel ou R-espace vectoriel). R N (comme R-espace vectoriel... par contre, ce n est pas un C-espace vectoriel). M n,p (C) (comme C-espace vectoriel ou R-espace vectoriel). M n,p (R) (comme R-espace vectoriel... par contre, ce n est pas un C espace vectoriel). L ensemble des fonctions numériques dérivables sur un intervalle réel (comme R-espace vectoriel... par contre, ce n est pas un C-espace vectoriel). L ensemble des polynômes à coefficient dans R (comme R-espace vectoriel... par contre, ce n est pas un C-espace vectoriel). L ensemble des polynômes à coefficient dans C (comme C-espace vectoriel ou R-espace vectoriel). L ensemble des solutions d un système linéaire homogéne. L ensemble des solutions d une équation différentielle linéaire homogéne. L ensemble des variables aléatoires réelles sur un espace probabilisé (Ω, P(Ω), P ) est un R- espace vectoriel. Lycée Pierre-Gilles de Gennes/ ENCPB /2015

5 Chapitre 14: Les espaces vectoriels Notion de sous-espaces vectoriels de K n 2 Notion de sous-espaces vectoriels de K n 2.1 Définition Définition 4 Soit G une partie de K n. On dit que G est un K sous-espace vectoriel de K n si les trois conditions suivantes sont vérifiées : 1. 0 K n G. 2. x G, λ K, λx G. 3. (x, y) G 2, x + y G. Un sous-espace vectoriel de K n n est jamais vide, il contient nécessairement 0 K n. Les ensembles suivants sont des sous-espaces vectoriels de R 2 : 1. L ensemble {0, 0}. 2. Les droites passant par l origine. 3. R 2. Les ensembles suivants sont des sous-espaces vectoriels de R 3 : 1. L ensemble {0, 0, 0}. 2. Les droites passant par l origine. 3. Les plans passant par l origine. 4. R 3. Proposition 5 Soit G une partie de K n. G est un K sous-espace vectoriel de K n si et seulement si les deux conditions suivantes sont vérifiées : 1. 0 K n G. 2. (x, y, λ) G 2 K, λx + y G. Méthode : 1. Pour prouver qu un ensemble F est un sous-espace vectoriel, on procéde ainsi : Etape 1 : On cherche un espace K n tel que F soit une partie de K n. Etape 2 : On montre que 0 K n est un élément de F. Lycée Pierre-Gilles de Gennes/ ENCPB /2015

6 Chapitre 14: Les espaces vectoriels Notion de sous-espaces vectoriels de K n Etape 3 : On prend deux éléments x et y de F, un scalaire λ (un réel si on parle de R sous-espace vectoriel, un complexe si on parle de C sous-espace vectoriel) et on démontre que λx + y F. 2. Pour prouver qu une partie F de K n n est pas un sous-espace vectoriel, il suffit de : Ou bien démontrer que 0 K n n est pas un élément de F. Ou bien on trouve un élément x de F et un scalaire λ tels que λx n appartienne pas à F. Ou bien on trouve deux éléments x et y de F tels que x + y n appartienne pas à F. Les ensembles suivants sont des sous-espaces vectoriels de R 3 : 1. A = {(a + b, 2b, b a), (a, b) R 2 }. 2. B = {(x, y, z) R 3 tel que x = 2z }. Les ensembles suivants ne sont pas des sous-espaces vectoriels : 1. C = {(x, y, z) R 3 tel que x = 2y + 1}. 2. D = {(x, y) R 2 tel que x = 2y }. Mise en garde : 1. A = {(a + b, 2b, b a), (a, b) R 2 } est bien un sous-espaces vectoriels de R 3 et pas de R 2. Il ne faut pas confondre le nombre de coordonnées des vecteurs (3 ici) et le nombre de données nécessaires (ici 2, connaître a et b suffit). 2. On a pris pour B l ensemble {(x, y, z) R 3 tel que x = 2z }. Ce n est pas grave si, dans les équations, des coordonnées n interviennent pas. Cela signifie juste qu elles sont quelconques. Par contre, {(x, y, z) R 3 tel que x = 2t} n aurait pas de sens! ) Exercice 1 : Les ensembles suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels? 1. A = {(x, y) R 2 tel que xy = 0}. 2. B = {(x, y, z) R 3 tel que x 2y = z }. Proposition 6 L intersection de deux sous-espace vectoriel de K n est un sous-espace vectoriel de K n. Mise en garde : Une réunion de sous-espaces vectoriels n est pas en général un sous-espace vectoriel (cf exemple de deux droites vectorielles distinctes.). Les ensembles suivants sont des sous-espaces vectoriels de R 3 : Lycée Pierre-Gilles de Gennes/ ENCPB /2015

7 Chapitre 14: Les espaces vectoriels Notion de sous-espaces vectoriels de K n 1. A = {(x, t, z) R 3 tel que x = 2t}. 2. B = {(x, t, z) R 3 tel que z = t}. Ce sont des plans. A B est aussi un sous-espace vectoriel de R 3, c est une droite, c est l ensemble suivant : A B = { (x, t, z) R 3 tel que x 2t = z t = 0 }. 2.2 Sous-espace engendré par une famille Définition 7 Une famille de r (r entier naturel) vecteurs de K n est un élément de (K n ) r. Ainsi, si e 1,, e r sont r vecteurs de K n, (e 1,, e r ) est une famille de vecteurs de K n. 1. ((1, 2), (3, 4), ( 2, 1)) est une famille à 3 éléments de R ((1, 2), (3, 4), ( 2, 1)) est une famille différentes de 3 éléments de R ((0, 1, 2, 4), (3, 5, 4, 2)) est une famille de 2 éléments de R 4. Mise en garde : Attention, quand on parle d une famille (e 1,, e r ) de K n, les e i sont des éléments de K n (i.e. des vecteurs). Quand on parle d un élément (e 1,, e n ) de K n, les e i sont des éléments de K (i.e. des scalaires). Définition 8 Soit x un élément d un K-espace vectoriel K n. Soit (e 1,, e r ) une famille de vecteurs de K n. On dit que x est une combinaison linéaire de (e 1,, e r ) de K n s il existe r scalaires a 1,, a r tels que : x = a 1 e a r e r. L ensemble des combinaisons de (e 1,, e r ) est appelé Vect (e 1,, e r ). On a donc : Vect (e 1,, e r ) = {a 1 e a r e r, (a 1,..., a r ) K r } (15, 21, 27) est une combinaison linéaire de (2, 3, 4) et (5, 6, 7) car : (15, 21, 27) = 5 (2, 3, 4) + (5, 6, 7). Lycée Pierre-Gilles de Gennes/ ENCPB /2015

8 Chapitre 14: Les espaces vectoriels Notion de sous-espaces vectoriels de K n Mise en garde : Vect (e 1,, e r ) n est pas un vecteur. C est un ensemble de vecteurs qui comporte (à moins que les e 1,, e r soient r vecteurs nuls) une infinités de vecteurs. Faire des dessins dans R 2 et R 3. Définition 9 Soient K n un K-espace vectoriel et x, y et z trois vecteurs de K n. x et y sont dits colinéaires lorsque l un des deux est nul ou lorsqu il existe λ dans K tel que x = λy. x, y et z sont dits coplanaires lorsque deux des trois sont colinéaires ou lorsqu il existe λ et µ dans K tels que x = λy + µz. (15, 21, 27), (2, 3, 4) et (5, 6, 7) sont coplanaires car : (15, 21, 27) = 5 (2, 3, 4) + (5, 6, 7). Proposition 10 Soit (e 1,, e r ) une famille de vecteurs d un K-espace vectoriel K n. Vect (e 1,, e r ) est un K-espace vectoriel, il est appelé sous-espace vectoriel engendré par e 1,, e r. Vect (e 1,, e r ) est le plus petit espace vectoriel contenant les vecteurs e 1,, e r. Soit x un vecteur non nul de K n. Vect (x) est alors appelée droite vectorielle engendrée par x. Soient v 1, v 2 deux vecteurs non coplanaires de K n. Vect (v 1, v 2 ) est alors appelée plan vectoriel engendré par v 1 et v 2. Méthode : Les trois grandes formes d espace vectoriel que l on rencontrera cette année sont : Forme 1 : Espace défini comme un Vect. Exemple : A = Vect (e 1, e 2 ) avec e 1 = (2, 1, 0) et e 2 = ( 1, 0, 1). Forme 2 : Espace dont on connaît la forme des vecteurs. (Forme paramétrique) Exemple : A = {(ia 4b, a, 2ib), (a, b) R 2 }. Forme 3 : Espace dont on connaît des équations cartésiennes. Exemple : A = {(x, y, z) C 3 tel que x + 3y = 4z 6x = 0}. Il faut savoit passer facilement d une forme à l autre. Pour trouver les équations cartésiennes à partir de la forme 1 ou 2, on écrit le système linéaire obtenu en identifiant les coordonnées puis on le résout et on trouve ses équations de compatibilité. Ce seront les équations cartésiennes que l on cherchait. Lycée Pierre-Gilles de Gennes/ ENCPB /2015

9 Chapitre 14: Les espaces vectoriels Base d un espace vectoriel ) Exercice 2 : Soient A l espace vectoriel engendré par (1, 1, 2, 1), (1, 0, 1, 1) et (0, 1, 2, 3). Trouver des équations cartésiennes de A. 3 Base d un espace vectoriel 3.1 Famille génératrice Définition 11 Soit E un K sous-espace vectorielde K n. Une famille (e 1,, e r ) d un K-espace vectoriel K n est dite génératrice de E si : E = Vect (e 1,, e r ). Proposition 12 Soit E un K-sous-espace vectoriel de K n. Une famille (e 1,, e r ) d un K-espace vectoriel K n est génératrice de E si et seulement si on a : x E, (a 1,, a r ) K r tels que x = a 1 e a r e r. 1. Une famille génératrice de K n est donc une famille contenant suffisamment d information pour engendrer K n en entier. C est un résumé de l information de K n. 2. Le caractère générateur d une famille (x 1,..., x p ) ne dépend pas de l ordre des éléments. 3. Le caractère générateur est une propriété extrinsèque, on parle de famille génératrice de E. Cela n a donc a priori aucun sens de dire qu une famille est génératrice sans préciser de quel sous-espace elle l est. Toute famille est génératrice... de l espace qu elle engendre! Toute famille (e 1,..., e p ) est génératrice de Vect (e 1,, e p ). 4. Par convention, lorsqu on dit qu une famille est génératrice (sans préciser de quel sous-espace), on sous-entend qu elle est génératrice de l espace ambiant tout entier. 1. ((1, 0), (1, 1)) est une famille génératrice de R 2. ((1, 0), (2, 3), (1, 1)) est aussi une famille génératrice de R ((1, 0), (2, 3), (1, 1)) n est pas une famille génératrice de R 3. Lycée Pierre-Gilles de Gennes/ ENCPB /2015

10 Chapitre 14: Les espaces vectoriels Base d un espace vectoriel 3. ((1, 0, 0), (1, 1, 1)) n est pas une famille génératrice de R ((1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 1)) est une famille génératrice de R 3. ((1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 1), (5, 4, 1), (3, 2, 1)) est aussi une famille génératrice de R 3. Proposition 13 Soient (e 1,, e r ) une famille de K n et (f 1,, f q ) la famille obtenue à partir de (e 1,, e r ) en effectuant l une des opérations suivantes : 1. Permuter les vecteurs de (e 1,, e r ). 2. Ajouter à l un des vecteurs de (e 1,, e r ) une combinaison linéaire des autres. 3. Multiplier un des vecteurs de (e 1,, e r ) par un scalaire non nul. 4. Enlever un vecteur de (e 1,, e r ) qui serait combinaison linéaire des autres (en particulier le vecteur nul ou les vecteurs redondants). On a alors : Vect (e 1,, e r ) = Vect (f 1,, f q ) Faire un dessin dans R 2 ou R 3... Proposition 14 Soit E un K-sous-espace vectoriel de K n. Toute famille de E contenant une famille génératrice de E est génératrice de E. Toute famille de E engendrant une famille génératrice de E est génératrice de E. Mise en garde : Par contre, une partie d une famille génératrice d un K-sous-espace vectoriel E de K n n est pas nécessairement génératrice de K n. Enlever des vecteurs à une famille génératrice est donc un acte dangereux! ((1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 1)) est une famille génératrice de R 3 mais ((1, 0, 0), (1, 0, 1)) n est pas une famille génératrice de R 3. Méthode : Pour montrer que (e 1,, e r ), une famille de K n, est génératrice d un K-sous-espace vectoriel E de K n, il faut prendre un élément quelconque x de E et chercher (a 1,, a r ) K r tels que : x = a 1 e a r e r. A l aide des coordonnées, on se rend compte que ces (a 1,, a r ) sont une solution du système linéaire dû à l identification des coordonnées dans l équation x = a 1 e a r e r d inconnue (a 1,, a r ) K r. Lycée Pierre-Gilles de Gennes/ ENCPB /2015

11 Chapitre 14: Les espaces vectoriels Base d un espace vectoriel Pour trouver une famille génératrice d un K-sous-espace vectoriel E de K n, on chercher à exprimer E sous la forme suivante : E = Vect (e 1,, e r ). (e 1,, e r ) est alors une famille génératrice de E. ) Exercice 3 : Trouver une famille génératrice de A et une famille génératrice de B avec : A = { (a, a + b, 2b), (a, b) R 2 } et B = { (x, y, z, t, u) R 5 tel que x z + u = 0, x u + 3t = 0 }. 3.2 Famille libre Définition 15 Une famille (e 1,, e r ) de K n est dite libre (ou linéairement indépendant) si on a : Pour tout (a 1,, a r ) K r, a 1 e a r e r = 0 K n = a 1 = = a r = 0. Cela siginfie que la décomposition du vecteur nul sur cette famille est alors unique. Une famille de vecteur qui n est pas libre est dite liée (ou linéairement dépendant). Proposition 16 Ainsi, une famille (e 1,, e r ) de K n est donc liée si et seulement si il existe des scalaires a 1,, a r non tous nuls tels que : a 1 e a r e r = 0 K n. On parle de famille libre ou liée. Cela ne dépend pas de l espace vectoriel dans lequel on se place. Par contre, on parle de famille génératrice d un K-sous-espace vectoriel E de K n. Parler de famille génératrice sans préciser l espace n a pas d intérêt, toute famille étant génératrice de l espace qu elle engendre. ((1, 1)) est une famille libre, ((1, 1), (1, 3)) est une famille libre, ((1, 1), (2, 5), (1, 3)) est une famille liée. Lycée Pierre-Gilles de Gennes/ ENCPB /2015

12 Chapitre 14: Les espaces vectoriels Base d un espace vectoriel Proposition 17 Soient u et v deux vecteurs. (u) est une famille libre si et seulement si u n est pas 0 K n. (u, v) est une famille libre si et seulement si (u, v) ne sont pas colinéaires. (u, v) est une famille liée si et seulement si (u, v) sont colinéaires. Mise en garde : La précédente équivalence n est pas vraie pour les familles comportant plus de 3 vecteurs. Par exemple, les vecteurs de ((1, 1), (3, 4), (2, 5)) sont deux à deux non colinéaires mais cette famille est tout de même liée. Méthode : Pour montrer que (e 1,, e r ), une famille de K n, est une famille libre, on prend des scalaires quelconques (a 1,, a r ) et on suppose qu ils vérifient a 1 e a r e r = 0 K n. On prouve alors, par le calcul, que nécessairement a 1 = = a r = 0. Si cette famille n a que un ou deux vecteurs, le plus simple est d utiliser la précédente proposition. ) Exercice 4 : Les familles suivantes sont-elles libres? 1. F 1 = ((1, 2, 1), (1, 3, 1)). 2. F 2 = ((1, 2), (1, 3), (12, 10)). Proposition 18 Toute famille contenant le vecteur nul est liée. Toute famille contenant une famille liée est liée. Une famille (e 1,, e r ) de K n est liée si et seulement si l un de ses vecteurs est combinaison linéaire des r 1 autres. On n a pas nécessairement le choix dans les vecteurs en trop : si u = (1, 0), v = (2, 0) et w = (0, 1), on peut écrire v comme combinaison linéaire de u et w, u comme combinaison linéaire de v et w mais pas w comme combinaison linéaire de u et v. Lycée Pierre-Gilles de Gennes/ ENCPB /2015

13 Chapitre 14: Les espaces vectoriels Base d un espace vectoriel Proposition 19 Soit (e 1,, e r ) une famille de K n. Si (e 1,, e r ) est une famille libre alors, en permutant les vecteurs de cette famille, on obtient une famille libre. Si (e 1,, e r ) est une famille libre alors toute sous-famille de (e 1,, e r ) est aussi libre. (e 1,, e r ) est une famille libre si et seulement si tout vecteur de Vect (e 1,, e n ) se décompose de manière unique sur la famille (e 1,, e r ). (e 1,, e r ) est une famille libre si et seulement si à chaque fois que l on a deux combinaisons linéaires de (e 1,, e r ) égales alors leurs coefficients respectifs sont égaux deux à deux. Ainsi, si (e 1,, e r ) est une famille libre de K n, alors on a pour tout scalaires ((a 1,, a r ), (b 1,, b r )) de (K r ) 2 : a 1 = b 1 a 2 = b 2 a 1 e a r e r = b 1 e b r e r. a r = b r Mise en garde : Par contre, une famille contenant une famille libre n est pas nécessairement libre. Ajouter des vecteurs à une famille libre est donc un acte dangereux! 3.3 Base Définition 20 Soit E un Ksous-espace vectoriel de K n. On appelle base de E une famille libre et génératrice de E. Proposition 21 Soit E un K-sous-espace vectoriel de K n. Soit (e 1,, e r ) une famille de E. (e 1,, e r ) est donc une base de E si et seulement si on a : x E,!(a 1,, a r ) K r tels que x = a 1 e a r e r. Lycée Pierre-Gilles de Gennes/ ENCPB /2015

14 Chapitre 14: Les espaces vectoriels Dimension d un espace vectoriel Dans cette dernière proposition, l unicité est due au caractère libre de la famille et l existence au caractère générateur de la famille. La famille B = ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)) est une base de R 3 : 1. Pour tout (x, y, z) dans R 3, on a : (x, y, z) = (0, 0, 0) x = y = z = 0. B est donc une famille libre. 2. Pour tout vecteur u de R 3, il exsite trois réels x, y et z tels que u = (x, y, z), on a donc : u = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1). B est donc une famille génératrice de R 3. La famille B = ((1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)) est aussi une base de R 3 : 1. Pour tout (x, y, z) dans R 3, on a... B est donc une famille libre. 2. Pour tout vecteur u de R 3,... B est donc une famille génératrice de R 3. La famille B = ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)) est une base de R 3. Si on enlève un seul vecteur de cette famille, on perd le caractère générateur. Si on rajoute un vecteur, on perd le cacractère libre. 4 Dimension d un espace vectoriel 4.1 Définition Théorème 22 Soit G un sous-espace vectoriel de K n non réduit au vecteur nul. G admet alors une base. Toutes les bases de G ont le même nombre d éléments, ce nombre est appelé la dimension de G et est noté dim(g). On pose par convention dim ({0 K n }) = 0. Méthode : Pour trouver la dimension d un espace vectoriel de dimension finie, il suffit donc de trouver une base et de compter ses éléments. Proposition 23 La famille ((1, 0,, 0),, (0,, 0, 1)) est une base de K n, c est la base canonique de K n. On en déduit que dim(k n ) = n. Lycée Pierre-Gilles de Gennes/ ENCPB /2015

15 Chapitre 14: Les espaces vectoriels Dimension d un espace vectoriel 4.2 Dimension et Famille libre Théorème 24 Théorème de la base incomplète. Soit F un sous-espace vectoriel de K n de dimension r. Soit q un entier naturel non nul tel que q r. Soit (u 1,..., u q ) une famille libre de F. On peut compléter (u 1,..., u q ) pour créer une base de F, c est à dire qu il existe (u q+1,..., u r ) F r q tel que (u 1,..., u q, u q+1,..., u r ) soit une base de F. ) Corollaire 25 : Soit (u 1,..., u p ) une famille libre de F avec F un sous-espace vectoriel de K n de dimension r. On a alors : 1. p n 2. Si p = n, (u 1,..., u p ) est une base de F. Ainsi, si on connaît une famille libre et la dimension d un espace vectoriel, il ne reste qu à compter le nombre de membres de cette famille pour savoir si cette famille est une base de l espace vectoriel. Si on cherche une base, on va compléter cette famille pour en faire une base. 4.3 Dimension et Famille génératrice Proposition 26 Soit F un sous-espace vectoriel de K n de dimension r. Soit (u 1,..., u p ) une famille génératrice de F. On a alors : 1. p r 2. Si p = r, (u 1,..., u p ) est une base de F. 3. On peut extraire une base de (u 1,..., u p ), c est à dire qu il existe (a 1,..., a r ) {u 1,..., u p } r tel que (a 1,..., a r ) soit une base de F. Ainsi, si on connaît une famille génératrice et la dimension d un espace vectoriel, il ne reste qu à compter le nombre de membres de cette famille pour savoir si cette famille est une base de l espace vectoriel. Si on cherche une base, on va éliminer dans cette famille le bon nombre de vecteurs judicieusement choisis. Lycée Pierre-Gilles de Gennes/ ENCPB /2015

16 Chapitre 14: Les espaces vectoriels Coordonnées 4.4 Dimension et Base Proposition 27 Soit (u 1,..., u r ) une famille de F avec F un sous-espace vectoriel de K n de dimension r. Les trois propositions suivantes sont alors équivalentes : 1. (u 1,..., u r ) est une famille libre de F. 2. (u 1,..., u r ) est une famille génératrice de F. 3. (u 1,..., u r ) est une base de F. Il est plus facile actuellement de démontrer qu un famille est libre que de démontrer qu une famille est génératrice. C est pourquoi, si on connaît la dimension d un espace vectoriel, on ne démontrera que le caractère libre d une famille puis on comptera le nombre de membres de cette famille pour prouver qu une famille est une base. ) Exercice 5 : Montrer que ((0; 0; 1), ( 2; 1; 0), ( 1; 0; 1)) est une base de R Inclusion de sous-espaces vectoriels Proposition 28 Soient E et G deux espaces vectoriels de dimension finie tels que E G. On a : dim(e) dim(g). dim(e) = dim(g) si et seulement si E = G. Pour démontrer que deux espaces vectoriels sont égaux, on peut faire un raisonnement par double inclusion. On peut aussi, si on sait déjà que ces deux espaces vectoriels ont même dimension, se contenter d une simple inclusion. Méthode : Pour montrer que E G (avec E et G deux espaces vectoriels de dimension finie), le plus simple est d avoir les équations cartésiennes et de s assurer que les vecteurs de K n vérifient ces équations. On prouve ainsi que Vect((2; 3; 1), (1; 1; 2)) =Vect((3; 7; 0), (5; 0; 7)) car... 5 Coordonnées Dans toute cette partie, F désigne un sous-espace vectoriel de K p de dimension n. Lycée Pierre-Gilles de Gennes/ ENCPB /2015

17 Chapitre 14: Les espaces vectoriels Coordonnées 5.1 Bases et coordonnées Définition 29 Soit B = (u 1,..., u n ) une base de F. Soit x un vecteur de F. Il existe un unique n-uplet (x 1,..., x n ) K n tel que x = x 1 u 1 + x 2 u x n u n. On appelle ce n-uplet (x 1,..., x n ) les coordonnées de x dans la base B. ) Exercice 6 : Montrer que ((3; 1), (5; 0)) est une base de R 2 et donner les coordonnées de (x; y) dans cette base. 5.2 Représentation matricielle Définition 30 Soit B = (u 1,..., u n ) une base de F. Soient x un vecteur de F et (x 1,..., x n ) les coordonnées de x dans la base B. On a : x = x 1 u 1 + x 2 u x n u n. On appelle matrice des coordonnées du vecteur x dans la base B la matrice suivante : Mat B (x) = Soit (a 1,..., a p ) une famille de p vecteurs de F. On note pour tout j 1, p, (a 1,j,..., a n,j ) les coordonnées de a j dans la base B, on a donc pour tout j 1, p : a j = a 1,j u 1 + a 2,j u a n,j u n. On appelle matrice des coordonnées de la famille (a 1,..., a p ) dans la base B la matrice suivante : Mat B (a 1,..., a p ) = x 1. x n a 1,1 a 1,p.. a n,1 a n,p Soient B la base canonique de R n et C la base canonique de R 3. 4 On a : Mat C ((4, 5, 6)) = 5. 6 Soit a = (a 1,..., a n ) un vecteur de R n. On a : Mat B (a) = a 1. a n. Lycée Pierre-Gilles de Gennes/ ENCPB /2015

18 Chapitre 14: Les espaces vectoriels Notion de Rang ) Exercice 7 : Soient B = ((3; 7), (5; 0)), a 1 = (3; 1), a 2 = (11; 2) et a 3 = (8; 1). Montrer que B est une base de R 2 et donner Mat B (a 1 ) et Mat B (a 1, a 2, a 3 ). Proposition 31 Soient B une base de F, u et v deux vecteurs de F et λ un scalaire. On a : 1. Mat B (u + v) = Mat B (u) + Mat B (v) 2. Mat B (λu) = λmat B (u) 6 Notion de Rang 6.1 Rang d une famille Définition 32 Soit (u 1,..., u p ) une famille de K n. On appelle rang de la famille (u 1,..., u p ) la dimension de l espace vectoriel qu elle engendre, on a donc : rang (u 1,..., u p ) = dim (Vect (u 1,..., u p )). Proposition 33 Soit (u 1,..., u p ) une famille de F avec F un sous-espace vectoriel de K n de dimension r. On a : rang (u 1,..., u p ) min(r, p) rang (u 1,..., u p ) = p si et seulement si (u 1,..., u p ) est une famille libre. rang (u 1,..., u p ) = r si et seulement si (u 1,..., u p ) est une famille génératrice de F. Le rang est donc une notion fondamentale puisqu il permet de caractériser la notion de famille libre et de famille génératrice. Lycée Pierre-Gilles de Gennes/ ENCPB /2015

19 Chapitre 14: Les espaces vectoriels Notion de Rang 6.2 Rang d une matrice Définition 34 Soit A une matrice ayant n lignes et p colonnes. On appelle (C 1,..., C p ) ses p vecteurs colonnes, ce sont des éléments de M n,1 (K). On appelle rang de A, et on note rang(a), le rang de la famille des p vecteurs colonnes de A. On a : rang(a) = rang (C 1,..., C p ) = dim (Vect (C 1,..., C p )). Soit A une matrice. On a : 1. rang(a) = 0 si et seulement si A = 0 2. rang(a) = 1 si et seulement si les différentes colonnes de A sont proportionnelles deux à deux et l une d elles n est pas nulle. 6.3 Matrices échelonnées Définition 35 Soit A = (a i,j ) 1 i n,1 j p une matrice. On appelle (L 1,..., L n ) ses n vecteurs lignes. Pour chaque ligne L i non nulle de A, on note d(i) le plus petit indice j tel que a i,j 0. On dit que A est échelonnée supérieurement s il existe un entier r de {0,..., n} tel que : Pour tout i de {1,..., r }, la ligne L i est non nulle (Il n y a donc pas de ligne nulle si r = 0). Pour tout i de {r + 1,..., n}, la ligne L i est nulle (Il n y a donc pas de blocs de lignes nulles à la fin si r = n). La suite (d(k)) 1 k r est strictement croissante. On appelle pivots de A les r coefficients non nuls situés aux positions (k, d(k)) avec 1 k r. Les matrices suivantes sont échelonnées : Les matrices suivantes ne sont pas échelonnées : Lycée Pierre-Gilles de Gennes/ ENCPB /2015

20 Chapitre 14: Les espaces vectoriels Notion de Rang Proposition 36 On utilise les notations précédentes. Une matrice échelonnée est de rang r rang = rang = rang 4. rang = = 1 Proposition 37 Le rang d une matrice est égal au rang de sa transposée. ) Corollaire 38 : Le rang d une matrice A est égal au nombre maximum de colonnes libres dans A. Il est aussi égal au nombre maximum de lignes libres dans A. 6.4 Algorithme du pivot de Gauss Définition 39 Soit F une famille de vecteurs de K n. On appelle opération élémentaire sur les vecteurs de cette famille l une des opérations suivantes : Multiplier un des vecteurs de la famille par un scalaire non nul. Ajouter à l un des vecteurs un multiple d un autre vecteur de la famille. Echanger deux vecteurs de la famille. Proposition 40 On utilise les notations précédentes. Soit F la famille de vecteurs obtenue en appliquant une opération élémentaire à F. F et F ont même rang. Lycée Pierre-Gilles de Gennes/ ENCPB /2015

21 Chapitre 14: Les espaces vectoriels Notion de Rang On en déduit qu on ne modifie pas le rang d une famille de vecteurs en lui appliquant une succession d opérations élémentaires. On ne modifiera donc pas le rang si l on ajoute à l un des vecteurs une combinaison linéaires des autres vecteurs de la famille. Définition 41 Soit A = (a ij ) 1 i n,1 j p une matrice à coefficients dans K. On appelle (L 1,..., L n ) ses n vecteurs lignes et (C 1,..., C p ) ses p vecteurs colonnes. On appelle opération élémentaire sur les lignes de A l une des opérations suivantes : Multiplier une ligne de A la famille par un scalaire α non nul. L i αl i. Ajouter à l une des lignes de A un multiple d une autre ligne de A. L i L i + βl j. Echanger deux lignes de A. L i L j. On appelle opération élémentaire sur les colonnes de A l une des opérations suivantes : Multiplier une colonne de A la famille par un scalaire α non nul. C i αc i. Ajouter à l une des colonnes de A un multiple d une autre colonne de A. C i C i + βc j. Echanger deux colonnes de A. C i C j. Mise en garde : Dans l opération C i αc i ou L i αl i, il est absolument indispensable que α soit non nul. Il faudra donc faire particulièrement attention dans le cas où α dépend d un paramètre. Proposition 42 On ne modifie pas le rang d une matrice en lui appliquant une suite d opérations élémentaires sur ses colonnes ou sur ses lignes. Proposition 43 Par suite d opérations élémentaires sur les colonnes ou sur les lignes d une matrice, on peut transformer toute matrice en une matrice échelonnée. Méthode : Pour calculer le rang d une matrice quelconque, il suffit de la transformer cette dernière en une matrice échelonnée. Proposition 44 Soit B une base d un sous-espace vectoriel E de K n. Soit (r 1,..., r p ) une famille de E. On a : rang (r 1,..., r p ) = rang (Mat B (r 1,..., r p )). Lycée Pierre-Gilles de Gennes/ ENCPB /2015

22 Chapitre 14: Les espaces vectoriels Notion de Rang Méthode : Lorqu on connaît une base B d un d un K-sous-espace vectoriel E de K n, il est simple avec le rang de caractériser les familles libres, les familles génératrice de E et les base de E. Il suffit de calculer le rang de cette famille (r 1,..., r p ) en faisant une interprétation matricielle (i.e. en introduisant Mat B (r 1,..., r p )). On calcule alors le rang de Mat B (r 1,..., r p ) en l échelonnant. On utilise enfin la proposition suivante pour conclure : Proposition 45 Soit (u 1,..., u p ) une famille de F avec F un sous-espace vectoriel de K n de dimension r. On a : rang (u 1,..., u p ) min(r, p). rang (u 1,..., u p ) = p si et seulement si (u 1,..., u p ) est une famille libre. rang (u 1,..., u p ) = r si et seulement si (u 1,..., u p ) est une famille génératrice de F. Méthode : La notion de rang permet aussi de trouver facilement la dimension d un K-sous-espace vectoriel E de K n. Si on connaît une base B d un espace vectoriel qui contient E, il suffit de trouver une famille génératrice quelconque de K n (donc de réussir à l exprimer sous forme de Vect ( ) ) et de calculer le rang de cette famille grâce à la méthode précédente pour conclure. ) Exercice 8 : Soit m un réel. On pose : c 1 = (2; 1; 1), c 2 = (1; 2; 1), c 3 = (1; 1; 2) et c 4 = (5; 1; 2). E = { (x, y, z, t) R 4 tel que x + 2y + t = 0 }. F m = ((1, 1, 0, 0), (1, 0, m, 1), (1, m, 1, 0), (1, 0, 0, m)) 1. Evaluer le rang des trois matrices suivantes : , m 0 0 m m 2. La famille (c 1, c 2, c 3, c 4 ) est-elle génératrice de R 3? 3. La famille F m est-elle libre? 4. Trouver la dimension de E. et Lycée Pierre-Gilles de Gennes/ ENCPB /2015